四邊形知識題型總結(jié)

1、四邊形知識與題型總結(jié).本章知識要求和結(jié)構(gòu)1. 掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它們之間的內(nèi)在關(guān)系 .1）演變關(guān)系圖：（2）從屬關(guān)系（依據(jù)演變關(guān)系圖，將四邊形，平行四邊形，梯形，矩形，菱形，正方形， 等腰梯形，直角梯形填入下面的從屬關(guān)系圖中， 其中每一個(gè)圓代表一種圖形）2. 探索并掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有關(guān)性質(zhì)和常用判別方法，并能運(yùn)用這些知識進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算名稱平行四邊形矩形菱形正方形定義的四邊形是平行四邊形的平行四邊形是矩形的平行四邊形是 菱形的平行四邊形是正方形邊性角質(zhì)對 角 線判邊角定對 角 線面 積周 長3. （ 1）平行四邊形的面積等于它

2、的底和該底上的高的積如圖 1，S ABCD =BC·AE=CD·BF圖2F圖1（2）同底 （等底 ）同高（等高）的平行四邊形面積相等 .如圖 2，S ABCD = S BCFE4. 三角形中位線定理定義 : 叫做三角形中位線 （與中線的區(qū)分） ; 定理:作用 :可以證明兩條直線平行 ;線段的相等或倍分 .拓展 :三角形共有三條中位線，并且它們將原三角形分割成四個(gè)的小三角形， 其面積和周長分別為原三角形面積和周長的 和 ;（4）直角三角形的性質(zhì)定理 : 直角三角形斜邊上的中線5.正方形：（1）對角線：若正方形的邊長為 a，則對角線的長為2a正方形的一條對角線上的一點(diǎn)到另一條對

3、角線的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等3）面積：正方形的面積等于邊長的平方; 等于兩條對角線的乘積的一半周長相等的四邊形中， 正方形的面積最大 .6. 梯形的中位線1）定義 :連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線2）梯形的中位線定理 : 梯形的中位線平行于兩底，且等于兩底和的一半13）梯形的面積 S=12 ×（上底+下底） ×高=中位線 ×高7.幾種特殊四邊形的對角線 矩形對角線交角為 60 （120 ）時(shí) ,可得： 等邊三角形和含 30 角直角三角形 菱形有一個(gè)角為 60 時(shí) , 可得：含 30 角的四個(gè)全等直角三角形 正方形中可得：四大四小等腰直角三角形 對角線互相垂直的

4、梯形 平移腰可得：雙垂圖（圖） 對角線互相垂直的等腰梯形可得：等腰直角三角形圖）8. 中點(diǎn)四邊形 : (頂點(diǎn)為各邊的中點(diǎn)，需討論對角線 & 中位線)(1) 順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是 (2) 順次連結(jié)對角線相等的四邊形的各邊中點(diǎn) , 構(gòu)成的四邊形是 (3) 順次連結(jié)對角線互相垂直的四邊形的各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是 (4) 順次連結(jié)平行四邊形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是 順次連結(jié)矩形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是 順次連結(jié)菱形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是 順次連結(jié)直角梯形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是 順次連結(jié)等腰梯形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是 典型題型歸納一)概念題1ABCD 中， A 的平分線分 BC

5、成 4cm 和 3cm 兩條線段，則 ABCD 的周長為 2在ABCD 中， C=60 o,DE AB 于 E,DF BC 于 F1)則 EDF=；2)如圖，若 AE=4 ，CF=7， 則ABCD 周長 =(3) 若 AE=3 ，CF=7，請作出對應(yīng)圖形，并求ABCD 周長3(1)在平行四邊形 ABCD 中，若 C=B+ D，則 A= .(2)已知在ABCD ,A 比B 小20o，則 C 的度數(shù)是(3) 在ABCD 中，周長為 100cm，AB-BC=20cm ，則 AB=BC=cm.4)在ABCD 中，周長為 30cm，且 AB ：BC=3 ：2，則 AB=DC5)(2007 河北省)如圖，

6、 若ABCD 與 EBCF 關(guān)于 BC 所在直線對稱， ABE90°，則 F °4( 2007 福建福州)下列命題中，錯(cuò)誤的是()A矩形的對角線互相平分且相等B對角線互相垂直的四邊形是菱形C等腰梯形的兩條對角線相等D等腰三角形底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等5. （ 2007 浙江義烏）在下列命題中，正確的是（ A一組對邊平行的四邊形是平行四邊形 B有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形C有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形D對角線互相垂直平分的四邊形是正方形6（. 2007 甘肅隴南） 順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形一定是（ ）A 平行四邊形B菱形C矩形7.（ 2007 四川眉山）下

