反比例與相似

1、19（2014湖北荊門(mén),第17題3分）如圖，已知點(diǎn)A是雙曲線(xiàn)y=在第一象限的分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊ABC，點(diǎn)C在第四象限隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線(xiàn)y=（k0）上運(yùn)動(dòng)，則k的值是6 第2題圖考點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；等邊三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值專(zhuān)題：動(dòng)點(diǎn)型分析：連接OC，易證AOOC，OC=OA由AOC=90°想到構(gòu)造K型相似，過(guò)點(diǎn)A作AEy軸，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作CFy軸，垂足為F，可證AEOOFC從而得到OF=AE，F(xiàn)C=EO.設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，b）則ab=2，可得FC

2、OF=6設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），從而有FCOF=xy=6，即k=xy=6解答：解：雙曲線(xiàn)y=關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)OA=OB連接OC，如圖所示ABC是等邊三角形，OA=OB，OCABBAC=60°tanOAC=OC=OA過(guò)點(diǎn)A作AEy軸，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作CFy軸，垂足為F，AEOE，CFOF，OCOA，AEO=FOC，AOE=90°FOC=OCFAEOOFC=OC=OA，OF=AE，F(xiàn)C=EO設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，b），點(diǎn)A在第一象限，AE=a，OE=BOF=AE=a，F(xiàn)C=EO=B點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)y=上，ab=2FCOF=ba=3ab=6設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)

3、C在第四象限，F(xiàn)C=x，OF=yFCOF=x（y）=xy=6xy=6點(diǎn)C在雙曲線(xiàn)y=上，k=xy=6故答案為：6點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、點(diǎn)與坐標(biāo)之間的關(guān)系、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，有一定的難度由AOC=90°聯(lián)想到構(gòu)造K型相似是解答本題的關(guān)鍵22 （2014麗水，第16題4分）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在函數(shù)y=（x0）的圖象上，直線(xiàn)EF分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，且BE：BF=1：m過(guò)點(diǎn)E作EPy軸于P，已知OEP的面積為1，則k值是2，OEF的面積是（用含m的式子表示）考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題專(zhuān)題：綜合題分析：作ECx軸于C，F(xiàn)Dx軸于D

4、，F(xiàn)Hy軸于H，根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義由OEP的面積為1易得k=2，則反比例函數(shù)解析式為y=，再證明BPEBHF，利用相似比可得HF=mPE，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（t，），則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（tm，），由于SOEF+SOFD=SOEC+S梯形ECDF，SOFD=SOEC=1，所以SOEF=S梯形ECDF，然后根據(jù)梯形面積公式計(jì)算解答：解：作ECx軸于C，F(xiàn)Dx軸于D，F(xiàn)Hy軸于H，如圖，OEP的面積為1，|k|=1，而k0，k=2，反比例函數(shù)解析式為y=，EPy軸，F(xiàn)Hy軸，EPFH，BPEBHF，=，即HF=mPE，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（t，），則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（tm

5、，），SOEF+SOFD=SOEC+S梯形ECDF，而SOFD=SOEC=1，SOEF=S梯形ECDF=（+）（tmt）=（+1）（m1）=故答案為2，點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義；會(huì)利用相似比確定線(xiàn)段之間的關(guān)系考點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；等邊三角形的性質(zhì)分析：過(guò)點(diǎn)C作CEx軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DFx軸于點(diǎn)F，設(shè)OC=3x，則BD=x，分別表示出點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式求出k，繼而可建立方程，解出x的值后即可得出k的值解答：解：過(guò)點(diǎn)C作CEx軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DFx軸于點(diǎn)F，設(shè)OC=3x，則BD=x，在RtO

6、CE中，COE=60°，則OE=x，CE=x，則點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，x），在RtBDF中，BD=x，DBF=60°，則BF=x，DF=x，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5x，x），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可得：k=x2，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可得：k=xx2，則x2=xx2，解得：x1=1，x2=0（舍去），故k=×12=故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題關(guān)鍵是利用k的值相同建立方程，有一定難度25.（2014孝感，第17題3分）如圖，RtAOB的一條直角邊OB在x軸上，雙曲線(xiàn)y=經(jīng)過(guò)斜邊OA的中點(diǎn)C，與另一直角邊交于點(diǎn)D若SOCD=

