數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法選講

1、.數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法選講山東教育學(xué)院 李玉琪（2009.10）國(guó)家教育部2001年7月頒布的全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）指出：要使學(xué)生“獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能”。教育部2003年頒布的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：要“使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論的逐步形成過(guò)程，體會(huì)隱涵在其中的數(shù)學(xué)思想方法。”即將頒布的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）又進(jìn)一步指出：“要使學(xué)生獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！比藗冏鋈魏问虑?，都要在宏觀上講究策略，在微觀上講究方法。策略與方法不當(dāng)常事倍功半，策略

2、與方法得當(dāng)則事半功倍。在數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，這種宏觀上的策略稱(chēng)為數(shù)學(xué)思想，微觀上的方法就是數(shù)學(xué)方法，二者合稱(chēng)數(shù)學(xué)思想方法。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，由于數(shù)學(xué)思想和方法是知識(shí)向能力轉(zhuǎn)化的中介和橋梁，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的能力特別是創(chuàng)造性思維能力具有十分重要的作用，因而數(shù)學(xué)思想方法成為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，成為近20幾年來(lái)高考與中考數(shù)學(xué)命題的重點(diǎn)。我們國(guó)家對(duì)數(shù)學(xué)思想與方法的深入研究開(kāi)始于上個(gè)世紀(jì)80年代。1986年在東北師范大學(xué)解恩澤教授的組織下，建立了“全國(guó)數(shù)學(xué)思想方法研究協(xié)會(huì)”，1988年在著名數(shù)學(xué)家徐立治先生的倡導(dǎo)下，建立了“全國(guó)數(shù)學(xué)方法論研究中心”。我因?yàn)樵谶@之前發(fā)表過(guò)幾篇有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法研究的論文，因而應(yīng)邀

3、成為這兩個(gè)組織的發(fā)起人之一，參與了兩個(gè)學(xué)派的學(xué)術(shù)研究，并主編出版了四部數(shù)學(xué)方法論的著作。審視這兩個(gè)學(xué)派的研究?jī)?nèi)容，他們的區(qū)別在于：以解恩澤為首的“全國(guó)數(shù)學(xué)思想方法研究協(xié)會(huì)”主要從數(shù)學(xué)的外部和宏觀的角度，研究數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)發(fā)明的規(guī)律，以及數(shù)學(xué)人才成長(zhǎng)的規(guī)律，是宏觀的數(shù)學(xué)方法論；以徐立治為首的“全國(guó)數(shù)學(xué)方法論研究中心”主要從數(shù)學(xué)內(nèi)部和微觀的角度，研究每種數(shù)學(xué)方法的產(chǎn)生與發(fā)展規(guī)律，以及數(shù)學(xué)方法的作用，是微觀的數(shù)學(xué)方法論。由于我同時(shí)參與了這兩個(gè)學(xué)派的研究，因而今天我的報(bào)告將在兩種數(shù)學(xué)方法論的結(jié)合上，即宏觀與微觀的結(jié)合上展開(kāi)。報(bào)告共分五部分?jǐn)?shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法，重要的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)中的邏輯方法，數(shù)學(xué)問(wèn)

4、題解決方法，構(gòu)建數(shù)學(xué)理論的方法。我將盡量減少純理論的闡（chan）述，而主要結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際說(shuō)明問(wèn)題。限于時(shí)間，今天我僅對(duì)前三個(gè)問(wèn)題數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法、初中數(shù)學(xué)中的重要數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)中的邏輯方法作簡(jiǎn)單介紹。一、數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法從根本上說(shuō)，數(shù)學(xué)科學(xué)的全部?jī)?nèi)容，是由數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)理論知識(shí)（簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)學(xué)知識(shí)）、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想組成的系統(tǒng)。在這個(gè)系統(tǒng)中，數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想具有各自不同的內(nèi)涵，也有著不同的作用。 數(shù)學(xué)問(wèn)題所謂“數(shù)學(xué)問(wèn)題”，是指數(shù)學(xué)中需要明晰、需要研究、需要解決的疑難問(wèn)題。1900年，著名數(shù)學(xué)家希爾伯特（20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家，1943年去世）在巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家代表

5、大會(huì)上作了題為數(shù)學(xué)問(wèn)題的演講，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的作用和人類(lèi)20世紀(jì)面臨的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了全面的論述。此后，數(shù)學(xué)問(wèn)題在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要作用受到了人們的廣泛重視。希爾伯特在這次大會(huì)的演講中指出：“數(shù)學(xué)問(wèn)題對(duì)于一般數(shù)學(xué)進(jìn)展的深遠(yuǎn)意義以及對(duì)于研究者個(gè)人工作的重要作用是不可否認(rèn)的。能在一門(mén)科學(xué)分支中提出大量的問(wèn)題，該門(mén)科學(xué)就充滿(mǎn)生命力；而問(wèn)題的缺乏則預(yù)示著這門(mén)科學(xué)發(fā)展的終止。正如人類(lèi)的每項(xiàng)事業(yè)都追求著確定的目標(biāo)一樣，數(shù)學(xué)研究也需要自己的問(wèn)題。正是通過(guò)這些問(wèn)題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意志，發(fā)現(xiàn)新的方法，產(chǎn)生新的觀點(diǎn)，達(dá)到更為廣闊自由的境界?！毕柌氐木僬撌稣f(shuō)明：數(shù)學(xué)問(wèn)題既是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的起點(diǎn)，又是數(shù)學(xué)發(fā)

6、展的路標(biāo)；對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展既有探索和導(dǎo)向作用，又可以為數(shù)學(xué)理論的形成積累必要的資料；既能導(dǎo)致數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和理論的創(chuàng)新，又可以激發(fā)人們的創(chuàng)造性和進(jìn)取精神。因此，數(shù)學(xué)問(wèn)題被人們形象地稱(chēng)為數(shù)學(xué)的“心臟”。 數(shù)學(xué)知識(shí)一切數(shù)學(xué)的概念、原理、法則以及數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)，統(tǒng)稱(chēng)為數(shù)學(xué)理論知識(shí)，簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)知識(shí)是人們?cè)谘芯繑?shù)學(xué)理論問(wèn)題與實(shí)踐問(wèn)題的過(guò)程中，逐漸形成的關(guān)于客觀事物的數(shù)量關(guān)系與空間形式的基本認(rèn)識(shí)，是客觀事物的內(nèi)部規(guī)律在人們頭腦中的反映。在數(shù)學(xué)科學(xué)中，每個(gè)數(shù)學(xué)分支都把該研究領(lǐng)域中有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)用邏輯方法（主要是公理化方法）組織起來(lái)，構(gòu)成相應(yīng)的理論體系。通常人們看到的，正是這種數(shù)學(xué)理論知識(shí)的體系。因此，各個(gè)

7、數(shù)學(xué)分支都是由不同的數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建起來(lái)的。形象地說(shuō)，數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)的“軀體”。3數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法是人們?cè)跀?shù)學(xué)研究、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問(wèn)題解決等數(shù)學(xué)活動(dòng)中的具體步驟、程序和格式，是達(dá)到數(shù)學(xué)研究和問(wèn)題解決目的的途徑和手段的總和。從本質(zhì)上說(shuō)，數(shù)學(xué)方法是人們對(duì)客觀事物的內(nèi)在聯(lián)系的能動(dòng)的反映。在西方語(yǔ)言中，“方法”一詞源于希臘文，意指沿著某條道路行進(jìn)，因而在“方法”的本意上，數(shù)學(xué)方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的手段和操作的總和，具有“行為規(guī)則”的意義。 數(shù)學(xué)思想修改版的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括”。從認(rèn)識(shí)論來(lái)看，數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方

