行列式典型例題

1、第二講 行列式綜合訓練第一部分例2.1計算行列式，其中對角線上元素都是a,未寫出的元素都是零.Dn =利用性質，將行列式化為上三角行列式.解這道題可以用多種方法進行求解，充分應用了行列式的各種性質. 方法方法方法1Dn =仍然是利用性質,IH/1、 nn=(a)a =aa-an°rnTahq1C1七na01a+1 -aa 1hqa1將行列式化為上三角行列式.將行列式化成對角行列式.n n=a - aDn利用展開定理,3500III1a,八n出a04+(-1)h1-a4n 4a0q展開Dn= aDn = a a00III1aa0最后列展開“八 2n4th¥=(-1)h4aa0

2、n 4(T)n-2=andn n Gn4- an° =a - a方法利用公式將最后一行逐行換到第 n -2次.2行，共換了n - 2次；將最后一列逐列換到第 2列，也共換了Dn=(-1)2(n2)nN方法5利用公式例22 計算n階行列式:Dna2a2 b2IIIIIIananbb2l|際 0)解采用升階（或加邊）a2IIIanbn法該行列式的各行含有共同的元素原行列式值不變的情況下，增加一行一列, 簡后出現(xiàn)大量的零元素.適當選擇所增行（或列）的元素，使得下一步化升階Dn =Cjbj 1j =2,ii|, n 1a1a1bia2ana2a2 b2ananr21r31l"rn

3、1 T-1-1a1b10a20b2a2an bn-1.色.|1豈bib1a1a2HIanan0bnbi0b2IIIIII= b1b2lllbn(1HIbibnIIIbn這個題的特殊情形是Dna1 xa1a2a2 xIIIIIIanan= xn'(x 、ai)i da1a2IIInBh可作為公式記下來.例2.3計算n階行列式:Dn =a2IIIIIIIII an其中 IHan =0 .解這道題有多種解法. 方法1化為上三角行列式/Ba11川1ab1川1q哼Cjri上_a1a2aj0a2三,山,n+j =2i,n+h4_a1an0annnDniV ai1 I其中b二1啊 q '丄二

4、di =2 aiDnV aia 川 a.111III1111IH10lDa11III1r-1a10III0011m a2III1=-10a2III0+4b¥i=2,3,|i|, n 十+i+1+041h1IIIiQan+-10+0IH1an法升階Dnn方法2升階（或加邊）j ±2,|,|,n 1方法3遞推法.1 、a?IHanDnDn改寫為1a11a2IIIIII=a1a2 I1 、i呂3i1 |a11III 1iD a11 III0按cn拆開1l0a2III 11fla2III0=+-F+-+I1r卜+4411III 111 IIIan111anIII由于1 |a111*

5、11a1lR a2III1斤a2+144F kri 4，n 丄11HI111川1=aia2 川 an J11 a11+11 山0lHa2川0按Cn展開anDn A1 III an因此Dn=an Dnj為遞推公式，而 D 1飛1 ,Dn=anDn二a£21Ha.=a?川a.Dn A丄a1a2H!anj anna&IHaanDn/1&舊2 111 an _21+an A an=I I1-III a2Da1丄an1 1=a1a2 H I an I 1 HIa a：1例 2 .4 設 f ( X)= 11x-1 2x-1x-2 3x-2，證明存在匪(0,1),使f電)=0.x

6、 3 4x 3,在01上連續(xù)，(0,1)內(nèi)可導，且1-1-1101f(0) =1-2-2=0,f(1) =1-11=01-3-31-21因為f(x)是關于x的二次多項式多項式由羅爾定理知，存在：(0,1),使f)= 0 .例2.5 計算D=2a4 abb2b4c2 c4 c1dd2d4解這不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式進行求解. 方法1借助于求解范得蒙行列式的技巧進行求解：從下向上，逐行操作.其中r4_a r311113衛(wèi) h-aH0b _ac-ad _aD0b(b - a)c(c_a)d (d - a)0b (b -a )2/ 2 2、 c (c -a )d2,. 2 2(d -

7、a )111q展開=(b _a)(ca)(d a)bcd2 2 2b (ba) c (c$a) d (d岡a)拆開111111=(b _a)(c _a)(d _a)(bcd+ a bcdb33 cd3b22 cd2)111D _b212111r2_br1d =0c 一 bd bd30c(c_ b )d(勺11c3 c2b)=(c _b)(d _b)c(c b) d(d b)111111由于bcd是范德蒙行列式，故bcd= (c-b)(d -b)(d -c),22.2,22.2bcdbcd=(c -b)(d -b) d(d b) -c(c b)D = (a b c d) (b _a)(c _a)

