第32練雙曲線的漸近線和離心率問題

1、第32練 雙曲線的漸近線和離心率問題題型分析 髙考展望雙曲線作為三種圓錐曲線之一， 也是高考熱點，其性質(zhì)是考查的重點, 尤其是離心率與漸近線考查形式除常考的解答題外，也會在選擇題、填空題中考查，一般 為中等難度熟練掌握兩種性質(zhì)的求法、用法是此類問題的解題之本體驗咼考21. （2015四川）過雙曲線X y3 = 1的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線3于A, B兩點，貝U |AB|等于（）A.43B.2 .3C.6D.4 .3答案 D解析 設(shè)A, B兩點的坐標分別為（x. Ya）, （x, yB），將x= c= 2代入漸近線方程y= ±, 3x得2到Y(jié)a, Yb，進而求|

2、AB|由題意知，雙曲線X2 卷=1的漸近線方程為 y= 土 3x,將x= c= 2代入得y=±,3,艮卩A, B兩點的坐標分別為（2, 2 3）, （2, 2 3），所以|AB|= 4 3.2 22. （2016天津）已知雙曲線 鄉(xiāng)存=1（b>0），以原點為圓心，雙曲線的半實軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A, B, C, D四點，四邊形 ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為（）2 2 2 21C.J -二=1D.：護 1答案 D解析由題意知雙曲線的漸近線方程為y= ±2x,圓的方程為x2 + y2=4,< 2 2 ,x + y = 4,聯(lián)立$ b

3、ly = 2x,x=或.y=.4 + b2'2b一4 + b2,即第一象限的交點為由雙曲線和圓的對稱性得四邊形ABCD為矩形，其相鄰兩邊長為8円，1=2，故字T4b斗4+ b 才4+ b4+ b=2b，得 b2= 12.2 2故雙曲線的方程為12= 1.故選D.2 2NXNX3. （2016浙江）已知橢圓Cl： m2+ y2= 1（m> 1）與雙曲線C2：孑一y2= 1（n>0）的焦點重合，e2分別為C1, C2的離心率，則（）A.m>n 且 e1e2> 1B.m> n 且 eje2< 1C.mv n 且 e1e2> 1D.m v n 且 e1

4、e2< 1答案 A24又音m 1n2+ 1 - 2 m nn2+ 1 n2+ 1 n2+ 2 ' n2n4+ 2n2+ 1 _=n4+ 2n2 =1n4 + 2n2> 1 ,e e2> 1.解析 由題意可得：m2 1 = n2 +1,即卩m2= n2+ 2, 又 T m>0, n>0,故 m>n.4. （2015上海）已知點P和Q橫坐標相同，P的縱坐標是 Q的縱坐標的2倍，P和Q的軌跡 分別為雙曲線C1和C2,若C1的漸近線為y= ±3x,則C2的漸近線方程為 .答案y= ±fx解析 設(shè)點P和Q的坐標為（x, y）, （x0, y

5、0）,則有' 又因為C1的漸近線方程為y=±, 3x,y= 2y0,故設(shè)C1的方程為3x2=入把點坐標代入，可得 3x2 4y2=人令 A 0? 3x±2y= 0,即為曲線C2的漸近線方程，貝廿y= ±x.25. (2015北京)已知雙曲線 拿y2= 1(a>0)的一條漸近線為 寸3x+ y= 0，則a =.答案3 解析直接求解雙曲線的漸近線并比較系數(shù).2雙曲線為y2= 1的漸近線為y=±a，已知一條漸近線為 V3x+ y= 0，即y寸3x,因為a>0 , 所以a= ,3,所以a =彳.高考必會題型題型一雙曲線的漸近線問題例1 (1)

6、已知直線y= 1 x與雙曲線ax2 + by2= 1(a>0 , b<0)的漸近線交于 A, B兩點，且過 原點和線段ab中點的直線的斜率為一，則a的值為()2 bA 退退2/3A. 27 B. 22 D. 3答案 Bry 1 x解析 雙曲線ax2 + by2= 1的漸近線方程可表示為ax2 + by2= 0,由* 22得(a + b)x2ax + by = 02bx+ b = 0,設(shè) A(X1, y1) , B(X2, y2)，貝U X1+ X2=，2ay1 + 丫2=旦，所以原點和線段 AB中點的直線的斜率a+ by1 + y22_ y1 + y2 _ a _ V3k X1 +

