大學(xué)物理第2章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)

1、第2章 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)21 牛頓運(yùn)動(dòng)定律 一、牛頓第一定律任何物體都保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，直到其他物體所作用的力迫使它改變這種狀態(tài)為止。二、牛頓第二定律 物體所獲得的加速度的大小與合外力的大小成正比，與物體的質(zhì)量成反比，方向與合外力的方向相同。表示為 說(shuō)明: 物體同時(shí)受幾個(gè)力的作用時(shí)，合力等于這些力的矢量和。 力的疊加原理 在直角坐標(biāo)系中，牛頓方程可寫(xiě)成分量式 ，。 在圓周運(yùn)動(dòng)中，牛頓方程沿切向和法向的分量式 動(dòng)量：物體質(zhì)量與運(yùn)動(dòng)速度的乘積，用表示。 動(dòng)量是矢量，方向與速度方向相同。 由于質(zhì)量是衡量，引入動(dòng)量后，牛頓方程可寫(xiě)成 當(dāng)時(shí)，常量，即物體的動(dòng)量大小和方向均不改變。此結(jié)論成為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量守

2、恒定律。三、牛頓第三定律：物體間的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同一直線上。說(shuō)明：作用力和反作用力是屬于同一性質(zhì)的力。四、國(guó)際單位制 量綱基本量與基本單位導(dǎo)出量與導(dǎo)出單位 五、常見(jiàn)的力 力是物體之間的相互作用。力的基本類型：引力相互作用、電磁相互作用和核力相互作用。 按力的性質(zhì)來(lái)分，常見(jiàn)的力可分為引力、彈性力和摩擦力。 六、牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用 用牛頓運(yùn)動(dòng)定律解題時(shí)一般可分為以下幾個(gè)步驟：（1） 隔離物體，受力分析。（2） 建立坐標(biāo)，列方程。（3） 求解方程。（4） 當(dāng)力是變力時(shí)，用牛頓第二定律得微分方程形式求解。例題例2-1如下圖所示，在傾角為30°的光滑斜面（固定于水平面

3、）上有兩物體通過(guò)滑輪相連，已知kg，kg，且滑輪和繩子的質(zhì)量可忽略，試求每一物體的加速度及繩子的張力（重力加速度g取9.80m·s）。解 分別取和為研究對(duì)象，受力分析如上圖。利用牛頓第二定律列方程： 繩子張力 代入數(shù)據(jù)解方程組得加速度m·s，張力N。例2-2 如圖所示，長(zhǎng)度為的柔軟細(xì)繩一端固定于天花板上的0點(diǎn)，另一端拴一個(gè)質(zhì)量為的小球。先使繩保持水平，小球靜止，然后小球自由下落。求小球的速率和繩的張力。 0 解：牛頓方程的切向和法向分量式 （切向） （法向）把牛頓方程的切向分量式兩邊分別乘以和，即··約去得 對(duì)上式積分，注意角度從0增大到的同時(shí)，速率從0

4、增大到，有 ， 得小球的速率為 代入牛頓方程的法向分量式，得繩的張力 可看出,當(dāng)時(shí)，即小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)繩子的張力最大。例2-3 質(zhì)量為的小球在水中由靜止開(kāi)始下沉，設(shè)水對(duì)小球的粘滯阻力與其運(yùn)動(dòng)速率成正比，即，其中k為比例常數(shù)，水對(duì)小球的浮力為B,求小球在水中任一時(shí)刻的沉降速度（設(shè)t =0時(shí)，=0）。 B m P y解、小球受重力P、粘滯力及水的浮力B的作用，取豎直向下為坐標(biāo)軸正方向。如圖所示，根據(jù)牛頓第二定律得 即 或 兩邊取定積分 得 由此求得：當(dāng)時(shí)， -小球的終極速度，勻速下降。 22 動(dòng)量和動(dòng)量守恒定律 一、質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理1沖量和質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量變化定理l 沖量：力的時(shí)間累積，即力對(duì)時(shí)間

