等差數(shù)列計(jì)算

1、咨詢(xún)電話(huà)：4031（2680P智I®教肓 mww.J lajlaoljain.ciTi 知識(shí)點(diǎn)撥等差數(shù)列的相關(guān)公式（1）三個(gè)重要的公式 通項(xiàng)公式：遞增數(shù)列：末項(xiàng)首項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)1）公差，an a1 （n 1） d遞減數(shù)列：末項(xiàng)首項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)1）公差，an ai （n 1） d回憶講解這個(gè)公式的時(shí)候可以結(jié)合具體數(shù)列或者原來(lái)學(xué)的植樹(shù)問(wèn)題的思想，讓學(xué)生明白末項(xiàng)其實(shí)就是首項(xiàng)加上（末項(xiàng)與首項(xiàng)的）間隔個(gè)公差個(gè)數(shù)，或者從找規(guī)律的情況入手同時(shí)還可延伸出來(lái)這樣一個(gè)有用的公式：an am （n m） d , （n m） 項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)（末項(xiàng) 首項(xiàng)）公差+1jj *由通項(xiàng)公式可以得到：n（a.ajd 1*（若a.a

2、j ； n （aa.）d 1（若aa.）找項(xiàng)數(shù)還有一種配組的方法，其中運(yùn)用的思想我們是常常用到的.譬如：找找下面數(shù)列的項(xiàng)數(shù)：4、7、10、13、L、40、43、46 ,分析：配組：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、L、（46、47、48），注意等差是 3 ,I jgr.那么每組有3個(gè)數(shù)，我們數(shù)列中的數(shù)都在每組的第1位，所以46應(yīng)在最后一組第1位，4到48有48 4 1 45項(xiàng)，每組3個(gè)數(shù)，所以共45“3 15組，原數(shù)列有15組.當(dāng)然還可以有其他的配組方法. 求和公式：和=（首項(xiàng) 末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)吃 對(duì)于這個(gè)公式的得到可以從兩個(gè)方面入手: 偲路 1) 1 2

3、3 L 98 99 1001 41004 4(2|> 羊9 4 23 4 98)4 L 4 454 451) 101 50 5050共50個(gè)101（思路2）這道題目，還可以這樣理解:1-2-1-2.等差數(shù)列的認(rèn)識(shí)與公式運(yùn)用.題庫(kù)教師版page 1 of 9窖詢(xún)電話(huà)：40310-2680F智屋教肓mwivji擊jlaob古和 =1234 L 9899100+ 和100999897L321即， 和2 倍和101101101101L101101101(100 1) 100 2 101 505050(2)中項(xiàng)定理：對(duì)于任意一個(gè)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，中間一項(xiàng)的值等于所有項(xiàng)的平均數(shù)，也等于首項(xiàng)與末項(xiàng)

4、和的一半；或者換句話(huà)說(shuō)，各項(xiàng)和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù).譬如： 4 8 12 L 32 36 (4 36) 9 2 20 9 1800，題中的等差數(shù)列有 9項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第 5項(xiàng)的值是20，而和恰等于20 9 ； 65 63 61 L 5 3 1(1 65) 33 2 33 33 1089，題中的等差數(shù)列有 33項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第17項(xiàng)的值是33,而和恰等于33 33 .目m 車(chē)?yán)}精講【例1】用等差數(shù)列的求和公式會(huì)計(jì)算下面各題嗎？I JkJ J 3 4 5 6 L 76 77 78 1 3 5 7 L 87 99 4 7 10 13 L 40 43 46【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】2星【題型】計(jì)算

5、【解析】根據(jù)例1的結(jié)果知：算式中的等差數(shù)列一共有76項(xiàng)，所以：3 4 5 6 L 76 7778 (3 78)7623078算式中的等差數(shù)列一共有50項(xiàng)，所以：135 7 L 87 99(1 99)5022500算式中的等差數(shù)列一共有15項(xiàng)，所以：4710 13 L 40 43 46(446)152 375|J、【答案】 30782500375【鞏固】1 28 9 10 9 82 1 ?！究键c(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】2星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】2005年，希望杯，第三屆，四年級(jí)，二試【解析】1+2+3+3+2+1=n冷，所以原式=10 >10=100【答案】100【鞏固】1966、1976

