第八章 過渡過程的經(jīng)典解法 2014下半年

1、1第八章 過渡過程的經(jīng)典解法28-1 概述概述電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)為另一種穩(wěn)定狀態(tài)的過程，稱為電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)為另一種穩(wěn)定狀態(tài)的過程，稱為過渡過程過渡過程。SUR電感電流穩(wěn)態(tài)值0VCu電容電壓穩(wěn)態(tài)值3在過渡過程的分析中，常將外界對電路的輸入稱為在過渡過程的分析中，常將外界對電路的輸入稱為激勵激勵，將，將電路在激勵作用下所產(chǎn)生的電流、電壓稱為電路在激勵作用下所產(chǎn)生的電流、電壓稱為響應(yīng)響應(yīng)(或輸出或輸出)。一個電路若引入激勵歷時已久，那么這個電路在激勵作用一個電路若引入激勵歷時已久，那么這個電路在激勵作用足夠長時間所建立的狀態(tài)稱為足夠長時間所建立的狀態(tài)稱為強制狀態(tài)強制狀態(tài)或強迫狀態(tài)?；驈娖葼顟B(tài)

2、。當一個穩(wěn)定電路的激勵是恒定或隨時間作周期性變化時，強當一個穩(wěn)定電路的激勵是恒定或隨時間作周期性變化時，強制狀態(tài)就是穩(wěn)定狀態(tài)，簡稱穩(wěn)態(tài)。制狀態(tài)就是穩(wěn)定狀態(tài)，簡稱穩(wěn)態(tài)。僅由電阻和電源組成的網(wǎng)絡(luò)稱為電阻網(wǎng)絡(luò)，響應(yīng)是即時跟隨僅由電阻和電源組成的網(wǎng)絡(luò)稱為電阻網(wǎng)絡(luò)，響應(yīng)是即時跟隨的，是無記憶的，故電阻網(wǎng)絡(luò)也稱即時網(wǎng)絡(luò)。的，是無記憶的，故電阻網(wǎng)絡(luò)也稱即時網(wǎng)絡(luò)。含有電容、電感等動態(tài)元件的電路，稱為動態(tài)電路。含有電容、電感等動態(tài)元件的電路，稱為動態(tài)電路。在求解動態(tài)電路過渡過程時，任一時刻的響應(yīng)不僅與當前在求解動態(tài)電路過渡過程時，任一時刻的響應(yīng)不僅與當前的激勵有關(guān)，而且與過去的電路狀態(tài)有關(guān)。的激勵有關(guān)，而且與過

3、去的電路狀態(tài)有關(guān)。4求解動態(tài)電路過渡過程的四種方法求解動態(tài)電路過渡過程的四種方法 (1)經(jīng)典法經(jīng)典法(電路時域分析法電路時域分析法)：根據(jù)電路來列寫關(guān)于響應(yīng)：根據(jù)電路來列寫關(guān)于響應(yīng)x(t)的微分方程，在時域直接求解微分方程，求出其特解和通解，的微分方程，在時域直接求解微分方程，求出其特解和通解，再由初始條件決定積分常數(shù)。再由初始條件決定積分常數(shù)。 (2)運算法運算法(電路復(fù)頻域分析法電路復(fù)頻域分析法)：應(yīng)用拉普拉斯變換：應(yīng)用拉普拉斯變換(簡稱拉氏簡稱拉氏變換變換)得到關(guān)于響應(yīng)的復(fù)頻域代數(shù)方程，求出響應(yīng)的象函數(shù)，得到關(guān)于響應(yīng)的復(fù)頻域代數(shù)方程，求出響應(yīng)的象函數(shù)，再經(jīng)拉氏反變換，最后得到時域解。再經(jīng)

4、拉氏反變換，最后得到時域解。 (3)積分法：利用卷積積分和裘阿梅里積分，在時域中直接求積分法：利用卷積積分和裘阿梅里積分，在時域中直接求解任意函數(shù)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)。解任意函數(shù)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)。 (4)狀態(tài)變量法：適當選擇一組狀態(tài)變量，將一個狀態(tài)變量法：適當選擇一組狀態(tài)變量，將一個n階微分方階微分方程變換為幾個一階微分方程組，即狀態(tài)方程，然后求解狀態(tài)程變換為幾個一階微分方程組，即狀態(tài)方程，然后求解狀態(tài)方程最后得到響應(yīng)。方程最后得到響應(yīng)。58-2 階躍函數(shù)和沖激函數(shù)階躍函數(shù)和沖激函數(shù)在分析線性電路過渡過程時，常使用一些奇異函數(shù)來描述電在分析線性電路過渡過程時，常使用一些奇異函數(shù)來描述電路中的激

5、勵或響應(yīng)。路中的激勵或響應(yīng)。單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)001( )10ttt單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)1(t)定義為定義為階躍函數(shù)階躍函數(shù)K1(t)，又稱為開關(guān)函數(shù)，又稱為開關(guān)函數(shù)6延時單位階躍函數(shù)延時單位階躍函數(shù)00001()1tttttt0S12N( )ttu t若時 刻 將 開 關(guān)從 切 換 到 ，那 么 一 端 口 網(wǎng) 絡(luò)的 入 端 電 壓就 可 用 延 時 階 躍 函 數(shù) 表 示 為 ：0( )1()Su tUtt利用階躍函數(shù)和延時階躍函數(shù)表示矩形脈沖函數(shù)利用階躍函數(shù)和延時階躍函數(shù)表示矩形脈沖函數(shù)0( )1( )1()SutAtAtt7單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)定義為單位沖激函