5、的積分，稱為力的沖量。 l 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量變化定理根據(jù)牛頓第二定律，上式可寫(xiě)為 表明，在時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所受合力的沖量，等于在這段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量。將上式從到對(duì)時(shí)間積分，得 表明，質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)所受合力的沖量，等于在這段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量。稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量變化定理。l 應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量變化定理的實(shí)例在一些過(guò)程中（如碰撞），作用力隨時(shí)間急劇變化，引入平均力的概念。 例 質(zhì)量為kg的重錘，從高度m處自由落下，打擊被鍛壓的工件后彈起的高度m。設(shè)作用時(shí)間s，求重錘對(duì)工件的平均沖擊力。解：設(shè)豎直向上為正方向。重錘與工件剛接觸時(shí)的速度，等于從m處自由落下的末速度。 重錘與工件作用s后，彈起的速度等于豎直上拋m高度的初

6、速度。 y 以代表在時(shí)間內(nèi)工件對(duì) 重錘的平均反沖力，按動(dòng)量變化定理 重錘 0 工件 重錘對(duì)工件的平均沖力N2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理由若干個(gè)相互作用的質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，稱為質(zhì)點(diǎn)系。l 內(nèi)力與外力 · · 0 內(nèi)力：質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間的作用力叫內(nèi)力。圖中和就是一對(duì)內(nèi)力。根據(jù)牛頓第三定律，由于它們大小相等方向相反，所以。由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，所以質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)所有內(nèi)力的矢量和一定等于零。即 這是內(nèi)力一個(gè)重要性質(zhì)。 外力：質(zhì)點(diǎn)系以外的物體或場(chǎng)（如重力場(chǎng)）對(duì)系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的作用力，叫做外力。 外=l 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢量和稱為該質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，用來(lái)表示。 l 質(zhì)點(diǎn)系中外力與動(dòng)量的關(guān)系

7、根據(jù)牛頓第二定律 又 外= 外= l 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量變化定理把上式寫(xiě)成 外 并從到對(duì)時(shí)間積分，得外=系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量-質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量變化定理說(shuō)明：內(nèi)力可以改變質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量，但對(duì)系統(tǒng)的總動(dòng)量沒(méi)有影響。例2-6 如圖，一輛拉煤車(chē)以速率m·s從煤斗下面通過(guò)，每秒鐘落入車(chē)廂內(nèi)的煤為500kg。若使車(chē)廂的速率不變，應(yīng)用多大的牽引力拉車(chē)廂（忽略車(chē)廂與軌道之間的摩擦力）？ 煤斗 x解：用代表在時(shí)刻已落入車(chē)廂內(nèi)的煤和車(chē)廂的總質(zhì)量。經(jīng)過(guò)時(shí)間又有質(zhì)量為的煤落入車(chē)廂中。取和作為質(zhì)點(diǎn)系。取車(chē)廂行駛的方向作為正方向。系統(tǒng)在時(shí)刻的動(dòng)量為 系統(tǒng)在時(shí)刻的動(dòng)量為 在時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)動(dòng)量的增量 按照質(zhì)點(diǎn)

8、系動(dòng)量變化定理，注意到車(chē)廂速率不變，有 把m·s和kg·s代入上式得： N 二、動(dòng)量守恒定律 若質(zhì)點(diǎn)系所受外力為零，外=0，則 ， 常矢量表明在慣性系中，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系不受外力作用或所受外力合力等于零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量大小和方向都保持不變動(dòng)量守恒定律。應(yīng)用動(dòng)量守恒定律時(shí)要注意：（1）合外力是指系統(tǒng)所受外力的矢量和。（2）若合外力的矢量和不為零，但外力沿某一方向的分量為零，則該方向上質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒。（3）在諸如碰撞、爆炸等問(wèn)題中，由于沖擊力很大、作用時(shí)間很短，此時(shí)一般的外力（如重力）可以忽略。（4）動(dòng)量守恒定律是自然界最重要、最普遍的定律之一 ，不僅適用于宏觀物體，也適用于原子、分