8、法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法經(jīng)過(guò)高度抽象、概括、提煉上升而形成的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，屬于對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)的范疇。從科學(xué)方法論的角度看，數(shù)學(xué)本身就是認(rèn)識(shí)世界和改造世界的一種方法，數(shù)學(xué)思想具有方法和工具的作用。從哲學(xué)的高度看，數(shù)學(xué)思想本質(zhì)上是辯證法的基本觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)科學(xué)中的體現(xiàn)，是思維方法與實(shí)踐方法的概括，屬于哲學(xué)思維方法的范疇。例如，數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想（即化歸思想），是辯證法關(guān)于事物“互相聯(lián)系”與“運(yùn)動(dòng)發(fā)展”的基本觀點(diǎn)的反映，是“世界上一切事物都是互相聯(lián)系、互相作用”與“事物不斷發(fā)展變化”的基本觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)中的具體運(yùn)用，是“在普遍聯(lián)系和發(fā)展變化中把握事物”的哲學(xué)思維方法的具體化。又如，數(shù)形結(jié)合思想實(shí)質(zhì)

9、上是辯證法中的矛盾分析法，反映了“數(shù)”與“形”這一對(duì)矛盾的對(duì)立統(tǒng)一，以及在一定條件下的互相轉(zhuǎn)化。 數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的關(guān)系數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想是相互影響、互相聯(lián)系、協(xié)同發(fā)展的辯證統(tǒng)一體，它們的相互作用和相互結(jié)合不僅使數(shù)學(xué)成為一個(gè)有機(jī)的整體，而且推動(dòng)著數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展?？v觀數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史可以看到，人們?cè)诮鉀Q實(shí)踐和理論中提出的各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，總結(jié)和創(chuàng)造了不同的數(shù)學(xué)方法。在這些數(shù)學(xué)方法發(fā)生的同時(shí)，相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)也相伴形成。在不斷探求對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)思想便產(chǎn)生了。例如，尋求“高次代數(shù)方程求根公式”的問(wèn)題源于16世紀(jì)，在其后的300年中曾有不

10、少著名數(shù)學(xué)家為之不懈地奮斗，但直到19世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅華創(chuàng)立了“群論”的思想方法以后才使這一“向人類(lèi)智慧挑戰(zhàn)”的問(wèn)題得到了徹底的解決。其間，為了解決代數(shù)方程根的數(shù)目問(wèn)題，他引入了復(fù)數(shù)法，不僅由此創(chuàng)立了代數(shù)基本定理，而且建立了“群論”的理論。又如，著名數(shù)學(xué)家歐拉正是在解決“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”的過(guò)程中，不僅發(fā)現(xiàn)了許多知識(shí)并開(kāi)拓了運(yùn)籌學(xué)和圖論等嶄新的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，而且他的研究也是運(yùn)用抽象化方法和數(shù)學(xué)模型方法的光輝范例。綜上所述，數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)生命之源泉，數(shù)學(xué)思想與方法分別是問(wèn)題解決的宏觀策略與微觀的技術(shù)手段，數(shù)學(xué)知識(shí)則是認(rèn)識(shí)的結(jié)果。就數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的關(guān)系而言，一方面數(shù)學(xué)思想

11、與數(shù)學(xué)方法蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)的知識(shí)體系之中，數(shù)學(xué)思想與方法的突破又常常導(dǎo)致數(shù)學(xué)知識(shí)的創(chuàng)新；另一方面，數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)方法更深刻、更抽象地反映著客觀事物的內(nèi)在聯(lián)系，是數(shù)學(xué)方法的進(jìn)一步概括和升華。因此，如果說(shuō)問(wèn)題是數(shù)學(xué)的“心臟”、方法是數(shù)學(xué)的“行為規(guī)則”、知識(shí)是數(shù)學(xué)的“軀體”，那么數(shù)學(xué)思想無(wú)疑是數(shù)學(xué)的“靈魂”。二、重要的數(shù)學(xué)思想在即將頒布的修改版的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，涉及的數(shù)學(xué)思想有“歸納、演繹、抽象、轉(zhuǎn)化、分類(lèi)、模型、數(shù)形結(jié)合、隨機(jī)等”。對(duì)此學(xué)術(shù)界頗有爭(zhēng)議，因?yàn)槠渲械臍w納、演繹、抽象都是典型的邏輯方法，模型方法則屬于數(shù)學(xué)研究方法。當(dāng)然，對(duì)于數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵，需要進(jìn)行更為深入的研究，老師們都可以參與探討。從數(shù)學(xué)方

12、法論的角度考察，初中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想主要是符號(hào)思想（字母代數(shù)思想）、轉(zhuǎn)化思想（化歸思想）、特殊化與一般化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)思想、方程與函數(shù)思想等。（一）符號(hào)思想（用字母代替數(shù)字的思想）引入符號(hào)表示數(shù)字，也就是用字母代替數(shù)字，是代數(shù)學(xué)的基本思想。從數(shù)學(xué)史進(jìn)行考察，算術(shù)與代數(shù)本來(lái)是數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)、最古老的兩個(gè)分支學(xué)科。就他們的關(guān)系來(lái)說(shuō)，算術(shù)是代數(shù)的基礎(chǔ)，代數(shù)則是由算術(shù)演進(jìn)而來(lái)的，是算術(shù)的必然發(fā)展。在數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程中，正是用字母代替數(shù)字這種符號(hào)思想的產(chǎn)生，促進(jìn)了算術(shù)向代數(shù)的演進(jìn)。1算術(shù)解題法的局限性我們知道，算術(shù)的主要內(nèi)容是自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算，但算術(shù)解題法有很大的局限性。這種局限性主

13、要表現(xiàn)在算術(shù)只限于對(duì)具體的、已知的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，不允許抽象的和未知的數(shù)參與運(yùn)算。許多古老的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，如行程問(wèn)題、工程問(wèn)題、流水問(wèn)題、分配問(wèn)題、盈虧問(wèn)題等，都是借助于這種方法求解的。算術(shù)解題法的關(guān)鍵是正確列出算式，即通過(guò)加、減、乘、除等運(yùn)算符號(hào)把有關(guān)的已知數(shù)據(jù)連接成一個(gè)算式，建立起能夠反映實(shí)際問(wèn)題本質(zhì)特征的數(shù)學(xué)模型。應(yīng)當(dāng)說(shuō)，對(duì)于那些只具有簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題，運(yùn)用算術(shù)方法列出相應(yīng)的算式并不難。但是，對(duì)于大量的具有復(fù)雜數(shù)量關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題，要列出相應(yīng)的算式就不容易了，因?yàn)橥枰芨叩募记伞?duì)于那些含有幾個(gè)或多個(gè)未知數(shù)的實(shí)際問(wèn)題，要建立起只包含已知數(shù)的算式來(lái)求解，則常常是不可能的。算術(shù)解題法的這

