ch11 壓桿穩(wěn)定問題(3rd)

1、第十一章 壓桿穩(wěn)定問題11-1 圖示兩端鉸支剛桿蝶形彈簧系統(tǒng)，試求其臨界載荷。圖中，c代表使蝶形彈簧產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需之力偶矩。題11-1圖解：系統(tǒng)的臨界狀態(tài)（微偏斜狀態(tài)）如圖11-1所示。注意到蝶形彈簧產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角為，由右段剛桿的力矩平衡方程得圖11-111-2 圖示剛桿彈簧系統(tǒng)，圖中的c，c1與c2均為彈簧常數(shù)，試求系統(tǒng)的臨界載荷。題11-2圖(a) 解：設(shè)系統(tǒng)微偏轉(zhuǎn)如圖11-2a(1)所示，鉸鏈C的鉛垂位移用d表示,于是得桿BC(連帶鉸鏈C)的受力如圖11-2a(2)所示，由平衡方程得系統(tǒng)的臨界載荷為圖11-2a（b）解：設(shè)系統(tǒng)微偏轉(zhuǎn)如圖11-2b(1)所示，鉸鏈A與B的鉛垂位移分別用d1與

2、d2表示,于是得桿AB的受力如圖11-2b(2)所示，桿的平衡方程為(a)(b)由式（b）得(c)由式（a）得代入式（c），于是得系統(tǒng)的臨界載荷為圖11-2b11-3 圖示結(jié)構(gòu)，AB為剛性桿，BC為彈性梁，各截面的彎曲剛度均為EI。在剛性桿頂端承受鉛垂載荷F作用，試求其臨界值。題11-3圖解：結(jié)構(gòu)的臨界狀態(tài)如圖11-3所示。圖11-3使梁端截面產(chǎn)生轉(zhuǎn)角的力矩應(yīng)為而由此得即11-4 圖示剛性桿AB，下端與圓截面鋼軸BC相連。為使剛性桿在圖示鉛垂位置保持穩(wěn)定平衡，試確定軸BC的直徑d。已知F = 42 kN，切變模量G = 79 GPa。題11-4圖解：剛性桿在微偏斜（設(shè)偏斜角為，見圖11-4）狀

3、態(tài)下處于平衡，此時(shí)加給軸的扭力矩為而注意到，于是得即由此得（題中給出F=42kN）圖11-411-6 圖示細(xì)長壓桿，彎曲剛度EI為常數(shù)，試按§11-2所述方法確定桿的臨界載荷。題11-6圖解：設(shè)自由端的撓度為d，則撓曲軸近似微分方程為或式中，(a)上述微分方程的通解為(b)位移邊界條件為； ； 由式(b)與上述邊界條件，得由上式得(c)將式(c)代入式(a)，得由上式并取n=1，即得壓桿的臨界載荷為11-7 試確定圖示各細(xì)長壓桿的相當(dāng)長度與臨界載荷。設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)。題11-7圖 (a)解:相當(dāng)長度為臨界載荷為(b)解：壓桿微彎狀態(tài)的撓曲軸如圖11-7b中的虛線所示。圖11-7b

4、半個(gè)正弦波的長度為a，即由此得臨界載荷為11-8 圖示正方形桁架，各桿各截面的彎曲剛度均為EI，且均為細(xì)長桿。試問當(dāng)載荷F為何值時(shí)結(jié)構(gòu)中的個(gè)別桿件將失穩(wěn)？如果將載荷F的方向改為向內(nèi)，則使桿件失穩(wěn)的載荷F又為何值？題11-8圖解：1.當(dāng)向外時(shí)豎向桿受壓，其余四根桿受拉。設(shè)桿編號(hào)為5，則有由此得2.當(dāng)向內(nèi)時(shí)此時(shí)桿5受拉，其余各桿（編號(hào)1，2，3，4）受壓。且由此得11-9圖a所示細(xì)長壓桿，彎曲剛度EI為常數(shù)，試證明壓桿的臨界載荷滿足下述方程：式中，k2=F/(EI)。題11-9圖解：在臨界載荷作用下，壓桿可在圖b所示微彎狀態(tài)保持平衡。設(shè)橫截面C的撓度為d，則由平衡方程求得支座A與B的支反力為桿段A

