量子力學(xué)典型例題分析解答

1、量子力學(xué)例題第二章                              一求解一位定態(tài)薛定諤方程1試求在不對稱勢井中的粒子能級和波函數(shù) 解 薛定諤方程:            

2、0;                    當(dāng)  ,      故有                           

3、;      利用波函數(shù)在    處的連續(xù)條件由  處連續(xù)條件:    由  處連續(xù)條件:                              給定一個n 值,可解一個 ,  為分離能級.2&#

4、160;  粒子在一維 勢井中的運(yùn)動      求粒子的束縛定態(tài)能級與相應(yīng)的歸一化定態(tài)波函數(shù)解體系的定態(tài)薛定諤方程為當(dāng) 時(shí)對束縛態(tài)      解為     在  處連續(xù)性要求將  代入得  又       相應(yīng)歸一化波函數(shù)為:    歸一化波函數(shù)為:3         

5、  分子間的范得瓦耳斯力所產(chǎn)生的勢能可近似地表示為    求束縛態(tài)的能級所滿足的方程解 束縛態(tài)下粒子能量的取值范圍為   當(dāng)  時(shí)       當(dāng)  時(shí)           薛定諤方程為 令       解為     當(dāng)  時(shí)   令   

6、    解為當(dāng)  時(shí)        薛定諤方程為     令   薛定諤方程為解為由        波函數(shù)滿足的連續(xù)性要求,有                       

7、;                                                       

8、0;          要使  有非零解  不能同時(shí)為零     則其系數(shù)組成的行列式必須為零     計(jì)算行列式,得方程例題主要類型: 1.算符運(yùn)算;  2.力學(xué)量的平均值;   3.力學(xué)量幾率分布.一.  有關(guān)算符的運(yùn)算1.證明如下對易關(guān)系(1)           

9、0;  (2)  (3)   (4)   (5)                                     

10、0;                 證                      (1)             (2)

11、0;                                                    &

12、#160;                        (3)                           &

13、#160;                                                   

14、;                                                  

15、0;    一般地,若算符 是任一標(biāo)量算符,有         (4)                                    

16、0;                                                  

17、60;             一般地,若算符 是任一矢量算符,可證明有                               (5)      

18、0;                                                   &#

19、160;                                    =0同理： 。2.      證明哈密頓算符為厄密算符解考慮一維情況      

20、                                                    

21、60;                                                  &#

22、160;                                                  &

23、#160;                                                 &

24、#160;                                                   

25、;                為厄密算符, 為厄密算符, 為實(shí)數(shù)                    為厄密算符         為厄密算符3已知軌道角動量的兩個算符 和 共

26、同的正交歸一化本征函數(shù)完備集為 ,         取: 試證明:   也是 和 共同本征函數(shù), 對應(yīng)本征值        分別為: 。         證 。    是 的對應(yīng)本征值為   的本征函數(shù)          

27、;      是 的對應(yīng)本征值為  的本征函數(shù)又:       可求出:二.有關(guān)力學(xué)量平均值與幾率分布方面1.        (1)證明  是 的一個本征函數(shù)并求出相應(yīng)的本征值；(2)求x在 態(tài)中的平均值解                 

28、                                                   

29、60; 即              是 的本征函數(shù)。本征值                             2.      設(shè)粒子在寬度為a的一維無限

30、深勢阱中運(yùn)動，如粒子的狀態(tài)由波函數(shù)                              描寫。求粒子能量的可能值相應(yīng)的概率及平均值               &#

31、160;【解】        寬度為a的一維無限深勢井的能量本征函數(shù)                                  注意:是否歸一化波函數(shù)    &#

32、160;       能量本征值                                           &

33、#160;                                     出現(xiàn) 的幾率   ,         出現(xiàn) 的幾率 能量平均值 &

34、#160;                                            另一做法      &

35、#160;                                                  

36、                                                   

37、0;                        3 .一維諧振子在 時(shí)的歸一化波函數(shù)為          所描寫的態(tài)中式中，式中 是諧振子的能量本征函數(shù)，求（1） 的數(shù)值；2）在 態(tài)中能量的可能值，相應(yīng)的概率及平均值；（3） 時(shí)系統(tǒng)的波函數(shù) ；（4） 時(shí)能量的可能值相應(yīng)的概率及平均值 

38、       解(1)  ,   歸一化， ， （2） ， ， ；                   ， ；， ；    （3） 時(shí)，              所以： 時(shí)，能量

39、的可能值、相應(yīng)的概率、平均值同（2）。4   設(shè)氫原子處于狀態(tài)                            求氫原子的能量,角動量平方以及角動量z分量的可能值,這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。      解   能量本征值 

40、60;                          能量本征態(tài)                         &

41、#160; 當(dāng)n=2 時(shí)                                                  

42、60;                                                   &

43、#160;                            本征值為的                       

44、0;                                                 

45、0;           ， 出現(xiàn)的幾率為100   可能值為 出現(xiàn)的幾率分別為： 。      5 . 在軌道角動量 和 共同的本征態(tài) 下,試求下列期望值            (1). ;  (2) .        