14、種局限性，大大限制了數(shù)學(xué)的應(yīng)用，也影響了數(shù)學(xué)自身的發(fā)展。在這種情況下，一種新的數(shù)學(xué)思想以字母代替數(shù)字的思想（即符號(hào)思想）誕生了，由此不僅把算術(shù)推進(jìn)到了代數(shù)，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，而且大大拓寬了數(shù)學(xué)應(yīng)用的范圍。2符號(hào)思想的優(yōu)越性傳統(tǒng)初中代數(shù)的內(nèi)容，是初等代數(shù)。初等代數(shù)的基本方法，是用抽象的字母a，b，c和x，y，z分別表示抽象的數(shù)和未知的數(shù)，再依據(jù)問(wèn)題的條件組成包含已知數(shù)（具體數(shù)字或字母）和未知數(shù)（字母）的代數(shù)式，并按題中的等量關(guān)系列出方程，然后通過(guò)解方程求出未知數(shù)的值。因此，初等代數(shù)的中心內(nèi)容是解方程。由此可以看出，符號(hào)思想是初等代數(shù)的基本思想，是從算術(shù)過(guò)渡到代數(shù)的橋梁。初等代數(shù)與算術(shù)的根本區(qū)別，

15、在于代數(shù)允許未知數(shù)參與運(yùn)算，算術(shù)則把未知數(shù)排斥在運(yùn)算之外。如果說(shuō)在算術(shù)中有時(shí)也出現(xiàn)未知數(shù)的話(huà)，那么只能把這個(gè)未知數(shù)單獨(dú)地放在等號(hào)的左邊，所有的已知數(shù)則在右邊進(jìn)行運(yùn)算，未知數(shù)并沒(méi)有參加運(yùn)算的權(quán)力。而在代數(shù)中，方程作為由已知數(shù)和未知數(shù)構(gòu)成的條件等式，本身就意味著未知數(shù)與已知數(shù)具有同等的地位，未知數(shù)不僅可以成為運(yùn)算的對(duì)象，而且能夠依照法則從等式的一邊移到另一邊。解方程的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是通過(guò)對(duì)已知數(shù)和未知數(shù)的重新組合，把未知數(shù)轉(zhuǎn)化為已知數(shù)的過(guò)程，即把未知數(shù)置于等式的一邊，把已知數(shù)置于另一邊。從這種意義上看，算術(shù)運(yùn)算是代數(shù)運(yùn)算的特殊情況，代數(shù)運(yùn)算則是算術(shù)運(yùn)算的發(fā)展與推廣。由于引入了符號(hào)思想，即用字母代替數(shù)

16、字的思想，代數(shù)運(yùn)算較之算術(shù)運(yùn)算有了更大的普遍性和靈活性，極大地?cái)U(kuò)展了數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍。許多用算術(shù)方法無(wú)法解決的問(wèn)題，在代數(shù)中都能輕而易舉地得到解決。不僅如此，符號(hào)思想的出現(xiàn)對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展也產(chǎn)生了巨大而深刻的影響，數(shù)學(xué)中許多的重大發(fā)現(xiàn)都與符號(hào)思想有關(guān)。例如，利用數(shù)學(xué)符號(hào)解決一元二次方程的求根問(wèn)題導(dǎo)致了虛數(shù)的發(fā)現(xiàn)，利用數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)五次以上方程求解的研究導(dǎo)致了群論的誕生等。正因?yàn)槿绱?，人們把符?hào)思想的誕生看作是數(shù)學(xué)思想發(fā)生第一次重大轉(zhuǎn)折的標(biāo)志。符號(hào)思想（用字母代替數(shù)字的思想）到底有哪些優(yōu)越性呢？最突出的是以下兩點(diǎn)：第一，用字母表示數(shù)字能夠簡(jiǎn)明地反映事物的本質(zhì)特征和規(guī)律。例如：長(zhǎng)6米、寬3米的長(zhǎng)方形地面

17、的面積為6×318（平方米）；長(zhǎng)24厘米、寬17.5厘米的鐵片的面積為24×17.5420（平方厘米）。上述兩個(gè)問(wèn)題的一般規(guī)律是：“長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)與寬的積”。利用符號(hào)思想，這個(gè)規(guī)律可以簡(jiǎn)明地表示為Sab .又如，由3553，1.82.62.68等算式，可以概括出加法的交換律：“兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，其和不變”。用a，b分別表示兩個(gè)加數(shù)，則加法交換律可以簡(jiǎn)明地表示為abba.第二，用字母表示數(shù)具有辯證性。這里有兩層含義：首先，用字母表示的數(shù)具有任意性，可以是任意的數(shù)；其次，用字母表示的數(shù)具有確定性，可以表示任意一個(gè)確定的、具體的數(shù)。例如，在Sab中，a與b可以是任意

18、正數(shù)，S也表示任意正數(shù)；但對(duì)于一個(gè)具體的長(zhǎng)方形來(lái)說(shuō)，a與b的值又是確定的、具體的數(shù)，將a與b的值帶入后就能計(jì)算出S的具體的值。又如，代數(shù)式x3表示比任意數(shù)x大3的數(shù)，而當(dāng)x5時(shí)，x3僅僅表示8這一個(gè)數(shù)。由于符號(hào)思想的這種優(yōu)越性，使得許多復(fù)雜的算術(shù)問(wèn)題有了簡(jiǎn)單的代數(shù)解法。例1 計(jì)算：（1）（）·； （2）.解 （1）設(shè)A， B， C， 原式（A）··1；（2） 設(shè)m2009，則 原式 .例2 比較下面兩個(gè)數(shù)的大?。?A， B.解 設(shè)， 則 A, B， AB0， AB.由例1與例2可以看出，深刻領(lǐng)會(huì)符號(hào)思想，靈活運(yùn)用以字母代替數(shù)字的方法，對(duì)于數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都是十分

19、重要的。（二）轉(zhuǎn)化思想（化歸思想）轉(zhuǎn)化是初等數(shù)學(xué)中最基本的思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用，對(duì)此先從一個(gè)具體例子談起。例3 解方程：1.解 設(shè) u， v, 則有 解得 u2， v1. 代入或得 , =0， ，檢驗(yàn)可知，與都是原方程的解。在例3中，運(yùn)用換元法把較為復(fù)雜的無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的一元二次方程求解，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想。運(yùn)用一定的方法，把一個(gè)生疏的、復(fù)雜的、難以解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題化為熟悉的、簡(jiǎn)單的、能夠解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這種解決問(wèn)題的策略就是轉(zhuǎn)化思想。很明顯，化生為熟、化繁為簡(jiǎn)、化未知為已知是轉(zhuǎn)化的基本方向。轉(zhuǎn)化是眾多數(shù)學(xué)家典型的思維方式。匈牙利數(shù)學(xué)家羅莎·彼得在無(wú)窮的玩藝一書(shū)中論

20、及數(shù)學(xué)家研究問(wèn)題的策略時(shí)，指出：“他們往往不是對(duì)問(wèn)題實(shí)行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)化成能夠得到解決的問(wèn)題?！绷硪晃恍傺览麛?shù)學(xué)家G·波利亞在談到面臨的問(wèn)題時(shí)指出：“這是什么類(lèi)型的問(wèn)題？它與某個(gè)已知問(wèn)題有關(guān)嗎？它像某個(gè)已知問(wèn)題嗎？有一個(gè)同樣類(lèi)型的未知量的問(wèn)題（特別是過(guò)去解過(guò)的問(wèn)題）嗎？你知道一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題嗎？你能知道或設(shè)想出一個(gè)同一類(lèi)型的問(wèn)題、一個(gè)類(lèi)似的問(wèn)題、一個(gè)更一般的問(wèn)題、一個(gè)更特殊的問(wèn)題嗎？”由上面的介紹可以看出，對(duì)于數(shù)學(xué)研究、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)問(wèn)題解決來(lái)說(shuō)，轉(zhuǎn)化不僅是一種重要的思想和意識(shí)，而且是一種重要的思維方法和策略。唯物辯證法指出，客觀事物是發(fā)展變化的，不同事

