高考數學沖刺復習(共分五大專題)

1、 高考數學沖刺復習資料（共分五大專題）專題一：三角與向量的交匯題型分析及解題策略【命題趨向】三角函數與平面的向量的綜合主要體現為交匯型，在高考中，主要出現在解答題的第一個試題位置上，其難度中等偏下，分值一般為12分，交匯性主要體現在：三角函數恒等變換公式、性質與圖象與平面的向量的數量積及平面向量的平行、垂直、夾角及模之間都有著不同程度的交匯，在高考中是一個熱點.根據2011年考綱預計在高考中解答題仍會涉及三角函數的基本恒等變換公式、誘導公式的運用、三角函數的圖像和性質、向量的數量積、共線(平行)與垂直的充要條件條件主要考查題型：(1)考查純三角函數函數知識，即一般先通過三角恒等變換公式化簡三角

2、函數式，再求三角函數的值或研究三角函數的圖象及性質；(2)考查三角函數與向量的交匯，一般是先利用向量知識建立三角函數關系式，再利用三角函數知識求解；(3)考查三角函數知識與解三角形的交匯，也就是將三角變換公式與正余弦定理交織在一起.【考試要求】1理解任意角的正弦、余弦、正切的定義了解余切、正割、余割的定義掌握同角三角函數的基本關系式掌握正弦、余弦的誘導公式了解周期函數與最小正周期的意義2掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式3能正確運用三角公式進行簡單三角函數式的化簡、求值和恒等式證明4理解正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像和性質，會用“五點法”畫正弦函數、余

3、弦函數和函數y=Asin(x+)的簡圖，理解A，的物理意義5掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形6掌握向量的加法和減法掌握實數與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件7了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算8掌握平面向量的數量積及其幾何意義，了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件9掌握平面兩點間的距離公式以及線段的定比分點和中點坐標公式，并且能熟練運用掌握平移公式【考點透視】向量具有代數運算性與幾何直觀性的“雙重身份”，即可以象數一樣滿足“運算性質”進行代數形式的運算，又可以利用它的幾何意義進行幾何形式的變換.

4、而三角函數是以“角”為自變量的函數，函數值體現為實數，因此平面向量與三角函數在“角”之間存在著密切的聯系.同時在平面向量與三角函數的交匯處設計考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性.主要考點如下：1考查三角式化簡、求值、證明及求角問題.2考查三角函數的性質與圖像，特別是y=Asin(wx+j)的性質和圖像及其圖像變換.3考查平面向量的基本概念，向量的加減運算及幾何意義，此類題一般難度不大，主要用以解決有關長度、夾角、垂直、平行問題等.4考查向量的坐標表示，向量的線性運算，并能正確地進行運算.5考查平面向量的數量積及運算律(包括坐標形式及非坐標形式)，兩向量平行與垂直的充要條件等問題.6

5、考查利用正弦定理、余弦定理解三角形問題.【典例分析】題型一三角函數平移與向量平移的綜合三角函數與平面向量中都涉及到平移問題，雖然平移在兩個知識系統中講法不盡相同，但它們實質是一樣的，它們都統一于同一坐標系的變化前后的兩個圖象中.解答平移問題主要注意兩個方面的確定：(1)平移的方向；(2)平移的單位.這兩個方面就是體現為在平移過程中對應的向量坐標.【例1】把函數ysin2x的圖象按向量(，3)平移后，得到函數yAsin(xj)(A0，0，|j|)的圖象，則j和B的值依次為（ ）A，3B，3C，3D，3【分析】根據向量的坐標確定平行公式為，再代入已知解析式可得.還可以由向量的坐標得圖象的兩個平移過

6、程，由此確定平移后的函數解析式，經對照即可作出選擇.【解析1】由平移向量知向量平移公式，即，代入ysin2x得y¢3sin2(x¢)，即到ysin(2x)3，由此知j，B3，故選C.【解析2】由向量(，3)，知圖象平移的兩個過程，即將原函數的圖象整體向左平移個單位，再向下平移3個單位，由此可得函數的圖象為ysin2(x)3，即ysin(2x)3，由此知j，B3，故選C.【點評】此類題型將三角函數平移與向量平移有機地結合在一起，主要考查分析問題、解決問題的綜合應用能力，同時考查方程的思想及轉化的思想.本題解答的關鍵，也是易出錯的地方是確定平移的方向及平移的大小.題型二三角函數

7、與平面向量平行(共線)的綜合此題型的解答一般是從向量平行(共線)條件入手，將向量問題轉化為三角問題，然后再利用三角函數的相關知識再對三角式進行化簡，或結合三角函數的圖象與民性質進行求解.此類試題綜合性相對較強，有利于考查學生的基礎掌握情況，因此在高考中常有考查.【例2】已知A、B、C為三個銳角，且ABC.若向量(22sinA，cosAsinA)與向量(cosAsinA，1sinA)是共線向量.（）求角A；（）求函數y2sin2Bcos的最大值.【分析】首先利用向量共線的充要條件建立三角函數等式，由于可求得A角的正弦值，再根據角的范圍即可解決第()小題；而第()小題根據第()小題的結果及A、B、

