2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文數(shù)(天津卷)

1、2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)數(shù)學(文史類)第I卷1至2頁,答卷時，考本試卷分為第I卷(選擇題)和第n (非選擇題)兩部分，共150分，考試用時120分鐘第n卷3至5頁.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回祝各位考生考試順利！第I卷注意事項：再選涂1、每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后,其他答案標號2本卷共8小題，每小題5分，共40分 參考公式：如果事件A , B互斥，那么P(A U B)=P(A)+P(

2、B).柱體的體積公式 V柱體=Sh,其中S表示柱體的底面積其中h表示棱柱的高.如果事件A , B相互獨立，P(AB)=P(A) P(B).1圓錐的體積公式V =Sh3其中S表示錐體的底面積，h表示圓錐的高.一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的(1 )已知集合 A 1,2,3 , B y | y 2x 1,x A，則 AI B=()(A) 1,3( B) 1,2(C) 2,3( D) 1,2,3【答案】A【解析】試題分析：B 1,3,5, AI B 1,3,選 A.考點：集合運算1 1(2)甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是丄，甲獲勝的概率是 丄，則甲不輸?shù)母怕蕿?3

3、(A)56【答案】A1(D)-3【解析】試題的甲押疇為”嶺選扎考點：概率(3 )將一個長方形沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)(左)視圖為(【答案】B【解析】試題分析：由題意得截去的是長方體前右上方頂點，故選B考點：三視圖2 2 _(4)已知雙曲線 務(wù) yr 1(a 0,b 0)的焦距為2 5，且雙曲線的一條漸近線與直線 2x y 0垂直, a b(A)X2y2 1(B)22 y 1 x144(C)3x2対1(D)2 23x 3y ,1205520【答案】A【解析】試題分析；由題意得尸吞三=丄=空=：1=三-二=1,選A.a 241考點：雙曲

4、線漸近線（5）設(shè) x 0, y R，則X y”是 “ | y|”的（ ）（A）充要條件（B）充分而不必要條件（C）必要而不充分條件（D）既不充分也不必要條件【答案】C【解析】試題分析：34,3 | 4|,所以充分性不成立；x |y| y x y，必要性成立，故選 C考點：充要關(guān)系（6）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（,0）上單調(diào)遞增，若實數(shù)a滿足f(2|a1)f( ,2),則a的取值范圍是（)/ 、 1、131 33(A) ()(B) ()(一，)(C)(,)(D)(一，)22 22 22【答案】Ca1 32 a 2，故選C【解析】試題分析：由題意得 f（ 2|a 1|） f（ -

5、、2）考點：利用函數(shù)性質(zhì)解不等式（7）已知ABC是邊長為1的等邊三角形,點D,E分別是邊AB,BC的中點,連接DE并延長到點(A)(D)118【答案】B【解析】(8)已知函數(shù)f(x).2 X sin1 . sinx !(222取值范圍是()115(A) (0,(B)(0,-,1)848考點：向量數(shù)量積0), x5(C)(0，8【答案】D【解析】R 若f (x)在區(qū)間(，2)內(nèi)沒有零點,1(D)(0，81 -4,8r uuu ruur 1uur1 rrUULT3 ulu3rra, BC b，二DE -AC-(ba)，DF-DE(ba)22241 r 3 r r5r3ruuuruuu5r r3 r

6、253a(b a)ab ,二 AFBCa bb24444484試題分析：設(shè)BAuuu uuur uuir AF AD DF1-，故選B.8試題分析：fA)3處*血辦-丄二匹喊誠”-竺),/(!：)=X-)=0 J fif以2 22244for十壬.-.-,.工=百(罔2£z),因此 e 槿(有)U (-1 )U = (-)U(-> +© E ?g&斗 8 +3 斗8 438 斗 8選D.考點：解簡單三角方程注意事項:1、用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上 2、本卷共12小題，共計110分.二、填空題：本大題共 6小題，每小題5分，共30分.(9) i是

