實驗一 方波分解為多次正弦波之和的設(shè)計

1、實驗一 方波分解為多次正弦波之和的設(shè)計一、實驗?zāi)康?、了解信號分解與正交函數(shù)集；2、了解三角函數(shù)的正交性；3、了解基波與諧波的概念與關(guān)系；二、實驗原理1、信號分解與正交函數(shù)集信號通常以時間函數(shù)表示，所以信號的分量及其分解指的就是函數(shù)的分量及其分解。可利用與矢量分解相類比的方法來來研究如何將一信號分解為其分量。與矢量用另一矢量上的分量表示原矢量類似。在一定的時間區(qū)間內(nèi)，若用函數(shù)中的來近似的表示原函數(shù)，將存在一誤差函數(shù)，且有： （1）在矢量近似中最佳系數(shù)選擇的依據(jù)，是使得誤差矢量的長度的平方最小；而的選擇，則是要求使誤差函數(shù)的方均值最小。誤差函數(shù)的方均值為： （2）此值最小時有： （3）系數(shù)是在最

2、小方均誤差的意義上代表二函數(shù)、的相關(guān)聯(lián)的程度的度量。當時，由式（3）可知，此時有： （4）如果滿足這一條件，則稱與在區(qū)間內(nèi)正交。此時與就構(gòu)成一個正交函數(shù)集。與兩函數(shù)正交時，在中的分量為零。一個函數(shù)可以在另一個函數(shù)中具有分量，則和矢量的情況類似，可以將一代表信號的函數(shù)表示為該函數(shù)在一正交函數(shù)集中的分量的加權(quán)和。在區(qū)間內(nèi)互相正交的n個函數(shù)組成一個n維的正交信號空間。此函數(shù)集中的函數(shù)之間，在區(qū)間內(nèi)具有如下關(guān)系： （5） （6）其中為一常數(shù)。若，則上述函數(shù)集就稱為是歸一化正交的。任意一個代表信號的的函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)，可以用組成信號空間的n個正交函數(shù)的線性組合來近似的表示為： （7）若要使近似值的方均誤差

3、最小，則在函數(shù)中的分量系數(shù)為： （8）若用一正交函數(shù)集中的分量和各次諧波分量之和，那么該矢量集必須是一完備的正交矢量集。與此相似，用一正交函數(shù)集中的分量去代表任意一個函數(shù)，該函數(shù)集也必須是一完備的正交函數(shù)集。完備的正交函數(shù)集往往都是由無窮多的函數(shù)組成。任意一信號表示為正交函數(shù)集中的分量之和時，所取分量函數(shù)的項數(shù)越多精確度越高，即方均誤差最小。當所取項數(shù)無限增大時，方均誤差趨于零，這是的正交函數(shù)集也成為完備的。對于一個在區(qū)間內(nèi)的完備正交函數(shù)集中的所有函數(shù)，不可能找到另外一個異于零的函數(shù)能在同一區(qū)間內(nèi)和它們相正交。反之，若存在正交函數(shù)集以外的函數(shù)，與正交函數(shù)集中的所有函數(shù)正交，則該正交函數(shù)集必不是

4、完備的。信號在正交函數(shù)集中的分解是多樣。在矢量分解中，坐標軸經(jīng)過變換，可以有不同的選取方法；同樣，表示信號的正交函數(shù)集也可以經(jīng)過變換而有不同選取方法。如同坐標變換不影響矢量本身一樣，正交函數(shù)集的變換也不影響所表示的函數(shù)本身。故可以用一個正交函數(shù)集變換到另一個正交函數(shù)集去表示一個函數(shù)。在各種正交函數(shù)集中，傅里葉級數(shù)是既方便又很有用的。除傅里葉級數(shù)外，其他如沃爾什函數(shù)、勒讓德函數(shù)、切比雪夫函數(shù)等。2、三角函數(shù)的正交性正弦函數(shù)與余弦函數(shù)滿足如下關(guān)系: （9） （10） （11）這表示上述各余弦函數(shù)與正弦函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)，均相互正交。即1、···、··&