21、物間存在著種種聯(lián)系，各種矛盾無(wú)不在一定的條件下互相轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化思想正是人們對(duì)這種聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的一種能動(dòng)的反映。從哲學(xué)的高度看，轉(zhuǎn)化思想著眼于揭示矛盾實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，它的“運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化解決矛盾”的基本思想具有深刻的辯證性質(zhì)。例4 已知a，b，c均為實(shí)數(shù)，若abc0，且 3，求 的值。分析 把已知等式直接進(jìn)行化簡(jiǎn)，顯然很難求出 的值，因而必須尋求其他方法。注意到已知等式的左邊的三個(gè)括號(hào)均與所求的代數(shù)式 有關(guān)系，為了化未知為已知，必須先建立起未知與已知的聯(lián)系，故設(shè) x ，這樣已知等式就化為 ，展開(kāi)，即有 ， 從而把求代數(shù)式 的值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題，由于，顯然有，即 0. 例5 解方程組 分析 由于已

22、知方程組含有三個(gè)未知數(shù)，卻只有兩個(gè)方程，因而用常規(guī)方法難以求解。為減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，先把看作常量，即作變量的常量化處理，原方程組就轉(zhuǎn)化為 由韋達(dá)定理可知，x，y是一元二次方程 的二根。至此，求解原方程組的問(wèn)題已經(jīng)轉(zhuǎn)化為研究一元二次方程的根的問(wèn)題了。由于x，y都是實(shí)數(shù)，故有 即 但顯然又有，于是得到 0，從而 0，由此推出 t1，xy1. 原方程的解是x1，y1，z0. 例6 如圖1，在圓錐中，底面直徑AB20cm，PA30cm.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，在側(cè)面上繞行一周又回到點(diǎn)A，求螞蟻所走的最短路程。 _P_O_B'_A 圖1圖2 分析 因?yàn)槲浵伿窃趫A錐的側(cè)面上爬行，畫(huà)出圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，

23、如圖2所示，就可以把這個(gè)空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題進(jìn)行研究。解 沿PA把圓錐的側(cè)面展開(kāi)、鋪平，得到圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，如圖2所示。在圓錐中，與是重合的。顯然，螞蟻從點(diǎn)P出發(fā)繞圓錐的側(cè)面爬行一周又回到點(diǎn)A，其最短線(xiàn)路為圖2中的線(xiàn)段.由AB20cm可知，圓錐的底面半徑 OA10（cm）；由扇形的弧長(zhǎng)公式，得 120°， . 作,垂足為點(diǎn)C ，在RtPAC中，PCPA15， AC15， 2AC3051.9（）。所以，螞蟻所走的最短路程為51.9。轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛。例如，把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解，把方式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求

24、解，通過(guò)添加輔助線(xiàn)把空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形進(jìn)行研究，把復(fù)雜的幾何圖形轉(zhuǎn)化為三角形或四邊形進(jìn)行研究等等，都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想。建議大家研究下面的問(wèn)題，并分析在解決問(wèn)題的過(guò)程中轉(zhuǎn)化思想所起的作用：（1） 解方程：；（2） 方程 的一個(gè)解是，求實(shí)數(shù)x，y的值。（3） 設(shè)x是實(shí)數(shù)，若，求代數(shù)式 的值。（4） 在梯形ABCD中，AD與BC分別是上底和下底，兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直。已知AC12，BD9，求該梯形的中位線(xiàn)的長(zhǎng)。（三）特殊化思想與一般化思想從特殊到一般和從一般到特殊，是人們正確認(rèn)識(shí)客觀事物的認(rèn)識(shí)規(guī)律，也是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題重要的思想方法。一方面，事物的特殊性包含著普遍性，即共性寓于個(gè)性之中，相對(duì)于“一般

25、”而言，“特殊”的事物往往更簡(jiǎn)單、更直觀、更具體，因而人們常常通過(guò)特殊去認(rèn)識(shí)一般；另一方面，“一般”概括了特殊，“一般”比“特殊”更為深刻地反映著事物的本質(zhì)，因而人們常常以對(duì)事物的共同本質(zhì)的認(rèn)識(shí)（即一般認(rèn)識(shí)）為指導(dǎo)，去研究個(gè)別的和特殊的事物。所以，在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有時(shí)抽取待解問(wèn)題的某個(gè)特殊情形，由此得出一般性結(jié)論，這是特殊化思想；有時(shí)把待解問(wèn)題作為特殊情況，研究更為廣泛的一般性問(wèn)題，從而得出待解問(wèn)題的結(jié)論，這是一般化思想。 特殊化思想把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為其特殊形式，通過(guò)對(duì)特殊形式的研究尋求原問(wèn)題的答案或解決辦法，就是特殊化思想。具體來(lái)說(shuō)，在研究一個(gè)較大范疇的問(wèn)題遇到困難時(shí)，可以把這個(gè)范疇縮小

26、到比較特殊的情況，通過(guò)對(duì)這個(gè)特殊情況的研究，發(fā)現(xiàn)原問(wèn)題的答案或解決問(wèn)題的思路，這就是特殊化思想。作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，特殊化是解決復(fù)雜問(wèn)題的有力手段。這是因?yàn)椋簭倪壿媽W(xué)的角度看，概念或命題的特殊化導(dǎo)致其外延的縮小，這時(shí)內(nèi)涵增大，可供使用的條件增加，研究就比較容易；從認(rèn)識(shí)論的角度看，復(fù)雜問(wèn)題特殊化以后，認(rèn)識(shí)起點(diǎn)降低，便于人們由淺入深地認(rèn)識(shí)和分析問(wèn)題；從方法論的角度看，特殊化使問(wèn)題由抽象變具體、由復(fù)雜變簡(jiǎn)單，從而有利于問(wèn)題的解決。在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中，特殊化的具體途徑主要有四種：第一，由條件畫(huà)出圖形，便于從幾何直觀中受到啟迪；第二，用具體數(shù)字代替抽象字母、用具體函數(shù)代替抽象函數(shù)、用有限代替無(wú)限，使抽

27、象問(wèn)題具體化；第三，暫時(shí)固定或舍棄某些限制條件，便于在較為理想的狀態(tài)下研究問(wèn)題；第四，一般狀態(tài)取特殊位置、運(yùn)動(dòng)問(wèn)題取靜止?fàn)顟B(tài)，以便化繁為簡(jiǎn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。例7 若abc，xyz，則下列代數(shù)式的值中最大的是：（A）； （B）；（C）； （D）.分析用常規(guī)方法作差可以比較各個(gè)代數(shù)式的大小，但這種方法顯然很繁瑣。運(yùn)用特殊化思想，取滿(mǎn)足已知關(guān)系的一組特殊值進(jìn)行探索，例如取，這時(shí)（A）（B）（C）（D）的值分別為14，13，13，11，故應(yīng)選（A）。例8 若m，n為不相等的正數(shù)，則下列代數(shù)式甲； 乙； 丙中，其值最大的是（A）甲； （B）乙； （C）丙； （D）不確定。分析 直接比較甲、乙、丙的大小并不容易