7、 X2 X1 + X2 b2 '2故選B.2NX如圖，已知雙曲線 C: 2 y2= 1(a>0)的右焦點為F.點A, B分別在C的兩條漸近線上,a求雙曲線C的方程;過C上一點P（xo, yo）（y°M 0）的直線I: x°x yoy= 1與直線AF相交于點M ,與直線x = x2 3+ 3(Xo 2 J 3 4x2 12xo + 9 3相a2交于點N.證明：當點P在C上移動時，怕恒為定值，并求此定值.|NF| 解 設(shè)F（c, 0），因為b= 1，所以c= a2+1,1直線OB的方程為y= -x,a1c c直線BF的方程為y = 與x軸垂直，sinF2 = 3

8、則E的離心率為（）3A/,2B.|c. .3D.2答案(1)C(2)A 解析雙曲線的漸近線方程為：y= > 由題意可求得點 A（p, p）代入漸近線得b = p = 2,（x c），解得BQ，亦）.1又直線OA的方程為y= -x,ac cmtt A/ ca( 2a)3則A(c，a)，kAB=孑c2又因為AB丄OB,所以3( 1)= 1 , a' a，'解得a2= 3,2故雙曲線C的方程為x3 一 1.3由知a= 3,則直線I的方程為xoxxox 3x3xyoy=（。工°），即 y-.因為直線AF的方程為x= 2, 所以直線1與AF的交點為M（2,節(jié)）；3x

9、76;-3).直線1與直線x= 3的交點為3y°N(|,4. 2(2x°- 3f 2.3 3y° + 3 x° 22y0-2X03Hu貝代入上式得|mfj2NF|2 =224 2xo _ 3 4 i2xo 3_ 4即所求定值為|MF|_2 _ 2.3NF 廠,3 = 丁點評（1）在求雙曲線的漸近線方程時要掌握其簡易求法. 2 2由 y=衛(wèi)x?x¥=0?篤y.= 0，所a a b a b2以可以把標準方程X2a2b = 1(a>0, b>0)中的 “1 ” 用“0”替換即可得出漸近線方程2 2拿一y2= X將0），求出入即得雙曲線已知

10、雙曲線漸近線方程：y = bx,可設(shè)雙曲線方程為a方程2 2 2 2變式訓練1已知a>b>0 ,橢圓Cl的方程為X2 + y2= 1，雙曲線C2的方程為2-y2 = 1 , Cia ba b與C2的離心率之積為 f5,則C2的漸近線方程為（）A.x± 2y= 0B. ,2x±/= 0C.x2y= 0D.2x±y= 0答案 C解析 由已知，得 e1 = - 1 ；|1 會 4, 寧=4,e2= 5,e= J5，故選 C., e2=" ,：1+ £ 2，所以屜=1丁=于，解得a=±1,b 1所以C2的漸近線方程為y= 

11、7;bx= ±1x,a 2即xi2y= 0,故選C.題型二雙曲線的離心率問題2 2例2 （1）點A是拋物線C1： y2= 2px（p>0）與雙曲線C2 :玲一器=1（a>0, b>0）的一條漸近線的a b交點，若點A到拋物線C1的準線的距離為p,則雙曲線C2的離心率等于（）A. ,2B. 3C. .5D. ,62 2（2）（2016課標全國甲）已知F1, F2是雙曲線E: j y= 1的左，右焦點，點 M在E上，MF12,2sinM離心率e=1F1Fz|，由正弦定理得 e=匡旦 = SinM匚= 2故選|MF2|- |MFi|MF2|- |MFi| si nFi S

12、i nF?1'1 3A.點評 在研究雙曲線的性質(zhì)時，半實軸、半虛軸所構(gòu)成的直角三角形是值得關(guān)注的一個重要內(nèi)容；雙曲線的離心率涉及的也比較多由于e=c是一個比值，故只需根據(jù)條件得到關(guān)于a、ab、c的一個關(guān)系式，利用 b2= c2 a2消去b，然后變形求e,并且需注意e>1.同時注意雙曲 線方程中x, y的范圍問題.2變式訓練2 (2016上海)雙曲線x2泊=1(b>0)的左、右焦點分別為 Fi、F2，直線I過F2且與雙曲線交于A、B兩點n(1) 若I的傾斜角為2， F1AB是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；設(shè) b=Q3，若I的斜率存在，且(fTA+ 韋)Ab = 0,求i的