8、(d方法21000c2-ci©3-01ab -ac ad -a2.2 22 2.22c4 Aab -ac -ad -a4.4444.44ab -ac -ad -a111a)(c_a)(d _a)b”ac gadRa(b2|a2)(b|a)(c2|a2)(c-卜a)(d2”a2)(d100a)(c_a)(d _a)bf ac bd b2 2(b Da )(bQa)xy-a) (c_b)(d _b)(d _c)c b d b(bHa)(b-q展開= (b _a)(c _a)(d -a)其中 x =(c _b)(a2b2c2 ac bc ab), y = (d _b)(a2b2c2ad b

9、d ab)D = (a bc d)(b _a)(c _a)(d _a) (c _ b)(d _ b)(d_ c)=(a b c d) (a - b)(a _c)(a - d ) (b - c)(b _d)(c -d)方法3用升階法.由于行列式中各列元素缺乏3次幕的元素，在D中添加3次幕的一行元素，再添加一列構成5階范得蒙行列式:D5 =1a2 a3 a4 a111bcd2 2 2bcd.33. 3bcd444b4c4d41x2 x3 x4 xD5按第5列展開得到的是x的4次多項式，且x3的系數(shù)為九5 =(-1)4 5D = -D又利用計算范得蒙行列式的公式得D5 = (b _a)(c _a)(

10、d _a)(x _a) (c _b)(d _b)(x _b) (d _c)(x_ c)(x _d)=(b -a)(c _a)(d -a) (c _b)(d _b) (d _c) (x _a)(x _b)(x _c)(x _d)=(b _a)(c _a)(d _a) (c _b)(d _b) (d _ c) x4 _ (a b c d)x3 11| 其中 x3 的系數(shù)為-(b -a)(c a)(d -a) (c -b)(d -b) (d - c) (a b c d )3由x的系數(shù)相等得：D = (a b c d) (b _a)(c _a)(d _a) (c _ b)(d _ b)(d _ c)1

11、1-511334例 2.6 設 |A|=，計算11232234Al中元素a4j的代數(shù)余子式A41 + A42 + A43 + A44 = ?其中 A4j(j= 1,2, 3, 4)是解 直接求代數(shù)余子式的和工作量大.可將幾1 A4 2 A 43 A改寫為 1 A41 1 A42 1 A 43 1 A,故1-5131-602113410231123101211111000A41 + A42 + A43 + A44例2.7求解方程f(x)-6 0 2-6 0 2=(-1)"023=-102 30 1 210 0-21 1III1-x1川112 xIII1=0二 61111III(n -1

12、)-x解方法1ri上-xIIIIIIIII= (-1)nx(x-1) (x-n 2)III(n _2) _x由題設知f(x)= (-1)nx(x -1)(x-n 2) =0所以 x, = 0,x2 =1,焉=n - 2是原方程的解.,行列式方法2由題設知，當x = 0,1,2，n - 2時，由于行列式中有兩列對應元素相同值為零，因此f (x)可寫成f(x)二 Ax(x -1) (x - n 2)于是原方程f(x) = Ax(x -1)(x -n 2) =0的解為:x =0,X2 =1,xn 4 二 n -2例2.8計算兀素為aij = | i j|的n階行列式.解 方法1由題設知，a11 =0

13、, a12=1 , III ,a1n011*1n 1Dn =1+0川qbn -2n -1 n-2HI0n 1nIIIIIIej Hen0-2IIIIIIj %|，n+bqhq+0-20 1 |M n1n丄1 -1 川-1i=n,n3iii,2+ +h+411 川-1n;=(-1)W( n-1)0 0 | 0 -101IIIn -1-11 III1Dn =10IIIn -2ri專-1-1III1=+hi ±2,ih,n -1+rifn-1n -2川0n-1n-2川C其中第一步用的是從最后一行起，逐行減前一行第二步用的每列加第方法2j 2i|,n0IH0-2IH+02n3rIHn 1n

14、-1n A n _2=(-1) 2 (n-1)a200C20a1C100d1b10d200b2C1000C2bi0-d2a1C100b2d1b10例2.9計算行列式D二解方法1按第一列展開a1D = a2 d10=a2b2a1C1=(&2匕2- d2C2) b=(&2匕2 - d2C2)d1/ 蟲'2七七七aga2 C2D =(T)d1 bid2 b2方法2本題也可利用拉普拉斯展開定理進行計算，選定第(a1bd1e1)a1d1bide?（a1bd1G）2、3行，有:a1d1a2b2 -d2e2)GthbnabiG diI例2.10 計算D2n =，其中未寫出的元素都是0

