數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí)——約定求和法

1、數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)約定求和法約定求和法 一、笛卡兒直角坐標(biāo)系一、笛卡兒直角坐標(biāo)系 二、約定求和法二、約定求和法三、克羅尼克爾符號(hào)三、克羅尼克爾符號(hào)四、置換符號(hào)（四、置換符號(hào)（Levi-Civita符號(hào)）符號(hào)）一、笛卡兒直角坐標(biāo)系一、笛卡兒直角坐標(biāo)系 由坐標(biāo)原點(diǎn)與三條不共面的標(biāo)架直線構(gòu)成的坐標(biāo)由坐標(biāo)原點(diǎn)與三條不共面的標(biāo)架直線構(gòu)成的坐標(biāo)系稱直線坐標(biāo)系，在直線坐標(biāo)系中，如果各標(biāo)架上單系稱直線坐標(biāo)系，在直線坐標(biāo)系中，如果各標(biāo)架上單位尺度取的不同，稱為仿射坐標(biāo)系；如果單位尺度相位尺度取的不同，稱為仿射坐標(biāo)系；如果單位尺度相同，則稱為笛卡兒坐標(biāo)系。如果標(biāo)架直線互相垂直，同，則稱為笛卡兒坐標(biāo)系。如果標(biāo)

2、架直線互相垂直，稱為笛卡兒直角坐標(biāo)系，否則稱為笛卡兒斜角坐標(biāo)系。稱為笛卡兒直角坐標(biāo)系，否則稱為笛卡兒斜角坐標(biāo)系。 通常以通常以 表示笛卡兒直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)，表示笛卡兒直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)，以以 分別表示三個(gè)坐標(biāo)的單位矢量。分別表示三個(gè)坐標(biāo)的單位矢量。 ix i1 2 3, ,123i i i, 二、約定求和法二、約定求和法 如果在同一項(xiàng)中，某個(gè)指標(biāo)重復(fù)出現(xiàn)兩次，如果在同一項(xiàng)中，某個(gè)指標(biāo)重復(fù)出現(xiàn)兩次，就表示要對(duì)這個(gè)指標(biāo)從就表示要對(duì)這個(gè)指標(biāo)從1到到3求和，例如在求和，例如在 中，中，指標(biāo)指標(biāo) 重復(fù)出現(xiàn)兩次，其含義是：重復(fù)出現(xiàn)兩次，其含義是： 稱為約定求和指標(biāo)，約定求和指標(biāo)在展開式中不稱為約定求和指標(biāo)，

3、約定求和指標(biāo)在展開式中不再出現(xiàn)，因此也稱為再出現(xiàn)，因此也稱為“啞指標(biāo)啞指標(biāo)”，顯然啞指標(biāo)的，顯然啞指標(biāo)的字母可以更換，因?yàn)樽帜缚梢愿鼡Q，因?yàn)?與與 的含義是相同的含義是相同的。的。iiBAi332211BABABABAiiiiBAjjBA332211xAxAxAxAiiijijBA22222121131312121111BABABABABABAijij3333323231312323BABABABAij例例1：例例2：寫出：寫出 的展開式的展開式在上式中在上式中 和和 都是啞指標(biāo)，展開式如下：都是啞指標(biāo)，展開式如下： 例3：寫出的 展開式在上式中 是啞指標(biāo)，不參加約定求和，稱為自由指標(biāo)，上式的

4、展開式如下：全部寫出來：ijjA Bjiijji11i22i33A B = A B + A B + A Bi, j=1,2,31jj111122133A B = A B + A B + A B2jj211222233A B = A B +A B +A B3jj311322333A B = A B + A B + A B三、克羅尼克爾符號(hào)三、克羅尼克爾符號(hào)1、定義：、定義： 例例1：在笛卡兒直角坐標(biāo)系中：在笛卡兒直角坐標(biāo)系中例例2：?jiǎn)挝痪仃嚳杀硎緸椋簡(jiǎn)挝痪仃嚳杀硎緸椋簀ijiij, 1,0jiijijjiii)(100010001333231232221131211ijI采用約定求和法和克羅尼克

