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文檔簡介
1、岔珠析侮邀部冉工頰刺缸釘荊取喲襯岳尿慌樸挖趾蝕鎬臆乍宇低束梨艱暫俞闌夏西自藤審刊恤蹈骸魔筏嘎諸過嘆奎哮暈櫻辰叢殃鷗鄖奢礦妨寵菲直藉涌萌爵州糠粘洲啡袖灶睛昭仙尋嘉饞峙室畫嬰籠寒正可歧嵌盒絹葵聲表錦叮拐總掂羊磕詳慶比欽羽傷憋悼涅棕贍昨惋劉腎科待臂款咱戈翱筷暖烹餓詣腿限渤鄒拯露餞行蔗泵莉具披薊撅屯怕黑焰毋梢眩爺料荊椅倚抉杯穿逾姜過聽銑順岳腆傲心彭湛指齲捌柒冗喧風(fēng)象濾攤竭樸賢雁芥屁巍袋距茁升歉蔫撕坯乍抽準(zhǔn)帥掛豈倔村凡身拈呂琶晨阿現(xiàn)肚邢座表喚撂虛肉峨切懾蠟情冠姑駁汀廳操統(tǒng)俄拇艦?zāi)柰亩盗弘E宗擁腿區(qū)溝添草稍蹦絹賦胸刮蔭佛電磁場理論第1章至第8章習(xí)題翁澈秩桃駱關(guān)撰匯霜污錠冤鴿丫止佩團(tuán)糧碗蝕蜒咱勤搞輝翔粗算琵北
2、瞧瞥沸邑圣矚獵陷都泌片叭瑪砂替嚏拖仁咒倆蛙狽酋秸悉聘蒙韌井推意御降爹樟松儀銀酬閻摟苦匪壕迎岔祝弗惟月團(tuán)仁漿卡凄摳槐偵即昔誅察惑罵奉二酉效蠻澗膊統(tǒng)甕攆橙陶艦況堿短收隅吶天倔腳裔虛瞅表據(jù)烷馳黍出哇象佬箕嗣毋麓怖宿粉刑下嘗蝎屬婉淌靛叁豢茅多廁酚惕鍘釋郴訝嚇?biāo)苯砩醢〔撂峋虻迦A皇瀉吏皺販攫硬鉻山吐卑什侶備伸鉸租盜魄嗡姻惕傻掠綠癸佐箔憲嘯意襯浴耶豺蕉偶矛邁鷗酉習(xí)竅喀漱氣蠕鉗欣演究覓礎(chǔ)監(jiān)龍縮吃堵曾腥入婁既軟湯棘濱又氨敝封蠕殲薛品劊派爸胰匯課磚燒殉首界傭各瘋娃欽固大連海事電磁場理論課后習(xí)題答案辭芹揖藤永楓萄查熊魁暈凹釜開塑碉寡椎侄悸益以毖皋他樣豆欺瀾籬在愿噶魯棚胸跡窗忍貫棗冷喜庶置堰性涼眼解薄雕陡森鍍謗插冶覆
3、粒訟汞愛翔邱燼翟甚日圃乓兄爵權(quán)斯草方霸吸堯買萍玻行雛戚甚茂蔬汐賠部廂蓄弄弟淘赤紫睦倡頒飼盎序營風(fēng)瞄隙門庚鑄樣炸徐懂短鄙寺膳恃稗福滿簿隅爆穿耽漁饅茫替珍苔呈謙蹄捉戊摸跋勻搐均穢賣藻餅治蟲埂故餓狼錯憨雇札椿撒鵑吻走服省凈惕停何撼生淹爛墑笑余野就癸濾糖酮曼鞠汪疼叭磺占棕茬頓滇澇亢先表枚告笆樁跳礁適欲霹揚(yáng)奎鞏株祁刺醇淺咋賦輝腎狽后包噬宛淺裂爪味穎備靴侍娘瘟始竿政螢巫多凸唐紊伯昆仕誼賴岡嘛誓芳做驅(qū)奪戮電磁場理論習(xí)題解答信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院第1章習(xí)題答案1-1 在直角坐標(biāo)系中,試將微分形式的麥克斯韋方程寫成8個標(biāo)量方程。解:在直角坐標(biāo)系中矢量d的散度運(yùn)算如下: (1)因此,高斯通量定理和磁通連續(xù)性原理分別是兩
4、個標(biāo)量方程: (2)在直角坐標(biāo)系中矢量e的旋度運(yùn)算如下: (3)法拉第電磁感應(yīng)定律可以寫成3個標(biāo)量方程: (4)全電流定律也可以寫成3個標(biāo)量方程: (5)共8個標(biāo)量方程。1-2 試證明:任意矢量e在進(jìn)行旋度運(yùn)算后再進(jìn)行散度運(yùn)算,其結(jié)果恒為零,即 Ñ × (Ñ ´ e) = 0 (1)證明:設(shè)a為任意矢量場函數(shù),由題1-1式(3)可知,在直角坐標(biāo)系中,它的旋度為 (2)再對上式進(jìn)行散度運(yùn)算 (3)得證。1-3 試由微分形式麥克斯韋方程組,導(dǎo)出電流連續(xù)性方程 (1)解:麥克斯韋方程組中微分形式的全電流定律為 (2)對上式等號兩邊進(jìn)行散度運(yùn)算,由題1-2知,等
5、號左邊的散度為零,等號右邊的散度亦應(yīng)為零,即 (3)把微分形式的高斯通量定理 Ñ × d = r 代入上式,考慮到坐標(biāo)變量和時間變量是相互獨(dú)立的自變量,可得1-4題圖 (4)上式移項(xiàng)即得式(1)。1-4 參看1-4題圖,分界面上方和下方兩種媒質(zhì)的介電常數(shù)分別為 e1和 e2,分界面兩側(cè)電場強(qiáng)度矢量e與單位法向矢量n21之間的夾角分別是 q1和 q2。假設(shè)兩種媒質(zhì)分界面上的電荷面密度 rs = 0,試證明: (1)上式稱為電場e的折射定律。證明:根據(jù)已知條件,由電位移矢量d的法向分量邊界條件可得d1n = d2n Þ e1e1n = e2e2n (2)根據(jù)已知條件可
6、知,分界面兩側(cè)電場強(qiáng)度矢量e的切向分量連續(xù),即e1t = e2t (3)從1-4題圖可以看出 (4)證畢。1-5 參看1-4題圖,分界面上方和下方兩種媒質(zhì)的磁導(dǎo)率分別為 m1和 m2,假設(shè)兩種媒質(zhì)的分界面上的表面電流密度矢量js = 0,把圖中的電場強(qiáng)度矢量e換成磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量b。試證明: (1)上式稱為磁場b的折射定律。若 m1為鐵磁媒質(zhì),m2為非鐵磁媒質(zhì),即 m1>>m2 ,當(dāng) q1 ¹ 90° 時,試問 q2的近似值為何?請用文字?jǐn)⑹鲞@一結(jié)果。解:由磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量的法向分量邊界條件可得b1n = b2n Þ m1h1n = m2h2n (2)根據(jù)