5、#183;、···、···（其中為上述三角函數(shù)的公共周期）構(gòu)成一組完備的正交函數(shù)集。故任意一個周期信號都可以展開成為正弦函數(shù)及余弦函數(shù)的無窮級數(shù)。3、連續(xù)時間周期信號分解為三角函數(shù)之和由前一部分可知，對于任意一個周期為的周期信號，都可以求出它在上述三角函數(shù)集中各函數(shù)中的分量，從而可將在區(qū)間內(nèi)表示為上述三角函數(shù)集中各函數(shù)的加權(quán)和。即： （12）其中實際就是在區(qū)間內(nèi)的平均值，意即直流分量。設(shè)定其為是為了使得后面出計算的公式與其他下標不等于零的一致。由公式（8）、（9）、（10）、（11）可知，各正弦函數(shù)余弦函數(shù)的分量系數(shù)為： （13） （

6、14）但是，要將周期信號分解為諧波分量，代表該周期信號的函數(shù)應(yīng)當滿足狄利克雷條件。即：1）在一周期內(nèi)，函數(shù)式絕對可積的，即應(yīng)為有限值；2）在一周期內(nèi)，函數(shù)的極值數(shù)目有限；3）在一周期內(nèi),函數(shù)或者為連續(xù)的，或者具有有限個這樣的間斷點，即當t從較大的時間值和較小的時間值分別趨向于間斷點時，函數(shù)具有兩個不同的有限的極限值。實際工程中的周期信號，大多都滿足狄利克雷條件。周期性方波也滿足上述條件，即方波可以展開為三角函數(shù)的加權(quán)和。4、方波分解為多次正弦波之和的原理由前一部分可知。代表周期性方波信號的函數(shù)滿足狄利克雷條件，即方波可以表示為多次正弦波之和。如圖1所示方波信號，其周期為2且正半周期負半周期是形

7、狀全同的矩形，在區(qū)間（0，2）內(nèi)可用函數(shù)表示為： 圖1 周期為2的方波信號若將展開為三角傅里葉級數(shù)，即將分解為多次正弦波之和，則有式（13）、式（14）可知，在區(qū)間（0，2）內(nèi)，如圖1 所示的周期為2的方波信號的，的值分別為： =則在區(qū)間（0，2）內(nèi)可表示為： （15）即周期為2s的方波信號中含有大量的正弦波，其頻率分別為1/2，3/2，5/2，7/2···其中頻率為1/2的正弦波稱為基波，其他頻率的正弦波稱為諧波。即一周期性方波，可表示為基波與無窮多諧波之和。實用中進行信號分析時，不可能取無窮多次諧波之和，而只能用有限項來近似表示。這樣就無法避免有一誤差，如果將

8、基波加到次諧波之和后的函數(shù)表示為，則有=+，即=-。5、正弦波合成并與原始方波進行比較模型的建立由原理部分可知，方波中含有無窮多次的正弦波，即方波可以分解為無窮多次正弦波之和。反過來可用無限多次正弦波相加可以合成方波，從而完成設(shè)計。但是在實際中不可能取無窮中多次的正弦波，取有限次正弦波合成，相較于原始方波信號，必然存在一定的誤差。若用誤差函數(shù)表示誤差。若方波信號函數(shù)表示為，多次正弦波合成后函數(shù)表示為，則誤差函數(shù)=-。然后利用相關(guān)繪圖函數(shù)畫出、即可。故設(shè)計建立的模型可表示如下：圖2 正弦波合成程序設(shè)計模型圖示描述其中產(chǎn)生方波可以調(diào)用square函數(shù)。對于多次正弦波的合成可以使用一循環(huán)語句，通過使

9、用input輸入循環(huán)的最大值N，來控制合成的諧波的數(shù)量。然后通過subplot函數(shù)建立三個子窗口，運用plot函數(shù)在三個子窗口中分別畫出原始方波、合成波以及誤差函數(shù)的波形圖即可。同時，利用subplot函數(shù)建立三個子窗口，將原始方波，合成波及誤差函數(shù)畫在同一窗口下，可以更加直觀的比較合成波與原始方波及觀察誤差函數(shù)。三、實驗內(nèi)容1、 正弦波合成并與原始方波比較的源程序代碼正弦波合成并與原始方波進行比較的源程序代碼如下：%多次正弦波合成并與原始方波比較的設(shè)計t=0:0.000111:6;n=1;fn=0;y=square(pi*t,50);%周期為2s的方波N=input('N='