28、，可以運(yùn)用特殊化的思想。注意到選擇支中有一項(xiàng)為“不確定”，因而必須選擇m，n的幾組特殊值進(jìn)行探索。取，這時(shí)甲、乙、丙的值分別是5，此時(shí)甲最大；再取，這時(shí)甲、乙、丙的值分別是，此時(shí)丙最大。至此可以斷定，本題應(yīng)選（D）。例9 能否將n（n2）個(gè)正方形拼接成一個(gè)大正方形？分析 解決這個(gè)問(wèn)題顯然有較大的難度。（1）運(yùn)用特殊化思想，先考慮n2的情況，即有兩個(gè)正方形，這時(shí)又有兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)相等與不相等兩種情況。如圖3，設(shè)兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等，這時(shí)以他們的對(duì)角線(xiàn)為邊長(zhǎng)的正方形PQRS就是由這兩個(gè)正方形拼接而成的大正方形。圖4圖3 如圖4，設(shè)兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)不相等，即，其中，這時(shí)兩個(gè)正方形的面積分別是和，而以

29、為邊的正方形的面積是，因而正方形就是由這兩個(gè)小正方形拼接而成的大正方形。（2）再考慮n2的情況，這時(shí)給定的正方形S1，S2，S3,SN的個(gè)數(shù)超過(guò)2 ，可以運(yùn)用（1）的方法，先把S1，S2拼接成一個(gè)正方形S12,再把正方形S12與S3拼接成正方形S123 ，依此類(lèi)推。由（1）（2）可知，n（n2）個(gè)正方形能拼接成一個(gè)大正方形。2一般化所謂一般化，就是把所給的問(wèn)題作為特殊形式，將其轉(zhuǎn)化為一般形式去考察，通過(guò)對(duì)一般形式的研究尋求解決原問(wèn)題的方法，這就是一般化思想。具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)研究一個(gè)較小范疇的問(wèn)題遇到困難時(shí)，可以把這個(gè)范疇擴(kuò)大到包括這個(gè)小范疇的更大的范疇，從而得到一個(gè)新的帶有一般性的問(wèn)題，原問(wèn)題只是

30、它的一種特殊情況。如果新問(wèn)題得到解決，原問(wèn)題自然就迎刃而解了，這就是一般化。一般化也是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上許多數(shù)學(xué)理論都經(jīng)歷了從特殊到一般的發(fā)展過(guò)程，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及問(wèn)題解決中一般化也有著獨(dú)特的作用。實(shí)際上，許多問(wèn)題從一般化入手更容易解決。這是因?yàn)?，?shù)學(xué)中不少問(wèn)題已經(jīng)有了固定的解決方法和既定的程序，當(dāng)待解問(wèn)題能夠用一般化方法歸結(jié)為這種問(wèn)題時(shí)，這個(gè)問(wèn)題就得到了解決；另外，孤立地考察原問(wèn)題，往往由于局部的限制難以發(fā)現(xiàn)解決的途徑，而把問(wèn)題做一般化處理后，就便于從普遍的聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)規(guī)律和解題思路，從而使原問(wèn)題得到解決。例10 計(jì)算：.分析 這是復(fù)雜的計(jì)算題，為了化簡(jiǎn)其通項(xiàng)，先作一般化處理。由

31、，得到 ，于是 . 例11 不進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算，比較與的大小。分析 題目要求不進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算，比較這兩個(gè)數(shù)大小的關(guān)鍵是找到有效的解題思路。運(yùn)用一般化思想，對(duì)題目中的兩個(gè)具體數(shù)作一般化處理。注意到 ， ，因而只需比較與的大小，其中x0，y0，且xy.為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，不妨設(shè)，其中a0，b0,且ab.這樣，就只需比較與的大小即可。由于 0，因而有 ，即有 ，從而有 ， .例10與例11都運(yùn)用了一般化思想，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般形式去考察。通過(guò)對(duì)一般形式的研究，使原問(wèn)題得到了解決，在例10中還發(fā)現(xiàn)了這一新的結(jié)論。由此看出，在運(yùn)用一般化思想的過(guò)程中，常常可以獲得新的知識(shí)。建議大家用特殊化或一般化思想解決下面的問(wèn)題，并

32、分析特殊化或一般化思想在問(wèn)題解決中的作用。（1）如圖，在梯形ABCD中，BCAD，EFAD，：，求證：（取自原人教版三年制初中幾何第二冊(cè)）。（2）證明：正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到各邊的距離之和為定值，并把上述結(jié)論進(jìn)行推廣。 （第1題）（第2題）（四）數(shù)形結(jié)合思想數(shù)學(xué)以現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系（簡(jiǎn)稱(chēng)“數(shù)”）與空間形式（簡(jiǎn)稱(chēng)“形”）作為其研究對(duì)象，而任何事物都有“數(shù)”與“形”兩個(gè)側(cè)面，它們互相聯(lián)系，可以互相轉(zhuǎn)化。把問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系與空間形式結(jié)合起來(lái)考察，或者把數(shù)量關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)進(jìn)行研究，或者把圖形性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系去研究，這種思維策略就是數(shù)形結(jié)合。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出：“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形缺數(shù)時(shí)難

33、入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分割萬(wàn)事休?！睌?shù)形結(jié)合不僅是數(shù)學(xué)研究中一種重要的思維策略，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種基本思想。綜觀數(shù)學(xué)的發(fā)展史，數(shù)與形的結(jié)合不僅使幾何問(wèn)題獲得了有力的代數(shù)工具，同時(shí)也使許多代數(shù)問(wèn)題具有了鮮明的直觀性，從而開(kāi)拓出新的研究方向。例如，著名數(shù)學(xué)家笛卡爾通過(guò)數(shù)形結(jié)合使幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，把長(zhǎng)期分道揚(yáng)鑣的代數(shù)與幾何結(jié)合起來(lái)，開(kāi)辟了數(shù)學(xué)發(fā)展的新紀(jì)元。不僅由此創(chuàng)立的解析幾何成為數(shù)學(xué)發(fā)展史上不朽的里程碑，他的研究也是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法的光輝范例。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，人們常常把一個(gè)函數(shù)看作一個(gè)“點(diǎn)”，把一類(lèi)函數(shù)的全體看作一個(gè)“空間”，由此引出了無(wú)窮維函數(shù)空間的概念。這樣，求一個(gè)微分方程組解

34、的問(wèn)題，就轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)空間中一個(gè)幾何變換的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，從而使得抽象的分析問(wèn)題獲得了直觀的幾何意義。在初等數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用十分廣泛。在具體應(yīng)用時(shí)，數(shù)形結(jié)合又有三種基本形式，這就是以形輔數(shù)、以數(shù)輔形和坐標(biāo)法。例12 如果方程 的一個(gè)根小于3，另一個(gè)大于3 ，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。分析 如果僅從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行考察，不僅需要解不等式組 其中x1與x2是方程的兩個(gè)根，而且要結(jié)合 進(jìn)行研究，才能確定出實(shí)數(shù)m的范圍，這種方法顯然比較繁瑣。解 設(shè)，由已知條件可以畫(huà)出函數(shù)圖像的草圖（如圖5所示）。 圖5由于方程的兩個(gè)根一個(gè)小于3，另一個(gè)大于3 ，故有，即得 ， 從而m14， m的取值范圍是m14