7、虛數(shù)單位，復數(shù) z滿足(1 i)z 2，則z的實部為【答案】1【解析】試題分析：2(1 i)z 2 z1 i，所以z的實部為11 i考點：復數(shù)概念(10)已知函數(shù)f(x) (2x+1)ex, f (x)為f (x)的導函數(shù)，貝U f (0)的值為【答案】3【解析】試題分析：Q f (x)(2x+3)ex, f (0) 3.考點：導數(shù)S的值為(11) 閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，則輸出n =【答案】4【解析】 試題分析：第一次循環(huán)；5=8Fn = 2；第二次循環(huán)：2hn = 5;第三次循環(huán)；S=4an=4; 束循環(huán)，輸考點：循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖(12) 已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0

8、,'.5)在圓C上，且圓心到直線2x y 0的距離為 匚5，5則圓C的方程為【答案】(x 2)2 y29.【解析】試題分析：設(shè)C(a,0),( a 0)，則丨2；1亠5a 2,r.22 53，故圓C的方程為(x 2)2y2 9.5考點：直線與圓位置關(guān)系(13) 如圖，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點E, BE=2AE=2, BD=ED ,則線段CE的長為【答案】【解析】試題分祈二設(shè)= 貝惱相交弦定理得DE-CE = AE-BE? DE = -P BD = DE = J所次rxAC = AE = ?因為AB是直徑"則SC =苕F =2忑,在圓中ABCEADAE ,則匹占AD

9、 AE即Y 解得x考點：相交弦定理(14)已知函數(shù)f(x)2x (4 a 3)xlOga(X 1)3a,X 0(a 0且 a 1)在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程| f (x) |1,x0恰有兩個不相等的實數(shù)解，則 a的取值范圍是【答案】!,-)3 3【解析】試題分析：由函數(shù) f(x)在R上單調(diào)遞減得4a 321 2有兩個不相等的實數(shù)解，所以3a 2,- 1 62a313x0,0 a 1,3a 1 a，又方程 | f (x) | 2 恰34311 2a ，因此a的取值范圍是一，)73 3考點：函數(shù)綜合 三、解答題：本大題共 6小題，共80分.(15) (本小題滿分13分)在 ABC中，內(nèi)角 代B

10、,C所對應的邊分別為 a,b,c,已知asin2B3bsin A.(I )求 B；(n)若 cosA-，求sinC的值.3【答案】(I) b-(n) 26 16【解析】 試題分析：(I )利用正弦定理，將邊化為角：2sin.4sm5co = J?5tnBsinJ4.R根據(jù)二角形內(nèi)角范圍化簡得2“ =當，B = ¥ ( II )已知兩角，求第三角剎用三角形內(nèi)角和為* 將所求角化為兩已知角的和,2 6試題解析：(1 )解:在X15C中，由再根抿兩角和的正弦公式求解( 丿可得應血E = bsin £又由aw 2B = j3ijsin A得 sui A sin B2tisin Bc

11、osB 二 %民sin A - Vasin B 、所以cos B 二得療二二；2 6,貝血7二如兀一(川十召)二血川十3), 刪、C H 解：由cos J =-得sin A -空】考點：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦公式、兩角和的正弦公式以及正弦定理(16) (本小題滿分13分)某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A,B,C三種主要原料生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙中肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示:AB 1C屮483乙5510現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲乙兩種肥料 已知生產(chǎn) 1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為 2萬元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的

12、利潤為 3萬元分別用x,y表示 生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù) (I )用x,y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學關(guān)系式，并畫出相應的平面區(qū)域；（n）問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？并求出此最大利潤【答案】（I）詳見解析（n）生產(chǎn)甲種肥料20車皮，乙種肥料 24車皮時利潤最大，且最大利潤為 112萬【解析】試題分析：（I 根據(jù)生產(chǎn)扇斗不能超過A種熄H如噸，B種熄料噸，c種扇斗300噸，列風尊關(guān)系式f即可行冊 再根據(jù)直線及區(qū)域畫出可行域（U ）目標遜數(shù)為利潤不二2小3八根據(jù)直線平移及栽距變 化規(guī)律確定最犬利潤試題解析：（I）解：由已知 x,y滿足的數(shù)學關(guān)系式為4x5y2008x5y360

