第一類曲面積分

1、編輯課件1一、概念的引入一、概念的引入 若若曲曲面面 是是光光滑滑的的, 它它的的面面密密度度為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)),(zyx , 求求它它的的質(zhì)質(zhì)量量.實(shí)例實(shí)例 所謂曲面光滑所謂曲面光滑即曲面上各點(diǎn)處都即曲面上各點(diǎn)處都有切平面有切平面, ,且當(dāng)點(diǎn)在且當(dāng)點(diǎn)在曲面上連續(xù)移動時曲面上連續(xù)移動時, ,切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動. .編輯課件2二、對面積的曲面積分的定義二、對面積的曲面積分的定義 設(shè)曲面設(shè)曲面 是光滑的是光滑的, , 函數(shù)函數(shù)),(zyxf在在 上有界上有界, , 把把 分成分成n小塊小塊iS （iS 同時也表示同時也表示第第i小塊曲面的面積）小塊曲面的面積）, ,設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)),(

2、iii 為為iS 上上任意取定的點(diǎn)任意取定的點(diǎn), ,作乘積作乘積 ),(iiif iS , ,并并作作和和 niiiif1),( iS , , 如如果果當(dāng)當(dāng)各各小小塊塊曲曲面面的的直直徑徑的的最最大大值值0 時時, , 這這和和式式的的極極限限存存在在, ,則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù)),(zyxf在在曲曲面面 上上對對面面積積的的曲曲面面積積分分或或第第一一類類曲曲面面積積分分. .1.1.定義定義編輯課件3即即 dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 記記為為 dSzyxf),(.叫叫被被積積函函數(shù)數(shù)，其其中中),(zyxf.叫叫積積分分曲曲面面 . 0,dSdS叫做曲面

3、的面積元素編輯課件4 dSzyxf),( 21),(),(dSzyxfdSzyxf.2.2.對面積的曲面積分的性質(zhì)對面積的曲面積分的性質(zhì)則及可分為分片光滑的曲面若,21).(1,1),(,即曲面的面積時當(dāng)特別SdSzyxf編輯課件5三、計算法三、計算法.),(,),(:.1上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)在函數(shù)平面上的投影在為若曲面xyxyDyxzxOyDyxzz按照曲面的不同情況分為以下三種：按照曲面的不同情況分為以下三種：SDxy),(yxfz xyoz編輯課件6;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyxdSzyxf),(則則dzzddSyx221cosSDxy),(yxfz xyoz編輯課件7;

4、1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(則則.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面則則對面積的曲面積分的計算方法是對面積的曲面積分的計算方法是-將其將其化為投影域上的二重積分計算化為投影域上的二重積分計算2.:( , )yy x z若曲面編輯課件8:小結(jié) 第一類曲面積分的計算步驟3.(:( , )( , , ),( ( , , ( , ).zz x yf x y zf x y z x y將的方程 如代入被積函數(shù)中將它變?yōu)槎瘮?shù)1.,(:( , ),(),().xyzz x yxOyD畫出曲面的圖形

5、 寫出的方程 如并將向某一坐標(biāo)面投影面 指出投影區(qū)域222.(1),xydS dSzz d求面積的微元編輯課件9xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxfdSzyxf221),(,(),(),(. 4二重積分化為將一型曲面積分;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx或.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy或編輯課件10.3)(3,)(. 12222部分所截下的帶錐頂?shù)哪且槐黄矫媸清F面其中計算曲面積分例zyxzdSyxdxdydxdyzzdSyxyzyxxzzyxDyxzyxyxxy213,3)0(3:, )(3:2222222222解92)(2)(,303202222

6、drrddxdyyxdSyxxyD所以編輯課件11.,2如圖示為封閉曲面計算例xyzdS1zyx1:,:43214321zyx為三個坐標(biāo)面其中解dxdydxdyzzdSyxDyxzxyzdSxyzdSzyxfxxxy3110:,1:0),(,2243214被積函數(shù)三個坐標(biāo)面上在編輯課件12xdyyxxydxxyzdSxyzdS1010)1 (341203編輯課件13 計計算算 dszyx)(, 其其中中 為為平平面面5 zy被被柱柱面面2522 yx所所截截得得的的部部分分. 例例3 3積分曲面積分曲面 ：yz 5 ,解解投投影影域域 ：25| ),(22 yxyxDxy編輯課件14 dszy

7、x)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 編輯課件15例例 4 4 計算計算dSxyz |, 其中其中 為拋物面為拋物面 22yxz （10 z）. 解解依對稱性知：依對稱性知：被被積積函函數(shù)數(shù)| xyz關(guān)關(guān)于于xoz、yoz 坐標(biāo)面對稱坐標(biāo)面對稱軸軸對對稱稱，關(guān)關(guān)于于拋拋物物面面zyxz22 有有 14成立成立，(1 為為第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyz編輯課件16dxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dSxyz |dSx

8、yz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yx編輯課件17 利利用用極極坐坐標(biāo)標(biāo) trxcos , trysin ,rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 編輯課.zxyxyz例5 曲面將球面分成三部分 求此三部分的面積之比342225:yxz解922 yx1622 yx1A3AdxdyyxdS22255302202211025525511drrrddxdyyxdSAxy

9、D編輯課件19402202232025525533drrrddxdyyxdSAxyD70543122AAA2:7:1:321AAA編輯課件20四、小結(jié)四、小結(jié)2、對面積的曲面積分的解法是將其化為投影、對面積的曲面積分的解法是將其化為投影域上的二重積分計算域上的二重積分計算.1、 對面積的曲面積分的概念對面積的曲面積分的概念; dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 （按照曲面的不同情況分為三種）（按照曲面的不同情況分為三種）編輯課件21思考題思考題 在對面積的曲面積分化為二重積分在對面積的曲面積分化為二重積分的公式中的公式中, 有因子有因子 , 試說明試說明這個因子的幾何意義這個

10、因子的幾何意義.221yxzz 編輯課件22思考題解答思考題解答是曲面元的面積是曲面元的面積,dS2211),cos(yxzzzn 221yxzz 故故 是曲面法線與是曲面法線與 軸夾角的余弦軸夾角的余弦的倒數(shù)的倒數(shù).z編輯課件23一、一、 填空題填空題: :1 1、 已知曲面已知曲面 的面的面a積為積為, , 則則 ds10_；2 2、 dszyxf),(= = yzDzyzyxf),),(_dydz；3 3、 設(shè)設(shè) 為球面為球面2222azyx 在在xoy平面的上方部平面的上方部分分, ,則則 dszyx)(222_；4 4、 zds3_, ,其中其中 為拋物面為拋物面)(222yxz 在

11、在xoy面上方的部分；面上方的部分；5 5、 dsyx)(22_, ,其中其中 為錐面為錐面22yxz 及平面及平面1 z所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面. .練練 習(xí)習(xí) 題題編輯課件24二、計算下列對面積的曲面積分二、計算下列對面積的曲面積分: :1 1、 dszxxxy)22(2, ,其中其中 為平面為平面 622 zyx在第一卦限中的部分；在第一卦限中的部分；2 2、 dszxyzxy)(, ,其中其中 為錐面為錐面22yxz 被被 柱面柱面axyx222 所截得的有限部分所截得的有限部分 . .三、求拋物面殼三、求拋物面殼)10)(2122 zyxz的質(zhì)量的質(zhì)量, ,此殼此殼的面密度的大小為的面密度的大小為z . .四、求拋物面殼四、求拋物面殼)10()(2