第一類曲線積分的計算

1、第一類曲線積分的計算1、定義 定義1 :設(shè)L為平面上可求長度的曲線段，f(x,y)為定義在L上的函數(shù)對曲 線L作分割T,它把L分成n個可求長度的小曲線段Li(i 1,2, ,n)，Lj的弧 長記為si，分割T的細度為T max Sj，在Li上任取一點(i,1 i n ni )(i 1,2, ,n).若存在極限 lim f ( i, i) siJIT Oi 1且J的值與分割T及點(i, i)的取法無關(guān)，則稱此極限為f(x,y)在L上的第一 型曲線積分，記作Lf(x,y)ds.( 1)定義2:若L為空間可求長曲線段，f (x,y)為定義在L上的函數(shù)，則可類似地n 定義f (x,y,z)在空間曲線L

2、上的第一型曲線積分為lim f ( i, i, i) siJ，IT Oi 1(此處si為Li的弧長,T max si, J為一常數(shù))，并且記作Lf (x,y,z)ds.1 i n(2)2、物理意義(1) 設(shè)某物體的密度函數(shù)f ( P)是定義在上的連續(xù)函數(shù)當(dāng)是直線段時，應(yīng)用定積分就能計算得該物體的質(zhì)量?，F(xiàn)在研究當(dāng)是平面上某一可求長度的曲線段時物體的質(zhì)量的計算問題首先對作分割，把 分成n個可求長度的小i曲線段i (i=1，2,，n)，并在每一個i上任取一點P由于f (P)為 上的i 連續(xù)函數(shù)，故當(dāng)i的弧長都很小時，每一小段i的質(zhì)量可近似地等于f( P )i，其中i為小曲線段i的長度.于是在整個上的

3、質(zhì)量就近似地等于和式nf(R) ii 1當(dāng)對的分割越來越細密時，上述和式的極限就應(yīng)是該物體的質(zhì)量(2) 空間曲線L的重心坐標(biāo)為-M,x :Mx (x,y,z)dlL(x, y,z)dlLy (x,y,z)diy M zx M(x,y,z)dlLMxyz (x,y,z)dlL(x, y,z)dlL(3)曲線L的繞z軸(x, y軸)的轉(zhuǎn)動慣量是2 2Jz (x y ) (x, y, z)dlL3、幾何意義1)當(dāng)被積函數(shù)為1時，積分的值恰為曲線的長度。(2)當(dāng) f(x,y)0, Lf(x, y)ds.表示以L為準(zhǔn)線,以平行于z軸的線為母線的曲柱面的面積4、性質(zhì) 第一型曲線積分具有下述一些重要性質(zhì),k

4、為常數(shù)，則(1)若 Lfi x,y ds i 1,2, ,k 存在，ci i 1,2,kCi Lfi x,y ds.i 1k”kLCjfj x,y ds也存在，且 L Cjfj x,y dsi 1i 1(2) 若曲線段L由曲線L丄2, Lk首尾相接而成，且li f x,y ds(ik1,2,k)都存在，則 Lf x,y ds也存在，且 Lf x,y ds L f x,y ds。i 1 I(3) 若 Lf x,y ds與 Lg x,y ds都存在，且在 L 上f x,y g x,y ,則L f x,y ds Lg x,y ds。(4) 若 Lf x,y ds存在，則 l f x,y ds也存在，

5、且 L f x,y ds L f x,y ds。(5) 若Lf x,y ds存在，L的弧長為s，則存在常數(shù)c,使得Lf x,y ds cs,這里 inf f x,y c supf x,y。 LL5、第一型曲線積分的計算xt定理1設(shè)有光滑曲線L :'t ,，函數(shù)f x,y為定義在L上的連yt,續(xù)函數(shù)，貝U L f x, y dsf t ,t . '21'2 t dt.( 3)定理2當(dāng)曲線L由方程yx ,xa, b給出，且x在a,b上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)時，Lf x,yds bf x,x 1'2x dx(5)定理3當(dāng)曲線L由方程xy ,yc,d給出，且y在c,d上有連續(xù)導(dǎo)函

6、數(shù)時,Lf x,y dsy,y J'2y dy.(6)定理4設(shè)函數(shù)f(x,y)在光滑曲線上有定義且連續(xù)，曲線的方程為xx tyy tt。t Tzz t則dsf x t , y t , z t fx,y,zx'2 ty'2 tz'2 t dtIto定理5設(shè)函數(shù)f (x,y)在光滑曲線上有定義且連續(xù)，曲線的方程為i (x, y, z) 02(x, y,z) 0則可化為以x為參數(shù)的參數(shù)方程。然后化為定理4的形式。f x, y, z ds f x, y x , z x 1 y'2 x z'2 x dxIto定理6設(shè)函數(shù)f(x,y)在光滑曲線上有定義且連續(xù)

7、，曲線的的方程為z g1(x, y)z g2(x, y) 則在一定的條件下可化為以z為參數(shù)的參數(shù)方程，再化為定理 4的形式。Ti f x, y,z ds f x z , y z , z zto.2y'2 z 1dz0歷年真題1、計算L x2ds，其中L為球面x2 y2z2a2被平面x y z 0所截得的圓周0【解析】由對稱性知x2dsL2 2y ds z ds LL所以x2dsLy2 z2)ds a2ds3 L2 a3.2、求（xy yz zx）ds，其中L是球面x2 y2 Lz2a2與平面x y z交線。【解析】(xy yz L1zx)ds 2(xy yz zx)ds2lz)2 (x2y2 z2)dsI?y2 z2)dsa2ds a2 L3、已知曲線L : yx2(0 x(2009,數(shù)一,【解析】L xds 0 2 x 1 4x2dx 1802 1 4x2 d(1 4x2)y2)ds4、已知曲線L : y . 1 x2，則曲線積分L （x2（1989,數(shù)一，3 分）【解析】將積分曲線方程x2即x2 y21(y 0)代入被積函數(shù)，得L(x2 y2)dsL1ds2x5、設(shè)L為橢圓一42 21即3x2 4y212代入被積函數(shù)，得1，其周長為 a，則 l (2x