6、數(shù)定義為0( )( )1tt dt t0 t=0單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)定義定義12( )02p t t t8111111單位脈沖函數(shù)的寬度是 ，高度是，面積為。當脈沖寬度 減小時，其高度將增大，而面積仍保持為。當脈沖寬度 趨于無限小時，其高度將趨于無限大，但面積仍然為。當脈沖寬度趨于零時，這時脈沖函數(shù)就成為單位沖激函數(shù)。( )KKt 沖激強度為的沖激函數(shù)00000()()1tttttt dt t t=0()tt延時單位沖激函數(shù)定義為9沖激函數(shù)的篩分性質(zhì)沖激函數(shù)的篩分性質(zhì)00000( )0( )0( )( )(0)( )( )( )(0)( )(0)( ),( )()( )()( )f ttt

7、f ttftf tt dtft dtfttf tf ttt dtf ttt dtf t設(shè)函數(shù)在時連續(xù)，由于t 0時因此同理，對于在處連續(xù)的函數(shù)有00( )1( )101( )( )ttt dtttd ttdt單位階躍函數(shù)是單位沖激函數(shù)的積分 單位沖激函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)108-3 換路定則和初始條件換路定則和初始條件電路的結(jié)構(gòu)、參數(shù)突然改變或激勵的突然變化，統(tǒng)稱為換路。電路的結(jié)構(gòu)、參數(shù)突然改變或激勵的突然變化，統(tǒng)稱為換路。在換路時，通常電路服從換路定則。在換路時，通常電路服從換路定則。換路定則換路定則1：當電容電流：當電容電流ic為有限值時，電容上的電荷為有限值時，電容上的電荷qc和電和電

8、壓壓uc在換路瞬間保持連續(xù)。在換路瞬間保持連續(xù)。00 0t假設(shè)換路發(fā)生在時刻， 、 分別表示換路前后的瞬間。000000000( )( )( )1( )( )( )0 ,0 ,(0 )(0 )( )1(0 )(0 )( )tCCCttCCCtCCCCCCqtqtidututidCttqqiduuidC令式中則有+00(0 )(0 )(0 )(0 )CCCCCiqquu當電容電流為有限值時，從積分項為零，故有112LLuL換路定則 ：當電感電壓為有限值時，電感中的磁鏈和和電流i 在換路瞬間保持連續(xù)。00LL0000LL000( )( )( )1( )( )( )0 ,0 ,(0 )(0 )( )

9、1(0 )(0 )( )tLttLLLtLLLLttudi ti tudLttudiiudL 令式中則有LL(0 )(0 )(0 )(0 )LLLuii 當電感兩端電壓為有限值時，積分項為零，故而有Li LLddLdtdtui12初始條件的確定初始條件的確定利用換路定則、基爾霍夫定律、歐姆定律利用換路定則、基爾霍夫定律、歐姆定律(0 )(0 )00CuttL電容元件用電壓為的電壓源替代，電感元件用電流為i的電流源替代，各獨立電源取時刻的值，從而得到時刻的等效電阻電路。13128-3-16 ,2 ,4 ,1 ,3,S(0 )2 ,0SS(0 ),(0 ),(0 )(0 )CCLCV RRCF L

10、HuVtuiu SL例在如圖所示電路中，U開關(guān) 打開已久，且在時刻，將開關(guān) 合上，求開關(guān) 閉合后瞬間的i和各為多少？12210SL(0 )1t=0S(0 )(0 )1(0 )(0 )20b(0 )(0 )(0 )20 )(0 )2/3(0 )(0 )SLLLCCLCLLLLLSCCtUiARRiiAuuVtuuR iVdiuLdtdiuA sdtLUuiR +解：當時， 打開已久，電感 相當于短接，則有在瞬間， 閉合，由換路定則知畫出時刻的等效電路，如圖 所示，它是一個直流電阻電路由知（(0 )1(0 )(0 )1 /LCCCCiAduiCdtduiV sdtC由知148-3-2a4 , 12

11、2 ,t=0S(0 )(0 )SIA RRS R1R2例在如圖 所示電路中，閉合已久，求時打開 瞬間的i、i。12112121122120SC1C2L(0 )0(0 )2(0 )(0 )40S(0 )(0 )4(0 )(0 )0(0 )(0 )20b(0 )LSCLCCCCLLRRtVRRRiIARRuRiVtuuVuuViiAtiiC2解：當時， 閉合已久，電容、相當于開路，電感 相當于短接，則有u由 、分流，得在瞬間， 打開，由換路定則知畫出時刻的等效電路，如圖 所示，于是1(0 )(0 )12SLIiA15當電路換路后，電路中存在由電壓源、電容組成的回路或純當電路換路后，電路中存在由電壓

12、源、電容組成的回路或純電容回路時，換路定則不再適用，各電容電壓可能會跳變，電容回路時，換路定則不再適用，各電容電壓可能會跳變，此時電容電流不再是有限值。此時電容電流不再是有限值。12121+2+8-3-31 ,2 ,(0 )(0 )1 ,5 ,t0SS(0 )(0 )CCSCCCF CFuuV UVuu例在如圖所示電路中，已知在時，開關(guān) 閉合，求 閉合后瞬間、各為多少？1212210212022112211S0(0 )(0 )5(1)00(0 )(0 )(0 )(0 )(2)(2)CCSCCCCCCCCCCtuuUVdududtdtdududtdtduduCdtdtdtC uC uC uC u

13、12211解： 閉合后瞬間，在時有 電容電壓必須跳變才能滿足上式，若沿用換路定則就不可能滿足上式。由KCL得i=CCCCC 式表明換路前后電荷守恒，代入數(shù)據(jù)得1621121122(0 )(0 )1(3)(1) (3)(0 )3(0 )2(0 )(0 ),(0 )(0 ),CCCCCCCCuuuVuVuuuu2 聯(lián)立求解、 得從計算結(jié)果知：電容電壓強迫跳變，電容電流不為有限值。當電路換路后，電路中存在由電流源和電感組成的割集或純電當電路換路后，電路中存在由電流源和電感組成的割集或純電感割集時，換路定則亦不再適用，各電感電流可能要發(fā)生跳變，感割集時，換路定則亦不再適用，各電感電流可能要發(fā)生跳變，此