6、、1986、1996、2006這五個(gè)數(shù)的總和是多少 ？【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】1星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】 第一屆，華杯賽，初賽1-2-1-2.等差數(shù)列的認(rèn)識(shí)與公式運(yùn)用.題庫(kù)教師版page 3 of 9N智康隸肓咨詢(xún)電話(huà)：400-31 Ck26801-2-1-2.等差數(shù)列的認(rèn)識(shí)與公式運(yùn)用.題庫(kù)教師版page 5 of 9【解析】1986是這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)，所以和=19865= 9930?！敬鸢浮?930【鞏固】計(jì)算：110+ 111+ 112+ + 126 =【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】2星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】 第四屆，走美杯，四年級(jí),初賽【解析】原式(110 126) 17 2200

7、6【答案】2006【鞏固】計(jì)算下面結(jié)果.48 1216 L32 36656361 L 53 134 5L 99100【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】2星【題型】計(jì)算根據(jù)剛剛學(xué)過(guò)的求項(xiàng)數(shù)以及求和公式，項(xiàng)數(shù)【解析】等差數(shù)列的和(首項(xiàng)+末項(xiàng))項(xiàng)數(shù)2項(xiàng)數(shù):(364)19; 和:(4 36)項(xiàng)數(shù):(651)1 33;和:(1 65)33(末項(xiàng)1802首項(xiàng))公差133 331089項(xiàng)數(shù):(100 3)198;和:(3 100 985047【答案】180 1089f 5047用等差數(shù)列的求和公式會(huì)計(jì)算下面各題嗎？ 3 4 5 6 L 76 77 78 1 3 5 7 L 87 99 4 7 10 13 L 4

8、0 43 46【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】2星【解析】【鞏固】【題型】計(jì)算【答案】(1) 算式中的等差數(shù)列一共有 76項(xiàng)，所以：3(2) 算式中的等差數(shù)列一共有 50項(xiàng)，所以：(3) 算式中的等差數(shù)列一共有 15項(xiàng)，所以：46 L 76 77 78(3 78)762 3078(1) 3078(2) 2500(3)計(jì)算下列一組數(shù)的和：105, 110, 115, 120,【難度】2星【鞏固】【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題8799(137510 13 L，195, 200【題型】【解析】 根據(jù)等差數(shù)列求和公式，必須知道首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)，這里首項(xiàng)是知道.若利用an印(n 1) d，可有n (a. aj d

9、 140計(jì)算43 4699) 502(4 46)1525002 375105，末項(xiàng)是200，但項(xiàng)數(shù)不N智康教肓客輸電話(huà)：400310-2680N智康教肓wwwJiajlM9>l?an.££im據(jù)此可先求出項(xiàng)數(shù)，再求數(shù)列的和.1-2-1-2.等差數(shù)列的認(rèn)識(shí)與公式運(yùn)用.題庫(kù)教師版page 8 of 9解：數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n (an aj d 1(200 105)5 195 5 120 故數(shù)列的和是：S (a1 爲(wèi))n 2(105 200) 20 2305 20 23050【答案】3050【鞏固】聰明的小朋友們， PK 一下吧.465【難度】【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【解析】根據(jù)剛剛

10、學(xué)過(guò)的求項(xiàng)數(shù)以及求和公式，項(xiàng)數(shù)等差數(shù)列的和（首項(xiàng)+末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2【答案】【鞏固】項(xiàng)數(shù)：（36項(xiàng)數(shù)：（651804)1)巧算下題： 5000 2 4& 13 5 74 19; 和:2 1 33;和:(4 36)61（末項(xiàng)180;9233 331089 32 363 1【題型】計(jì)算L 58 12 16 L632星首項(xiàng)）公差1【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題111【解析】原式 5000(2L 981995(1 65) 332 10891001997 1999【難度】2星【題型】計(jì)算L 98100)5000 (2100) 50 2 5000 2550 2450這一串加數(shù)可以組成首項(xiàng)為1、末項(xiàng)為1999，公