13、3x10y300，該二兀一次不等式組所表示的區(qū)x0y0域為圖1中的陰影部分(u )解：設(shè)釉冊I T萬元則目埶Z = 2r+ 3v ,這罡斜率為-令隨衛(wèi)變優(yōu)的一礁平行直線j為 直線在軸上的戯距，當彳取最大值吋，二的值最大.又因為工寸満足約朿條件，所次由團2可知，當崖密3-4x+5v = 200-"右+外經(jīng)過可行域中的點竝時，截距二的值最大，即二的值最大-解方程組P “得點孔3 | lx + 13y =300的坐標刊 M(2024),所以去=2x20 + 3x24=112答：生產(chǎn)甲種叭斗20車疲，Z種BB424車皮時剎潤最大，且最大剎潤為112萬沅考點：線性規(guī)劃(17) (本小題滿分13

14、分)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED丄平面ABCD , EF|AB , AB=2 , BC=EF=1 , AE= ： 6 ,DE=3，/ BAD=60o , G 為 BC 的中點.(I )求證：FG|平面BED ;(H )求證：平面BED丄平面AED ;(川)求直線EF與平面BED所成角的正弦值.【答案】（I）詳見解析（n）詳見解析（川）6【解析】試題分析：（I）證畔務(wù)面平伉一般利用線面平ft判定定理，即從縹護円亍岀發(fā)給予證明'而線線平行尋 找與論證，往往箔合平幾知識，蟲味題構(gòu)造一個平行四邊開鄉(xiāng)：取ED的中點対0可證四邊形OGFE是平 行四邊昭 從而得X FGL OE （U

15、）面面垂直的證明一般輕化為證線面垂直，而線面垂直的證明，往往 需多次利用面垂宜判定與性庚定理而線線垂直的證明有時壽蘿剎用平幾條件，如題可由余弦定理解 出Z.W5 = 90%即肋一ID （III）求線面角，關(guān)鍵作出射影，即面的垂可刊用面面垂直的性質(zhì)走 理得SI線面垂直，即畫的垂第：過點討 UDE于點日，則上丹一平面BED ,從而直線一癥與平面 歴D所成甬即為厶.再結(jié)合三珀形可求得正弦值試題解析：（I ）證明勰加的中點為6連摟OQOG,在MCD中，因為G是證的中馬所次OG DC 且 0G =丄 DC = 1 乂因為 El AB. - DC ,所臥 EF； 0G 且 EF = 0G，即四邊形OGFE

16、是平行四邊形，所嘆FG 0E,又FG*面匪Q , 0E二平面眩D,所以FG'平 面肛D.I （n ）證明：在 ABD中，AD 1, AB 2, BAD 60° ,由余弦定理可BD . 3 ,進而可得ADB 90°，即BD AD，又因為平面 AED 平面ABCD, BD 平面ABCD ；平面 AED 平面ABCD AD，所以BD 平面AED 又因為BD 平面BED，所以平面BED 平面AED .（川）解：因為 EF/AB，所以直線EF與平面BED所成角即為直線 AB與平面BED所成角過點A作 AH DE于點H，連接BH，又因為平面BED 平面AED ED，由（n）知A

17、H 平面BED，所 以直線AB與平面BED所成角即為 ABH .在 ADE中，AD 1, DE 3, AE . 6，由余弦定理可得cos2 5ADE ，所以 sin ADE，因此 AH AD sin ADE3 3，在 Rt AHB 中,sinABH屠T，所以直線AB與平面BED所成角的正弦值為考點:直線與平面平行和垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成角(18)(本小題滿分13分)1已知an是等比數(shù)列，前n項和為Sn n N ，且一3132三S69363.n 21 bn的前2n項和.(I )求an的通項公式;(n)若對任意的n N ,bn是log2 an和log2 an 1的等差中項，求數(shù)列【答

18、案】(I) an 2n 1 (n) 2n21 1試題分析：(I 求等比姍隨項，一般利用待定系麴去；先由 解q=±q = -l井別昭 叭農(nóng) 口刈代入S：=±2zi2 = 63得蚩蕪珀1 (II)先根協(xié)等差中項得一 g久h (log ；礙+log ；盤肝J = Qog L 2 :+ lo呂 O =推一丄，再利用分組求和：去求和: ” L * L1Hlx,丄fjflB兀:_ =(一攵+ 3+打；)十+1比t +述J = 5十鳥 十+方：”二 "=2刃亠試®解析；(1)«酬列氐的公比為I由已知有丄2-4,解之可得防w,又由$嚴彗二0 = 63知gl,所