13、斜率. 解(1)由已知 F1( b2+ 1, 0), F* b2+ 1, 0),取 x= b2+ 1,得 y= b2,|F1F2|= 3|F2A|,t|F1F2|= 2 ,b2 + 1, |F2A|= b2, 2 b2+ 1= 3b2,即 3b4 4b2 4 = (3b2 + 2)(b2 2) = 0, b = ,2，漸近線方程為y=±. 2x.2(2) 若b= . 3,則雙曲線方程為 x2 y = 1, F1( 2, 0), F2(2, 0),設(shè) A(X1, y1), B(x2, y2),則 F1A=(治 + 2 , y1) , F1B=(X2 + 2 , y2) , AB =(X

14、2 X1, y?y",- f；A+ f1b =(馮 + X2+ 4 ,1+ 目2,(F1A+ F1B) AB = x2 x2+ 4(x2 x1) + y2 y1= 0, (*)22-x2 yl= x2 y2= 1 y2 y2=3(x2x1),代入(*)式,可得 4(x2 x2)+ 4(X2 x”= 0 ,直線I的斜率存在，故X1 X2 ,-X1 + X2 = 1.設(shè)直線 I 為 y = k(x 2)，代入 3x2 y2= 3,得(3 k2)x2 + 4k2x (4k2 + 3) = 0, 3 k2工 0,且= 16k4 + 4(3 k2)(4 k2 + 3) = 36(k2 + 1)

15、>0 ,4k2Xl+ x2=2= 1 ,3 k=5，直線I的斜率為土嚴.5題型三雙曲線的漸近線與離心率綜合問題2 2例3已知雙曲線 C:= 1(a>0, b>0)的右頂點為A, O為坐標原點，以 A為圓心的圓 與雙曲線C的某漸近線交于兩點 P, Q,若/ PAQ = 60°且OQ = 3OP,則雙曲線 C的離心率為()A. 4答案解析如圖所示,設(shè) / AOQ = a,.a . b-tan a= ? cos a= , sin a= acca2ab |OH|= acosa=, |AH|= a sin a=, cc又 OQ = 3OP,2|OP|=|PH|=|HQ|= 2

16、c， |AH|= 3|PH|?警.3 覚? 2b= ,3a,故選C.點評 解決此類問題：一是利用離心率公式，漸近線方程，斜率關(guān)系等列方程組二是數(shù)形 結(jié)合，由圖形中的位置關(guān)系，確定相關(guān)參數(shù)的范圍2 2 2 2變式訓練3已知雙曲線 拿古=1(a>0, b>0)以及雙曲線 拿一p= 1(a>0, b>0)的漸近線將第2 2一象限三等分，則雙曲線x y孑一b2= 1(a>0, b>0)的離心率為(A.2 或-J-B. .6或-3-C.2 或 3D. ：.：3或，6答案 A22解析由題意可知，雙曲線 %右=i(a>0, b>0)的漸近線的傾斜角為30。或6

17、0°a b則k= b = 3或,a "3高考題型精練21. (2015課標全國I )已知M(X0, yo)是雙曲線C :號y2= 1上的一點，F(xiàn)l, F2是C的兩個焦點若MF 1 MF 2<0 ,貝V y0的取值范圍是()A 也曲B f並回A. 3，3B. 6，6C 沁池D匚沁也C. I 3，3 丿I 3，3)答案 A解析 由雙曲線方程可求出F1, F2的坐標，再求出向量 MF1, MF2，然后利用向量的數(shù)量積公式求解.由題意知 a= 2, b = 1, c= 3 F1( 3, 0), F2( .3, 0),二 MF 1= ( ,3-x0，一 y0) , MF 2=

18、(,3 - x0, y0).T MF1 MF2<0, (詬一X0)(詬X0)+ y0<O,即 x2_ 3+ y2<0.點M% , y°)在雙曲線上，2 X0 y0= 1,即 x2= 2+ 2y2 , 2 + 2y0 3+ y0<O, 33今0<23故選 A.2 22. 已知雙曲線X21的一條漸近線方程為y= 2x,則雙曲線的離心率為（）a bA. .；5B. fc. . 5或 答案 A22b解析 雙曲線拿b= 1的漸近線方程為y= ±x,由題意可得-=2,即有b= 2a.ac= - Ja2+ b2= 5a, 可得e= c=Q5，故選A.223.