11、差為2的等差數(shù)列,項(xiàng)數(shù) (19991)2 11000，原式(11999)1000 2 2000 1000 2 1000000【答案】24501000000【鞏固】（12 3【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題20072008 2007【難度】1） 2008【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】 第六屆，走美杯，四年級(jí)，初賽2008【解析】 觀察原式可知，1、2、32007分別可與2007、2006、20051組成2008,于是括號(hào)中有個(gè)2008，故原式結(jié)果為 2008?！敬鸢浮?008【鞏固】(2005200620072008 200920102011)2008 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】2星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】20

12、08年，第6屆，希望杯，4年級(jí)，1試【解析】根據(jù)中項(xiàng)定理知：2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011=20087,所以原式=2008 7X2008=7【答案】7【鞏固】計(jì)算：1 - 50+2 - 50+98 - 50+99 - 50=【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】2星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】2009年，第7屆，希望杯，4年級(jí)，1試【解析】原式=(1234 5L 98 99) 50(199) 99 2 5099【答案】99【例2】計(jì)算：(1 35L19971999)-(2 46 L1996 1998 400051015 L95100 99 198297396495594

13、 693792891 990【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】(方法一)第一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)1000,第二個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 999，禾U用求和公式得：(1 1999) 1000 2 (2 1998) 999 2 1000.(方法二)第一個(gè)括號(hào)內(nèi)共有 1000個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)內(nèi)有 999個(gè)數(shù)把1除外，第一個(gè)括號(hào) 內(nèi)的各數(shù)依次比第二個(gè)括號(hào)里相應(yīng)的數(shù)大1，因此可簡(jiǎn)捷求和.原式 1 (3 2) (5 4) L (1999 1998 l 1 1 L 1(共 1000 個(gè) 1) 1000通過(guò)觀察可知，題目中的減數(shù)可以組成等差數(shù)列，所以，可先求這些減數(shù)的和，再?gòu)谋粶p數(shù)中 減去這個(gè)和.4000

14、5 10 15 L 95 100 4000 (5 10 15 L 95 100) 4000 (5 100 (20 2)4000 1050 2950 .當(dāng)一個(gè)數(shù)連續(xù)減去幾個(gè)數(shù)，這些減數(shù)能組成等差數(shù)列時(shí)，可以先求這些 減數(shù)的和，再?gòu)谋粶p數(shù)中減去這個(gè)和. 99 198 297 396 495 594 693 792 891 990100 1 200 2 300 3 L 1000 10100 200 300 L 1000 (12 3 L 10)(100 1000 10 2 (1 10) 10 2窖詢(xún)電話(huà)：40010-26805500 555445【答案】1000 2950 54451-2-1-2.等差

15、數(shù)列的認(rèn)識(shí)與公式運(yùn)用.題庫(kù)教師版page 11 of 9【鞏固】計(jì)算(2 4 6 L 1984 1986 1988) (1 3 5 L 1983 1985 1987)【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】根據(jù)求項(xiàng)數(shù)公式可知兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的算式都各有994項(xiàng)原式 (2 1) (4 3) L (2 1)(4 3 L (1988 1987) 1 zj 412 l4 I4 31 994994 個(gè) 1【答案】994【鞏固】計(jì)算：2007 2006 2005 2004 2003 2002 L 5 4 3 2 1【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】3星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】2007年，第5屆，走美杯，

16、3年級(jí)，決賽【解析】找規(guī)律并分組計(jì)算如下：2007 2006 2005 2004 2003 2002 L 5 4 3 2 1 、"、'=2007 20062005 200420032002 L 5 43 21=1i+U2- L 4+1+12003 個(gè)=2004【答案】2004【鞏固】計(jì)算：(24 6 L 9698 100)(1 3 5 L 95 97 99) 1 3 4 6 7 9 10 12 13 L 66 67 69 70 ； 1000 999 998 997 996 995 L 106 105 104 103 102 101. 61 692 6993 69994 699