14、時電感電壓不再是有限值。此時電感電壓不再是有限值。17212S1R =2L =2HL =4HI =3ASS(0 )(0 ) 1L1L2例8-3-4 如圖所示電路，已知R，開關(guān) 原在1處已久，在t=0時，開關(guān) 由1切換至2，求換路后瞬間的電感電流i、i為多少？21211221222111+0SLL(0 )2(0 )1S12(0 )+(0 )0(1)0(2)00SSLLLLtRIARRRIARRdidiLR iLRidtdt12L1L2+L1L2解：當時，開關(guān) 在1處已久，、相當于短接，則ii在 由 切換至 后瞬間，t=0 時有ii 對上式從到積分得180+0+00212221110-0-00-+

15、00+112200-dtdt 00=0dt=0(0 )(0 )(0 )(0 )(3)313LLLLLLdidiLR iLdtRi dtdtdtRi dtR iL1L212 L21 L12 L21 L1因為i 、i 仍是有限值，且從0 到的時間間隔為無窮小，故，于是L iL iL iL i 式（ ）表明換路前后磁鏈守恒。在（）、（ ）中(0 )=(0 )0(0 )(0 ),(0 )(0 ),L1L2L1L1L2L2代入數(shù)據(jù)并聯(lián)立求解得ii從計算結(jié)果知：iiii在換路前后電感電流發(fā)生強迫跳變，電感電壓不為有限值。磁鏈為代數(shù)量，選擇回路方向，當電感電流方向與回路磁鏈為代數(shù)量，選擇回路方向，當電感電流

16、方向與回路方向一致時，取正，反之取負。方向一致時，取正，反之取負。19小結(jié)：小結(jié)： (3)當電容電壓、電感電流發(fā)生強迫跳變時，在節(jié)點上電荷守恒，當電容電壓、電感電流發(fā)生強迫跳變時，在節(jié)點上電荷守恒，即即 。值得注意的是，電荷為代。值得注意的是，電荷為代數(shù)量，當與節(jié)點相連為電容正極板時，電荷取正，反之，取負；數(shù)量，當與節(jié)點相連為電容正極板時，電荷取正，反之，取負；在回路中磁鏈守恒，即在回路中磁鏈守恒，即 同樣，同樣，磁鏈也為代數(shù)量，選擇回路方向，當電感電流方向與回路方向磁鏈也為代數(shù)量，選擇回路方向，當電感電流方向與回路方向一致時，取正，反之取負。一致時，取正，反之取負。(2)當電路中存在電壓源與

17、電容組成的回路或純電容回路時，存在當電路中存在電壓源與電容組成的回路或純電容回路時，存在電流源與電感組成的割集或純電感割集時，在換路前后瞬間電容電流源與電感組成的割集或純電感割集時，在換路前后瞬間電容電壓、電感電流將發(fā)生強迫突變，不再滿足換路定則。電壓、電感電流將發(fā)生強迫突變，不再滿足換路定則。(1)換路定則：通常情況下，在換路前后瞬間電容電壓連續(xù)，換路定則：通常情況下，在換路前后瞬間電容電壓連續(xù)，即即 ；電感電流連續(xù)，即；電感電流連續(xù)，即 。(0 )(0 )CCuu(0 )(0 )LLiiCC(0 )(0 )Cu (0 )=Cu (0 )qq節(jié)點節(jié)點節(jié)點節(jié)點或(0 )(0 )(0 )(0 )

18、LLLiLi回路回路回路回路或208-4 一階電路的零輸入響應(yīng)一階電路的零輸入響應(yīng)當電路中含有一個儲能元件當電路中含有一個儲能元件L或或C 時，列寫的電路基爾霍時，列寫的電路基爾霍夫電流或電壓定律方程通常是一階微分方程。夫電流或電壓定律方程通常是一階微分方程。僅含一個獨立儲能元件的電路稱為一階電路。僅含一個獨立儲能元件的電路稱為一階電路。當電路中沒有激勵，僅由儲能元件的初始儲能引起的響當電路中沒有激勵，僅由儲能元件的初始儲能引起的響應(yīng)，稱為零輸入響應(yīng)。應(yīng)，稱為零輸入響應(yīng)。RC電路電路RL電路電路21RC電路的零輸入響應(yīng)電路的零輸入響應(yīng)0(0 )CuU0CRiuCduiCdt將代入上式當當t 0

19、，S切換至切換至2后，由后，由KVL得得0CCduRCudt上式是一個一階線性常系數(shù)齊次微分方程，其特征方程為上式是一個一階線性常系數(shù)齊次微分方程，其特征方程為10RCs 特征根為特征根為1sRC 齊次方程的通解為齊次方程的通解為( )tstRCCutAeAe22( )tstRCCutAeAe0(0 )(0 )CCuuU0(0 )CuAU00( )( )tRCCtCRCutU eduUi tCedtR 負號表示實際的電容放電電流方向與假設(shè)的參考方向相反。負號表示實際的電容放電電流方向與假設(shè)的參考方向相反。i還可以這樣求還可以這樣求0tCRCuUieRR ( )Cui t、都按指數(shù)規(guī)律衰減230

20、0( )( )tRCCtCRCutU eduUi tCedtR 具有時間的量綱，因而稱為電路的具有時間的量綱，因而稱為電路的時間常數(shù)時間常數(shù)。RC令時間常數(shù)時間常數(shù)的大小反映了過渡過程進展的快慢。的大小反映了過渡過程進展的快慢。 越大，過越大，過渡過程維持的時間越長、過渡過程進行得越慢；渡過程維持的時間越長、過渡過程進行得越慢； 越小，過越小，過渡過程維持的時間越短，過渡過程進行得越快。渡過程維持的時間越短，過渡過程進行得越快。從理論上說，過渡過程需要經(jīng)過無窮長的時間才能結(jié)束，當從理論上說，過渡過程需要經(jīng)過無窮長的時間才能結(jié)束，當 時，指數(shù)函數(shù)時，指數(shù)函數(shù) ，但實際上去經(jīng)過，但實際上去經(jīng)過3