15、 Idn解方法1利用公式o O=AB2行（作2n-2次相鄰2列（作2n -2次相鄰對換），得到采用逐行操作，將最后一行逐行和上行進行對換，直到換到第 對換）；最后一列逐列和上列換，換到第anCn0tndn0an JbnjaiclbididnD2(n_2)=D2 D2(n)= (andn - 厲)D2(n4) = (and bnCn) (andn- 0 希/)n=' = (andnn n- thG 川(耳 - b)G)=丨丨(dj -Ci)i=l方法2利用行列式展開定理進行求解.bn J片展開D2n = anaiGbidiCn 40dn4dn1 -aa000-11 -aa000-11 -

16、aa000-11 -aa000-11 -an= ndnDgn）=- =|丨 佝小匚七心）i 二例2.11計算D5上面第1個行列式是0an Jaibibubn(-1)12nC didnjO的形式，而第2個行列式按第B1列展開，所以D2n= andnD2n_2皿（-1嚴Bn,D3 二 D2 (-a)(-1)31a2,D2 = 1 - a a210a1 -a0a0000C1他韋心=0-11-aa000-11-aa-a00-11-a1-aa00a000C展開-11-aa0A 44-1-aa00一+ (a)(1丁 “0-11-aa-11-aa000-11-a0-11 aa解 方法1采用遞推的方法進行求解

17、.D5DD4 (-a)(-1)51a4, D4 =D3 (a)(-1)41a3,故D5 = 1 _ a a2 _ a3 a4 _ a5方法2采用降階的方法進行求解.012-a ”a2小a a00r1 ¥ _a)f2-11 -aa00D5=0-11 -aa000-11 -a a000 -11 - a00 123-a昭a -aa 一 a2 ”a30r1 -K1_aHa2)r31 -aa000-11 -aa000-11 -aa000-11a0001 -am23a -a+ a4a 一2 .34aVa -ar, -K1_aHa2 _s-11 -aa000-11 -aa000-11 - aa00

18、0-11 - a00001a ”a2a3Ra4 a5H 十1 _a 韋2 _a3 七 4)5-11 -aa00=0-11 -aa000-1 1-aa000-11-a日展開23455 142345=(1_a a -a a _a ) (_1) (_1)=1_a a - a a - a例2.12證明-10川0xi-1dIII0bian 4Van/IIIbx”a1x0anxnaiXnJ- anxan按第1列展開，有證方法1遞推法-1X -1=x D n4 + an-1x_/-、 n 十D n = X D nj+ (- 1 )anX由于 D1 = x + a 1 ,xD2 =a2-1xa1于是D n =

19、 x D n 斗+ a n =x(x Dn+an4)+ an=xDn + anx + an _1n _2nn= -= x D i+ a 2x + an jx + a n = xa1xan jXan方法2第2列的x倍，第3列的x2倍,，第n列的xnJ倍分別加到第1列上0-1c1 -xc22 xxDn =00+q+i+qan +xananc,我03003 x+an +xan_1 +2x an0III0-1III0xIIII0rkan _2IIIxF*1-100IIIx-10III0+x+d1III+an A+an_2*an J3III00044x ai按rn展開x其中 f =an anJ JH a

20、1xnJ - xnc1 xc2 -'x2c 1 Xn 弋Dn按C1展開x(-1)n1f(-1)n10-10x+F0-1kbF0-1x其中 f =an an4 JU a1xn4 xn方法3利用性質，將行列式化為上三角行列式.-1xIII00III004+4+1+x-1IIIa2xa1= (-1)n 1f(-1)2=fc2 c1C3 tXC2D n15 *Cn 1x anan Jan janan» 亠 Tx xIHknkn=xnJ(ann/竺 +ai +x)x=an - anx aiXn，xn方法4按rn展開Dn =(-1)n1an-1x0 川 001 川 00+PF+hh+rp

21、+0 川 x-1(-1)x0川00x-1 III000-1川00z丄、2n A.0x HI00+F hFd*1d*+S -+ ()a2+rhpri*rhp00川x-100川0-1an 二x2n0+ (1)(ajx) +0III00III00:川0 x=(-1)n 1 (- 1)n 1n 2an + (- 1 )(- 1 )n_2anx+ (- 1 )(一 1 ) a 2 xn -2+ (- 1 )2n ( a1 +x) x n=an - an4X V a/Z xn例2.13計算n階“三對角”行列式It +H0III001+pIII00D n =0+1rkIIII0h0+0F00IIIr1+H+

22、p解方法1遞推法.Dn（：）Dnj1即有遞推關系式遞推得到而D"|=（圧亠I-'）D2 =由遞推公式得方法2ctBtPGtDn/0ItPDnIIIIIIIIIDn-Dn= -（DnDn_2）Dn-：Dn= -（DnDn2）=a+Gt（n 一3）（nJ）'n（D : D1）12I '2，代入上式得BDnDn"n = ：' C Dn,=:n + :n 4 - + +n 4n把Dn按第1列拆成階行列式Gt+1（2.1）1B（n 1）當a - 當a=國寸創(chuàng)寸IIIIIIIII上式右端第一個行列式等于IIIDn,，而第二個行列式gtPl+!IIIIII

