高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.4 生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例課時(shí)作業(yè) 新人教A版選修11

1、3.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)幾何中的最值問(wèn)題1,4,10用料最省、費(fèi)用最省問(wèn)題6,8,11利潤(rùn)最大問(wèn)題5,7,9其他問(wèn)題2,3【基礎(chǔ)鞏固】1.一個(gè)箱子的容積與底面邊長(zhǎng)x的關(guān)系為v(x)=x2()(0<x<60),則當(dāng)箱子的容積最大時(shí),x的值為(b)(a)30 (b)40 (c)50(d)60解析:v(x)=-x3+30x2,v(x)=-x2+60x,令v(x)=0,得x=40(x=0舍去),且當(dāng)0<x<40時(shí),v(x)>0,當(dāng)40<x<60時(shí)v(x)<0,故v(x)在x=40時(shí)取得最大值.故選b.2.煉油廠某分廠將原油

2、精煉為汽油,需對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱,如果第x小時(shí),原油溫度(單位:)為f(x)=x3-x2+8(0x5),那么,原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是(c)(a)8(b)(c)-1(d)-8解析:原油溫度的瞬時(shí)變化率為f(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0x5),所以當(dāng)x=1時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率取得最小值-1.故選c.3.將8分為兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和,使其立方和最小,則這兩個(gè)數(shù)為(b)(a)2和6(b)4和4(c)3和5(d)以上都不對(duì)解析:設(shè)一個(gè)數(shù)為x,則另一個(gè)數(shù)為8-x,其立方和y=x3+(8-x)3=83-192x+24x2且0x8,y=48x-192.令y=0,即48x-192=0,解得x=

3、4.當(dāng)0x<4時(shí),y<0;當(dāng)4<x8時(shí),y>0,所以當(dāng)x=4時(shí),y取得極小值,也是最小值.故選b.4.如果圓柱軸截面的周長(zhǎng)l為定值,則體積的最大值為(a)(a)()3(b)()3(c)()3(d)()3解析:設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,體積為v,則4r+2h=l,所以h=,v=r2h=r2-2r3(0<r<).則v=lr-6r2,令v=0,得r=0或r=,而r>0,所以r=是其唯一的極值點(diǎn).所以當(dāng)r=時(shí),v取得最大值,最大值為()3.故選a.5.(2018·石家莊高二質(zhì)檢)某銀行準(zhǔn)備設(shè)一種新的定期存款業(yè)務(wù),經(jīng)預(yù)測(cè),存款額與存款利率的平方成正

4、比,比例系數(shù)為k(k>0),貸款的利率為4.8%,假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去.若存款利率為x(x(0,4.8%),則使銀行獲得最大收益的存款利率為(a)(a)3.2%(b)2.4%(c)4%(d)3.6%解析:依題意知,存款額是kx2,銀行應(yīng)支付的存款利息是kx3,銀行應(yīng)獲得的貸款利息是0.048kx2,所以銀行的收益是y=0.048kx2-kx3(0<x<0.048),故y=0.096kx-3kx2.令y=0,解得x=0.032或x=0(舍去).當(dāng)0<x<0.032時(shí),y>0;當(dāng)0.032<x<0.048時(shí),y<0.因此,當(dāng)x=0.

5、032時(shí),y取得極大值,也是最大值,即當(dāng)存款利率定為3.2%時(shí),銀行可獲得最大收益.故選a.6.如圖所示,某廠需要圍建一個(gè)面積為512平方米的矩形堆料場(chǎng),一邊可以利用原有的墻壁,其他三邊需要砌新的墻壁,當(dāng)砌壁所用的材料最省時(shí),堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別為. 解析:要求材料最省就是要求新砌的墻壁總長(zhǎng)度最短,設(shè)場(chǎng)地寬為x米,則長(zhǎng)為米,因此新墻壁總長(zhǎng)度l=2x+(x>0),則l=2-.令l=0,得x=±16.因?yàn)閤>0,所以x=16.當(dāng)x=16時(shí),lmin=64,此時(shí)堆料場(chǎng)的長(zhǎng)為=32(米).答案:32,167.(2018·長(zhǎng)春高二月考)某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本

6、c(x)=1 200+x3(萬(wàn)元),已知產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比,生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬(wàn)元,則產(chǎn)品件數(shù)定為件時(shí),總利潤(rùn)最大. 解析:設(shè)產(chǎn)品的單價(jià)為p萬(wàn)元,根據(jù)已知,可設(shè)p2=,其中k為比例系數(shù).因?yàn)楫?dāng)x=100時(shí),p=50,所以k=250 000,所以p2=,p=,x>0.設(shè)總利潤(rùn)為y萬(wàn)元,則y=·x-1 200-x3=500-x3-1 200.求導(dǎo)數(shù)得,y=-x2.令y=0得x=25.故當(dāng)x<25時(shí),y>0;當(dāng)x>25時(shí),y<0.因此當(dāng)x=25時(shí),函數(shù)y取得極大值,也是最大值.答案:258.(2018·南寧高二檢

