常微分方程與動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)

1、常微分方程 課程大綱1、 課程簡(jiǎn)介課程名稱： 常微分方程學(xué)時(shí)/ 學(xué)分：3/54先修課程： 數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù),空間解析幾何， 或線性代數(shù)（行列式，矩陣與線性方程組，線性空間Fn,歐氏空間Rn,特征值與矩陣的對(duì)角化）,高等 數(shù)學(xué)（多元微積分，無(wú)窮級(jí)數(shù)）。面向?qū)ο螅罕究贫昙?jí)或以上學(xué)生教學(xué)目標(biāo)：圍繞基本概念與基本理論、具體求解和實(shí)際應(yīng)用三條主線開展教學(xué)活動(dòng)，通過該課程的教學(xué)，希望學(xué)生正確理解常微分方程的基本概念，掌握基本理論和主要方法， 具有一定的解題能力和處理相關(guān)應(yīng)用問題的思維方式，如定性分析解的性態(tài)和定量近似求解等思想 ， 并希望學(xué)生初步了解常微分方程的近代發(fā)展，為學(xué)習(xí)動(dòng)力系統(tǒng)學(xué)科的近代內(nèi)容和

2、后續(xù)課程打下基礎(chǔ)。2、 教學(xué)內(nèi)容和要求常微分方程的教學(xué)內(nèi)容分為七部分， 對(duì)不同的內(nèi)容提出不同的教學(xué)要求。（數(shù)字表示供參考的相應(yīng)的學(xué)時(shí)數(shù)，第一個(gè)數(shù)為課堂教學(xué)時(shí)數(shù)，第二個(gè)數(shù)為習(xí)題課時(shí)數(shù) ）第一章 基本概念（ 2 ， 0 ）（一）本章教學(xué)目的與要求：要求學(xué)生正確掌握微分方程，通解，線性與非線性，積分曲線，線素場(chǎng)（方， 定解問題等基本概念。 本章教學(xué)重點(diǎn)解釋常微分方程解的幾何意義。（二）教學(xué)內(nèi)容：1 由實(shí)際問題：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)即距離與時(shí)間關(guān)系（牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律） ，放射性元素衰變過程， 人口總數(shù)發(fā)展趨勢(shì)估計(jì)等， 通過建立數(shù)學(xué)模型， 導(dǎo)出微分方程。2 基本概念 （常微分方程，偏微分方程，階，線性，非線性，解，

3、定解問題，特解，通解等） 。3 一階微分方程組的幾何定義，線素場(chǎng)（方向場(chǎng)） ，積分曲線。4常微分方程所討論的基本問題。第二章 初等積分法（ 4 ， 2 ）（一）本章教學(xué)目的與要求：要求學(xué)生熟練掌握分離變量法， 常數(shù)變易法， 初等變換法， 積分因子法等初等解法。本章教學(xué)重點(diǎn)對(duì)經(jīng)典的幾類方程介紹基本解法， 勾通初等積分法與微積分學(xué)基本定理的關(guān)系。并通過習(xí)題課進(jìn)行初步解題訓(xùn)練，提高解題技巧。（二）教學(xué)內(nèi)容：1 . 恰當(dāng)方程（積分因子法）；2 . 分離變量法3 . 一階線性微分方程（常數(shù)變易法）4 .初等變換法（齊次方程，伯努利方程，黎卡提方程）5 應(yīng)用舉例第三章常微分方程基本定理（ 10 ， 2）（

4、一）本章教學(xué)目的與要求：要求學(xué)生正確掌握存在和唯一性定理及解的延伸的含義，熟記初值問題的解存在唯一性條件，正確理解解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性和可微性的幾何含意。本章教學(xué)重點(diǎn)是介紹常微分方程基本定理， 給出幾何含意， 不追求定理?xiàng)l件的減弱，所涉及的方程至少是連續(xù)，使條件、結(jié)論及證明簡(jiǎn)潔，學(xué)生易于掌握，也為本學(xué)科的后續(xù)課程奠定基礎(chǔ)。 在習(xí)題課中， 可介紹這些基本定理的應(yīng)用， 如證明初等函數(shù)恒等式，及推導(dǎo)歐拉公式。（二）教學(xué)內(nèi)容：1 .皮卡存在和唯一性定理，用構(gòu)造畢卡序列，并有它的一致收斂性來(lái)證明 此定理 ;2 .佩亞若存在定理；3 解的延拓（幾何含意） ;用兩個(gè)例子說(shuō)明延拓到邊界的含義：時(shí)間的邊界