35、.例13求的最小值。分析這是較復(fù)雜的無(wú)理函數(shù)的極值問(wèn)題。若記、，則由的兩邊之和不小于第三邊（、三點(diǎn)可以共線(xiàn)），得其中，等號(hào)在、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)成立， 的最小值是.在例12與例13中，運(yùn)用了“以形輔數(shù)”的數(shù)形結(jié)合思想。例14如圖6，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，將ABE沿AE翻折，當(dāng)點(diǎn)B落在AC上點(diǎn)F處時(shí)，求折痕AE的長(zhǎng)（精確到0.01）。 圖6分析這個(gè)問(wèn)題中給出了許多圖形性質(zhì)方面的條件，但僅僅從圖形的方面考察，很難找出其中的聯(lián)系。如果運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，則可以設(shè)BEx，通過(guò)尋求問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系而得到關(guān)于x的方程，從而解決問(wèn)題。解 設(shè)BEx，則由ABEAFE可知 ，.在正方形ABCD

36、中，因?yàn)锳C是一條對(duì)角線(xiàn)， , 從而 .于是有 ， .由 BECE1，得 ，解這個(gè)方程，得 0.414，即0.414 在RtABE中， ， AE1.08 .在例14中，運(yùn)用了“以數(shù)輔形”的數(shù)形結(jié)合思想。例15 如圖7，OAB是一塊三角形形狀的木版，AOB90o，OA6，OB4，在邊AB上求一點(diǎn)P，作PCOB，PDOA，垂足分別是C，D，使得矩形OCPD的面積為最大，并求面積的最大值。AP（x，y）BCODXY圖7分析 對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，單純由圖形的性質(zhì)進(jìn)行考察，或者單純由問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行考察，都很難確定點(diǎn)P的位置。如果采用坐標(biāo)法，設(shè)P（x，y），則確定點(diǎn)P的位置問(wèn)題，就轉(zhuǎn)化為求x與y的值的計(jì)算問(wèn)

37、題了。解 建立如圖7所示的坐標(biāo)系，則A（6，0），B（0，4）。由于直線(xiàn)AB過(guò)點(diǎn)B，因而可設(shè)其函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)A的坐標(biāo)（6，0）代入，得到 ， 所以，直線(xiàn)AB的函數(shù)表達(dá)式為.設(shè)點(diǎn)P（x，y），則矩形OCPD的面積為 , 當(dāng)時(shí)，S取得最大值6.此時(shí)， AP, 當(dāng)AP時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，矩形OCPD的面積為最大，最大值為62.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中十分重要的思想方法，其基本點(diǎn)在于把問(wèn)題涉及的數(shù)（數(shù)量關(guān)系）與形（空間形式）結(jié)合起來(lái)考察。根據(jù)不同問(wèn)題的不同特點(diǎn)，或者采用以數(shù)輔形，把圖形性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問(wèn)題來(lái)研究，或者采用以形輔數(shù)，把數(shù)量關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)問(wèn)題來(lái)處理，或者運(yùn)用坐標(biāo)法，把圖形

38、的性質(zhì)與數(shù)量關(guān)系作綜合考察，從而把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，把抽象問(wèn)題具體化，達(dá)到化難為易的目的。（五）分類(lèi)思想當(dāng)面臨的數(shù)學(xué)問(wèn)題不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行解決時(shí)，可以把已知條件涉及的范圍分解為若干子集，在各個(gè)子集內(nèi)分別研究問(wèn)題局部的解，然后通過(guò)組合各局部的解而得到原問(wèn)題的解答，這就是分類(lèi)思想。在初等數(shù)學(xué)中，研究解方程問(wèn)題、不等式問(wèn)題、函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題等，分類(lèi)思想是一種行之有效的思想方法。運(yùn)用分類(lèi)討論解決問(wèn)題時(shí)，把已知條件涉及的集合進(jìn)行科學(xué)的劃分是十分必要的，必須遵循劃分的規(guī)則，防止劃分中的重復(fù)與遺漏。例16 解方程 .解 在原方程中顯然有，于是原方程化為 下面進(jìn)行分類(lèi)討論： （1）當(dāng)時(shí)方程無(wú)解； （2）當(dāng)時(shí)，由

39、于應(yīng)有，故舍去； （3）當(dāng)或時(shí)，此為原方程的解。 原方程僅在 或 時(shí)有解 .一般來(lái)說(shuō)，研究含有絕對(duì)值的方程都要運(yùn)用分類(lèi)思想。例17 求函數(shù) 的圖像與x軸的交點(diǎn)。分析 由于已知函數(shù)可能是一次函數(shù)，也可能是二次函數(shù)，所以必須運(yùn)用分類(lèi)思想。解 （1）當(dāng) 0時(shí)，即時(shí)，已知函數(shù)為，這是一次函數(shù)，它的圖像是一條直線(xiàn)，與x軸的交點(diǎn)為（1，0）；（2）當(dāng) 0 ，即時(shí)，已知函數(shù)為二次函數(shù)，其圖像是拋物線(xiàn)，其判別式為 ，當(dāng) 時(shí)，這時(shí)函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)y應(yīng)滿(mǎn)足 ， 即，解得 ，這時(shí)函數(shù)圖圖像與x軸的交點(diǎn)為（1，0）；當(dāng)時(shí)，0，由方程 得到 ， 從而有 ， ，這時(shí)函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)為（1，0）與（，0）.

40、當(dāng) 時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有唯一的交點(diǎn)（1，0）； 當(dāng) 且 時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有（1，0）和（，0）兩個(gè)不同的交點(diǎn)。在例2中，首先按照 的值是否為0進(jìn)行分類(lèi)討論，在（2）中又針對(duì) 和 兩種情況進(jìn)一步進(jìn)行分類(lèi)討論，兩次運(yùn)用了分類(lèi)思想。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于含有參數(shù)的方程的討論，常常要運(yùn)用分類(lèi)思想。例18 O的半徑為5，AB，CD是O的兩條弦，AB6，CD8，求AB與CD的距離。圖8（1）圖8（2）分析 如圖8，符合題意的圖形有（1）（2）兩種，在這兩種情況下問(wèn)題的解法與答案是不同的，因而必須運(yùn)用分類(lèi)思想。解 （1）如圖8（1）所示，當(dāng)弦AB，CD位于圓心O的同側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作AB的垂線(xiàn)交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)

41、F，連接OB，OD .由ABCD 和 OEAB可知， OFCD .在RtOBE中，, , ；在RtODF中，, , ； .（2）如圖8（2）所示，當(dāng)弦AB，CD位于圓心O的兩側(cè)時(shí)，同理可以求得 , ,從而 .由（1）（2）可知，AB與CD的距離為1 或7。應(yīng)當(dāng)指出，分類(lèi)作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要的應(yīng)用價(jià)值，因而應(yīng)當(dāng)樹(shù)立分類(lèi)的意識(shí)，把握分類(lèi)的規(guī)則，靈活運(yùn)用分類(lèi)的方法。但是，運(yùn)用分類(lèi)思想有時(shí)會(huì)導(dǎo)致解題過(guò)程的繁瑣化。為了克服分類(lèi)的這種局限性，對(duì)于蘊(yùn)涵著分類(lèi)因素的數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)首先作一番深入的考察，根據(jù)題目條件的特征靈活選用一定的解題策略，盡量簡(jiǎn)化或避開(kāi)分類(lèi)討論。請(qǐng)大家研究