7、測(cè))現(xiàn)有一批貨物由海上從a地運(yùn)往b地,已知輪船的最大航行速度為35海里/時(shí),a地至b地之間的航行距離約為500海里,每小時(shí)的運(yùn)輸成本由燃料費(fèi)和其余費(fèi)用組成,輪船每小時(shí)的燃料費(fèi)與輪船速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.6),其余費(fèi)用為每小時(shí)960元.(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度x(海里/時(shí))的函數(shù);(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小,輪船應(yīng)以多大速度行駛?解:(1)依題意得y=(960+0.6x2)=+300x,且由題意知,函數(shù)的定義域?yàn)?0,35,即y=+300x(0<x35).(2)由(1)知,y=-+300,令y=0,解得x=40或x=-40(舍去).因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?0,35,所

8、以函數(shù)在定義域內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn).又當(dāng)0<x35時(shí), y<0,所以y=+300x在(0,35上單調(diào)遞減,故當(dāng)x=35時(shí),函數(shù)y=+300x取得最小值.故為了使全程運(yùn)輸成本最低,輪船應(yīng)以35海里/時(shí)的速度行駛.【能力提升】9.(2018·西安高二質(zhì)檢)某商場(chǎng)根據(jù)以往規(guī)律預(yù)計(jì)某種商品2018年第x月的銷售量f(x)=-3x2+40x(xn*,1x12),該商品的進(jìn)價(jià)q(x)與月份x的關(guān)系是q(x)=150+2x(xn*,1x12),該商品每件的售價(jià)為185元,若不考慮其他因素,則此商場(chǎng)今年銷售該商品的月利潤(rùn)預(yù)計(jì)最大是(b)(a)3 120元(b)3 125元(c)2 417元(d)

9、2 416元解析:該商場(chǎng)預(yù)計(jì)銷售該商品的月利潤(rùn)為g(x)=(-3x2+40x)(185-150-2x)=6x3-185x2+1 400x(xn*,1x12),g(x)=18x2-370x+1 400.令g(x)=0,解得x=5,x=(舍去).當(dāng)1x5時(shí),g(x)>0;當(dāng)5<x12時(shí),g(x)<0,所以當(dāng)x=5時(shí),g(x)max=g(5)=3 125(元).綜上,5月份的月利潤(rùn)最大,是3 125元.故選b.10.(2018·杭州高二檢測(cè))在半徑為r的半圓內(nèi)有一內(nèi)接梯形,其下底為直徑,其他三邊為圓的弦,則梯形面積最大時(shí),該梯形的上底長(zhǎng)為(d)(a)(b)r (c)r(d

10、)r解析:設(shè)梯形的上底長(zhǎng)為2x(0<x<r),高為h,面積為s.因?yàn)閔=,所以s=(r+x)·.所以s=-=.令s=0,得x=(x=-r舍去),則h=r.當(dāng)x(0,)時(shí),s>0;當(dāng)<x<r時(shí),s<0.所以當(dāng)x=時(shí),s取極大值,也就是最大值.所以當(dāng)梯形的上底長(zhǎng)為r時(shí),它的面積最大.【探究創(chuàng)新】11.(2018·寧波高二檢測(cè))某公司租地建倉(cāng)庫(kù),每月土地占用費(fèi)y1(萬(wàn)元)與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成反比,而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2(萬(wàn)元)與到車站的距離成正比,如果在距離車站10千米處建倉(cāng)庫(kù),y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元.那么,要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小,倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站千米處. 解析:設(shè)倉(cāng)庫(kù)與車站相距x千米,依題意可設(shè)每月土地占用費(fèi)y1=,每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2=k2x,其中x是倉(cāng)庫(kù)到車站的距離,k1,k2是比例系數(shù),于是由2=得k1=20;由8=10k2得k2=.所以兩項(xiàng)費(fèi)用之和為y=+(x>0),y=-+,令y=0,得x=5或x=-5(舍去).當(dāng)0<x<5時(shí),y<0;當(dāng)x>5時(shí),y>0.所以當(dāng)x=5時(shí),y取得極小值,也是最小值.所以當(dāng)倉(cāng)庫(kù)建在離車站5千米處時(shí),兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小.答案:56edbc3191f2351dd815ff