10、);%輸入N值for num=1:N fn=fn+4/(n*pi)*sin(n*t*pi);%加到n次諧波正弦波之和 n=n+2;endfm=y-fn;%誤差函數(shù)subplot(3,1,1)%在第一個子窗口中畫出原始方波圖像plot(t,y,'k'),grid onaxis(0 6 -2 2)xlabel('時間s');ylabel('振幅');title('方波')subplot(3,1,2)%在第二個子窗口中畫出加到n次諧波的正弦波合成圖像plot(t,fn,'k'),grid onxlabel('時間

11、s ');ylabel('振幅');title('正弦波合成')subplot(3,1,3)%在第三個子窗口中畫出誤差函數(shù)圖像plot(t,fm,'k'),axis(0 6 -2 2)xlabel('時間s');ylabel('振幅');title('誤差函數(shù)')源程序中，通過輸入的N值控制for循環(huán)的次數(shù),從而控制合成的諧波次數(shù)n以及合成的諧波數(shù)量。通過改變輸入的N可以改變合成波的諧波的最高次數(shù)即相加的諧波次數(shù)，從而改變合成波的波形。通過比較加到不同次數(shù)的合成波的波形及其相應(yīng)的誤差函數(shù)波形

12、，可以知道正弦波合成隨級數(shù)增大的趨勢情況。2、 程序運行結(jié)果1）N=3時，原始方波，合成波及誤差函數(shù)圖像如下：圖3 原始方波，加到五次諧波的合成波及相應(yīng)誤差函數(shù)圖像2）N=10時，原始方波，合成波及誤差函數(shù)圖像如下：圖4 原始方波，加到19次諧波的合成波及相應(yīng)誤差函數(shù)圖像3）N=100時，原始方波，合成波及誤差函數(shù)圖像如下：圖5 原始方波，加到199次諧波的合成波及相應(yīng)誤差函數(shù)圖像由圖上可以看出，當輸入N=100時，合成波波形已經(jīng)非常接近方波波形。除在方波躍變點附近合成波的波形與原始方波波形之間有較大誤差之外，其他各處波形誤差為零。4）N=10000時，原始方波，合成波及誤差函數(shù)圖像如下：圖6

13、 原始方波，加到19999次諧波的合成波及相應(yīng)誤差函數(shù)圖像分析隨著N值得增大，正弦波合成方波的效果如何變化？分析問什么會出現(xiàn)這樣的顯現(xiàn)。3、正弦波合成趨勢圖源程序代碼1）正弦波合成趨勢圖二維圖源程序代碼如下：%諧波合成趨勢二維圖t=0:0.0111:6;y=zeros(1000,max(size(t);%建立全零矩陣x=zeros(size(t);n=1;N=input('N=');%輸入N值for k=1:N x=x+(4/(n*pi)*sin(n*pi*t); y(n, : )=x; n=n+2;endplot(t,y(1:101,: ),grid onaxis(0 6 -

14、2 2)xlabel('時間s');ylabel('振幅');title('正弦波合成趨勢二維圖')該程序中，首先通過zeros函數(shù)建立相關(guān)全零矩陣并賦給x、y。然后利用for循環(huán)語句求出加到不同次數(shù)諧波的合成波。最后利用所建立的矩陣及plot函數(shù)畫出合成波隨級數(shù)增加合成波改變的二維趨勢圖。通過輸入N值控制級數(shù)的項數(shù)。2）正弦波合成趨勢圖三維圖源程序代碼如下：%諧波合成趨勢三維圖t=0:0.0111:2;y=zeros(1000,max(size(t);x=zeros(size(t);for k=1:2:200 x=x+sin(k*pi*t)/k

15、; y(k+1)/2, : )=x;endhalft=ceil(length(t)/2);mesh(t(1:halft),1:1000,y(: ,1:halft)xlabel('時間s');ylabel('諧波次數(shù)');zlabel('振幅');title('諧波合成趨勢三維圖')基本原理與上述二維圖類似，通過建立全零矩陣，然后利用所建立的矩陣以及mesh函數(shù)畫出三維圖。為使圖形更加美觀，只畫出了合成波形的半個周期，即區(qū)間內(nèi)的合成波波形。該程序中也通過輸入N值控制級數(shù)的項數(shù)。并且在圖形中利用y軸表示級數(shù)項數(shù)的增加，這樣可以更直觀看到合成波隨級數(shù)項數(shù)的變化情況。4、 程序運行結(jié)果1）正弦波合成趨勢二維圖程序運行結(jié)果如下：圖7 正弦波合