21、5 時間時間后，通常認為過渡過程基本結(jié)束，因為響應(yīng)衰減至初始值的后，通常認為過渡過程基本結(jié)束，因為響應(yīng)衰減至初始值的5%0.67%t 0te244求時間常數(shù) 的圖解法從衰減曲線上任一點從衰減曲線上任一點P作切線作切線00tan1tCtCuU ePPP QduU edt25時間常數(shù) 的進一步討論時間常數(shù)時間常數(shù)的大小取決于電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與激勵無關(guān)。的大小取決于電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與激勵無關(guān)。R C串聯(lián)電路的時間常數(shù)串聯(lián)電路的時間常數(shù)=R C。R、C愈大，愈大，愈大。當愈大。當R一定時、一定時、C愈大，則電容愈大，則電容C上儲存的初始能量上儲存的初始能量 越大，放電時間越大，放電時間愈長；當

22、愈長；當C一定時、一定時、R愈大，則放電電流愈小，放電時間愈長。愈大，則放電電流愈小，放電時間愈長。2012CU上述的過渡過程實質(zhì)上是電容中原來儲存的電場能轉(zhuǎn)換為電阻上述的過渡過程實質(zhì)上是電容中原來儲存的電場能轉(zhuǎn)換為電阻消耗的熱能的過程。在整個過渡過程中，電阻消耗的總能量為消耗的熱能的過程。在整個過渡過程中，電阻消耗的總能量為22000222000()12tRCtRCURi dtRedtRUedtCUR0( )tCRCduUi tCedtR 26RL電路的零輸入響應(yīng)電路的零輸入響應(yīng)(0 )SUiR0diLRidt0sLR特征方程為 RsL 特征根為 RtstLiAeAe0(0 )(0 )SUi

23、iIR(0 )iA00( )SRRttSLLUAIRUi tI eeR270( )RRttSLLUi tI eeRSUiR可見換路后，電流 從初值按指數(shù)規(guī)律衰減，最終衰減至零，如圖所示。( )( )( )RtLRSRtLLSutRi tU ediutLU edt 電阻電壓 電感電壓 28時間常數(shù)時間常數(shù),LR具有時間量綱，反映了過渡過程進展的快慢。在在R L電路中，時間常數(shù)電路中，時間常數(shù)與與L成正比，與成正比，與R成反比。當成反比。當R一定一定時，時，L愈大，電感中儲存的初始能量愈大，放電時間愈長；當愈大，電感中儲存的初始能量愈大，放電時間愈長；當L一定時，一定時，R越大，電阻越大，電阻R消

24、耗的功率消耗的功率Ri2愈大，磁場能轉(zhuǎn)化為愈大，磁場能轉(zhuǎn)化為熱能的速率愈大，放電時間愈短，時間常數(shù)愈小。熱能的速率愈大，放電時間愈短，時間常數(shù)愈小。電阻上消耗的總能量為電阻上消耗的總能量為22200001()2RtLRi dtR I edtLI電阻上消耗的能量就等于電感電阻上消耗的能量就等于電感L上的初始儲能。上的初始儲能。從從R C和和R L電路的零輸人響應(yīng)可以看出，零輸入響應(yīng)的大小與電路的零輸人響應(yīng)可以看出，零輸入響應(yīng)的大小與其對應(yīng)的初始值成正比關(guān)系。例如式其對應(yīng)的初始值成正比關(guān)系。例如式(8-4-11)，當電流，當電流i的初值的初值增大增大K倍，則零輸入響應(yīng)倍，則零輸入響應(yīng)i也隨之增大也

25、隨之增大K倍。這一特性稱為零輸倍。這一特性稱為零輸入線性。入線性。0( )RRttSLLUi tI eeR零輸入線性零輸入線性298-5 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)當所有的儲能元件均沒有初始儲能，電路處于零初始狀態(tài)情當所有的儲能元件均沒有初始儲能，電路處于零初始狀態(tài)情況下，外加激勵在電路中產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)。況下，外加激勵在電路中產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)。直流激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)直流激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)RC串聯(lián)電路串聯(lián)電路開關(guān)開關(guān)S原置于位置原置于位置2，電路已達穩(wěn)，電路已達穩(wěn)態(tài)，態(tài)， ，電容上無初始儲能。，電容上無初始儲能。(0 )0CuV( )( )(852)( )( )(

26、 )CCSCpSttRCChtCCpChSduRCuUdtutUutAeAeutututUAe 特解為齊次方程的通解為 全解為30(0 )(0 )0(852)(0 )( )(1)( )( )( )CCCSStCStCStRSuuuUAAUutUeduUi tCedtRutRi tU e 根據(jù)換路定則由式得最終求得( )( )( )( )(852)ttRCChtCCpChSutAeAeutututUAe 齊次方程的通解為 全解為 當當t0后，電壓源對電容后，電壓源對電容C充電。電容充電。電容C從初始電壓為零逐漸增大，最終充電至從初始電壓為零逐漸增大，最終充電至穩(wěn)態(tài)電壓穩(wěn)態(tài)電壓U s，而電流，而電