19、以址？、6九解之得旳“，所法叭&21 ? 1 21(n)解：由題意得bn(log 2 an211log2 an 1)-(log2 2n 1 log2 2n) n ，即數(shù)列bn是首項為2 21，公差為1的等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列(1)nb： 的前n項和為Tn，則T2n ( b2 bl) ( bl b：)(b；n 1b2n) b blb2n2n(bi b22n2考點：等差數(shù)列、等比數(shù)列及其前n項和(19)(本小題滿分14分)2 2設(shè)橢圓冷乙 1( aa 33efFA|，其中O.3)的右焦點為F，右頂點為 A，已知 一1|OF |為原點，e為橢圓的離心率(I)求橢圓的方程;(n)設(shè)過點 A的直線I與

20、橢圓交于點 B ( B不在x軸上)，垂直于I的直線與I交于點M，與y軸交于點H，若BF HF，且 MOA MAO，求直線的I斜率.皓案】(I)仁1(n)子試題分析；C I)束橢圓標準方程，只需確定壘，由 丄亠=ff- + -=T7 再利用OA FA 匚 a ct(a-c)-c2=1 ,應：=4 ( Il )先簡條牛匕 2-MOA = ZM4O »再oa中垂線上再利用直線與橢系，聯(lián)立方程組求方孑利用兩宜線方程組求兀最后中麟時丄腫，列等量關(guān)系解出直線斜率試題解祈：(1、解：設(shè)PG。)，由OF OAFA1 1即+丄=,可得亍一芒=3幾 XC £1 O'(垃一曠一u* =獷

21、=3,所以。亠=1因此應*=4所臥橢圜的方程為=十匚=143(2)設(shè)直線的斜率為 k(k 0)，則直線I的方程為yk(x 2),2 2x y設(shè) B(XB,yB)，由方程組43X消去y ,2),整理得(4k23)x2 16k2x 16k2120,解得x2 或 x I ,4k2 3由題意得Xb，從而yB啟,uuruju9 4k212k由(1 )知 F(1,0)，設(shè) H (0, yH)，有 FH (仆)，BF (嚴,K)，由£尸丄恥得-茹工o,所以.di二+上竺 工04疋十3 4Jt* ±39-4t-19-4i-解得山=,因此直線厲的方程為二12*疋 12盒I 、心/B0農(nóng)，十

22、9 以泊去八g八訐帀19_4丁設(shè)證(弘血),由方程組2二產(chǎn)"I V = Jc(y - 2)=在AM10中，厶=丄口 =丄9即gm*化餉心二-即科薛旱* =_所以直線/搠粹為k=-k=+4考點：橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)，直線方程(20)(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù) f (x)X3ax b, X R，其中 a,b R()求f(X)的單調(diào)區(qū)間;(n)若f(x)存在極值點X),且f (X1)f (X0)，其中X1X0，求證：X12x0(川)設(shè)a 0，函數(shù)g(X)|f(x)|，求證：g(X)在區(qū)間1,1上的最大值不小于【答案】(I)遞減區(qū)間為(少，一坐)，遞增區(qū)間為(33.3a .3a)(3)，

23、(3).(n)詳見解析(川)詳見解析【解析】試題分析：(I)先求函數(shù)的導數(shù):f (x) 3x2 a，再根據(jù)導函數(shù)零點是否存在情況,分類討論：當a 0時，有f (x) 3x2 a 0恒成立，所以f (x)的單調(diào)增區(qū)間為(，).當a 0時，存在三個單調(diào)區(qū)間；_ a簡可得結(jié)論<ni)實質(zhì)研究酗蠱広)< II由題肓得佗爪玩-"。即® P再由I f(2廣()I最大值；主要比較(叭 ： 的大小即可井三種情況研究當m打時蘭國WU1冬四當丄冬ov孫寸廠班冬X33爭習*呼心*噸時,1 -2辰盧< -3r3試題解析:(1)解:由 f (x) x3 ax當a0時,有f (x) 3x2 a 0當a0時，令f (x)0,解得 xf (x)、f (x)的變化情況如下表:當x變化時,恒成立，所以24b，可得f (x) 3x2 a，下面分兩種情況討論:f (x)的單調(diào)增區(qū)間為(,).3a3a0，即 x°2ax° b，x('爭屆3(J3a J3a)區(qū)343a() 3f (x)00f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增/ /所以f(x)的