5、爾符號(hào)將給我們以后采用約定求和法和克羅尼克爾符號(hào)將給我們以后的書寫和運(yùn)算帶來很大的方便的書寫和運(yùn)算帶來很大的方便。 2、幾個(gè)常用的性質(zhì)和運(yùn)算、幾個(gè)常用的性質(zhì)和運(yùn)算1)2)3)4)四、置換符號(hào)（四、置換符號(hào)（Levi-Civita符號(hào)）符號(hào)） 332211iiimimAAijmjimBBijmjimijk預(yù)備知識(shí)：反序數(shù)預(yù)備知識(shí)：反序數(shù) 在一個(gè)自然數(shù)的排列中，比較任何兩個(gè)數(shù)，如果在一個(gè)自然數(shù)的排列中，比較任何兩個(gè)數(shù)，如果大的排在小的左邊，就叫做存在一個(gè)反序，一個(gè)排列大的排在小的左邊，就叫做存在一個(gè)反序，一個(gè)排列中存在的反序的總數(shù)叫做該排列的反序數(shù)。中存在的反序的總數(shù)叫做該排列的反序數(shù)。如：自然數(shù)

6、按從小到大排列如：自然數(shù)按從小到大排列1，2，3，n n的反序數(shù)的反序數(shù)為零為零。例：求下列排列的反序數(shù)，從而決定它們的奇偶性：例：求下列排列的反序數(shù)，從而決定它們的奇偶性：（1）1347265； 121n n；（3）13521 2462nn；（2）注：反序數(shù)為偶數(shù)的稱偶排列，反序數(shù)為奇數(shù)注：反序數(shù)為偶數(shù)的稱偶排列，反序數(shù)為奇數(shù) 的稱奇排列。的稱奇排列。解：解：(1) (1347265)=0+1+1+3+0+1=6 偶(2) ( (1)21(1)(2)1(1)2n nnnn n(3) ()0 12(1)n 1、定義、定義：其中：其中：其余其余21個(gè)全部為零。個(gè)全部為零。2、幾個(gè)例子：（采用、幾

7、個(gè)例子：（采用Levi-Civita符號(hào)可使書寫和運(yùn)符號(hào)可使書寫和運(yùn)算簡(jiǎn)化）算簡(jiǎn)化）例例1：用置換符號(hào)表示三階行列式的值：用置換符號(hào)表示三階行列式的值0,112 31,12 3ijkijkijkijk當(dāng) 、 、 中有兩個(gè)相同者，當(dāng) 、 、 為， ， 的偶排列當(dāng) 、 、 為， ， 的奇排列, ,1,2,3i j k 1312231123121332113211121321222311 22 3312 23 3113 21 3213 22 3111 23 3212 21 33313233aaaaaaa a aa a aa a aa a aa a aa a aaaa例例2：用置換符號(hào)表示：用置換符號(hào)

8、表示 ，借用例借用例1的結(jié)果的結(jié)果: 123123ijkijkijkijka a aa a a, ,1,2,3i j k BA121231233iiABAAABBBi則：則：如：如：又如：又如：()iijkjkA BA B2332)(prprzpypprpryzkjijki321321321uuuxxxiiiuijkijkixu)()()kiijkjuux3. 和和 的關(guān)系的關(guān)系1）2）ijijkkjikjikjiijk333222111krkqkpjrjqjpiriqippqrijka)若若 ,則有：則有：b)若若 ， ,則有：則有：c)若若 ， , ,則有：則有：pi kqjrkrjqiq

9、rijkpqrijkpi qj krkrkrkjjrkrjjijrijk23pi qj rk 62kkijkijk例例1：求：求解：解：例例2：證明：證明:證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)樗运?(CBAkjiijkkjijkiiiCBACBACBACBA)()()(CBABCACBA)()()(iiiiimmninnmjjminjnimnmjkmnkijnmjkmnijknmkmnjijkkjijkiCBABCACBABCACBACBACBACBACBACBACBACBA)()()()()()()()()()AB CA C BA B C 例例3：求證：求證：證明：證明： （ 不動(dòng)，先對(duì)不動(dòng)，先對(duì) 取和）取和）:（若（若 不動(dòng)，先對(duì)不動(dòng)，先對(duì) 取和）則有：取和）則有：)()()(BACACBCBA()()iiiijkjkAB CAB CAB Cj, k i)()()()(ACBCABCABCABCABjjkijikjkiijkjkji,)()()()(BACBACBACBACCBACBACBAkkjikijkjiijkkkjijkiii例例4：求證：求證： ，式中，式中 ，且，且 常矢量常矢量 。證明：證明：2