23、IIIIIIIIIgtpftp0III01III00S+1iIII0X+04010III+000III100044Itpftp00|l(000001|l|00=3+inr+4lih+44F00 III 1于是得遞推公式D : DnJ' n，已與（2.1 ）式相同.方法3在方法1中得遞推公式nd:汁DmH2 普D1=：-=D2 =It=(圧 ' I')2 _2 '、汀'+ P 9d3=10 10=圍 + p )3 P)Gt + P-.4 1 4=c)c22)= 一 Ct - P于是猜想Dn:1 一-n 1.一，下面用數(shù)學歸納法證明.Gt - P當n=1時，

24、等式成立，假設當 n遼k時成立. 當n=k+1是，由遞推公式得= - )k1Gt：k 2 -所以對于mN ，等式都成立.第二部分這一部分的題是與矩陣、向量、特征值等后續(xù)內(nèi)容有關的題,相關內(nèi)容學習后再看.但應注意考研題中關于行列式內(nèi)容的出題感覺困難的同學可以放到 ,往往與后續(xù)內(nèi)容聯(lián)系較多.例2.14 設A為3 X 3矩陣，A| = 2,把A按行分塊為A= A2,其中 A(i =1,2,3)是A的第i行，則行列式2A,AA3-2AA3 2A1A3A2A2=2A2=2A2=2 AAA1A1A解-2 | A|=4例2.15 判斷題(1)若A, B是可乘矩陣，則若A, B均為n階方陣，則A-B = A-

25、B .(1)錯誤，因為 A, B不一定是方陣，即不一定有對應的行列式.錯誤,0例如取A二證明：奇數(shù)階反對稱矩陣的行列式為零3 0AB =1 團 A例 2.16證At=-A|A|=|AT |=|-A|=(-1)n |A|二-| A|(n為奇數(shù)).所以|A| = 0.例 2.17(數(shù)四,01 , 3 分)設矩陣1111，且秩 R(A) =3，則 k =k1k111k”3kf 3葉3k”31k11r1十2十lr41k1111k111k1111k111k111解由于A二111111111k11=葉3)0k-10011k100k-10111k000k 1=(k 3)=(k 3)(k-1)3R(A) =1

26、,故必有B = 2，計算 2C*(AtB)2C .由 R(A) =3,知 A=0,而 k =1 時,例2.18 若A, B ,C均為3階可逆方陣，A - -1 ,2C -(AtB-)2C =23|Cj AtB-|2|C=23CcaTba2 = 232A1B2=2例2.19設3階方陣A ,B滿足方程A2BA B = E，試求矩陣B以及行列式其中A10-2 0解由 A2B - A - B 二 E，得(A2 - E)B 二 A E，即(A E)(A _ E)B由于|200E =2展 00-21 1 1B =(A_E) (A E) (A E) =(A_E)所以1 B卜1/2例 2.20設A為3階方陣,

27、|00|-2A =2，求解方法1化為關于A*的形式進行計算.*1 *_ _ .A- _ *A* *(1A) -3A=2A -3A=2肝3A=A -3A利用公式（臥）仁1A"1, A，# , I A=|An_l有 麗 IA*3*32-2A =(-2) A =(一2) A =-32方法2化為關于A"的形式計算.利用公式（a）'=1Aj , A* 二 AAJ ,AJ =，有l(wèi)A=2AJ -3 A A=-4 =(_4)3 丄= 322.21 （數(shù)四，98,3分）設A, B均為n階方陣,A =2 ,B =-3,求 2A*B，的值.= 2n|A*|B| = 2n|A1 22nJ

28、X= 一 32.22 若 A,2,3,凰罹都是4維列向量，且4階行列式凰圖2,0>1, >2,3,=m，計算4階行列式圈3國羈， + p2的值.解如果行列式的列向量組為：r,2,n，則此行列式可表示 為r,，n1廠2,，利用行列式的性質，有3,2,1, ：1'：>3,2,1, ：1=一1,2,3, ：11,2, ：2,3 =n_m例 2.23計算行列式| A| B|，其中IIIIIIIII|12IIIn -1nx0 III0012III(n 1)卜n02 III00+hFhr11,B9+44+12卜IIIn 1n00 IIIn T0jDx2IIIn T門1<00 III0n|12 IIIn Tn國xA 二(n -1) x12n解 |A| =n -1n -112IIIn 1n12IIIn