46、0;  解：                三    測不準(zhǔn)關(guān)系1. 粒子處于狀態(tài) 式中 為常數(shù),求粒子的動量的平均值,并計(jì)算測不準(zhǔn)關(guān)系 解先歸一化         (1)  動量平均值              

47、60;                                                   &

48、#160;                                                   

49、;                                     (2)                

50、60;      (3)                       附:         常用積分式：（1） （2） （3） 第四章例題1力學(xué)量的矩陣表示由坐標(biāo)算符的歸一化本征矢 及動量算符 構(gòu)造成算符 和     試分別：1）. 求 和 在態(tài) 下的期望值；

51、2）. 給出 和 的物理意義【解】（1）. 設(shè)態(tài)矢 已歸一化          （粒子位置幾率密度）（2）    （利用   化到坐標(biāo)表象）又： ,  上式          2.試證明：由任意一對以歸一化的共軛右矢和左矢構(gòu)成的投影算符 （1）. 是厄密算符，（2）. 有 ，（3）. 的本征值為0和1【證】（1）. 厄密算符的定義        &

52、#160;為厄密算符(2)    已歸一化   （3）. 由 的本征值方程,  又： 即：          （本題主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄拉克符號的應(yīng)用）3.分別在坐標(biāo)表象，動量表象，能量表象中寫出一維無限深勢井中（寬度 ）基態(tài)粒子的波函數(shù)。（本題主要考查波函數(shù)在具體表象中的表示）【解】  所描述的狀態(tài)，基態(tài)波函數(shù) （1）. 在x表象：（2）. 動量表象：        &

53、#160;                                                   

54、;         （3）. 能量表象                         同樣一個態(tài)在不同表象中的表示是不同的，不同的表象是從不同側(cè)面來進(jìn)行描述的.4.取 和 的共同表象，在 角動量空間中寫出 , , 的矩陣（本題主要考查算符矩陣的求法  ）【解】   ,

55、 的共同本征函數(shù)為                                   在  空間                 

56、0; （1）.     ,               同樣     （2）        利用:  利用正交歸一條件:                同樣（3）  利用:    

57、    矩陣:  矩陣:    5.已知體系的哈密頓量  , 試求出（1）. 體系能量本征值及相應(yīng)的在 所在的表象的正交歸一化的本征矢組.（2）.將 對角化，并給出對角化的么正變換矩陣【解】（1）. 久期方程   解之      ,  設(shè)正交歸一的本征矢      對應(yīng)于              

58、                                               本征矢      

59、;        歸一化   對應(yīng)歸一本征矢     同樣  :                          :        

60、60;      即為 的本征函數(shù)集（2）. 對角化后，對角元素即為能量本轉(zhuǎn)換矩陣為6  證明：將算符矩陣 對角化的轉(zhuǎn)換矩陣的每一列對應(yīng)于算符的一個本征函數(shù)矢量?！咀C】    算符的本征矢：        則 F算符在自身表象中為一對角矩陣： 對另一表象力學(xué)量的本征矢                  的本征矢  &#

61、160;     7. 為厄密算符。        求算符 的本征值，           在A 表象下求算符 的矩陣表示。      解：      設(shè) 的本征值為 ,本征函數(shù)為 ,           &#

62、160; 則                        又                              

63、0;          同理算符 的本征值也為 .            在A表象，算符 的矩陣為一對角矩陣,對角元素為本征值，即                   設(shè) 利用   

64、60;                  B為厄密算符 即                       又                 

65、             取：          第五章                         例題重點(diǎn)：微擾論1   一根長為

66、，無質(zhì)量的繩子一段固定于支點(diǎn)，另一端系質(zhì)量為的 質(zhì)點(diǎn) ，在重力作用下，質(zhì)點(diǎn)在豎直平面內(nèi)擺動。i) 在小角近似下，求系統(tǒng)能級；ii) 求由于小角近似的誤差產(chǎn)生的基態(tài)能量的一級修正。   解：i )   勢能：    系統(tǒng)的哈密頓量      在小角近似下:             ii )若不考慮小角近似         又    

67、;        利用公式,             同樣               2. 一維諧振子的哈密頓量為 ，假設(shè)它處于基態(tài)，若在加上一個彈力作用 ，使用微擾論計(jì)算 對能量的一級修正，并與嚴(yán)格解比較。         解：i )   

68、60;             ,  又               ii) 嚴(yán)格解      發(fā)生了變化      3   已知體系的能量算符為 , 其中 , 為軌道的角動量算符。（1）求體系能級的精確值。（2）視 項(xiàng)為微擾項(xiàng)，求能級至二級近似值。解：i) 精確解令 ， 并在 平面上取方

69、向 ：與z軸的夾角為 ， 則                                 與 相互對易，它們的本征值分別為                 

70、                          體系能級為                            i

71、i)微擾法                       的精確解為    本征函數(shù)                   本征能量  按微擾論    利用了公式&