19、 已知雙曲線 右*= 1的左、右焦點分別為F1、F2,點P在雙曲線的右支上，且門|= 4|PF2|, 則此雙曲線的離心率 e的最大值為（）4 57A.3B.3C.2D.3答案 B解析 由雙曲線的定義知|PF1| |PF2|= 2a,又 |PF1|= 4|PF2|,聯(lián)立解得|PF 1|= 3a, |PF2|= 3a.33在厶PF1F2中，由余弦定理，得 cos/ FiPF2=179 2a23a8L32要求e的最大值，即求cos/ F1PF2的最小值，5 當 cos/ FiPF2=- 1 時，解得 e= 3，即e的最大值為3，故選B.32 24.雙曲線乍y2 = 1（a>0, b>0）

20、的兩頂點為 Ai, A2，虛軸兩端點為 Bi, B2,兩焦點為Fi, F2,a b若以AiA2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，則雙曲線的離心率是（）3 +、5.5+ 15 1 3 j5A. 2 B. 2 C 2 D 2 答案 B解析由題意，得直線 F1B1的方程是bx cy+ bc= 0,因為圓與直線相切，所以點 0到直線FiBi的距離等于半徑，即bea,又 b2= e2-a2,得 e4-3a2c2+ a4= 0, e4 3e2 + 1= 0, e2= 3±-5, e= 5,故選 B.5如圖，中心均為原點 0的雙曲線與橢圓有公共焦點， M ,N是雙曲線的兩頂點， 若M , 0,

21、N將橢圓的長軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是（）A.3B.2C. .3D. 2答案 B解析設(shè)橢圓與雙曲線的標準方程分別為2 2a2+ b2= 1（a>b>0）,2 2mm2 *= 1（m>0，n>0）,因為它們共焦點，所以它們的半焦距均為e,所以橢圓與雙曲線的離心率分別為ei = c, e2=-,a m 由點M , O, N將橢圓長軸四等分可知m= a m,_c即2m = a，所以e2= m=旦=2，故選B.ei c ma2 2 2 26.若實數(shù)k滿足0<k<9，則曲線 盞化 =1與曲線； y9 = 1的（）25 9 k25 k 9A.焦距相等B.半

22、實軸長相等C.半虛軸長相等D.離心率相等答案 A2 2解析 因為0<k<9，所以兩條曲線都表示雙曲線.雙曲線 盍= 1的半實軸長為5,半虛259 k 34k22軸長為，9 k,焦距為2 25+ 9 k = 2 34 k,離心率為5一 k雙曲線25 = 1的半實軸長為25 k,半虛軸長為3，焦距為2、25 k + 9 = 2 34 k,離心率為故兩曲線只有焦距相等.故選A.7已知F是雙曲線C: x2- y2= 1(a>0, b>0)的右焦點，0是雙曲線C的中心，直線y= , mx 是雙曲線C的一條漸近線，以線段 OF為邊作正三角形 AOF，若點A在雙曲線C上，則m答案 3

23、+2 3解析 因為直線y= .mx是雙曲線C的一條漸近線，b2所以m =亍，又A在雙曲線C上，三角形 AOF是正三角形,a1 2 二 2所以A(2c,于0,牛一¥ = 1,+ b2,化為4aa2 + b2* Im-3- g 1,444 4m因為m>0，可解得m = 3+ 2 3.8設(shè)p為直線y=3ax與雙曲線2 2予一古=1(a>0 , b>0)左支的交點,F1是左焦點，PF1垂直于x軸，則雙曲線的離心率 e=答案乎4解析設(shè)P(x, 3ax),則由題意，知c=|x|,因為PF1垂直于x軸，則由雙曲線的通徑公式知Fx|= b，即乎c = b，所以b=c3a a 3a

24、a3又由a2= c2- b2,得 a2 = £c2,所以e= c=鉱a 42 29. (2016山東)已知雙曲線 E: x2 y2= 1(a>0 , b>0)，若矩形 ABCD的四個頂點在 E上，AB,a b答案2解析2 2由已知得 |AB|= 2b , |BC|= 2c, a 2X 2b = 3X 2c, 又 / b2= c2-a2,整理得:2c2- 3ac aaCD的中點為E的兩個焦點，且 2|AB|= 3|BC|,貝U E的離心率是2a2= 0，兩邊同除以a2得丐2c1-3a-2 = 0 即 2e2-3e 2 = 0，解得 e= 2 或 e=-?（舍去）.2 210. 已知A(1, 2), B(- 1, 2)，動點P滿足AP丄BP,若雙曲線 玲一y2 = 1(a>0, b>0)的漸近線 a b與動點P的軌跡沒有公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是答案 (1 , 2)解析 根據(jù)條件AP丄BP,可得P點的軌跡方程x2 + (y 2)2 = 1, 求出雙曲線的漸近線方程尸令，運用圓心到直線的距離大于半徑，得到3a2>b2,再由