二項(xiàng)式定理知識(shí)點(diǎn)及題型歸納總結(jié)

1、二項(xiàng)式定理知識(shí)點(diǎn)及題型歸納總結(jié)知識(shí)點(diǎn)精講一、二項(xiàng)式定理a bn C：anb° C：an1bC；an bC；a°bn n N* .展開式具有以下特點(diǎn)：（1）項(xiàng)數(shù)：共n 1項(xiàng)（2）二項(xiàng)式系數(shù)：依次為組合數(shù) c0,c1,c2,，c：.（3）每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，都為n次，展開式依a的降幕、b的升幕排列展開特別地，1 Xn 1 C；x C；X2Cnnxn 二、二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)（第r 1項(xiàng)）二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)為 Tr 1C：an rbr r 0,1,23,n. 其中C的二項(xiàng)式系數(shù)令變量（常用x）取1，可得Tr i的系數(shù).注 通項(xiàng)公式主要用于求二項(xiàng)式展開式的指數(shù)、滿足條件的項(xiàng)數(shù)或系數(shù)、

2、展開式的某一項(xiàng)或系數(shù).在應(yīng)用通項(xiàng)公式時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：分清C；an rbr是第r 1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)；在通項(xiàng)公式Tr 1 C：an rbr中，含Tr 1,Cr；,a,b,r, n這6個(gè)參數(shù)，只有a,b,r,n是獨(dú)立的，在未知r,n的情況下利用通項(xiàng)公式解題，一般都需要先將通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為方程組求n和r.三、二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)（1 ）二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)二項(xiàng)式系數(shù)僅指 C0,cn,C, ，Cnn而言，不包括字母a,b所表示的式子中的系數(shù)例如：2 x n的展開式中，含有 xr的項(xiàng)應(yīng)該是Tr1 c；2n rxn，其中cn叫做該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而xr的系數(shù)應(yīng)該是C；2n r （即含xr項(xiàng)的系數(shù)）.（2）

3、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)在二項(xiàng)式展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即0 n 1 n 1 2 n 2Cn Cn , Cn Cn ,Cn Cn ，rn r，Cn Cn二項(xiàng)展開式中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大如果二項(xiàng)式的幕指數(shù) n是偶數(shù)，中間項(xiàng)是第21項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)c最大；如果二項(xiàng)式的幕指數(shù) n是奇數(shù)，中間項(xiàng)有兩項(xiàng)，即為第項(xiàng)和第丄-2 21項(xiàng)，它們的二項(xiàng)式系數(shù) Cn2和Cn2相等并且最大（3）二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和c0 cn二項(xiàng)式系數(shù)和nn nCn （1+1）2奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和,即 C0 C； C：135 n 1CnCnCn2系數(shù)和求所有項(xiàng)系數(shù)和，令 x 1 ；求變號(hào)系數(shù)

4、和，令 X 1 ；求常數(shù)項(xiàng)，令X 0。題型歸納及思路提示題型1 二項(xiàng)式定理展開式的應(yīng)用思路提示對(duì)二項(xiàng)展開式的認(rèn)識(shí)不僅要關(guān)注展開式中對(duì)各項(xiàng)的特點(diǎn)，更重要的是要理解等式兩邊的關(guān)系,右邊是左邊n個(gè)因式a b積的結(jié)果，而左邊是右邊各項(xiàng)和的結(jié)果，這就為此類問題的解決提供了思考的方向和解決的思路。例 12.30用計(jì)數(shù)原理證明:解析：（1）利用計(jì)數(shù)原理求解，當(dāng)左邊因式取2，所得常數(shù)項(xiàng)為2C? 1 52，當(dāng)左邊因式取x2，所解析0 nCna中每一個(gè)取a， r個(gè)a b中每一個(gè)取b相乘取得的，這樣的取法（只需從 r個(gè)a b中取b，自然剩余nr個(gè)a b中取a）共有Cnr種,rArCnr 0,1,2 ,n .變式1A