5、B與BC的彎矩方程分別為相應(yīng)的撓曲軸近似微分方程分別為上述微分方程的通解分別為(a)(b)式中，除參數(shù)k外，積分常數(shù)A1，A2，B1，B2與端點(diǎn)撓度d也均為未知。壓桿的位移邊界條件與連續(xù)條件為：(1)(2)(3)(4)(5) 由式(a)，(b)與條件(1)，(2)可知，由式(a)，(b)與條件(3)，(4)，(5)，得可見，A1，A2與d存在非零解的條件為由此得上述方程有兩組可能的解，即：由上述二方程的最小非零正根，分別得顯然，壓桿的臨界載荷為11-10 圖示兩端鉸支細(xì)長壓桿，彎曲剛度EI為常數(shù)，壓桿中點(diǎn)用彈簧常量為c的彈簧支持。試證明壓桿的臨界載荷滿足下述方程：式中，。題11-10圖解：該細(xì)

6、長壓桿的微彎狀態(tài)如圖11-10所示。圖11-10按圖中所取坐標(biāo)，左、右段壓桿得彎矩方程分別為于是得撓曲軸微分方程分別為式中，上述微分方程的通解分別為 位移邊界條件為由此得位移連續(xù)條件為當(dāng)代入通解后，得重排后，得(1)(2)(3)可見，存在非零解的條件為展開上列行列式，并注意到，得由此得11-11 圖示階梯形細(xì)長壓桿，左、右兩段各截面的彎曲剛度分別為EI1 與EI2 。試證明壓桿的臨界載荷滿足下述方程：式中：。題11-11圖解:該壓桿的微彎狀態(tài)如圖11-11所示。圖11-11彎矩方程為進(jìn)而可得式中，以上二微分方程的通解為位移邊界與連續(xù)條件為由上述條件依次得(a)(b)(c)將式(a)和(b)代入

7、式(c)，于是得11-13 圖示結(jié)構(gòu)，由橫梁AC與立柱BD組成，試問當(dāng)載荷集度q =20 N/mm與q =26 N/mm時(shí)，截面B的撓度分別為何值。橫梁與立柱均用低碳鋼制成，彈性模量E = 200 GPa，比例極限=200 MPa。題11-13圖解：1.求立柱的臨界載荷給立柱和梁編號(hào)分別為1和2，我們有立柱為大柔度桿，其臨界載荷為2.計(jì)算這里的系指使立柱剛剛到達(dá)時(shí)的值，立柱還處在直線平衡狀態(tài)。處的變形協(xié)調(diào)條件為引入物理關(guān)系并代入相關(guān)數(shù)據(jù)及得3.計(jì)算時(shí)的撓度由于，立柱中，直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。由變形協(xié)調(diào)條件得代入已知數(shù)據(jù)后，得進(jìn)而可得截面的撓度為4.計(jì)算時(shí)的撓度此時(shí)，立柱處于微彎狀態(tài)，截面的撓度

8、由梁變形確定，即11-15 圖示矩形截面壓桿，有三種支持方式。桿長l = 300 mm，截面寬度b =20 mm，高度h =12 mm，彈性模量E = 70 GPa，lp=50，l0=0，中柔度桿的臨界應(yīng)力公式為scr=382MPa-(2.18MPa)l試計(jì)算它們的臨界載荷，并進(jìn)行比較。題11-15圖(a)解：此桿為大柔度桿，其臨界載荷為(b)解：此桿為大柔度桿，其臨界載荷為(c)解：，為中柔度桿。于是得11-18 圖示壓桿，橫截面為b×h的矩形，試從穩(wěn)定性方面考慮，h/b為何值最佳。當(dāng)壓桿在x- z 平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，可取長度因數(shù)。題11-18圖解：由和得從穩(wěn)定性方面考慮，的最佳值應(yīng)使