7、列命題中的假命題是 （ ）A 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形B一組鄰邊相等的矩形是正方形C 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形D一組對邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形8.（ 2007 四川成都）下列命題中，真命題是（）兩條對角線相等的四邊形是矩形兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形 兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形D正方形9.（ 2007 浙江嘉興）如圖，在菱形 ABCD 中，不一定成立的（ ） ABCD AC BD 等邊 ABD CAB CAD二）圖形的性質(zhì)和判定方法10如圖，已知四邊形 ABCD 是正方形，分別過 A、C 兩點(diǎn)作 1/ 2

8、，作斷四邊形 PQMN 的形狀BM 2于M，DN 2于N，直線 MB、ND 分別交 1、 2于Q、P，試判11如圖，在正方形 ABCD 中，E、F、G、H 分別為正方形邊上的點(diǎn)，而且 AE=BF=CG=DH ，求證：四邊形EFGH 為正方形12如圖，在矩形 ABCD 中， E 是 CD 邊上一點(diǎn)AE=AB ， AB=2AD ，求 EBC 的度數(shù)三） 轉(zhuǎn)化的思想將梯形問題通過化歸、分割、拼接轉(zhuǎn)化成三角形和平行四邊形問題 . 如圖所示：13填空（1）等腰梯形上底長為 3cm，腰長為 4cm，其中銳角等于 60o， 則下底長是 （2）等腰梯形一個(gè)底角是 60o，它的上、下底分別是 8 和 18，則這

9、梯形的 腰長是 ，高是 ，面積是 （ 3）在直角梯形中，垂直于底的腰長5cm，上底長 3cm，另一腰與下底的夾角為 30o，則另一腰長為，下底長為 （4）等腰梯形兩對角線互相垂直，一條對角線長為6，則高為，面積為 （5）已知在梯形 ABCD 中， AD/BC ，若兩底 AD、BC 的長分別為 2、8， 兩條對角線 BD=6 ， AC=8 ，則梯形的面積為 （四）推理論證的進(jìn)一步鞏固14（2007恩施自治州）如圖，平行四邊形 ABCD 的對角線 AC、BD 相交 于點(diǎn) O,E、F 是直線 AC 上的兩點(diǎn)，并且 AE=CF, 求證：四邊形 BFDE是平行四邊形15如圖，在平行四邊形 ABCD 中，

10、E、F 分別是直線 AB 、 CD的中點(diǎn)，AF、DE 相交于點(diǎn) G，CE、 BF 交于點(diǎn) H 求證：四邊形 GEHF 是平行 四邊形 . A F16平行四邊形 ABCD 中，點(diǎn) E、F分別在 BC、AD 上，且AF=CE ，,求證：四邊形 AECF 是平行四邊形17求證：正方形的兩條對角線將之分成四個(gè)全等的等腰直角三角形CD 上， 并且 AE BF；18已知點(diǎn) E、F 在正方形 ABCD 的邊 BC、2）若 E、F 分別是 BC、EF 的中點(diǎn)，如圖19（ 2007 浙江金華）國家級歷史文化名城 廣場上一個(gè)形狀是平行四邊形的花壇（如圖） 橙、紫 6 種顏色的花如果有 AB EF 下列說法中錯(cuò)誤的

11、是（ ）A紅花、綠花種植面積一定相等 B紫花、橙花種植面積一定相等 C紅花、藍(lán)花種植面積一定相等D藍(lán)花、黃花種植面積一定相等20.（06 鹽城）已知ABCD 的面積為則 SAOB =13（2），求證： GD=AD 金華， 風(fēng)光秀麗，花木蔥蘢 某 ，分別種有紅、黃、藍(lán)、綠、 DC ， BC GH AD ，那么A 紫E綠 紅黃 藍(lán) 橙藍(lán)4，對角線交于 O，（1）若 BE=CF ，如圖 13（1）求證： AE=BF21.若 A,B,C 三點(diǎn)不共線，則以其為頂點(diǎn)的平行四邊形共有（ A1個(gè)B2 個(gè)C3 個(gè)22.平行四邊形一邊長為 10 ，一條對角線長為 6， 取值范圍是（ ）A.4< a<1