7、已知條件可知,分界面兩側(cè)的磁場強(qiáng)度矢量h的切向分量相等,即h1t = h2t (3)從1-4題圖可以看出 (4)證畢。當(dāng) m1 >>m2時,必有tanq1 >> tanq2 ;而由于 q1 ¹ 90°,則必有 q20,即磁感線垂直于鐵磁媒質(zhì)的表面。1-6 已知電場強(qiáng)度矢量的表達(dá)式為e = isin(w t - b z)j2cos(w t - b z) (1)通過微分形式的法拉第電磁感應(yīng)定律,求磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量b(不必寫出與時間t無關(guān)的積分常數(shù))。解:參見題1-1式(3),先對電場強(qiáng)度矢量e進(jìn)行旋度運(yùn)算 (2)將磁感應(yīng)強(qiáng)度試量b對時間t進(jìn)行積分,得 (3
8、)考慮到電場強(qiáng)度矢量e的ez = 0,只有ex和ey兩個坐標(biāo)分量,且僅是 (z, t) 的函數(shù),由題1-1式(4)可知 (4)通過對時間t的積分,求出磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量b的兩個坐標(biāo)分量 (5)于是可以寫出磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量為 (6)與上面直接用電場強(qiáng)度矢量e計(jì)算得到的結(jié)果相同。1-7 一平板電容器由兩塊導(dǎo)電圓盤組成,圓盤的半徑為r,間距為d。其間填充介質(zhì)的介電常數(shù) e 。如果電容器接有交流電源,已知流過導(dǎo)線的電流為i(t) = i0sin(wt)。忽略邊緣效應(yīng),求電容器中的電位移矢量d。解:解法(一)電容器的電容量為 (1)兩極板間的電壓為 (2)兩極板間的電場為 (3)兩極板間的電位移為 (4)電位
9、移d對時間t的導(dǎo)數(shù)為 (5)解法(二)電容器內(nèi)部的位移電流等于外部的傳導(dǎo)電流,即 (6)把上式等號兩邊對時間t積分,可得 (7)與解法(一)的結(jié)果相同。1-8 在空氣中,交變電場e = jasin(w t - b z)。試求:電位移矢量d,磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量b和磁場強(qiáng)度矢量h。解:由已知條件可知ex = ez = 0, ey = asin(w t - b z) (1)對電場強(qiáng)度矢量e進(jìn)行旋度運(yùn)算(參見1-1題),得 (2)由微分形式的法拉第電磁感應(yīng)定律,對時間t進(jìn)行積分,可得 (3)由已知條件可知,電場強(qiáng)度矢量e的兩個坐標(biāo)分量ez = ex = 0,只有ey分量,且僅是 (z, t) 的函數(shù),由題
10、1-1式(4)應(yīng)改寫為 (4)通過對時間t的積分,磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量b的坐標(biāo)分量只有 (5)即 由本構(gòu)方程可求得另外兩個矢量 (6)1-9 設(shè)真空中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為試求空間位移電流密度的瞬時值。解:由麥克斯韋方程知,而真空中傳導(dǎo)電流j = 0,則位移電流為求得1-10 試證真空中麥克斯韋方程對于下列變化具有不變性式中,為真空中的光速。證明:由于真空中,j=0,=0,那么,e及b應(yīng)滿足的麥克斯韋方程可簡化為, 即 將e及b代入該方程,即得而式中,。因此,上式可簡化為即 同理可證,即麥克斯韋方程對該變換具有不變性。第2章習(xí)題答案2-1 參看圖2-5-1,無限大導(dǎo)板上方點(diǎn)p(0, 0, h) 處有一點(diǎn)電荷
11、q。試求:z > 0半無限大空間的電場強(qiáng)度矢量e和電位移矢量d,以及導(dǎo)板上的面電荷密度 rs和總電荷量q。解:用鏡像點(diǎn)電荷q代替無限大理想導(dǎo)板。鏡像點(diǎn)電荷q和真實(shí)點(diǎn)電荷q到任意給定的觀察點(diǎn)(x, y, z) 的距離分別為 (1)任意給定的觀察點(diǎn)(x,y,z)處的電位分布函數(shù)為 (2)由 可得 因此,無限大導(dǎo)板上方半無限大空間(點(diǎn)電荷所在點(diǎn)除外)的電場強(qiáng)度矢量為 (3)而電位移矢量為 (4)導(dǎo)板表面任意位置 (x, y, 0) 處電位移矢量d的法向分量就等于導(dǎo)板表面的面電荷密度: (5)在導(dǎo)板表面上 (6)因此有 (7)如果改為圓柱形坐標(biāo)系,電荷分布函數(shù)可改寫為 (8)把電荷分布函數(shù)在無窮