7、9，則SOBD的值為6考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義分析：過(guò)雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線(xiàn)段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線(xiàn)所圍成的直角三角形面積S是個(gè)定值，即S=|k|解答：解：如圖，過(guò)C點(diǎn)作CEx軸，垂足為ERtOAB中，OAB=90°，CEAB，C為RtOAB斜邊OA的中點(diǎn)C，CE為RtOAB的中位線(xiàn)，OECOBA，=雙曲線(xiàn)的解析式是y=，SBOD=SCOE=k，SAOB=4SCOE=2k，由SAOBSBOD=SOBC=2SDOC=18，得2kk=18，k=12，SBOD=SCOE=k=6，故答案為：6點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比函數(shù)k的幾何意義，過(guò)圖象上的任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線(xiàn)，所得三

8、角形的面積是|k|，是經(jīng)?？疾榈闹R(shí)點(diǎn)，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想26（2014浙江湖州，第15題4分）如圖，已知在RtOAC中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直角頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=（k0）在第一象限的圖象經(jīng)過(guò)OA的中點(diǎn)B，交AC于點(diǎn)D，連接OD若OCDACO，則直線(xiàn)OA的解析式為分析：設(shè)OC=a，根據(jù)點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上表示出CD，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出AC，然后根據(jù)中點(diǎn)的定義表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上表示出a、k的關(guān)系，然后用a表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答解：設(shè)OC=a，點(diǎn)D在y=上，CD=，OCDACO，=，AC=，點(diǎn)A（a，

9、），點(diǎn)B是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，=，解得，a2=2k，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，a），設(shè)直線(xiàn)OA的解析式為y=mx，則m=a，解得m=2，所以，直線(xiàn)OA的解析式為y=2x故答案為：y=2x點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用OC的長(zhǎng)度表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)29.（2014菏澤，第13題3分）如圖，RtABO中，AOB=90°，點(diǎn)A在第一象限、點(diǎn)B在第四象限，且AO：BO=1：，若點(diǎn)A（x0，y0）的坐標(biāo)x0，y0滿(mǎn)足y0=，則點(diǎn)B（x，y）的坐標(biāo)x，y所滿(mǎn)足的關(guān)系式為 y=考點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；

10、相似三角形的判定與性質(zhì)分析：設(shè)點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=（k0）上，分別過(guò)點(diǎn)A、B作AC，BD分別垂直y軸于點(diǎn)C、D，由相似三角形的判定定理得出AOCOBD，再由相似三角形的性質(zhì)得出OBD的面積，進(jìn)而可得出結(jié)論解答：解：設(shè)點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=（k0）上，分別過(guò)點(diǎn)A、B作AC，BD分別垂直y軸于點(diǎn)C、D，ACO=BDO=90°，AOC+BOD=90°，AOC+OAC=90°，OAC=BOD，AOCOBD，=（）2=（）2=，點(diǎn)A（x0，y0）的坐標(biāo)x0，y0滿(mǎn)足y0=，SAOC=，SBOD=1，k=2，點(diǎn)B（x，y）的坐標(biāo)x，y所滿(mǎn)足的關(guān)系式為y=故答案為：y=點(diǎn)評(píng)：此題

11、考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，此題難度適中，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用5. （2014山東濟(jì)南，第26題，9分）（本小題滿(mǎn)分9分）如圖1，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（，1），射線(xiàn)AB與反比例函數(shù)圖象交與另一點(diǎn)B（1，），射線(xiàn)AC與軸交于點(diǎn)C，軸，垂足為D（1）求的值；（2）求的值及直線(xiàn)AC的解析式；（3）如圖2，M是線(xiàn)段AC上方反比例函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作直線(xiàn)軸，與AC相交于N，連接CM，求面積的最大值 第26題圖1ABCDOxy第26題圖2ABCDOxyMNl【解析】（1）由反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（，1），得；（2） 由反比例函數(shù)得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，），于是有，

12、AD=，則由可得CD=2，C點(diǎn)縱坐標(biāo)是-1，直線(xiàn)AC的截距是-1，而且過(guò)點(diǎn)A（，1）則直線(xiàn)解析式為（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為，于是面積為，所以，當(dāng)時(shí)，面積取得最大值8.（( 2014年河南) 20.9分）如圖，在直角梯形OABC中，BC/AO，AOC=900，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(5,0)、(2,6)，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，且BD=2AD.雙曲線(xiàn)y=（x0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.（1）求雙曲線(xiàn)的解析式；（2）求四邊形ODBE的面積。解：（1）過(guò)點(diǎn)B、D作x軸的的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)M、N. A (5.0)、B（2，6），OM=BC=2,BM=OC=6,AM=3 DNBM,ANDABM.