27、流i則從初始值逐漸則從初始值逐漸減小，最終衰減至穩(wěn)態(tài)值零。減小，最終衰減至穩(wěn)態(tài)值零。31微分方程的特解所對應(yīng)的分量就是強制分量，齊次方程的微分方程的特解所對應(yīng)的分量就是強制分量，齊次方程的通解對應(yīng)的分量就稱為自由分量。當電路中激勵為恒定或通解對應(yīng)的分量就稱為自由分量。當電路中激勵為恒定或隨時間作周期性變化時，強制分量就是穩(wěn)態(tài)分量，也稱為隨時間作周期性變化時，強制分量就是穩(wěn)態(tài)分量，也稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；自由分量就稱為暫態(tài)分量，也稱為暫態(tài)響穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；自由分量就稱為暫態(tài)分量，也稱為暫態(tài)響應(yīng)。應(yīng)。( )(1)tCSutUe( )( )tChSCpSutU eutU 通解為 特解為一般將單位階躍函數(shù)激勵下的零

28、狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位階躍響一般將單位階躍函數(shù)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位階躍響應(yīng)。在如圖所示電路中，若應(yīng)。在如圖所示電路中，若Us=1V，那么電容電壓，那么電容電壓uc(t)、電、電流流i(t)以及電阻上的電壓以及電阻上的電壓uR(t)是單位階躍響應(yīng)。若是單位階躍響應(yīng)。若Us=K 時，時，那么電路的零狀態(tài)響應(yīng)是對應(yīng)的階躍響應(yīng)的那么電路的零狀態(tài)響應(yīng)是對應(yīng)的階躍響應(yīng)的K倍，這一特性倍，這一特性稱為零狀態(tài)線性。稱為零狀態(tài)線性。32RL串聯(lián)電路串聯(lián)電路(0 )0 ,LiA電感 上無初始儲能。( )( )( )( )( )SphdiLRiUdttti ti ti tph上式是一個一階線性常系數(shù)非齊次微分方

29、程。該方程的全解是特解和齊次方程的通解之和i(t)=ii式中，表示全解，表示特解，表示通解。特解對應(yīng)的分量就是強制分量，此處的激勵是直流電源，所以強制分量就特解對應(yīng)的分量就是強制分量，此處的激勵是直流電源，所以強制分量就是穩(wěn)態(tài)分量。因此換路后電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)電流就是特解是穩(wěn)態(tài)分量。因此換路后電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)電流就是特解( )( )( )( )( )( )(85 10)SpthtSphUii tRi tAeUi ti ti tAeR 其通解為 于是，全解為 33積分常數(shù)積分常數(shù)A由初始條件確定。在由初始條件確定。在t=0時刻，根據(jù)換路定則時刻，根據(jù)換路定則( )( )( )(

30、85 10)tSphUi ti ti tAeR (0 )(0 )0(85 10)(0 )( )(1)(1)( )( )(1)( )( )( ),SStRtSSLRtLRSRtLLSRLSiiUiARUARUUi teeRRutRi tUediutLU edtututU 由式得因此最終得到顯然，滿足KVL。34正弦交流激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)正弦交流激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)RC串聯(lián)電路串聯(lián)電路仍以圖仍以圖8-5-1所示電路為例，將直所示電路為例，將直流電壓源改為正弦交流電壓源流電壓源改為正弦交流電壓源( )2sin()SuutUt( )2sin()( )( )( )( )( )( )CCSuCCpChCCp

31、ChduRCuutUtdtutututututut的全解等于特解和通解之和，即+( )( )( )ChCptututCp由于激勵是正弦交流激勵，u即為穩(wěn)態(tài)分量，即為暫態(tài)分量。穩(wěn)態(tài)分量可利用相量計算3522221()11()11arctan()()1()902( )sin(90 )( ),2( )sin(90 )0uuCpuCputChtCuI RjUCUUUIzRjRCCzRCRCUUIjCz CUuttz CutAeUuttAez Ct式中 暫態(tài)分量仍為于是全解為當時刻，根據(jù)換路定(0 )(0 )0,2(0 )sin(90 )02sin(90 )CCCuuuuUuAz CUAz C 則確定積

32、分常數(shù)，由上式最終得到 3622( )sin(90 )sin(90 )(8516)22( )sin()sin(90 )(8517)22( )( )sin()sin(90 )(8518)tRCCuutCRCuutRCRuuUUuttez Cz CduUUi tCtedtzz CRRUUutRi ttezz C 180uu或2Uz C2Uz式式(8-5-16)式式(8-5-18)說明電源的初相角說明電源的初相角 對暫態(tài)分量的大小對暫態(tài)分量的大小有影響，通常有影響，通常 稱為接通角。當稱為接通角。當 ，電容電壓的暫態(tài)分量最大。電容電壓的暫態(tài)分量最大。uu從式從式(8-5-16)不難看出，電容過渡電壓

33、的最大值無論如何不會不難看出，電容過渡電壓的最大值無論如何不會超過穩(wěn)態(tài)電壓幅值超過穩(wěn)態(tài)電壓幅值 的兩倍，但是從式的兩倍，但是從式(8-5-17)可以看出，在可以看出，在某些情況下，過渡電流的最大值將大大超過穩(wěn)態(tài)電流的幅某些情況下，過渡電流的最大值將大大超過穩(wěn)態(tài)電流的幅值值 。3722( )sin(90 )sin(90 )(8516)22( )sin()sin(90 )(8517)22( )( )sin()sin(90 )(8518)tRCCuutCRCuutRCRuuUUuttez Cz CduUUi tCtedtzz CRRUUutRi ttezz C 150090 ,90 ,500ooCu

34、XRCRUz 例如，當時，若設(shè)接通角500 2則在換路后瞬間電流暫態(tài)分量約為比穩(wěn)態(tài)分量的幅值將大倍左右。工程上遇到接通電容電路，例如接通空載電纜或架空母工程上遇到接通電容電路，例如接通空載電纜或架空母線時，會形成極大的電流沖擊，應(yīng)注意采取相應(yīng)的安全線時，會形成極大的電流沖擊，應(yīng)注意采取相應(yīng)的安全措施。措施。1arctan()CR 38RL串聯(lián)電路串聯(lián)電路仍以如圖所示電路為例，將直流電壓仍以如圖所示電路為例，將直流電壓源改為正弦交流電壓源源改為正弦交流電壓源( )2sin()SuutUt( )2sin()(0 )0SudiLRiutUtdti初始條件( )( )( )phi ti ti t非齊次