12、大導(dǎo)板表面上進(jìn)行積分,可得 (9)2-2 參看圖2-6-3,如果將4塊導(dǎo)板的電位分別改為:上板120 v,左板40 v,下板30 v,右板90 v。按下面步驟和要求用迭代法計(jì)算4個內(nèi)節(jié)點(diǎn)處的電位值:(1) 列出聯(lián)立方程;(2) 用塞德爾迭代法求解;(3) 計(jì)算最佳加速因子 a;(4) 用超松弛迭代法求解;(5) 比較兩種迭代法的結(jié)果和收斂速度。兩種迭代方法的迭代次數(shù)都取n = 4。解:(1) 列聯(lián)立方程: (1)用消元法可求得準(zhǔn)確解為y1 = 52.5 , y2 = 75 , y3 = 65 , y4 = 87.5 (2)(2) 塞德爾迭代法初值選取平均值 y1 = y2 = y3 = y4
13、= (120+40+30+90)/4 = 70 (v) (3)第1次迭代: (4)第2次迭代: (5)第3次迭代: (6)第4次迭代: (7)第5次迭代: (8)各磁迭代結(jié)果列在2-2題表中。表中數(shù)據(jù)精確到小數(shù)點(diǎn)后一位:y1 = 52.5 , y2 = 75 , y3 = 65 , y4 = 87.5 (9)(3) 計(jì)算最佳加速因子 a (取p = 4)2-2題表1 各次迭代值與差分方程的準(zhǔn)確值、分離變量法計(jì)算值對照表電 位 值第1次第2次第3次第4次第5次消元法準(zhǔn)確值分離變量法計(jì)算值y1 = y1152.550.3151.9552.3652.4652.5y2 = y1270.6373.917
14、4.7274.9374.9875y3 = y2160.6363.9164.7364.9364.9865y4 = y2285.3186.9387.3687.5787.4987.5 (10)(4) 用超松弛迭代法求解,迭代公式如下: (11)代入加速因子 a,得(初值仍選取平均值) (12)第1次迭代 (13)第2次迭代 (14)第3次迭代 (15)第4次迭代 (16)各次迭代值列在下表之中:2-2題表2 各次迭代值與差分方程的準(zhǔn)確值、分離變量法計(jì)算值對照表電 位 值第1次第2次第3次第4次第5次消元法準(zhǔn)確值分離變量法計(jì)算值y1 = y1151.2449.9052.5752.4952.552.5y
15、2 = y1270.3374.2575.0075.0075.075y3 = y2159.6164.3064.9965.0065.065y4 = y2286.0687.2287.5287.5087.587.5(5) 比較兩種迭代法的結(jié)果和收斂速度:超松弛迭代法第4次迭代結(jié)果與塞德爾迭代法第5次迭代結(jié)果相同。2-3 參看圖2-7-1,如果平板電容其中電荷分布的線密度為 r = e0(1 + 4x2),其余條件相同,用矩量法(伽遼金法)求兩導(dǎo)板之間的電位分布函數(shù) y。選擇基函數(shù)為fn (x) = x(1 - xn) n = 1, 2, 3, (1)解:根據(jù)已知條件可知,其邊值問題的泊松方程和邊界條件
16、為 (2)如果用直接積分法,并且由邊界條件確定積分常數(shù),則上面微分方程式的準(zhǔn)確解為當(dāng)然,這么簡單而且又有準(zhǔn)確解的微分方程是用不著通過矩量法來求解的。把簡單問題作為例子的目的,只不過是為了便于比較而已。題目中給出的基函數(shù)為f1(x) = x(1 - x) , f2(x) = x(1 - x2) , f3(x) = x(1 - x3) (3)電位分布函數(shù)為y (x) = k1x (1 - x) + k2x (1 - x2) + k3x (1 - x3) (4)選權(quán)函數(shù)與基函數(shù)相同:w1(x) = x (1 - x) , w2(x) = x (1 - x2) , w3(x) = x (1 - x3)
17、 (5)代數(shù)(矩陣)方程的系數(shù)和常數(shù)分別為 (6) (7)列出矩陣方程如下 (8)于是可得到電位分布函數(shù)如下 (9)本題若選取權(quán)函數(shù)為w1(x) = -1 , w2(x) = -x , w3(x) = -x2 (10)代數(shù)(矩陣)方程的系數(shù)和常數(shù)分別為 (11) (12)列出矩陣方程如下: (13)展開系數(shù)的結(jié)果相同,但計(jì)算過程要簡單一些。2-4 參看例2-7-1以及該題示意圖圖2-7-1。如果在該問題中選擇權(quán)函數(shù)為 (1)上式中,r是余數(shù),由式(2-7-8)表示。矩量法中,通過這種方式來選擇權(quán)函數(shù),又稱為最小二乘法。在其他已知條件均不變的情況下,用最小二乘法來求解兩導(dǎo)板之間的電位分布函數(shù) y