42、下面的問(wèn)題：（1） 解不等式：1.（2） 在ABC中，AB27，AC24，BC18，M為BC上的一點(diǎn)，MB6. 過(guò)點(diǎn)M作一條直線(xiàn)與邊AB或AC相交，使得到的小三角形與ABC相似，求它們的相似比。（3） 在一張長(zhǎng)為17、寬為16上，的長(zhǎng)方形紙片上，剪下一個(gè)腰長(zhǎng)為10的等腰三角形。已知等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與長(zhǎng)方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在長(zhǎng)方形的兩個(gè)邊上，求剪下的等腰三角形的面積。你會(huì)剪下這個(gè)三角形嗎？怎樣確定這個(gè)三角形 的頂點(diǎn)？（六）方程與函數(shù)思想數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。在初中數(shù)學(xué)中，最重要的數(shù)量關(guān)系是等量關(guān)系，刻畫(huà)等量關(guān)系的最重要的工具是“方程”。函數(shù)也是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)

43、世界中量與量之間數(shù)量關(guān)系的重要工具，在初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)中具有極其重要的地位。運(yùn)用方程與函數(shù)的觀點(diǎn)、方法、知識(shí)去思考問(wèn)題，把待解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題或函數(shù)問(wèn)題，就是方程思想與函數(shù)思想，簡(jiǎn)稱(chēng)方程函數(shù)思想。許多數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題都可以運(yùn)用方程函數(shù)思想來(lái)解決。例19 如圖9，圖是一個(gè)三角形，順次連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，得到圖，再順次連接圖的小三角形三邊的中點(diǎn)，得到圖，依照這種方法繼續(xù)做下去。第8個(gè)圖形中有多少個(gè)三角形？圖9解 以各個(gè)圖形的序號(hào)為自變量x，以各個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)為因變量y，列表：x 1 2 3 y 1 5 9 在直角坐標(biāo)系中分別描點(diǎn)（1，1），（2，5），（3，9），并將這些點(diǎn)平滑地

44、連接起來(lái)（圖略），發(fā)現(xiàn)這是一條直線(xiàn)。設(shè)這條直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)（1，1），（2，5）的坐標(biāo)分別帶入，得到 ，. 于是得 ，將點(diǎn)（3，9）的坐標(biāo)帶入，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)（3，9）的坐標(biāo)適合函數(shù)關(guān)系式.所以，這條直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為.將帶入，得到 ，所以第6個(gè)圖形中有29個(gè)三角形。在例19的解法中，運(yùn)用了函數(shù)思想。我們首先引入了函數(shù)，然后運(yùn)用一次函數(shù)的知識(shí)解決了問(wèn)題。 例20 如圖10，在矩形ABCD中，AB6，BC3，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AB邊以1/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿著B(niǎo)C邊以2/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)。移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)。（1）P，B，Q三點(diǎn)能構(gòu)成等腰三角形嗎？（

45、2）幾秒鐘后P，Q兩點(diǎn)間的距離為？圖10解 （1）假設(shè)經(jīng)過(guò)t秒鐘后P，B，Q三點(diǎn)能構(gòu)成等腰三角形，由于B90°，因而PBBQ .由，得到 ， 解得 .這時(shí)，4，與已知BC3矛盾， P，B，Q三點(diǎn)不能構(gòu)成等腰三角形。（2）假設(shè)經(jīng)過(guò)t秒鐘后P，Q兩點(diǎn)的距離為，則 ，由勾股定理，得到 ,即有 ，解得 ， （不合題意，舍去）。 經(jīng)過(guò)0.4秒后，P，Q兩點(diǎn)的距離為。在例10的解法中，運(yùn)用了方程思想。我們首先引入了變量t,然后在（1）（2）兩個(gè)問(wèn)題中，分別列出了方程 和 ，通過(guò)解方程得到了問(wèn)題的答案。建議大家研究下列問(wèn)題：（1）有些國(guó)家用攝氏溫度表示氣溫，有些國(guó)家用華氏溫度表示氣溫。已知攝氏溫度

46、與華氏溫度之間存在著如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：x/ -10 0 10 20 30 y/oF 14 32 50 68 86 已知某天甲地的最高氣溫是8，乙地的最高氣溫是910F，這一天乙地的最高氣溫比甲地的最高氣溫高多少攝氏度（結(jié)果保留整數(shù)）？（2）某工程隊(duì)要招聘甲、乙兩工種的工人共150人，其中乙工種的人數(shù)不少于甲工種人數(shù)的2倍。如果甲、乙兩工種工人的月工資分別為600元和1000元，那么甲、乙兩工種各招收多少人時(shí)，可以使每月所付的工資總額最少？（3）在ABC中，B30°，C45°，ABAC，求邊BC的長(zhǎng)。三、數(shù)學(xué)中的邏輯方法（一）數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本方法抽象法1數(shù)學(xué)抽象的特點(diǎn)人類(lèi)是通過(guò)抽

47、象獲得對(duì)自然界的認(rèn)識(shí)的。列寧指出：“認(rèn)識(shí)是人對(duì)自然界的反映。但是，這并不是簡(jiǎn)單的、直接的、完全的反映，而是一系列的反映過(guò)程，即概念、規(guī)律的構(gòu)成與形成過(guò)程。”作為一門(mén)科學(xué)，數(shù)學(xué)是對(duì)客觀世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行抽象的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)中的一切理論都是抽象的結(jié)果。抽象、逐級(jí)抽象、高度抽象是數(shù)學(xué)的基本特征。因此，抽象是數(shù)學(xué)活動(dòng)最基本的方法。“抽象”一詞，源自拉丁文，原意是排除、抽出。所謂抽象，一般指科學(xué)的抽象，是指透過(guò)事物的現(xiàn)象，深入事物的里層，把事物的本質(zhì)抽取出來(lái)。與一般的科學(xué)抽象相比，數(shù)學(xué)中的抽象方法有著自身的特點(diǎn)：（1）內(nèi)容的特殊性數(shù)學(xué)抽象僅抽取事物的量的關(guān)系和空間形式而舍棄其他。任何客觀事物都具有

48、質(zhì)和量?jī)蓚€(gè)方面，質(zhì)是一種事物區(qū)別于其他事物的內(nèi)部規(guī)定性，量是指事物的規(guī)模、存在方式及發(fā)展速度等。質(zhì)的問(wèn)題構(gòu)成了各門(mén)科學(xué)特定的研究對(duì)象，例如物理性質(zhì)是物理學(xué)研究的對(duì)象，化學(xué)性質(zhì)是化學(xué)已經(jīng)研究的對(duì)象。量的問(wèn)題構(gòu)成了數(shù)學(xué)的研究對(duì)象。從歷史的角度看，“數(shù)”和“形”曾經(jīng)是“量”的最基本的內(nèi)容。正因?yàn)槿绱耍鞲袼怪赋觯骸凹償?shù)學(xué)的研究對(duì)象是客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式?！庇纱丝梢?jiàn)，數(shù)學(xué)抽象完全舍棄了事物的質(zhì)的內(nèi)容，僅僅保留數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的內(nèi)容，因而量化和形式化是數(shù)學(xué)抽象的重要特征。（2）方法的特殊性數(shù)學(xué)抽象是一種構(gòu)造性活動(dòng)。數(shù)學(xué)抽象不僅是借助于定義、推理等邏輯方法進(jìn)行的，而且要把事物的本質(zhì)屬性用數(shù)學(xué)