5、或狀態(tài)空間的邊界。4 . 解的全局存在唯一性定理，為動(dòng)力系統(tǒng)理論奠定基礎(chǔ)。5 .比較定理 （幾何含意） ；6 解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性（幾何含意） ；7 解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)可微性（幾何含意） 。第四章奇解（ 2，1）（一）本章教學(xué)目的與要求：要求學(xué)生正確掌握微分方程奇解的定義，并對(duì)幾類一階隱式方程會(huì)求奇解。本章教學(xué)重點(diǎn)是給出奇解的幾何含意： 不滿足微分方程解的存在唯一性定理。（二）教學(xué)內(nèi)容：1. 一階隱式方程；2. 奇解；3 包絡(luò)第五章 高階微分方程與線性微分方程組（ 12 ， 4 ）（一）本章教學(xué)目的與要求：要求學(xué)生掌握高階微分方程轉(zhuǎn)化為微分方程組的方法， 準(zhǔn)確掌握向量函數(shù)線性無(wú)關(guān)，基礎(chǔ)

6、解陣等基本概念和常數(shù)變易法，待定系數(shù)法，疊加原理，劉維爾公式等；熟記線性齊次方程組解空間的結(jié)構(gòu)和通解表示；熟練掌握 exp（At） 和基本解陣的計(jì)算，以及初值問題的求解。本章教學(xué)重點(diǎn)是線性齊次方程組解空間的結(jié)構(gòu)和線性非齊次微分方程組通解表示， 在習(xí)題課上加強(qiáng)求常系數(shù)線性微分方程組通解的訓(xùn)練， 并介紹用計(jì)算機(jī)符號(hào)運(yùn)算系統(tǒng)軟件包計(jì)算exp（At） 。（二）教學(xué)內(nèi)容：1 .高階微分方程（高階微分方程與方程組關(guān)系，一般理論，高階常系數(shù)線性微分方程的解法）2 .線性微分方程組（線性方程組白矩陣記法；定解問題和向量，矩陣的模初值問題解的存在唯一性， 齊次方程組解空間的結(jié)構(gòu) ; 非齊次線性微分方程組和常數(shù)變

7、易公式） ;3 .常系數(shù)線性微分方程組（exp（At）的定義，性質(zhì)和計(jì)算；齊次方程組的基本解陣和初值問題；非齊次方程組及其初值問題）4 . 周期系數(shù)的線性微分方程組第六章首次積分（ 6 ， 2 ）（一）本章教學(xué)目的與要求：要求學(xué)生正確掌握首次積分的定義，性質(zhì)和求首次積分的基本方法。本章教學(xué)重點(diǎn)是首次積分的性質(zhì)和意義， 它可看作線性微分方程組的一般理論在非線性微分方程組中的推廣。習(xí)題課上加強(qiáng)首次積分求法的訓(xùn)練，和保守系統(tǒng)判定。（二）教學(xué)內(nèi)容：1 首次積分的定義；2 . 首次積分的性質(zhì)（ 首次積分存在的充要條件，通過首次積分可降階，通積分 ） ；3 首次積分的存在性，保守系統(tǒng)，梯度系統(tǒng)。第七章定性

8、理論與分支理論初步（ 6， 1）（一）本章教學(xué)目的與要求：要求學(xué)生正確掌握動(dòng)力系統(tǒng)的基本概念，奇點(diǎn)及其分類，李雅普諾夫函數(shù)，穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定等概念；熟練掌握判別二階線性系統(tǒng)奇點(diǎn)分類及其穩(wěn)定性；掌握用線性近似判別奇點(diǎn)的穩(wěn)定性，以及初步掌握李雅普諾夫第二方法。本章教學(xué)重點(diǎn)是奇點(diǎn)及其分類，李雅普諾夫函數(shù)，穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定等概念；以及用線性近似判別奇點(diǎn)的穩(wěn)定性和初步掌握李雅普諾夫第二方法使用。（二）教學(xué)內(nèi)容：1. 動(dòng)力系統(tǒng)、相空間與軌線（相空間、軌線、平衡點(diǎn)（奇點(diǎn)）、動(dòng)力系統(tǒng)等）2. 解的穩(wěn)定性（李雅普偌夫穩(wěn)定性定義, 線性近似判別穩(wěn)定性, 李雅普偌夫第二方法 ）3. 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與分支4. 平面動(dòng)力系統(tǒng)的奇

9、點(diǎn)與極限環(huán)（以 Van der Pol 方程為例介紹概念） 。課程考核及說(shuō)明最終成績(jī)由平時(shí)作業(yè)、課堂表現(xiàn)、小組大作業(yè)、結(jié)業(yè)考試成績(jī)組合而成。各部分所占比例如下：平時(shí)作業(yè)和上課參與程度： 10% 。主要考核對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度、口頭及文字表達(dá)能力。小組大作業(yè)及報(bào)告討論： 20% 。主要考核應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析解決問題、創(chuàng)造性工作及文字表達(dá)等方面的能力。結(jié)業(yè)考試： 70% ，主要考核對(duì)常微的基本概念和基本理論，以及求解的技巧和方法的掌握程度和應(yīng)用能力。四、 教材與參考資料丁同仁，李承治常微分方程 ，高等教育出版社， 2004Morris W. Hirsch, Stephen Smale and Robert L. Devaney, “ Di ?erential Equations, Dynamical Sy