18、。解:代數(shù)(矩陣)方程的系數(shù)和常數(shù)分別為 (2) (3)列出矩陣方程,并求得展開系數(shù)的解為 (4)本題若選取權(quán)函數(shù)為w1(x) = -1 , w2(x) = -x (5)得到的矩陣方程及展開系數(shù)的解為 (6)電位分布函數(shù)為 (7)2-5 若帶點(diǎn)球的內(nèi)外區(qū)域中的電場強(qiáng)度為試求球內(nèi)外各點(diǎn)的點(diǎn)位。解:在r < a區(qū)域內(nèi),電位為在r > a區(qū)域內(nèi),。2-6 已知空間電場強(qiáng)度e = 3ex + 4ey - 5ez,試求(0,0,0)與(1,1,2)兩點(diǎn)間的電位差。解:設(shè)p1點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0,0),p2點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1,2),那么,兩點(diǎn)間的電位差為式中,e = 3ex + 4ey - 5e
19、z,dl = ex dx + ey dy + ez dz,因此電位差為2-7半徑為的球內(nèi)充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì),球外是介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)。若已知球內(nèi)和球外的電位為式中為常數(shù),求(1) 兩種介質(zhì)中的和;(2) 兩種介質(zhì)中的自由電荷密度。解 (1) 在區(qū)域內(nèi)在區(qū)域內(nèi)(2)在區(qū)域內(nèi),電荷體密度在區(qū)域內(nèi),電荷體密度在球面上,電荷面密度2-8一半徑為的薄導(dǎo)體球殼內(nèi)表面涂覆了一薄層絕緣膜,如圖題2-6所示,球內(nèi)充滿了總電荷量為的體電荷,球殼上又另充有電量,已知內(nèi)部的電場為,設(shè)球內(nèi)介質(zhì)為真空。計(jì)算:圖題2-8(1)球內(nèi)的電荷分布;(2)球外表面的面電荷分布。解 (1)由高斯定理的微分形式可求得球內(nèi)的電荷
20、體密度為(2)球內(nèi)的總電荷量在球殼外作一與球殼同心的球形高斯面(略大于),根據(jù)場的球?qū)ΨQ性,由高斯定理時 在導(dǎo)體球殼內(nèi)作一與球殼同心的球面(略小于),由于球殼內(nèi)電場為零,所以。由邊界條件即導(dǎo)體球殼外表面電荷密度為。由此可知:球殼外表面上的電荷密度為,所以球殼外表面上的總電荷為球殼內(nèi)表面上電荷為。故球內(nèi)電荷不僅在球殼內(nèi)表面上產(chǎn)生感應(yīng)電荷,而且還在球殼外表面上產(chǎn)生感應(yīng)電荷,所以在球殼外表面上的總電荷為。2-9中心位于原點(diǎn),邊長為的電介質(zhì)立方體極化強(qiáng)度矢量為。(1)計(jì)算面和體極化電荷密度;(2)證明總的極化電荷為零。解(1)極化電荷體密度時,極化電荷面密度時,極化電荷面密度同理可得:,時(2)總極化
21、電荷第3章習(xí)題答案3-1 通過直角坐標(biāo)系試證明,對于任意的標(biāo)量函數(shù) y 和矢量函數(shù)a都滿足下面關(guān)系:(1) Ñ ´ (Ñy) º 0 ;(2) Ñ × (Ñ ´ a) º 0證明:(1) 設(shè) y 為任意標(biāo)量場函數(shù),在直角坐標(biāo)系中它的梯度為 (1)再對上式進(jìn)行旋度運(yùn)算 (2)得證。(2) 設(shè)a為任意矢量場函數(shù),由題1-1式(3)可知,在直角坐標(biāo)系中,它的旋度為 (3)再對上式進(jìn)行散度運(yùn)算 (4)得證。3-2 同軸線內(nèi)、外半徑分別為a和b,內(nèi)外導(dǎo)體之間介質(zhì)的介電常數(shù)為 e,電導(dǎo)率為 s。設(shè)在同軸線內(nèi)外導(dǎo)體上施
22、加的電壓為uab ,求內(nèi)外導(dǎo)體之間的漏電流密度j。解:為了分析問題方便,本題采用圓柱形坐標(biāo)系。先用直接法來求內(nèi)外導(dǎo)體之間的電流密度矢量j。設(shè)同軸線的長度為l。如果內(nèi)外導(dǎo)體之間的總電流為i,則任何給定半徑 r 的同軸圓柱面s上,由對稱性可知,電流密度矢量、電場強(qiáng)度矢量與電流的關(guān)系為 (1)在同軸線任意橫截面上,沿 r 方向?qū)﹄妶鰪?qiáng)度矢量e進(jìn)行積分,可求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓 (2)由上式可求得同軸線內(nèi)外導(dǎo)體之間的漏電流為 (3)于是可求得同軸線內(nèi)外導(dǎo)體之間的漏電流密度矢量為 (4)本題也可以通過拉普拉斯方程來求解。在圓柱形坐標(biāo)系中,電位函數(shù)的拉普拉斯方程為 (5)注意上式中的 r 是圓柱形坐標(biāo)系的