9、即由此得11-19 試檢查圖示千斤頂絲杠的穩(wěn)定性。若千斤頂?shù)淖畲笃鹬亓縁 =120 kN，絲杠內(nèi)徑d = 52 mm，絲杠總長l = 600 mm，襯套高度h = 100 mm，穩(wěn)定安全因數(shù)n st = 4，絲杠用Q235鋼制成，中柔度桿的臨界應(yīng)力公式為scr =235MPa - (0.006 69 MPa)l2 (l<123)題11-19圖解：該千斤頂絲杠的它屬于中柔度桿，故有比大15.7，該千斤頂絲杠穩(wěn)定性不夠。11-20 圖示桁架，承受變向載荷F作用，方位角的變化范圍為。已知桿1與桿2的直徑分別為d1=20 mm與d2=30 mm，二桿材料相同，屈服應(yīng)力s = 240 MPa，比例

10、極限p = 196 MPa，彈性模量E = 200 GPa，強(qiáng)度安全因數(shù)ns = 2.0，穩(wěn)定安全因數(shù)nst = 2.5，試求載荷F的許用值。題11-20圖解：1. 軸力分析設(shè)桿1與桿2的軸力均為拉力，則由節(jié)點(diǎn)B的平衡方程，得(a)(b)由式（a）,并令，得的極值為（壓力）經(jīng)分析，在范圍內(nèi)，無極值。由式（a）與（b）求得，當(dāng)q=0°時(shí)，當(dāng)q=90°時(shí)，根據(jù)上述分析，得(c)(d)(e)2許用載荷計(jì)算桿1的柔度為而由于，故桿1的臨界載荷為由式（c）得載荷F的相應(yīng)許用值為桿2的柔度為臨界載荷為由式（d）得載荷F的相應(yīng)許用值為桿2的許用軸力為由式（e）得載荷F的相應(yīng)許用值為于是得

11、結(jié)構(gòu)的許用載荷為11-21 橫截面如圖所示之立柱，由四根80mm×80mm×6mm的角鋼所組成，柱長l = 6m。立柱兩端為鉸支，承受軸向壓力F = 450kN作用。立柱用Q235鋼制成，許用壓應(yīng)力=160MPa，試確定橫截面的邊寬a。題11-21圖解：1.查角鋼的有關(guān)數(shù)據(jù)由書中附錄表1查得（參看圖11-21）圖11-212.計(jì)算慣性矩及橫截面面積(a)3.計(jì)算折減系數(shù)4.查值根據(jù)值及所給材料，由j-l圖查到。5確定邊寬依據(jù)柔度算式，可得(b)注意到式(b)與式(a)相等，由此得化簡后成為舍去增根，得11-23 圖示壓桿，由兩根槽鋼焊接而成，在其中點(diǎn)橫截面C處，開有一直徑為

12、d = 60 mm的圓孔，立柱用低碳鋼Q275制成，許用壓應(yīng)力=180 MPa，軸向壓力F = 400 kN。試選擇槽鋼型號(hào)。題11-23圖解：1第一次試算設(shè)取，得單根槽鋼的橫截面面積為A'=2.222´10-3m2。從書中附錄F型鋼表中查得16槽鋼橫截面的有關(guān)數(shù)據(jù)為由此可得立柱橫截面的有關(guān)幾何量為于是有從圖中查得，由此得穩(wěn)定許用應(yīng)力超過工作應(yīng)力甚多，故需再算。2第二次試算設(shè)取 由此可得單根槽鋼的橫截面面積為。從型鋼表中查得14a槽鋼橫截面的有關(guān)數(shù)據(jù)為由此可得立柱橫截面的有關(guān)幾何量為于是有從圖中查得，由此得穩(wěn)定許用應(yīng)力超過工作應(yīng)力仍然較多，還需再算。3第三次試算設(shè)取由此可得單根槽鋼的橫截面面積為。從型鋼表中查得12.6槽鋼橫截面的有關(guān)數(shù)據(jù)為A=15.692cm2=1.5692×10-3m2, Iz =391cm4=3.91×10-6m4Iy =38.0cm4=3.80×1