17、995 6999996【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】 和式2 4 L 98 100, 13 5 L 97 99中的項(xiàng)成等差數(shù)列，從而可能想到先求和，再做減法這樣做，很自然，也比較簡(jiǎn)便，有其他更為簡(jiǎn)便的解法嗎？再看題，你會(huì)冒出一個(gè)好Jr想法：運(yùn)用加減運(yùn)算性質(zhì)先做減法：2 1, 4 3 , 6 5 , L , 100 99，它們的差都等于1,然后，計(jì)算等于1的差數(shù)有多少個(gè).由于題中1至100的全部偶數(shù)之和作為被減數(shù)， 奇數(shù)之和 為減數(shù)，所以，相鄰的奇偶數(shù)相減 (以大減小)，共得50個(gè)差數(shù)1，從而，原式(2 1( 4 3 L(98 97 (100 99) 50 .以把這個(gè)數(shù)列

18、拆分為兩個(gè)數(shù)列1 4 7 10 13 L 67 70和3 6 9 12 L 66 69，對(duì)它們分別求和：原式(1 70 24 2 (3 69) 23 2 1680 ;本題也可以按照上題的方法做，但還有更簡(jiǎn)便的辦法，把式子中的減法都計(jì)算出來(lái)可以得到下式：1000 1 997 1 L 106 1 103 1 這是1000 997 L 106 103和1 1 L 1 1的組合，分別計(jì)算結(jié)果即可：原式 (1000 103300 2 1 300 165750原式(70 9(700 8(70007)(70000 6)(700000 5)(7000000 4)7777770(9 8 7 6 5 477777

19、31【答案】 5016801657507777731【鞏固】計(jì)算：(1 3 5 L2009) (2 4 6 L 2008【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】方法一：讓學(xué)生用等差數(shù)列求和公式分別計(jì)算前后兩部分，然后講方法二，這樣可以讓學(xué)生體會(huì)觀察數(shù)列規(guī)律，動(dòng)腦思考的重要性.原式(1 2009 1005 2 (2 2008 1004 2 1005方法二：把括號(hào)去掉，兩兩結(jié)合，簡(jiǎn)便計(jì)算.原式 1(32)(54)L(20092008)1 4 41S414 運(yùn)1 10051005 個(gè) 1【答案】1005【鞏固】計(jì)算：(2 4 6 L2008) (1 3 5 L 2007) 【考點(diǎn)】等差

20、數(shù)列計(jì)算題【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】方法一：等差數(shù)列求和.原式 (2 2008 1004 2 (1 2007) 1004 2 1004 方法二：把括號(hào)去掉，兩兩結(jié)合，簡(jiǎn)便計(jì)算.原式 (2 D (4 3) L (2008 2007) 1 4 44L2 414 如1 1°°4 1004 個(gè) 1 I I r 才【答案】1004【鞏固】計(jì)算：2008 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 L 4 3 2 1 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】2星【題型】計(jì)算【解析】方法一：原式(2008 2007 2006 2005 (2004 2003 2002

21、 2001 L (4 3 2 1)1 44 2 4 令4 4 5022008502個(gè) 4方法二：原式 2008(20072006)(2005 2004(20032002)(2001 2000) L (5 4)(3 2)120081 1 11 L11 12008方法三：2008 2006200720052004 2002 L4 23 12，觀察到這一點(diǎn)就好辦了，改變?cè)瓉?lái)的運(yùn)算順序不難發(fā)現(xiàn)每?jī)蓚€(gè)數(shù)放在一起就是2,就等于說(shuō)每一個(gè)數(shù)都看成1就咨詢(xún)電話(huà)：400310-2680N智康教肓 mwwrjl時(shí)古fttarn 行了，原式有2008項(xiàng)，所以最后答案就是 2008.(讓學(xué)生體會(huì)觀察數(shù)列規(guī)律動(dòng)腦思考的重

22、要性)【答案】2008【鞏固】計(jì)算：1 2 3 4 5 6 78 9 L 97 98 99.【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】原式(1 2 3)(4 5 6)(7 89) L(979899)0 3 69 L 96(3 96)(96 33 1 21584【答案】1584【例 3 】 計(jì)算：1.1 3.3 5.5 7.7 9.9 11.11 13.13 15.15 17.17 19.19 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】3星【題型】計(jì)算【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【關(guān)鍵詞】第十三屆，迎春杯，試題【解析】原式 5.5 5 15.15 5(5.5 15.15)520.56 5 103.25【難度】2星【題型】計(jì)算【答案】103.25【例4】計(jì)算123L 1990Jkj J19901990 19901990【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】原式 1 2