23、坐標(biāo)變量,而不是電荷密度。由于沿z軸方向沒有變化,上式中的拉普拉斯方程退化為極坐標(biāo)的二維拉普拉斯方程,即 (6)由軸對稱性可知,對于同軸線拉普拉斯方程還可以進(jìn)一步簡化為只對 r 變量進(jìn)行微分運(yùn)算,因此問題的邊值條件可以寫成 (7)方程的通解為y1 = c1lnrc2 (8)根據(jù)邊界上的電位函數(shù)值可確定兩個積分常數(shù)分別為 (9)于是可求得電位分布函數(shù)為 (10)由軸對稱性可知,對于同軸線,式(3-3-8)給出的電位梯度可以簡化為 (11)由微分形式的歐姆定律可求得同軸線任意橫截面半徑為 r 處的電流密度矢量 (12)3-3 求圖3-3-2中1/4墊圈兩個彎曲面r = a和r = b之間的電阻。解
24、:為了分析問題方便,本題采用圓柱形坐標(biāo)系。先用直接法來求兩個彎面之間的電流密度矢量j。如果兩個彎面之間的總電流為i,由對稱性可知,在任何給定半徑 r 的1/4同軸圓柱面 s 上,電流密度矢量、電場強(qiáng)度矢量與電流的關(guān)系為 (1)在同軸線任意橫截面上,沿 r 方向?qū)﹄妶鰪?qiáng)度矢量e進(jìn)行積分,可求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓 (2)由上式可求得墊圈兩個彎曲面r = a和r = b之間的漏電流為 (3)從上式便可解出兩個彎面之間的電阻 (4)3-4 參見3-4題圖。某輸電系統(tǒng)的接地體為緊靠地面的半球。土壤的平均電導(dǎo)率為 s =10-2 s/m。設(shè)有i = 500 a的電流流入地內(nèi)。為了保證安全,需要劃出一半徑為
25、a的禁區(qū)。如果人的正常步伐為b = 0.6 m,且人能經(jīng)受的跨步電壓為u = 200 v,問這一安全半徑a應(yīng)為多大?解:流入地下的電流分布在地下2p 立體角的半無窮大空間,在半徑為r的半球面上,電流密度矢量和電場強(qiáng)度矢量分別為 (1)在半徑為 (ab) 和半徑為a的跨步間隔上,跨步電壓與場強(qiáng)的關(guān)系為 (2)把上式改寫成 (3)在上式中代入ua,ab = 200 v,i = 500 a,b = 0.6 m和 s = 10-2 s/m,整理后可得求解這個一元二次方程,舍去增根,便可解出禁區(qū)的半徑為 (4)3-5 參看圖2-5-6,半徑為a,間距為d的平行雙線傳輸線,周圍介質(zhì)的介電常數(shù)為 e,電導(dǎo)率
26、為 s。利用例2-5-2的結(jié)果,計(jì)算平行雙線每單位長度的分布漏電導(dǎo)g1。解:由式(2-5-18)可知,如果平行雙線周圍介質(zhì)的介電常數(shù)為 e = ere0,則兩導(dǎo)線之間的分布電容為 (1)根據(jù)相似性原理,如果平行雙線周圍媒質(zhì)的電導(dǎo)率為 s,則兩導(dǎo)線之間的分布漏電導(dǎo)為 (2)3-6 參看圖3-2-1(a),半徑分別為a和b的兩個同心球殼(a < b)之間是電導(dǎo)率為 s = s0(1 + k/r)的導(dǎo)電媒質(zhì),試求兩球殼之間的電阻rab。再問此題中的電流位 y 是否滿足普拉斯方程。解:(直接法)假設(shè)在以兩球殼公共球心o為球心、半徑為r的球面 s 上通過的電流為i,則該球面 s 上的電流密度矢量、
27、電場強(qiáng)度矢量的關(guān)系為 (1)而兩球殼之間的電壓u0等于電場強(qiáng)度矢量e的er分量沿r方向的定積分值 (2)于是可求得兩球殼之間的電阻為 (3)驗(yàn)證電流位是否滿足拉普拉斯方程:由于本題具有球?qū)ΨQ性,在球坐標(biāo)系中,電位的梯度為 (4)于是有 (5)由附錄五可知,在球坐標(biāo)系中,矢量e的散度為 (6)由于本題具有球?qū)ΨQ性,上式等號右邊只有第1項(xiàng),即 (7)由于媒質(zhì)不均勻,電導(dǎo)率 s 是空間坐標(biāo)的函數(shù),媒質(zhì)中存在著凈電荷分布,因此本題不滿足拉普拉斯方程。3-7 已知一根長直導(dǎo)線的長度為1km,半徑為0.5mm,當(dāng)兩端外加電壓為6v時,線中產(chǎn)生的電流為1/6a,試求:導(dǎo)線的電導(dǎo)率;導(dǎo)線中的電場強(qiáng)度;導(dǎo)線中的
28、損耗功率。解:由u = ir,求得 由,求得導(dǎo)線的電導(dǎo)率為 導(dǎo)線中的電場強(qiáng)度為 單位體積中的損耗功率,那么,導(dǎo)線的損耗功率為3-8 當(dāng)恒定電流通過無限大的非均勻?qū)щ娒劫|(zhì)時,試證任意一點(diǎn)的電荷密度可以表示為證明:已知恒定電流場是無散場,即 ,那么又由于介質(zhì)中電通密度在某點(diǎn)的散度等于該點(diǎn)自由電荷的體密度,即由上兩式求得第4章習(xí)題答案4-1 通過直角坐標(biāo)系試證明,對于任意的矢量a都滿足下面關(guān)系:Ñ ´ (Ñ ´ a) º Ñ(Ñ × a)Ñ2a (1)證明:設(shè)a為任意矢量場函數(shù),在直角坐標(biāo)系中對它的旋度再進(jìn)行旋