35、微分方程的全解是特解非齊次微分方程的全解是特解ip(t)與通解與通解ih(t)之和之和特解就是正弦交流激勵下的穩(wěn)態(tài)電流，可用相量求解特解就是正弦交流激勵下的穩(wěn)態(tài)電流，可用相量求解()pIRj LU392222()=() ,arctan2( )sin()( )2( )( )( )sin()(0 )(0 )02(0 )sin()2sin()upuputhtphuuuUUUIRj LzRLLzRLRUi ttzi tAeUi ti ti ttAeziiUiAzUAz 式中暫態(tài)電流仍為于是全解為根據(jù)換路定則因而最終得到( )2sin()(0 )0SudiLRiutUtdti初始條件4022( )sin

36、()sin()(8523)22( )sin(90 )sin()(8524)22( )sin()sin()(8525)RtLuuRtoLLuuRtLRuuUUi ttezzdiUUutLLtRedtzzUUutRtRezz (1),(8523)(8525)sin()0, ( )( )( )uuLRi tutut 兩種極端情況：換路時，恰好由式知，、中無暫態(tài)分量，即沒有發(fā)生過渡過程，從初始狀態(tài)直接進入穩(wěn)定狀態(tài)。4122( )sin()sin()22( )sin(90 )sin()22( )sin()sin()RtLuuRtoLLuuRtLRuuUUi ttezzdiUUutLLtRedtzzUUu

37、tRtRezz90 ,(8523)(8525)22( )sin(90 )22( )sin22( )sin(90 )( )oRtoLRtLLRtoLRUUi ttezzUUutLtRezzUUutRtRezzi t u(2)換路時，由式知，這時，中暫態(tài)分量指數(shù)函數(shù)的系數(shù)達到最大，通常情況下暫態(tài)分量中指數(shù)函數(shù)的系數(shù)介于(1)、(2)兩種情況之間。倘若時間常數(shù) 很大，衰減很慢，則在經(jīng)過半( )( )LRuututz個周期時，i(t)中暫態(tài)分量與穩(wěn)態(tài)分量相加后的瞬時2電流約為穩(wěn)態(tài)分量幅值的兩倍，同樣、也會超過其穩(wěn)態(tài)分量的幅值。這種過電流、過電壓現(xiàn)象在實際電路中必須予以考慮?；仡櫳鲜龅幕仡櫳鲜龅腞C、R

38、L電路的零狀態(tài)響應(yīng)，無論是在直流還是在正弦交流激電路的零狀態(tài)響應(yīng)，無論是在直流還是在正弦交流激勵下，零狀態(tài)響應(yīng)的大小均與激勵成正比關(guān)系。倘若激勵擴大勵下，零狀態(tài)響應(yīng)的大小均與激勵成正比關(guān)系。倘若激勵擴大K倍，各零倍，各零狀態(tài)響應(yīng)也隨之擴大狀態(tài)響應(yīng)也隨之擴大K倍，這一特性稱為零狀態(tài)線性。倍，這一特性稱為零狀態(tài)線性。428-6 一階電路的全響應(yīng)和三要素法一階電路的全響應(yīng)和三要素法由外加激勵和非零初始狀態(tài)的儲能元件的初始儲能共同引起的響應(yīng)，稱為由外加激勵和非零初始狀態(tài)的儲能元件的初始儲能共同引起的響應(yīng)，稱為全響應(yīng)。全響應(yīng)。全響應(yīng)就是微分方程的全解，是方程的特解與其齊次方程的通解之和。全響應(yīng)就是微分方

39、程的全解，是方程的特解與其齊次方程的通解之和。全響應(yīng)全響應(yīng)開關(guān)開關(guān)S閉合前，電容兩端已有初始電壓閉合前，電容兩端已有初始電壓uc(0-)=U0(86 1)CCSduRCuUdt 0000( )( )( )(0 )(0 )(0 )( )()( )(1)tRCCCpChSCCCSStRCCSSttRCRCCSutututUAeuuUuUAAUUutUUUeutU eUe根據(jù)換路定則全響應(yīng)0( )(844)tRCCutU e零輸入響應(yīng) ( )(1)(853)tCSutUe 零狀態(tài)響應(yīng) 43全響應(yīng)全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)上述結(jié)論的另外一種引出方法上述結(jié)論的另外一種引出方法00

40、(0 )(0 )00(0 )(0 )()()(0()()(0 )CzsCzsCzsSCzsCzsCziCziCziCziCziCzsCziCzsCzCzsCziCzsCziSCziCziC sizuduRCuUdtuuuduRCudtuuUd uuRCuududuRCUdtuuRCuuUudtdt零狀態(tài)響應(yīng)滿足的方程和初值為零輸入響應(yīng)滿足的方程和初值為顯然，( )CziutC滿足(8-6-1)及其初始條件，因此，它就是全解u。(86 1)CCSduRCuUdt 這一方法也適用于高階線性常系數(shù)微分方程的情況，故高階電路也具備這這一方法也適用于高階線性常系數(shù)微分方程的情況，故高階電路也具備這一性質(zhì)

41、。一性質(zhì)。44用經(jīng)典法求解一階電路過渡過程，一階電路的全響應(yīng)等于對應(yīng)的一階用經(jīng)典法求解一階電路過渡過程，一階電路的全響應(yīng)等于對應(yīng)的一階線性常系數(shù)微分方程的全解，記為線性常系數(shù)微分方程的全解，記為f(t)三要素法三要素法( )( )( )( )( )( ),( )( )0(0 )(0 )(0 )(0 )( )( ) (0 )(0 )(86 11)phtphhtppptppf tftf tftf tf tAef tftAetffAAfff tftffe代表方程特解，代表齊次方程的通解。為指數(shù)形式則取時刻的值于是得到 上式就是著名的三要素公式。上式就是著名的三要素公式。45( )( ) (0 )(0