72、#160;     能量二級修正為                 在二級近似下                      4   三維諧振子，能量算符為 ，試寫出能級和能量本征函數(shù)。如這振子又受到微

73、擾 ， 的作用，求最低的兩個能級的微擾修正。并和精確值比較。解：（1設(shè) 的能量本征函數(shù)為    代入方程                                          &

74、#160;                                                    

75、60;                                                       &#

76、160;                       (2).基態(tài)的微繞修正對基態(tài)  波函數(shù) 基態(tài)能級的零級   , 無簡并        能量的二級修正:唯一不等于零的矩陣元為             

77、60;                                                    (3).第一激發(fā)態(tài)&

78、#160;                    三度簡并   計(jì)算 不為零的矩陣元為                           

79、                                                     久期方程 &#

80、160;        可求出能量的一級修正             (4).精確解                令                

81、                                                        

82、;                        基態(tài)             第一激發(fā)態(tài)                 

83、60;                       5設(shè)粒子的勢能函數(shù) 是坐標(biāo)的n次齊次函數(shù)，  即   試用變分法證明，  在束縛態(tài)下，動能T及勢能V的平均值滿足下列關(guān)系 （維里定理）   證 設(shè)粒子所用的態(tài)用歸一化波函數(shù) 描寫 則         

84、;                                       取試態(tài)波函數(shù)為             

85、     由歸一化條件                                                &

86、#160;                                                    

87、60;                                                      

88、60;                       當(dāng) 時(shí)，試態(tài)波函數(shù)即是粒子所處的束縛態(tài)波函數(shù)。   應(yīng)在 時(shí)， 取極值           6.   氫原子處于基態(tài)，加上交變電場 ,  電離能,用微擾論一級近似計(jì)算氫原子每秒離幾率。解：解這一類問題要搞清楚三個要素，

89、初態(tài)末態(tài)是什么？微擾矩陣元 ?初態(tài)：氫原子基態(tài)            末態(tài):  自由狀態(tài)                    為能量為 ,   在單位立體角的末態(tài)密度。微擾         

90、0;                                                    &

91、#160;                                                     &#

92、160;                                                      &#

93、160;      7 轉(zhuǎn)動慣量為 I, 電偶極矩為 D的平面轉(zhuǎn)子，置于均勻場強(qiáng)E（沿x方向）中，總能量算符成為 ,    為旋轉(zhuǎn)角(從x軸算起）如果電場很強(qiáng)， 很小，求基態(tài)能量近似值。解：方法一                         與一位諧振子的能量本征方程 比較有   &#

94、160;                                    方法二  用變分法，取歸一化的試探波函數(shù)              &

95、#160;                                                     &#

96、160;        所得結(jié)果與方法二一致。8設(shè)在 表象中， 的矩陣表示為                         其中 ,  試用微擾論求能級二級修正   解：在 表象中，         

97、;                                                     

98、第六章                          例題1.有關(guān)泡利矩陣的一些關(guān)系的證明（注意應(yīng)用一些已知結(jié)論）1). ;  (2). ; (3). ;(4).設(shè)  則 ， .【證】（1）.          (2).     

99、60;                   (3).                                   

100、;                           (4).                           &

101、#160; 2 證明：   并利用此結(jié)論求 本征值【證】                                             設(shè) 的本征函數(shù)為 則  

102、         又          ,  , 3 設(shè)為 常數(shù)，證明 【證】  將 展開成 的冪級數(shù)，有  ，  為偶數(shù) ；  為奇數(shù)  上式                         4 求

103、自旋角動量在任意方向 （方位角為 ）的投影的本征值及本征矢（在 表象），  【解】   在 表象中，  ，     在 表象中的矩陣表示為     設(shè) 的本征值為 ，相應(yīng)本征矢為 ，本征方程為 解久期方程，    將 代入本征方程  由歸一化條件              對應(yīng)的本征矢為  同樣： 對應(yīng)的本征矢為 通過本題討論我們發(fā)現(xiàn)， 的本征值為 ，自旋算符 在任意

104、方向上的分量 的本征值也是 。也進(jìn)一步推廣，對任一種角動量算符 ，如有 的本征值為 ， 的本征值為 則 在任意方向上的分量 的本征值的可能值也為 。5  有一個定域電子（不考慮軌道運(yùn)動）受均勻磁場作用，磁場指向正 方向，磁作用勢為 ，設(shè) 時(shí)電子的自旋向上，即 求 時(shí) 的平均值。解  設(shè)自旋函數(shù) 在表象中            體系的哈密頓算符可表示為            &#

105、160;則自旋態(tài)所滿足的薛定諤方程為                                                 

106、60;                                            同理         &#

107、160;                                               又 ，       

108、;  自旋                                                   

109、60;        再由          即                                          

110、;                                                                     6 在自旋態(tài) 中，求  【解】                      &#