9、子、光子等微觀粒子間的相互作用。例 如圖，一顆質(zhì)量為的子彈以速度沿水平方向射入一個(gè)用細(xì)繩懸掛的質(zhì)量為的物體，并留在物體中。設(shè)子彈從射入物體到停在其中的時(shí)間極短，求子彈剛停在物體中時(shí)的速度。解：取子彈和物體為質(zhì)點(diǎn)系。系統(tǒng)不受外力作用，系統(tǒng)在水平 方向上動(dòng)量守恒。 M V設(shè)子彈剛停在物體內(nèi)時(shí)的速 X度為V。水平向右為坐標(biāo)軸正向。 ， 當(dāng)時(shí)， 23 功、機(jī)械能和機(jī)械能守恒定律 一、功和功率 1功初中時(shí)功的計(jì)算： 恒力的方向與物體運(yùn)動(dòng)方向相同。 高中時(shí)功的計(jì)算： 恒力與物體運(yùn)動(dòng)方向成夾角。 （1）功的定義：作用于物體的力在物體位移方向上的分量與該位移的乘積稱為功。（2）元功：作用在質(zhì)點(diǎn)上的力一般與質(zhì)點(diǎn)

10、的位置有關(guān)（如拋體運(yùn)動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)所受的重力與質(zhì)點(diǎn)的位置）。 在質(zhì)點(diǎn)作無(wú)窮小位移（元位移） y的過(guò)程中，可以認(rèn)為力的大小和方向 ·都不發(fā)生變化。 把和的標(biāo)量積稱為力對(duì)質(zhì)點(diǎn) 做的元功，用表示 0 x (3)功的計(jì)算： 式中為切向分量，是與對(duì)應(yīng)的路程。 2功率 力在單位時(shí)間內(nèi)所做的功，稱為功率。 平均功率：瞬時(shí)功率：當(dāng)時(shí)，平均功率的極限值即為t時(shí)刻的瞬時(shí)功率，簡(jiǎn)稱功率。即由于 。上式可寫(xiě)為瞬時(shí)功率等于力在速度方向的投影和速度大小的乘積，或說(shuō)瞬時(shí)功率等于力矢量與速度矢量的標(biāo)積。3常見(jiàn)力的功 Y 重力的功 d 質(zhì)量為的物體在地球 a 表面附近（重力加速度g不 c 變）從a經(jīng)c 運(yùn)動(dòng)到b，重 b

11、力對(duì)物體所做的元功 0 X 物體從acb，重力的功 若物體從adb,重力的功仍然是上述結(jié)果?？梢?jiàn)，重力的功與路徑無(wú)關(guān)只與始末位置有關(guān)。 彈力的功彈性系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧水平放置， 一端固定，一端系一小球，以平衡位置為 O a b原點(diǎn)。小球在任一位置受到彈力 對(duì)位移的元功為 小球從位置a運(yùn)動(dòng)到b，彈力的功為 結(jié)論：彈力的功只與始末位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)。 保守力某些力（重力、彈力、萬(wàn)有引力、靜電力、分子力等），他們對(duì)物體做的功與路徑無(wú)關(guān)，只由物體的始末位置所決定。若物體沿任一閉合路徑運(yùn)動(dòng)一周，這些力做功為零，這類力稱為保守力。摩擦力等做的功與路徑有關(guān)，稱為非保守力或耗散力。 二、動(dòng)能和質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理

12、1動(dòng)能和質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理l 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能表達(dá)式：l 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理若把看成是作用在質(zhì)點(diǎn)上的合力，則牛頓方程的切向分量式為 由于 所以有 用代表動(dòng)能，則有 即合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量，稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能變化定理。說(shuō)明：（1）功與動(dòng)能增量密切相關(guān)。外力對(duì)物體做正功，物體動(dòng)能增大；外力對(duì)物體做負(fù)功，物體動(dòng)能減?。煌饬?duì)物體不做功，物體動(dòng)能不變。（2）功是過(guò)程量，動(dòng)能是狀態(tài)量。無(wú)論通過(guò)什么過(guò)程做功，只要始末兩狀態(tài)一定，動(dòng)能增量與該過(guò)程的功一定相等。（3）動(dòng)能與功有相同的單位，即焦耳（J）。但這是兩個(gè)不同的物理量。（4）凡是用動(dòng)能變化定理能解決的問(wèn)題，原則上用牛頓第二定律也能解決，但涉及位置與速率關(guān)系方