49、概念和原理固定下來(lái)。因此，數(shù)學(xué)抽象是一種建構(gòu)活動(dòng)，不僅各種數(shù)學(xué)對(duì)象、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)方法都是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果，而且運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程都是運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象構(gòu)建和研究數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。例如，“有5個(gè)人，每人有3本書(shū)，共有15本書(shū)”；“某人每小時(shí)行3公里，5小時(shí)共行15公里”是兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題，舍棄人、書(shū)、路程等具體內(nèi)容，抽象出數(shù)量關(guān)系這個(gè)本質(zhì)特征，就得到3×515，這就是數(shù)學(xué)抽象。又如，從宇宙中的星星、空中的一粒塵埃、大海中的一滴水等許多具體事物中，舍棄質(zhì)的特點(diǎn)，抽取出“只有位置、大小可以忽略不計(jì)”的幾何中“點(diǎn)”的概念，也是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果?？梢?jiàn)，用定義和推理的方法進(jìn)行、

50、并把事物的量的方面的本質(zhì)屬性用數(shù)學(xué)概念、原理、符號(hào)等固定下來(lái)，是數(shù)學(xué)抽象的重要特征。2數(shù)學(xué)抽象的步驟（1）分離。暫時(shí)不考慮所研究的對(duì)象與其他事物的聯(lián)系，把研究對(duì)象作單獨(dú)考察；（2）提純。排除研究對(duì)象外部的、現(xiàn)象的、偶然的因素，通過(guò)對(duì)研究對(duì)象的各種屬性的分析，發(fā)現(xiàn)和抽取內(nèi)在的、本質(zhì)的、必然的屬性；（3）概括。對(duì)已經(jīng)抽取的事物的屬性作簡(jiǎn)化和形式化處理，使得其表達(dá)方式更為明確和簡(jiǎn)潔，更能反映事物的本質(zhì)。3數(shù)學(xué)抽象的主要方式（1）理想化抽象。所謂理想化抽象，是指在純粹理想的狀態(tài)下，對(duì)事物作簡(jiǎn)單化和完善化處理的數(shù)學(xué)抽象。這種抽象，撇開(kāi)事物質(zhì)的方面的具體內(nèi)容，排除次要的、偶然的因素，聚合事物一般的、共同的

51、、本質(zhì)的屬性，在理想狀態(tài)下抽取事物的本質(zhì)屬性。例如，幾何中的點(diǎn)、線(xiàn)、面的概念都是理想化抽象的結(jié)果。在現(xiàn)實(shí)世界中，根本找不到?jīng)]有長(zhǎng)、寬、高的“點(diǎn)”，也找不到?jīng)]有寬度和厚度的“線(xiàn)”，同樣找不到?jīng)]有厚度的“面”。但是，幾何中的點(diǎn)、線(xiàn)、面卻具有現(xiàn)實(shí)中各種點(diǎn)、線(xiàn)、面的共同屬性，因而是對(duì)客觀事物更深刻、更準(zhǔn)確、更全面的反映。例21 六人集會(huì)問(wèn)題。證明：在任何6人的集會(huì)上，至少有3人彼此相識(shí)或不相識(shí)。分析 因?yàn)轭}目中的6個(gè)人既無(wú)國(guó)籍、膚色等限定，也無(wú)身高、年齡、性別等區(qū)分，因而可以用理想化方法把他們抽象為6個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)；把彼此相識(shí)或不相識(shí)的關(guān)系抽象為連接這兩個(gè)點(diǎn)的線(xiàn)段，用實(shí)線(xiàn)表示相識(shí)，用

52、虛線(xiàn)表示不相識(shí)。這樣，問(wèn)題就化為“證明：在以點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形中，必存在一個(gè)實(shí)線(xiàn)三角形或虛線(xiàn)三角形?！边@就是用理想化方法為本題構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型。如圖11所示，在五條線(xiàn)段AB，AC，AD，AE，AF中，由抽屜原理，顯然至少有3條同為實(shí)線(xiàn)段或同為虛線(xiàn)段，不妨設(shè)AB，AC，AD同為實(shí)線(xiàn)段。下面考察BCD ，如果線(xiàn)段BC，CD，DB都是虛線(xiàn)段，則BCD為虛線(xiàn)三角形，這時(shí)要證明的結(jié)論成立。如果線(xiàn)段BC，CD，DB中至少有一條為實(shí)線(xiàn)段，不妨設(shè)BC為實(shí)線(xiàn)段，這時(shí) ABC為實(shí)線(xiàn)三角形，于是要證明的結(jié)論成立。圖11例22 桌面上有n只杯子（n為奇數(shù)），全部倒放著。每次翻動(dòng)n1只杯子，經(jīng)過(guò)有限次

53、翻動(dòng)后，能否使所有的杯子全部口朝上？分析 這是生活中的問(wèn)題，可以通過(guò)理想化抽象，構(gòu)建該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。把一只杯子杯口朝下記做1，杯口朝上記做1。則問(wèn)題的初始狀態(tài)為 。每次翻動(dòng)n1只杯子，即乘以，翻動(dòng)m次即乘以m. n只杯子全部杯口朝上，這個(gè)狀態(tài)為.于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：若n為奇數(shù)，等式 ·m是否成立？因?yàn)樽筮叺闹禐? ，右邊的值為1 ，等式不可能成立。這說(shuō)明，經(jīng)過(guò)有限次翻動(dòng)，不能使所有杯子全部口朝上。（2）可能性抽象。所謂可能性抽象，是指在研究問(wèn)題的過(guò)程中，擬抽象出來(lái)的概念無(wú)法確定其是否存在。這時(shí)，先假定其存在，由此建立起一定的數(shù)學(xué)理論，然后在實(shí)踐中檢驗(yàn)這種理論的合理性，從而確立或否定這

54、個(gè)數(shù)學(xué)概念。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)擬抽象的數(shù)學(xué)概念雖然遠(yuǎn)遠(yuǎn)脫離了現(xiàn)實(shí)事物，但理論上有著存在的可能性時(shí)，往往先假定它的存在，產(chǎn)生某種概念，這種方法叫做可能性抽象或存在性抽象。例如，無(wú)理數(shù)、負(fù)數(shù)、虛數(shù)、自然數(shù)集無(wú)限伸展等，這些概念都是用可能性抽象的方法建立起來(lái)的。在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中，也常常用到可能性抽象。例23 證明：1分析 用可能性抽象方法。從理論上看，實(shí)數(shù) 與是必然存在的，故設(shè) ，然后，運(yùn)用數(shù)學(xué)推理求x的值。兩邊立方得 ，整理得 ， 即有 ，由于 0， 所以 ，從而有 1. （3）弱抽象與強(qiáng)抽象。由特殊到一般，再由一般到特殊，這是人們認(rèn)識(shí)事物的基本規(guī)律。這個(gè)規(guī)律應(yīng)用在數(shù)學(xué)中，就是弱抽象與強(qiáng)抽象。所謂弱抽象，就是舍棄研究對(duì)象的一些特征或?qū)傩裕Ａ裟骋惶卣骰驅(qū)傩裕纬筛鼮槠毡?、更為一般的事物的抽象方法。?duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行弱抽象，其內(nèi)涵逐漸減少，外延逐漸增大，就得到更具普遍性的新概念；對(duì)數(shù)學(xué)原理進(jìn)行弱抽象，逐漸減少對(duì)條件的限制，就得到范圍更普遍、更一般的新的原理。例如，對(duì)“矩形”概念進(jìn)行弱抽象：舍棄“內(nèi)角是直角”的屬性，僅