42、 )(86 11)tppf tftffe 一階動態(tài)電路的三個要素一階動態(tài)電路的三個要素(1) fp(t)：是一階線性常系數(shù)微分方程的特解，是一階動態(tài)電：是一階線性常系數(shù)微分方程的特解，是一階動態(tài)電路在激勵作用下的強制分量。各種激勵函數(shù)作用下的特解形路在激勵作用下的強制分量。各種激勵函數(shù)作用下的特解形式詳見表式詳見表861。當激勵是直流或正弦交流電源時，強制分。當激勵是直流或正弦交流電源時，強制分量即是穩(wěn)態(tài)分量，這時候，可按直流電路、正弦交流穩(wěn)態(tài)電量即是穩(wěn)態(tài)分量，這時候，可按直流電路、正弦交流穩(wěn)態(tài)電路的求解方法求得路的求解方法求得fp(t), fp(t)=f()。(2)f(0+)：是響應(yīng)在換路后

43、瞬間的初始值，按本章第三節(jié)中：是響應(yīng)在換路后瞬間的初始值，按本章第三節(jié)中介紹的方法求解。介紹的方法求解。(3)：是時間常數(shù)，一個一階電路只有一個時間常數(shù)。：是時間常數(shù)，一個一階電路只有一個時間常數(shù)。 是電路儲能元件兩端的端口等效電阻。是電路儲能元件兩端的端口等效電阻。,eqeqeqLR CRR或46471111222(0 )0(0 )(0 )00,( )6 ,( )6(+)1( )( )(0 )(0 )(66)022 ,(2 )(66)5.19CCCCCpeqtCCpCCptCuuutSutVutVR CRR CsututuueeVtsts SueV 解：由題意知 根據(jù)換路定則此處激勵為直流，

44、當時閉合的穩(wěn)態(tài)值為即有時間常數(shù)利用三要素公式可得 當閉合，有 2Vts當?shù)膿Q路時刻，仍滿足換路定則12128-6-16 ,1 ,0.5 ,( ),( )SCUV RRCFS Stut 1C2例如圖所示電路，原來打開，C上無電荷。當t=0時，S閉合 求u，當t=2s時，S 又閉合 求。( )( ) (0 )(0 )(86 11)tppf tftffe 4822122(2)2(2)(2 )(2 )5.19( )6V( )60.522( )( )(2 )(2 )(6(5.196)(60.81)2CCCCptCCpCCpttuuVututVRCstssututuueeVeVts的穩(wěn)態(tài)值仍為，則時間常數(shù)

45、又因為換路在進行，延遲了 ，故而根據(jù)三要素公式得 ( )( ) (0 )(0 )(86 11)tppf tftffe 49128-6-2( )3sin(230 ) ,0.5 ,0.5 ,S( )?oe ttVRRCFtK例在如圖所示的電路中，電路已達穩(wěn)態(tài)。當t=0時，開關(guān)S閉合，求開關(guān) 中的過渡電流i1212133021.5 751111()1.5 75 ()1.5 15( )1.5 2sin(215 )(0)0(0 )1.5 2sin( 15 )0.549(0 )CooCooCCoCoCCIRRjECEIAAjRRjCUIjj VVCuttVttuVVu 解：當t0時，電路已達穩(wěn)態(tài)，可利用相

46、量計算。由KVL可得 時刻 根據(jù)換路定則0(0 )0.549(0 )3sin301.50CuVeVVt 且畫出時刻的等效電路，即可求得5012212(0 )(0 )1.50.549(0 )1.9020.50.50( )CSC( )( )6sin(230 )0.25( )( )(0 )(0 )6sin(230 )1.9023CKKpoKptKKpKKpoueiAAARRtitRe tittARR CsititiietA當后，即是穩(wěn)態(tài)開關(guān)電流，此時、 串聯(lián)支路被 短接，電容 兩端的電荷已放完畢，故根據(jù)三要素公式0.2546sin(230 )1.098toteAtAeA( )( ) (0 )(0 )

47、(86 11)tppf tftffe 51121212C221111121118-6-3a8.75 ,1 ,2 ,1 ,1 ,2 ,( )(2)S( )aMN()1.758.75 1.SmCRRmRSRdSRUV RRgS CF CF C CtutI RIg I R RUIAUUI R 12例如圖 所示電路，控制系數(shù)原來不帶電。(1)當t=0時，S 接通，求u。又經(jīng)過很長時間，電路已穩(wěn)定， 閉合，再求。解：(1)首先將圖 中的以左部分化為戴維南等效電路175 17MNMN()17.50.4dSdmSdddVIUIgUARURI 短接，取電流 方向為從到1RI2RIb戴維南等效電路，如圖 所示5

48、212121122aMNb7 ,0.4t=0S(0 )(0 )0(0 )(0 )0,(0 )(0 )0ddCCCCCCUV RSuuuuuu圖 中的以左部分化為戴維南等效電路，如圖所示，根據(jù)戴維南定理得當時， 接通， 斷開，由題意知于是 5321212211221122111221212222000d( )( )(0 )(0 )0( )( )77( )30.83( )( )(CCCCCCCpC pCCC pCpdCpdeqdCCpCdiidqdqdtdtdC uC udtC utC utC uC uututUutVC CR CRsCCututu在節(jié)點上式表明在節(jié)點 上電荷始終守恒，故代入數(shù)據(jù)聯(lián)