12、623.平行四邊形中一邊長為A 4cm 和 6cmC8cm 和 12cm）D4個(gè)則它的另一條對角線D.8< a<32a的B.4< a<26C. 12<a<2010cm，那么兩條對角線的長度可以是（ B 6cm 和 8cmD 20cm 和 30cm24.（07 北京市 23）如圖，已知 ABCAE，并表示出面積相等（1）請你在 BC邊上分別取兩點(diǎn) D，E（ BC的中點(diǎn)除外） ，連結(jié) AD， 寫出使此圖中只存在兩對 面積相等的三角形的相應(yīng)條件， 的三角形；（2） 請你根據(jù)使（ 1）成立的相應(yīng)條件，證明 AB AC AD AE FC25如圖已知 ABC ，過頂點(diǎn)

13、A 作 B、 C的平分線的A垂線， ADBD 于 D，AECE于 E求證： ED/BC 26如圖，已知 BD、CE 是 ABC 的兩條高， M 、N 分別是 BC、DE 的中點(diǎn)求證：（1）EM=DM ；（2）MN DE圖 27(1)27（1）如圖 27（1），正方形 ABCD ，E、F 分別為 若 EAF=45 o求證： EF=BE+DF 若 AEF 繞 A 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，保持 EAF=45 o， 問 CEF的周長是否隨 AEF 位置的變化而變化？（2）如圖 27（2） ，已知正方形 ABCD 的邊長為 1， BC 、CD 上各有一點(diǎn) E、F，如果 CEF 的周長為 2 求 EAF 的度數(shù)（3）如圖

14、 27（3），已知正方形 ABCD ，F(xiàn)為BC 中點(diǎn) E 為 CD 邊上一點(diǎn)，且滿足 BAF= FAE 求證： AE=BC+CE 五)知識的聯(lián)系與綜合28已知ABCD 的頂點(diǎn) A 、B、C的坐標(biāo)為 (-2,3),(-5,-4),(1,-4) ，則 D 點(diǎn)坐標(biāo)為29. 如圖，已知 ABCD 的兩條對角線 AC 與 BD 原點(diǎn)，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 (-2,3) ，則點(diǎn)A、(-3,2)交于平面直角坐標(biāo)系的B、（-2,-3）的夾角為 ，入射光線C 的坐標(biāo)為( )C、 (3,-2)30如圖，兩平面鏡、AO 平行于 入射到 ，兩次反射后的光線 OB 平行于 ，則角 等于 31已知矩形的對角線長為 13，周長

15、為 34，則這個(gè)矩形的面積為 32.(05,濰坊)如圖 ,在直角坐標(biāo)系中 ,將長方形3 ,A B=1則, 點(diǎn) A1 的坐標(biāo)是(OABC沿 OB 對折 ,使點(diǎn) A 落在 A1 處,已知 OA=33A.（ 2 ,2 ）B.（ 23 ,3） C.（ 32, 23 ）D.12, 23 ）六)面積的問題：各種四邊形面積的求法和等積變換33如圖，E 為ABCD 邊 CD 上一點(diǎn)，ABCD 的面積為 S，則 ABE的面積為（ ）A、S1B、 S21C、 S3第 33 題圖34如圖，在ABCD 中，AD BD ， A= 1 ABC ，如果 AD=2，2那么 ABCD 的周長是，面積是35如圖， 在矩形 ABC

16、D 中，過 BD 上一點(diǎn) K 分別作矩形兩邊的平行線 MN 和 PQ，那么圖中矩形 AMKP 的面積 S1 與矩形 QCNK 的面積 S2 的大小關(guān)系 是 S1S2 （填“ >”、“=”或“ <” ）第 35 題圖A第 36 題圖37DE如圖， E 是平行四邊形 交 BC 于 F求證： S AC第 37 題圖36如圖，在ABCD 中，點(diǎn) P在 BC 上， PQ BD交 CD 與Q，則圖中和 ABP 是:面 積 相 等 的 三 角 形 有 個(gè) ， 它 們 分 別（七）運(yùn)動變換的思想在本章中的應(yīng)用39（希望杯第 9 屆初二第二試）已知ABCD 的周長為 52，自頂點(diǎn) D 作DEAB ，

17、DFBC，E、F為垂足，若 DE=5 ， DF=8 ，求 BE+BF 的值第 39 題圖 240在矩形 ABCD 中， AB=3,AD=4,PAD邊上的動點(diǎn)， PE AC 于 E，DC41（1）如圖 41（1）（2） ，已知 ABD, BCE,ACF 是等邊三角形， 求證：四邊形 ADEF 是平行四邊形 .AFF（2）如圖 41（3），已知 ABC,以 AB、AC 為邊分別作等邊三角形 ABD, ACF ，再以 AD、AF 為鄰邊作平行四邊形 邊三角形 .ADEF ，求證：三角形 BCE 是等EDB圖 41（ 3）3）如圖 41（4），已知 ABD, BCE 是等邊三角形， A,F 是 CE，