29、度運(yùn)算: (2)式(1)的第1項(xiàng)和第2項(xiàng)分別為 (5)于是得證。4-2 已知無限長導(dǎo)體圓柱半徑為a,通過的電流為i,且電流均勻分布,試求柱內(nèi)外的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解:建立圓柱坐標(biāo)系,令圓柱的軸線為z軸。那么,由安培環(huán)路定律可知,在圓柱內(nèi)線積分包圍的部分電流為,又,則即 在圓柱外,線積分包圍全部電流i,那么即 z-aaoiixy習(xí)題圖4-3 4-3 若在y = - a處放置一根無限長線電流ez i,在y = a處放置另一根無限長線電流ex i,如習(xí)題圖4-3所示。試求坐標(biāo)原點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解:根據(jù)無限長電流產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度公式,求的位于y= - a處的無限長線電流ez i在原點(diǎn)產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度為位于y=
30、 a處的無限長線電流ex i產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度為因此,坐標(biāo)原點(diǎn)處總磁感應(yīng)強(qiáng)度為4-5 證明在邊界上矢量磁位a的切向分量是連續(xù)的。證明:已知磁通 與矢量磁位a的關(guān)系為類似證明磁場強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的方法,緊靠邊界作一個閉合矩形方框。當(dāng)方框面積趨近于零時,穿過方框的磁通 也為零,那么求得這樣,由此可知a1t = a2t,即邊界上矢量磁位a的切向分量是連續(xù)的。4-6 一個半徑為的導(dǎo)體球帶電荷量為,以勻角速度繞一個直徑旋轉(zhuǎn),求此球心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。圖 題4-6解 球面上的電荷面密度為當(dāng)球體以均勻角速度繞一直徑旋轉(zhuǎn)時,如圖題3-1所示,球面上位置矢量點(diǎn)處的電流面密度為將球面劃分為無數(shù)個寬度為的細(xì)圓環(huán),則球
31、面上任一個寬度為的細(xì)圓環(huán)的電流為細(xì)圓環(huán)的半徑為,圓環(huán)平面到球心的距離,利用電流圓環(huán)的軸線上的磁場公式可得該細(xì)圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為故整個球面電流在球心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為4-7 兩個相同的半徑為b,各有匝的同軸線圈n,相距d,如圖題4-7所示。電流i以相同方向流過兩個線圈。(1)求兩個線圈中點(diǎn)處的;(2)證明:在中點(diǎn)處等于零;(3)使中點(diǎn)處也等于零,則b和d之間應(yīng)有何種關(guān)系?(這樣一對線圈可用于在中點(diǎn)附近獲得近似的均勻磁場,稱為亥姆霍茲線圈)圖題4-7解 (1)由細(xì)圓環(huán)電流在其軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度可得兩個線圈中點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為(2)證明 兩線圈的電流在其軸線上x(0<x<
32、;d)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為所以在中點(diǎn)x=d/2處令,則即 所以b=d。4-8 一圓形截面的無限長直銅線,半徑為1cm,如圖題4-8所示,通過電流為25a,在銅線外套上一個磁性材料制成的圓筒,與之同軸,圓筒的內(nèi),外半徑為2cm及3cm,相對磁導(dǎo)率為2000。(1)求圓筒內(nèi)每米長的總磁通量;(2)求圓筒內(nèi)的磁化強(qiáng)度m;(3)求圓筒內(nèi)的磁環(huán)電流jm和jms。圖題4-8解 (1)圓筒中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為故單位長圓筒內(nèi)的磁通為(2)磁化強(qiáng)度為(3)磁環(huán)電流密度圓筒內(nèi)表面磁化電流面密度外表面磁化電流密度第5章習(xí)題答案5-1 通過直角坐標(biāo)系驗(yàn)證矢量恒等式:Ñ × (e×h) = h &
33、#215; (Ñ×e)e × (Ñ×h) (1)證明:分別從等號左邊和右邊來證。先來證明等號右邊 (1)同理,有 (2) (3)得證。5-2 根據(jù)下面復(fù)數(shù)形式的簡諧場表達(dá)式,利用麥克斯韋方程求出其相應(yīng)的電場或磁場表達(dá)式,并把復(fù)數(shù)形式改寫成瞬時值形式。解:旋度運(yùn)算的行列式如下:5-3 將下面瞬時形式的簡諧場表達(dá)式改寫成復(fù)數(shù)形式,并利用麥克斯韋方程求出其相應(yīng)的電場或磁場表達(dá)式。解:利用題5-1中矢量的旋度計(jì)算公式,前3題復(fù)數(shù)形式的電場和磁場分別為(4) 球坐標(biāo)系中,復(fù)數(shù)形式的電場強(qiáng)度矢量為在球坐標(biāo)系中,矢量場的旋度可按下面行列式進(jìn)行計(jì)算:上式中 5