5、. 15B.變式20Cna1 n 1cna b2 22b2 Lr n r rcnabn nCnb2x385 C.120 D.的展開式中,x的系數(shù)為（27454x 2的展開式中，x的系數(shù)為（用數(shù)字作答）c：an % c；an 2b2 L dan rbr Lc；bnn N,r 0,1,2, ,n 4 2 g4% 2°滬厶？/4申，其展開式的通項(xiàng)為Aran rbr，是由n個(gè)a b中的n個(gè)變式3（用數(shù)字作答）52的展開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為x題型2二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的應(yīng)用思路提示二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)從微觀角度反映了二項(xiàng)展開式的全貌，是展開式的縮影，它可以用于求二項(xiàng)展開式的任 意指定項(xiàng)及其系數(shù)等。2 1

6、 5例12.31（ 1）x2 2 1的展開式的常數(shù)項(xiàng)是（）xA.3B.2C.2D.312、x ' 15展開式中x的系數(shù)為（）A.4B.2C.2D.41得常數(shù)項(xiàng)為1C545，故展開式中常數(shù)項(xiàng)為3 ，故選D .6、.X 12x8x、x1 5 3 x 10 3 x7 10x5x 寶 x yx2 .故12.x33x展開式中含x的項(xiàng)110x1 12x 2x .故選 C.變式1x2110變式2變式3已知1例 12.32(1)(2)求證:解析 (1)因?yàn)榧?2n C°(2)首先變式變式變式展開式中x5的系數(shù)為14x求證：2n2n10展開式中的常數(shù)項(xiàng)為2nn的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng),n N ，且

7、 22,nN, n 3 .CnnN，所以n1展開式至少有4項(xiàng),C；-1+C；2，顯然有丄c22 Cnnn-1Cn+C：2n2.證畢.2!3!, 1 n!l+712!丄3!1n!1Cnn(至少有3項(xiàng))，故有22,n Na, b0,n.求證:bn求證:對(duì)于n例 12.33(1)2n2n2n求證:-9展開式中x的系數(shù)為9，111134A. 35的系數(shù)為(2) Tr 1的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（Tr 1C.x3r4，得即常數(shù)項(xiàng)為C；124變式11x 3,x18變式2 設(shè)二項(xiàng)式rx23r2、x35.故選8的展開式中含354D.TrBo105小r 9C9 ax=1 得為 c9a9 rx的幕r=c；x15的項(xiàng)的系

8、數(shù)為3rxT由展開式中的錯(cuò)誤！未找到引用源。8 2rC8r4r，令4 r（用數(shù)字作答）o0）的展開式中x3的系數(shù)為 A,常數(shù)項(xiàng)為 B,若B=4A0，得 r=4，則a的值為變式3 x y 10展開式中x3 y7與x7 y3的系數(shù)和為 （用數(shù)字作答）。4 L 20 例12.34 x V3y展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有 項(xiàng)。解析：Tr1C；°x20r43y '=錯(cuò)誤！未找到引用源。（r0,1,2丄20）依題意，r為4的整數(shù)倍,r 0,4,8,12,16,20 .故展開式中系數(shù)為有理項(xiàng)的項(xiàng)共有6項(xiàng)。變式2變式111: 2，求展開式中有理項(xiàng)有多少個(gè)?a b2 ( a, b為有理數(shù))，則

9、a b=(A. 45 B. 55 C. 70 D. 80n變式3 x、.x 1 展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，正整數(shù) n的最小值為題型3二項(xiàng)展開式的系數(shù)和問題思路提示有關(guān)系數(shù)和的問題不僅要注意二項(xiàng)式系數(shù)和的結(jié)果，重要的是研究二項(xiàng)式系數(shù)所用的方法即賦值法, 這里就需要讀者根據(jù)題目結(jié)合已知條件進(jìn)行賦值。例12.35已知12x(1)aia2a7 ；(2)aia3a5a7;(3)aa2a4a6 ；3i7=a° axa?x2L a7x(4)解析ao令x 1，則a7 .a0 a1 a2a71，貝U a0a1a2a3 a4a5a6a737.(1)因?yàn)?a。c01，所以 a1a2a72.(2)(-)2 得 q