18、 EB 上一點(diǎn)，且 CA=EB ，求證：四邊形 ADFC 是平行四邊形圖 42（ 4）42、（2007 浙江臺州）把正方形 ABCD繞著點(diǎn) A ，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到 正方形 AEFG ，邊 FG 與 BC交于點(diǎn) H（如圖）試問線段 HG 與線段 HB 相等嗎？請先觀察猜想，然后再證明你的猜想FF43、（2007 江蘇揚(yáng)州）如圖，正方形ABCD繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) n 后得到正方形 AEFG ，邊 EF 與 CD 交于點(diǎn) O（1）以圖中已標(biāo)字母的點(diǎn)為端點(diǎn)連結(jié)兩條線段（正方形的對角線除外） ，要求所連結(jié)的兩條線段相交且互相垂直 ，并說明這兩條線段互相垂直的理由；第 43 題圖（2）若正方形的邊長

19、為 2cm ，重疊部分（四邊形 AEOD ）的面積為 4 3 cm2，求旋轉(zhuǎn)的角度 n344（ 2007 甘肅隴南）四邊形 ABCD、DEFG 都是正方形，連接 AE、CG1）求證： AE =CG ；2）觀察圖形，猜想 AE 與 CG 之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想45（2007 淄博）已知：如圖，在 ABC 中， AB=AC，ADBC，B D CN第 45 題圖垂足為點(diǎn) D ，AN 是 ABC 外角 CAM 的平分線，CE AN，垂足為點(diǎn) E，（1）求證：四邊形 ADCE 為矩形；（2）當(dāng)ABC 滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE 是一個(gè)正方形？并給出證明46.（05，青島）如圖，在等腰梯形 A

20、BCD 中，AD BC， M、N 分別為 AD、BC 的中點(diǎn)， E、F 分別是 BM、CM的中點(diǎn) .求證： ABM DCM;四邊形 MENF是什么圖形？請證明你的結(jié)論；若四邊形 MENF是正方形，則梯形的高與底邊BC有何數(shù)量關(guān)系？并請說明理由47（2007四川資陽） 如圖 47（1） ，已知 P為正方形 ABCD 的對角線 AC上一點(diǎn)(不與A、C重合)，PEBC于點(diǎn) E，PFCD于點(diǎn) F.第 47 題圖 1 第 47 題圖 2(1) 求證： BP=DP ；(2) 如圖 47(2)，若四邊形 PECF 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中是否總有 BP=DP ？ 若是，請證明之；若不是， 請舉出反例；(

21、3) 試選取正方形 ABCD 的兩個(gè)頂點(diǎn)， 分別與四邊形 PECF 的兩個(gè)頂點(diǎn)連結(jié)， 使得到的兩條線段在旋轉(zhuǎn)的過程中長度 始終相等，并證明之 .八)函數(shù)的思想在本章中的運(yùn)用48、（ 2007南充改編）等腰梯形 ABCD 中，AB15，AD20，C30o M、 N 同時(shí)以相同速度分別從點(diǎn) A、點(diǎn) D 開始在 AB、AD（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動1）設(shè) ND 為 x，用 x 表示出點(diǎn) N 到 AB 的距離，并寫出 x 的取值范圍2）設(shè) t=10-x,用 t 表示 AMN 的面積3）求 AMN 的面積的最大值，并判斷取最大值時(shí)AMN 的形狀49（2006 泰州）將一矩形紙片 OABC 放在直角坐標(biāo)系中， O

22、為原點(diǎn)， C 在 x 軸上， OA=6 ，OC=10.（1）如圖 1，在 OA 上取一點(diǎn) E，將 EOC 沿 EC 折疊，使 O 點(diǎn)落在 AB 邊上的 D 點(diǎn)，求 E 點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖 2，在 OA 、 OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn) E、F，將 EOF沿 EF折 疊，使 O點(diǎn)落在 AB 邊 上的 D點(diǎn)，過 D 作D 'G/A O 交 EF于T點(diǎn)，交 OC 于 G 點(diǎn)，求證： TG=A E.（3）在（ 2）的條件下，設(shè) T（x，y），探求： y與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式 .并 指出變量 x 的取值范圍 .（4）如圖 3，如果將矩形 OABC 變?yōu)槠叫兴倪呅?OABC，使 OC =10， OC邊