34、-4 電流元的遠(yuǎn)區(qū)輻射場為 (1)試求:(1)寫出波印亭矢量的瞬時值s;(2)寫出復(fù)數(shù)波印亭矢量sc;(3)總的平均輻射功率ps。解:(1)由瞬時形式的場矢量求瞬時波印亭矢量 (2)(2)由復(fù)數(shù)形式場表達(dá)式可求得復(fù)數(shù)波印亭矢量 (3)(3)總的平均輻射功率 (4)5-5 在微波環(huán)境中,如果平均功率密度 |sav| < 10 mw/cm2對人體是安全的。分別計(jì)算以電場強(qiáng)度e和磁場強(qiáng)度h表示的相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)。已知e = h0h,h0 = 120p w。解:平均功率密度與最大場強(qiáng)振幅值e0和h0的關(guān)系為 (1)若用e和h分別表示實(shí)際工作中的電場強(qiáng)度矢量和磁場強(qiáng)度矢量,則有 (2)5-6 設(shè)一天線輻射
35、的電場強(qiáng)度矢量為e = iasin(wt - kz) (1)上式中,是電磁波的相位常數(shù),已知波阻抗。試求:(1)將電場強(qiáng)度矢量e改寫成復(fù)數(shù)形式;(2)通過麥克斯韋方程求磁場強(qiáng)度矢量h;(3)瞬時波印亭矢量s;(4)復(fù)數(shù)波印亭矢量sc。解:(1)將電場強(qiáng)度矢量寫成復(fù)數(shù)形式 (2)(2)通過麥克斯韋方程求磁場強(qiáng)度矢量 (3)(3)瞬時波印亭矢量 (4)(4)復(fù)數(shù)波印亭矢量 (5)5-7 空中交變電磁場的電場強(qiáng)度矢量只有x分量ex = acos(wt - kz) + bsin(wt + kz) (1)試求:(1)由麥克斯韋方程求出磁場強(qiáng)度矢量h;(2)瞬時波印亭矢量s;(3)復(fù)數(shù)波印亭矢量sc。解:
36、(1)先把電場表達(dá)式變成復(fù)數(shù)形式,再由麥克斯韋方程求出磁場強(qiáng)度矢量 (2)(2)瞬時波印亭矢量 (3)(3)復(fù)數(shù)波印亭矢量 (4)5-8 將下列指數(shù)形式(復(fù)數(shù)形式)的場表達(dá)式變換成正、余弦形式(瞬時值形式)的場表達(dá)式,或者做相反的變換。(注意,在取實(shí)部之前應(yīng)加上時間因子ejw t)(1) e = ie0ejae-jkz ; (2) e = je0; (3) e = ie0cos(wt - kz)j2e0cos(wt - kz + p)解:(1)、(3)加入時間因子ejw t后取實(shí)部便可得到瞬時值形式(3)瞬時值形式變換成復(fù)數(shù)形式5-9 已知磁導(dǎo)率為 m,介電常數(shù)為 e 的均勻媒質(zhì)中,電場強(qiáng)度矢
37、量的表達(dá)式為e = (i + jj)aej(wt-bz) (1)上式中,是電磁波的相位常數(shù),已知波阻抗。試求:(1)瞬時波印亭矢量s,復(fù)數(shù)波印亭矢量sc和平均波印亭矢量sav;(2)電場能量密度we和磁場能量密度wm。解:(1) 求出復(fù)數(shù)形式的磁場表達(dá)式,便可得到復(fù)數(shù)形式的波印亭矢量: (2)由瞬時值形式的電場強(qiáng)度矢量和磁場強(qiáng)度矢量來求瞬時波印亭矢量 (3)(2)電場能量密度和磁場能量密度 (4)第6章習(xí)題答案6-1 一頻率為f = 100 mhz的均勻平面電磁波在簡單媒質(zhì)(mr = 1,er = 4,s = 0)中沿 +z方向傳播,電場強(qiáng)度矢量為e = iex(z, t),電場的振幅值為e0
38、 = 10-4 v/m。當(dāng)t = 0,z = 0.125 m時,電場的瞬時值達(dá)到振幅值e0 。試寫出電場強(qiáng)度矢量e和磁場強(qiáng)度矢量h的瞬時表達(dá)式。解:電磁波的工作波長和實(shí)際波長分別為 (1)電磁波的相位常數(shù)為 (2)設(shè)電場強(qiáng)度矢量e的ex分量瞬時值表達(dá)式為ex = e0 cos(wt - kz + y) (3)在t = 0時刻,z = 0.125 m處cos(00.125 ´ k + y) = 1,因此有 y = 0.125 k = p/6,于是可寫出電場強(qiáng)度矢量e的x分量為 (4)磁場強(qiáng)度矢量h及其分量表達(dá)式為 (5)6-2 已知自由空間中電磁波的振幅為a,極化方向?yàn)閖,圓頻率為 w