13、DN =2,AN=1, ON=4 點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,2)3分 又 雙曲線(xiàn)y=(x0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D， k=2×4=8雙曲線(xiàn)的解析式為y=5分 （2）點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為6. 又點(diǎn)E在雙曲線(xiàn)y=上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(,6),CE=7分S四邊形ODBE=S梯形OABCSOCESAOD =×(BC+OA)×OC×OC×CE×OA×DN =×(2+5)×6×6××5×2 =12四邊形ODBE的面積為12. 9分考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征分析

14、：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)圖象上的點(diǎn)滿(mǎn)足函數(shù)解析式，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；（2）根據(jù)BE的長(zhǎng)，可得B點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，可得B點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，可得答案解答：解；（1）y=（x0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，2），k=2ACy軸，AC=1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，1）CDx軸，點(diǎn)D在函數(shù)圖象上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1）（2）BE=，BECD，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是CE=點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，利用待定系數(shù)法求解析式，圖象上的點(diǎn)滿(mǎn)足函數(shù)解析式10. （2014江蘇徐州,第27題10分）如圖，將透明三角形紙片PAB的直角頂點(diǎn)P落

15、在第四象限，頂點(diǎn)A、B分別落在反比例函數(shù)y=圖象的兩支上，且PBx于點(diǎn)C，PAy于點(diǎn)D，AB分別與x軸，y軸相交于點(diǎn)E、F已知B（1，3）（1）k=3；（2）試說(shuō)明AE=BF；（3）當(dāng)四邊形ABCD的面積為時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題專(zhuān)題：綜合題分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征易得k=3；（2）設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，），易得D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，），C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），根據(jù)圖形與坐標(biāo)的關(guān)系得到PB=3，PC=，PA=1a，PD=1，則可計(jì)算出=，加上CPD=BPA，根據(jù)相似的判定得到PCDPBA，則PCD=PBA，于是判斷CDBA，根據(jù)平行四邊形的判定方法易得

16、四邊形BCDE、ADCF都是平行四邊形，所以BE=CD，AF=CD，則BE=AF，于是有AE=BF；（3）利用四邊形ABCD的面積=SPABSPCD，和三角形面積公式得到（3）（1a）1（）=，整理得2a2+3a=0，然后解方程求出a的值，再寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo)解答：解：（1）把B（1，3）代入y=得k=1×3=3；故答案為3；（2）反比例函數(shù)解析式為y=，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，），PBx于點(diǎn)C，PAy于點(diǎn)D，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，），C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），PB=3，PC=，PA=1a，PD=1，=，=，=，而CPD=BPA，PCDPBA，PCD=PBA，CDBA，而B(niǎo)CDE，AD

17、FC，四邊形BCDE、ADCF都是平行四邊形，BE=CD，AF=CD，BE=AF，AF+EF=BE+EF，即AE=BF；（3）四邊形ABCD的面積=SPABSPCD，（3）（1a）1（）=，整理得2a2+3a=0，解得a1=0（舍去），a2=，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、圖形與坐標(biāo)和平行四邊形的判定與性質(zhì)；會(huì)利用三角形相似的知識(shí)證明角相等，從而證明直線(xiàn)平行28（2014德州，第21題10分）如圖，雙曲線(xiàn)y=（x0）經(jīng)過(guò)OAB的頂點(diǎn)A和OB的中點(diǎn)C，ABx軸，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3）（1）確定k的值；（2）若點(diǎn)D（3，m）在雙曲線(xiàn)上，求

18、直線(xiàn)AD的解析式；（3）計(jì)算OAB的面積考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題專(zhuān)題：綜合題分析：（1）將A坐標(biāo)代入反比例解析式求出k的值即可；（2）將D坐標(biāo)代入反比例解析式求出m的值，確定出D坐標(biāo)，設(shè)直線(xiàn)AD解析式為y=kx+b，將A與D坐標(biāo)代入求出k與b的值，即可確定出直線(xiàn)AD解析式；（3）過(guò)點(diǎn)C作CNy軸，垂足為N，延長(zhǎng)BA，交y軸于點(diǎn)M，得到CN與BM平行，進(jìn)而確定出三角形OCN與三角形OBM相似，根據(jù)C為OB的中點(diǎn)，得到相似比為1：2，確定出三角形OCN與三角形OBM面積比為1：4，利用反比例函數(shù)k的意義確定出三角形OCN與三角形AOM面積，根據(jù)相似三角形面積之比為1：4，求出三角形AOB面積即可解答：解：（1）將點(diǎn)A（2，3）代入解析式y(tǒng)=，得：k=6；（2）將D（3，