49、立求解，得利用三要素公式3.75270 )(0 )(1)3ttCpueeV54222200222222221.25(2)77( ),( )33( )( )70.8( )( )(0 )(0 )14(7)3CCttCpCpddtCCpCCptSSutV utVSututUVR CsututuueeV 又經(jīng)過很長時間，電路已達穩(wěn)定， 閉合。取 閉合瞬間作為新的時間起點，記為t =0。閉合后的就是穩(wěn)態(tài)值利用三要素公式551221212218-6-412 ,5 ,2 ,3 ,2.5,0( )( )( )SSabUV IA RRLHSStSSi tuti t 例如圖所示電路，已知電路原處于 打開、 閉合的

50、穩(wěn)態(tài)。當時， 閉合、打開，求、與。12222122122122212S(0 )4(0 )(0 )40SS( )( )( )20.5SpSeqSUiARiiAti tRitiIARRLLsRRR 2解：換路前電路處于 打開、 閉合的穩(wěn)態(tài)，則根據(jù)換路定則時， 閉合、打開，則就是穩(wěn)態(tài)電流，即利用三要素公式56222220.522 22222212( )( ) (0 )(0 )(2(42)(22)( )( )3(22)2.5( 4)(64)( )( )(32)tppttabttttSi titiieeAeAdiutR i tLdteVeVeVi tIi teA571118-6-5R =20 ,1,10

51、0U2i%RRLLHUV1ab2例在如圖所示的電路中， 、 是磁力線圈，接在的直流電源上。現(xiàn)要求斷開時電壓u 不超過 的 倍，且使電流 在0.06s內(nèi)衰減至初值的5以下，求為多少？111122S(0 )5(0 )(0 )50S( )( )0VD120peqUiARiiAti tiLLRRRR 解：開關(guān) 閉合前，電路處于穩(wěn)態(tài)，則根據(jù)換路定則后， 斷開，回路中沒有激勵，則假設(shè)二極管導(dǎo)通時電阻為零，則時間常數(shù)利用三要素公式5822222(20)11(20)(20)2(20)222(20) 0.0622( )( ) (0 )(0 )5( )( )20 55 (20)5(0 )52 10040(0.06

52、)5%(0 )50.2529.929.9tRtppabRtRtRtabRi ti tiieediutRi tLdteR eR euRRiieRR 根據(jù)題意 因此，240 ,R在此范圍內(nèi)取值均能滿足要求。598-7 一階電路的階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)一階電路的階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)在單位階躍函數(shù)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位階躍在單位階躍函數(shù)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位階躍響應(yīng)。響應(yīng)。如圖所示如圖所示R L電路，設(shè)電壓電路，設(shè)電壓us(t)=1V是單位階躍函數(shù)是單位階躍函數(shù),即即us(t)=1(t) ,相當于相當于在在t=0時刻接通時刻接通1 V的直流電壓的直流電壓( )( ) (0 )(0

53、 )1(1) 1( )(87 1)tppRtLi ti tiieetR 倘若將圖中的激勵改變?yōu)檠訒r的單位階躍函數(shù)，即倘若將圖中的激勵改變?yōu)檠訒r的單位階躍函數(shù)，即0( )1()Suttt相當于在相當于在t=t0時刻接通時刻接通1 V的直流電壓，仍以的直流電壓，仍以t=0時刻作為時刻作為時間的起點，利用三要素公式得時間的起點，利用三要素公式得600000()0( )( ) ()()111()- -t tppRt tLi titi titeettR （8 7 2）非時變電路非時變電路1( )(1) 1( )(87 1)RtLi tetR 比較式比較式(8-7-1)與式與式(8-7-2)，發(fā)現(xiàn)只要將式

54、，發(fā)現(xiàn)只要將式(8-7-1)中的時間變量中的時間變量t用用延時的時間變量延時的時間變量(t-t0)替代，就得到式替代，就得到式(8-7-2)。由此可見，該電路的激勵延時由此可見，該電路的激勵延時t0，則響應(yīng)也隨之延時，則響應(yīng)也隨之延時t0，這種，這種電路稱為非時變電路。若電路中的電路稱為非時變電路。若電路中的R、L、C、M均為常系數(shù)，均為常系數(shù)，這樣的電路都是非時變電路。這樣的電路都是非時變電路。6100008-7-1( )- -(0 )0,(0 )(0 )00( )( )( )( ) (0 )(0 )(1)(8-7-3)()(1)SptppRtLRtLutiiittUi tiRi ti ti

55、ieUeRttUi teR 例在如圖所示電路中，激勵是圖8 7 2所示的矩形脈沖，求電路中產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)i(t)。解：當t0時，根據(jù)換路定則當時利用三要素公式的 當時，由上式可得根據(jù)換路定則6200000000()()()(1)( )( )0( )( ) ()()(1)(8-7-4)RtLpt tppRRtt tLLUi ti teRi tii ti ti ti teUeeR 由三要素公式得 00()0( )1( ) 1(),(87 1)( )11( )11()(8-7-5)(8-7-5)(8-7-3)(8-7-4)RRtt tLLtUtttUUi tetettRRS以上求解方法是根據(jù)激勵的

56、作用對時間矩形分段求解得方法?？紤]到激勵為矩形脈沖，依據(jù)疊加定理,u因而根據(jù)式、式(8-7-2)以及零狀態(tài)線性性質(zhì),可直接得到 式按時間寫成分段函數(shù)，即是式和式。00000000()0()()()()( )11( )11()=-(1)RRtt tLLRRtt tLLRRt ttt tLLRRtt tLLttUUi tetettRRUUeeRRUUeeRRUeeR當時63如圖所示的周期性矩形脈沖電壓如圖所示的周期性矩形脈沖電壓序列序列us(t)作用下作用下RL串聯(lián)電路的零串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)電流狀態(tài)響應(yīng)電流i(t)為為00()()()00( )11( )11()11()11()RRRRtt tt TtT tLLLLUUUUi tetettetTetTtRRRR64沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)單位沖激響