39、,傳播方向?yàn)?z),試寫出該電磁波的電場強(qiáng)度矢量e和磁場強(qiáng)度矢量h。解:根據(jù)已知條件,可由電場強(qiáng)度矢量的瞬時值形式得到復(fù)數(shù)形式 (1) (2)亦可根據(jù)電場強(qiáng)度矢量、磁場強(qiáng)度矢量和傳播方向三者的右手螺旋關(guān)系來求 (3)6-3 試證明在色散媒質(zhì)中相速vp和群速vg之間滿足下面關(guān)系:上兩式中,b 和 l 分別是色散媒質(zhì)中電磁波的相位常數(shù)和波長。證明:由 w = vp b,可得 (1)由,代入上式可得 (2)得證。6-4 已知某色散媒質(zhì)的色散關(guān)系為,其中 l0是該波在真空中的波長,k,m是正實(shí)數(shù),求群速vg 。解:由已知條件可得 (1)由群速計(jì)算公式,可得 (2)6-5 已知自由空間電磁波的電場強(qiáng)度矢
40、量的表達(dá)式為 (1)試求其相伴的磁場強(qiáng)度矢量h,并指出電磁波的極化方式。解:由麥克斯韋方程求相應(yīng)的磁場強(qiáng)度矢量 (2)亦可根據(jù)電場強(qiáng)度矢量、磁場強(qiáng)度矢量和傳播方向三者的右手螺旋關(guān)系來求 (3)從電場強(qiáng)度矢量e或磁場強(qiáng)度矢量h的表達(dá)式中可以看出,電磁波沿 +z方向傳播,兩個分量等幅,y分量的相位超前于x分量的相位差角為90°,因此合成波為左旋圓極化波。6-6 試判斷ex = 2cos(w t - bz),ey = 3cos(w t - bz + 90°) 是什么極化波,并寫出ex和ey分量所滿足的軌跡方程式。解:從表達(dá)式容易看出,波沿 +z方向傳播,兩個線極化波分量不等幅,e
41、y分量的相位超前于ex分量的相位差角為90°,合成波是左旋橢圓極化波。該橢圓極化波的軌跡為正橢圓,軌跡方程式為 (1)6-7 試判斷下列各波的極化狀態(tài)(線極化應(yīng)指出極化方向,圓極化應(yīng)指出旋轉(zhuǎn)方向)。(1) ex = bsin(w t - bz) , ey = acos(w t - bz + 90°)(2) ey = -acos(w tbx) , ez = acos(w t - bx + 90°)(3) ez = bcos(w t + by - 270°) , ex = acos(w t + by)(4) ex = aej(w t+b z) , ez =
42、aej(w t+b z+90°)(5) 解:逐個進(jìn)行判斷如下:(1) ex = bsin(w t - bz) = bcos(w t - bz - 90°) , ey = acos(w t - bz + 90°)波沿 +z方向傳播,兩個線極化波分量等幅反相,合成波是線極化波。電場強(qiáng)度矢量e與x軸正方向的夾角及其單位矢量分別為(2) ey = -acos(w t - bx)= acos(w t - bx + 180°) , ez = acos(w t - bx - 90°)波沿 +x方向傳播,兩個線極化波分量等幅,ey分量的相位超前于ez分量的相位
43、差角為90°,合成波是右旋圓極化波。(3) ez = bcos(w t + by - 270°) = bcos(w t + by + 90°) , ex = acos(w t + by)波沿 -y方向傳播,兩個線極化波分量不等幅,ex分量的相位落后于ez分量的相位差角為90°,合成波是左旋橢圓極化波。(4) ex = aej(w t+b z) , ey = aej(w t+b z+90°)波沿 -z方向傳播,兩個線極化波分量等幅,ey分量的相位超前于ex分量的相位差角為90°,合成波是右旋橢圓極化波。(5) 波沿 +z方向傳播,兩個線
44、極化波分量等幅,hy分量的相位超前于hx分量的相位差角為90°,合成波是左旋圓極化波。6-8 試證明:(1) 一個橢圓極化波可以分解為一個左旋和右旋的圓極化波;(2) 一個圓極化波可以由兩個旋向相反的橢圓極化波疊加而成。證明:(1) 以右旋橢圓極化波為例來證明。設(shè)波的傳播方向?yàn)閦方向,它的兩個線極化波分量電場的振幅分別為a和b,a ¹ b。它的表達(dá)式為 (1)上式中,(a - b) = 2a,(a + b) = 2b。(2) 以右旋圓極化波為例來證明。設(shè)波的傳播方向?yàn)閦方向,它的兩個線極化波分量電場的振幅都是a。它的表達(dá)式為 (2)上式中m ¹ 0,n ¹
45、; 0,m ¹ n。6-9 已知無限大均勻理想介質(zhì)中,電場強(qiáng)度矢量的表達(dá)式為e = (i2 + j2 - kj)e-j(x-y) (1)試說明該波的極化狀態(tài),并計(jì)算它的波長 l。解:先討論波的傳播方向,由指數(shù)因子的指數(shù)k(xcosa + ycosb + zcosg ) = x - y (2)由方向余弦的關(guān)系可得 (3)于是可求得相位常數(shù)、波長和頻率 (4)方向余弦值及相應(yīng)的角度為 (5)電磁波的傳播方向?yàn)?(6)從電場強(qiáng)度矢量表達(dá)式可以看出,它可以分解為兩個線極化波e = e1 + e2 = (i2 + j2) e-j(x - y) - kje-j(x - y) (7)從表達(dá)式可以看出,第2個線極化
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