23、上的高等于 6，其他條件均不變，探求：這時(shí)T（x，y）的坐標(biāo) y 與 x 之間是否仍然滿足（3）中所得的函數(shù)關(guān)系，若滿足，請證明之；50.（08通州 22改編）如圖，在ABCD 中， AB=8 cm ，AD=6 cm ，DAB=60 °，點(diǎn) M 是邊 AD 上一點(diǎn)， 且 DM=2 cm ，點(diǎn) E、F 分別是邊 AB 、BC上的點(diǎn)， EM、CD的延長線交于 G，GF交AD 于O，設(shè)AE=CF=x ， 試用含 x 的代數(shù)式表示 CGF 的面積；當(dāng) GFAD 時(shí)，求 AE 的值 .第 50 題圖九）翻折問題（特殊四邊形的折疊問題）51沿. 特殊四邊形的對角線折疊折疊（使 ABD和 EBD落

24、在同平面內(nèi)） ，則 A、 E兩點(diǎn)間的距離為06.浙江嘉興）如圖，矩形紙片ABCD，AB=2， ADB=30°，沿對角線 BD第 52 題圖第 51 題圖DBA D'C第 53 題圖第 54 題圖FB第 55 題圖52. 沿特殊四邊形的對稱軸折疊如圖，已知矩形 ABCD的邊 AB=2，AB BC，矩形 ABCD的面積為 S， 沿矩形的對稱軸折疊一次得到一個(gè)新的矩形，則這個(gè)新矩形對角線長為53. 使特殊四邊形的對角頂點(diǎn)重合折疊（05，山東威海）如圖，梯形紙片ABCD， B=60°， ADBC，AB=AD=，2BC=6，將紙片折疊，使點(diǎn) B與點(diǎn) D 重合，折痕為 AE，則

25、 CE=54. 使特殊四邊形一頂點(diǎn)落在其一邊上而折疊 如圖，折疊矩形的一邊 CD，使點(diǎn) C落在 AB上的點(diǎn) F處，已知 AB=10cm，BC=8cm， 則 EC 的長為 .55. 使特殊四邊形兩頂點(diǎn)落在其一邊上而折疊cm.（崇文）如圖，在梯形 ABCD中， DCAB，將梯形對折，使點(diǎn) D、 C分別落 在 AB 上的 D 、C處，折痕為 EF，若 CD=3cm，EF=4cm，則 AD 56. 使特殊四邊形一頂點(diǎn)落在其對稱軸上而折疊 (1)A 沿 DK 折疊，使它的頂點(diǎn)如圖，已知 EF 為正方形 ABCD的對稱軸，將第 56 題圖第 57 題圖57. 使特殊四邊形一頂點(diǎn)落在其對稱軸上而折疊 (2)

26、如圖，有一塊面積為1 的正方形 ABCD，M、N 分別為 AD、BC邊的中點(diǎn)，將C點(diǎn)折至 MN上，落在點(diǎn) P 的位置，折痕為 BQ，連結(jié) PQ.1 (1求) MP的長度 ; 求證：以 PQ 為邊長的正方形的面積等于 3 .A'CE'AB58. 兩次不同方式的折疊（06.淄博市）如圖，將一矩形形紙片按如圖方式折疊，BC、BD 為折痕，折疊后 AB與 EB在同一條直線上 則 CBD的度數(shù)為（）A.大于 90°B.等于 90° C.小于 90 °D.不能確定59. 三次不同方式的折疊（03 ，山西）如圖，取一張矩形的紙片進(jìn)行折疊，具體操作過程如下:第一步

27、 :先把矩形 ABCD對折，折痕為 MN，如圖 ;第二步 :再把 B點(diǎn)疊在折痕 MN上，折痕為 AE，點(diǎn)B在 MN上的對應(yīng)點(diǎn)為 B， 得 Rt ABE，如圖 ;第三步 :沿 EB線折疊得折痕 EF，如圖 . 利用展開圖探究 :? 并證明之 . AEF是什么三角形 ?證明你的結(jié)論 ; 對于任意的矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形（十）動手操作實(shí)踐60. （2007 湖南懷化）如圖，將一張等腰直角三角形紙片沿中位線剪開可以拼成不同形狀的四邊形，請畫出所有可能四邊形并寫出的它的名稱61. （ 05棗莊,9 分）如圖 1,四邊形 ABCD是等腰梯形 ,ABDC,由四個(gè)這樣的等腰梯形可以拼出圖 2 所示的平行四邊形1）求出梯形 ABCD四個(gè)內(nèi)角的度數(shù) ;2）試探究梯形 ABCD四條邊之間存在的等量關(guān)