13、面的問(wèn)題，通常用動(dòng)能變化定理比較簡(jiǎn)便。例2-12 用動(dòng)能變化定理解例題2-2中小球的速率。解：小球下落過(guò)程中，繩子的張力垂直于小球的運(yùn)動(dòng)方向，因此不做功。而重力做功。 根據(jù)動(dòng)能變化定理 有 的小球的速率 三、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能變化定理對(duì)第i各質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)能變化定理 式中和分別代表質(zhì)點(diǎn)的末狀態(tài)和初狀態(tài)的動(dòng)能。是合力做的功，它等于外力和內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做功之和。即 外內(nèi)對(duì)質(zhì)點(diǎn)編號(hào)i并求和，得 外內(nèi)所有外力和所有內(nèi)力對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系所做的功之和，等于系統(tǒng)總動(dòng)能的增量。稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能變化定理。說(shuō)明：在質(zhì)點(diǎn)系中，內(nèi)力的矢量和等于零，但它們作用在不同的質(zhì)點(diǎn)上，各質(zhì)點(diǎn)的位移可能不同，因此內(nèi)力做功之和可以不為零。四、勢(shì)能 保守力

14、做的功與路徑無(wú)關(guān)，意味著保守力的功只由系統(tǒng)的始、末狀態(tài)決定。引入勢(shì)能（）的概念，系統(tǒng)在始、末狀態(tài)的勢(shì)能的差值表達(dá)了保守力所做的功。并定義：保守力所做的功，等于系統(tǒng)勢(shì)能的減少。 保內(nèi) 1. 引力和引力勢(shì)能質(zhì)量分別為和的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，作用在上的引力為 式中為到的單位矢量。 r x引力做功與路徑無(wú)關(guān)，只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)。因此引力是保守力。與引力對(duì)應(yīng)的勢(shì)能是引力勢(shì)能，引力勢(shì)能為 引力勢(shì)能屬于質(zhì)點(diǎn)和所組成的系統(tǒng)。兩質(zhì)點(diǎn)相距無(wú)限遠(yuǎn)處為零勢(shì)能點(diǎn)。2. 重力和重力勢(shì)能重力是物體在地面附近受到地球的引力。重力是保守力。與重力對(duì)應(yīng)的勢(shì)能是重力勢(shì)能，重力勢(shì)能就是地面附近的物體和地球的引力勢(shì)能 重力勢(shì)能屬于物體和地球

15、組成的系統(tǒng)所有。通常取地面為零勢(shì)能點(diǎn)。3. 彈性力和彈性勢(shì)能 x 0 上圖所示，小球由移動(dòng)到的過(guò)程中，彈性力對(duì)它做了功。設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，小球在任一位置時(shí)，彈性力為。小球由移動(dòng)到的過(guò)程中，彈性力對(duì)它做的功 可見(jiàn)，彈性力的功與彈簧伸長(zhǎng)的路徑無(wú)關(guān)，只決定于彈簧的始、末伸長(zhǎng)量，因此彈性力是保守力。 與彈性力對(duì)應(yīng)的勢(shì)能是彈性勢(shì)能。 把彈簧處于自然長(zhǎng)度定為零勢(shì)能點(diǎn)。五、功能原理 機(jī)械能守恒定律若質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有保守內(nèi)力做功，而外力和非保守內(nèi)力的功等于零。則有 常量表明：在只有保守內(nèi)力做功的過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能保持不變。這就是機(jī)械能守恒定律。 例 用機(jī)械能守恒定律重解例2-2。解：在小球下落過(guò)