10、a3a5a71094.(3)(+)錯(cuò)誤!未找到引用源。得a0a2a4a610932a42aia3=a7 =1即可得1 , -1, 則) 解法一：因?yàn)檎归_式中a°,a2,a4,a6大于零，而 玄仆玄彳厶耳 小于零，所以a°a(a° a2 a4 a6)( ai a3 a5 a7) =2187.解法二：a0 a1a7即為展開式1 2x 7中各項(xiàng)的系數(shù)和，故只需要對(duì)1 2x 7中令xa0a1a7 的值等于 37=2187.評(píng)注：求關(guān)于展開式中的系數(shù)和問題，往往根據(jù)展開式的特點(diǎn)給其中字母一些特殊的數(shù)值，如等，此即賦值法。變式 1已知 二 項(xiàng)展開 式 2x 3a0 a1xa4

11、x4a1變式2 x2X 的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為()xxA. -40 B. -20 C. 20 D. 40例 12.36 若 1 2x2015 = a。ax2015 ( x R)，則電 卑 號(hào) 的值為(2 2 2A. 2 B. 0 C. -1 D. -220152a?a2015a。1，故選C.2 2222015變式1已知1 x12nx f1 x =a°自然數(shù)n的值為( )A. 3B. 4C. 5D.6變式2若172xa0a1xa7x7，貝U a11解析：在二項(xiàng)式展開式中，令x ,得0 a01 1尹a2015，令x 0得ao1，所以a/anXn.若 a1 a2a

12、n 1 29 n ,那么2a27a7 =題型4二項(xiàng)展開式中系數(shù)或項(xiàng)的最大、最小問題思路提示二項(xiàng)式系數(shù)最大（小）問題按前述“知識(shí)點(diǎn)精講”原理求解 大于（或小于）等于相鄰兩項(xiàng)，列不等式組求解。例12.37 a b n展開式中：.系數(shù)或項(xiàng)的最大、最小問題需按該項(xiàng)（1）只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則 n=;（2 ）第7項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)取最大值，n =.分析：只有一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大n是偶數(shù)；有兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大n是奇數(shù)。n解析：（1）Tr 1=Cna rbr 只有T6 1二項(xiàng)式系數(shù)最大，錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)，最大值為 cn2 c；，-6，得n 12 . （2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),2n 12 ；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)

13、，最大二項(xiàng)式系數(shù)為n 13或 n 11.所以 n 11,12,13。、, 10變式1求1 X 展開式的系數(shù)最大項(xiàng)和最小項(xiàng)。11變式2求1 2x 展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)數(shù)和系數(shù)最大項(xiàng)數(shù)。有效訓(xùn)練題1. 2x21 5的二項(xiàng)展開式中,xx的系數(shù)為（A. 10B.-10C.40D. -402. 1n3x (其中6）展開式中,x5與x6的系數(shù)相等，貝U n =（）A. 6B. 7C.8D. 95的展開式中,3x的系數(shù)為10，則實(shí)數(shù)a等于（x2A. 1 B. 丄C. 1D. 241x6.7.4.A. -245.若2xA. -84設(shè)x2A. 2的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（B. -6C. 6D.24n11 展開式中的所有二項(xiàng)式系數(shù)和為xB. 84C. -36D. 36512,則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）91 2x 1 = a0B.-1 C. -2a2 x11ax ，貝U a° 印an的值為（D. 11 的展開式中第3項(xiàng)與第x7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開式中的8.1 . x 20的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)與x9的系數(shù)之差為9.10已知 x 1a1 a2x10aux，若數(shù)列玄皚赳,ak (1 k 11,kZ）是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列,則k的最大值為10.LI *右