五種常見小波基函數(shù)及其matlab實現(xiàn)

1、與標準的傅里葉變換相比，小波分析中使用到的小波函數(shù)具有不唯一性，即小波函數(shù) 具有多樣性。小波分析在工程應用中，一個十分重要的問題就是最優(yōu)小波基的選擇問題，因為用不同的小波基分析同一個問題會產(chǎn)生不同的結果。目前我們主要是通過用小波分析方法處理信號的結果與理論結果的誤差來判定小波基的好壞，由此決定小波基。常用小波基有Haar小波、Daubechies(dbN)小波、Mexican Hat(mexh)小波、Morlet小波、Meyer小波等。l Haar小波Haar函數(shù)是小波分析中最早用到的一個具有緊支撐的正交小波函數(shù)，也是最簡單的一個小波函數(shù)，它是支撐域在范圍內(nèi)的單個矩形波。Haar函數(shù)的定義如下

2、：Haar小波在時域上是不連續(xù)的，所以作為基本小波性能不是特別好。但它也有自己的優(yōu)點:1. 計算簡單。2. 不但與正交，而且與自己的整數(shù)位移正交，因此，在的多分辨率系統(tǒng)中，Haar小波構成一組最簡單的正交歸一的小波族。的傅里葉變換是：Haar小波的時域和頻域波形phi,g1,xval = wavefun('haar',20);subplot(2,1,1);plot(xval,g1,'LineWidth',2);xlabel('t')title('haar 時域');g2=fft(g1);g3=abs(g2);subplot(2,1

3、,2);plot(g3,'LineWidth',2);xlabel('f')title('haar 頻域')l Daubechies(dbN)小波Daubechies小波是世界著名的小波分析學者Inrid·Daubechies構造的小波函數(shù)，簡寫為dbN，N是小波的階數(shù)。小波和尺度函數(shù)中的支撐區(qū)為，的消失矩為。除（Harr小波）外，dbN不具有對稱性（即非線性相位）。除（Harr小波）外，dbN沒有明確的表達式，但轉換函數(shù)h的平方模是明確的:令，其中為二項式的系數(shù)，則有其中：Daubechies小波具有以下特點：1. 在時域是有限支撐的

4、，即長度有限。2. 在頻域在處有N階零點。3. 和它的整數(shù)位移正交歸一，即。4. 小波函數(shù)可以由所謂“尺度函數(shù)”求出來。尺度函數(shù)為低通函數(shù)，長度有限，支撐域在的范圍內(nèi)。db4的時域和頻域波形：phi,g1,xval = wavefun('db4',10);subplot(2,1,1);plot(xval,g1,'LineWidth',2);xlabel('t')title('db4 時域');g2=fft(g1);g3=abs(g2);subplot(2,1,2);plot(g3,'LineWidth',2);xl

5、abel('f')title('db4 頻域')Daubechies小波常用來分解和重構信號，作為濾波器使用:Lo_D,Hi_D,Lo_R,Hi_R = wfilters('db4'); %計算該小波的4個濾波器subplot(2,2,1); stem(Lo_D,'LineWidth',2);title('分解低通濾波器');subplot(2,2,2); stem(Hi_D,'LineWidth',2);title('分解高通濾波器');subplot(2,2,3); stem(L

6、o_R,'LineWidth',2);title('重構低通濾波器');subplot(2,2,4); stem(Hi_R,'LineWidth',2);title('重構高通濾波器');l Mexican Hat(mexh)小波Mexican Hat函數(shù)為Gauss函數(shù)的二階導數(shù)：因為它的形狀像墨西哥帽的截面，所以也稱為墨西哥帽函數(shù)。Mexihat小波的時域和頻域波形：d=-6; h=6; n=100;g1,x=mexihat(d,h,n);subplot(2,1,1);plot(x,g1,'LineWidth'

7、,2);xlabel('t');title('Mexihat 時域');g2=fft(g1);g3=(abs(g2);subplot(2,1,2);plot(g3,'LineWidth',2);xlabel('f');title('mexihat 頻域');Mexihat小波的特點：1. 在時間域與頻率域都有很好的局部化，并且滿足。2. 不存在尺度函數(shù)，所以Mexihat小波函數(shù)不具有正交性。l Morlet小波它是高斯包絡下的單頻率副正弦函數(shù)：其中C是重構時的歸一化常數(shù)。Morlet小波沒有尺度函數(shù)，而且是非正交

8、分解。Morlet小波的時域和頻域波形圖：d=-6; h=6; n=100;g1,x=morlet(d,h,n);subplot(2,1,1);plot(x,g1,'LineWidth',2);xlabel('t');title('morlet 時域');g2=fft(g1);g3=(abs(g2);subplot(2,1,2);plot(g3,'LineWidth',2);xlabel('f');title('morlet 頻域');l Meyer小波1. Meyer小波不是緊支撐的，但它收斂的速度很快2. 無限可微Meyer小波的時域和頻域波形圖：d=-6; h=6; n=128;psi,x=meyer(d,h,n,'psi');subplot(2,1,1);plot(x,psi,'LineWidth',2);xlabel('t');title(&#