16、程中，繩的張力不做功，只有重力做功。重力是保守力，因此機(jī)械能守恒。取O點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)。根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有 小球的速率 24 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律矢量乘法：1點(diǎn)乘：乘號(hào)用一個(gè)點(diǎn)表示，兩個(gè)矢量點(diǎn)乘結(jié)果為一個(gè)標(biāo)量，稱為標(biāo)量積。如： 和為矢量， C為標(biāo)量。C的量值： 為方向與方向之間的夾角。 在點(diǎn)乘中，有乘法交換率，如 2叉乘：乘號(hào)用“×”來(lái)表示，兩個(gè)矢量叉乘結(jié)果為一個(gè)矢量，稱為矢量積。 如： 、和均為矢量。 的量值： 為方向與方向之間的夾角。 的方向：按右螺旋法則判定。 在叉乘中，沒(méi)有乘法交換率；而有：若 則有 =一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量 0 如上圖，某質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為，相對(duì)于0點(diǎn)的位置矢量為

17、，動(dòng)量為。 將質(zhì)點(diǎn)的位置矢量和動(dòng)量矢量積，定義為質(zhì)點(diǎn)對(duì)于0點(diǎn)的角動(dòng)量。 角動(dòng)量的大小為 角動(dòng)量的方向：當(dāng)180°時(shí)，按右螺旋法則判定。 角動(dòng)量又叫動(dòng)量矩。 如果質(zhì)點(diǎn)繞0點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，按角動(dòng)量定義，質(zhì)點(diǎn)對(duì)0點(diǎn)的角動(dòng)量方向垂直于圓周平面，大小 為： 0 其中為圓周運(yùn)動(dòng)的角速度。 注意：在定義一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量時(shí)，必須明確指出是對(duì)哪個(gè)點(diǎn)而言。 二、質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量變化定理 慣性系中，牛頓第二定律： 用質(zhì)點(diǎn)對(duì)于0點(diǎn)的位置矢量叉乘上式兩邊得： 因與同方向，所以，上式可寫(xiě)成 矢量積稱為力對(duì)0點(diǎn)的力矩，用表示，有 上式即為 力矩的方向用右螺旋法則判定，其大小為 為與小于180°的夾角。若= 0，

18、則= 0，= 常矢量表明：在慣性系中當(dāng)質(zhì)點(diǎn)不受力，或?qū)δ骋还潭c(diǎn)所受合力矩為零時(shí)，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定點(diǎn)的角動(dòng)量的大小和方向都保持不變叫角動(dòng)量守恒定理。 例2-17 證明關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的開(kāi)普勒第二定律：行星相對(duì)太陽(yáng)的位置矢量在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。 太陽(yáng) 行星 行星在引力作用下，繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)。設(shè)行星位置矢量為在時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積為。由于太陽(yáng)作用在行星上的引力對(duì)太陽(yáng)的力矩為零，所以行星對(duì)太陽(yáng)的角動(dòng)量的大小和方向都不變。角動(dòng)量的方向不變行星沿平面運(yùn)動(dòng)軌道運(yùn)動(dòng)，而且軌道平面的方位不變；角動(dòng)量的大小不變是指 常量其中，代入上式，得 常量 即行星的位置矢量在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等。 三、質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量變化定律和角動(dòng)量守恒定律 1質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量 · · 0 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)某一點(diǎn)的角動(dòng)量矢量和。 為質(zhì)心系的角動(dòng)量 2質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量變化定理 外 = 質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量變化定理：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)慣性系中任一固定點(diǎn)的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率，等于這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系所受對(duì)該固定點(diǎn)的合外力矩。 3角動(dòng)量守恒定律 若外 = 0，則= 0，= 常量 角動(dòng)量守恒定律：在慣性系中當(dāng)質(zhì)點(diǎn)不受外力作用，或?qū)δ骋还潭c(diǎn)所受合外力矩等于零時(shí)，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該固定點(diǎn)