8、C三個角的關系，結合三角民恒等變換公式將函數轉化為關于角B的表達式，再根據B的范圍求最值.【解】（）、共線，(22sinA)(1sinA)(cosAsinA)(cosAsinA)，則sin2A，又A為銳角，所以sinA，則A.（）y2sin2Bcos2sin2Bcos2sin2Bcos(2B)1cos2Bcos2Bsin2Bsin2Bcos2B1sin(2B)1.B(0，)，2B(，)，2B，解得B，ymax2.【點評】本題主要考查向量共線(平行)的充要條件、三角恒等變換公式及三角函數的有界性.本題解答有兩個關鍵：（1）利用向量共線的充要條件將向量問題轉化為三角函數問題；（2）根據條件確定B角

9、的范圍.一般地，由于在三角函數中角是自變量，因此解決三角函數問題確定角的范圍就顯得至關重要了.題型三三角函數與平面向量垂直的綜合此題型在高考中是一個熱點問題，解答時與題型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要條件將向量問題轉化為三角問題，再利用三角函數的相關知識進行求解.此類題型解答主要體現函數與方程的思想、轉化的思想等.【例3】已知向量(3sin,cos)，(2sin，5sin4cos)，(，2)，且（）求tan的值；（）求cos()的值【分析】第()小題從向量垂直條件入手，建立關于的三角方程，再利用同角三角函數的基本關系可求得tan的值；第()小題根據所求得的tan的結果，利用二倍角公

10、式求得tan的值，再利用兩角和與差的三角公式求得最后的結果【解】（），·0而（3sin，cos），(2sin, 5sin4cos)，故·6sin25sincos4cos20 由于cos0，6tan25tan40解之，得tan，或tan（，2），tan0，故tan（舍去）tan（）（，2），（，）由tan，求得tan，tan2（舍去）sin，cos，cos()coscossinsin××【點評】本題主要考查向量垂直的充要條件、同角三角函數的基本關系、二倍角公式及兩角和與差的三角函數.同時本題兩個小題的解答都涉及到角的范圍的確定，再一次說明了在解答三角函數問

11、題中確定角的范圍的重要性.同時還可以看到第（）小題的解答中用到“弦化切”的思想方法，這是解決在一道試題中同時出現“切函數與弦函數”關系問題常用方法.題型四三角函數與平面向量的模的綜合此類題型主要是利用向量模的性質|22，如果涉及到向量的坐標解答時可利用兩種方法：（1）先進行向量運算，再代入向量的坐標進行求解；（2）先將向量的坐標代入向量的坐標，再利用向量的坐標運算進行求解.【例3】已知向量(cos,sin)，(cos,sin)，|.()求cos()的值；()若0，且sin，求sin的值.【分析】利用向量的模的計算與數量積的坐標運算可解決第()小題；而第()小題則可變角()，然后就須求sin()

12、與cos即可.【解】()|，22·2，將向量(cos,sin)，(cos,sin)代入上式得122(coscossinsin)12，cos().()0，0，由cos()，得sin()，又sin，cos，sinsin()sin()coscos()sin.點評：本題主要考查向量的模、數量積的坐標運算、和角公式、同角三角函數的基本關系.本題解答中要注意兩點：(1)化|為向量運算|2()2；(2)注意解的范圍.整個解答過程體現方程的思想及轉化的思想.題型五三角函數與平面向量數量積的綜合此類題型主要表現為兩種綜合方式：(1)三角函數與向量的積直接聯系；(2)利用三角函數與向量的夾角交匯，達到與

13、數量積的綜合.解答時也主要是利用向量首先進行轉化，再利用三角函數知識求解.20090318【例5】設函數f(x)·.其中向量(m，cosx)，(1sinx，1)，xR，且f()2.（）求實數m的值；（）求函數f(x)的最小值.分析：利用向量內積公式的坐標形式，將題設條件中所涉及的向量內積轉化為三角函數中的“數量關系”，從而，建立函數f(x)關系式，第（）小題直接利用條件f()2可以求得，而第()小題利用三角函數函數的有界性就可以求解.解：（）f(x)·m(1sinx)cosx，由f()2，得m(1sin)cos2，解得m1.()由（）得f(x)sinxcosx1sin(x)

14、1，當sin(x)1時，f(x)的最小值為1.點評：平面向量與三角函數交匯點較多，向量的平行、垂直、夾角、數量積等知識都可以與三角函數進行交匯.不論是哪類向量知識與三角函數的交匯試題，其解法都差不多，首先都是利用向量的知識將條件轉化為三角函數中的“數量關系”，再利用三角函數的相關知識進行求解六、解斜三角形與向量的綜合在三角形的正弦定理與余弦定理在教材中是利用向量知識來推導的，說明正弦定理、余弦定理與向量有著密切的聯系.解斜三角形與向量的綜合主要體現為以三角形的角對應的三角函數值為向量的坐標，要求根據向量的關系解答相關的問題.【例6】已知角A、B、C為ABC的三個內角，其對邊分別為a、b、c，若

15、(cos，sin)，(cos，sin)，a2，且·（）若ABC的面積S，求bc的值（）求bc的取值范圍【分析】第()小題利用數量積公式建立關于角A的三角函數方程，再利用二倍角公式求得A角，然后通過三角形的面積公式及余弦定理建立關于b、c的方程組求取bc的值；第()小題正弦定理及三角形內角和定理建立關于B的三角函數式，進而求得bc的范圍.【解】（）(cos，sin)，(cos，sin)，且·，cos2sin2，即cosA，又A(0，)，A.又由SABCbcsinA，所以bc4，由余弦定理得：a2b2c22bc·cosb2c2bc，16(bc)2，故bc4.（）由正弦

16、定理得：4，又BCpA，bc4sinB4sinC4sinB4sin(B)4sin(B)，0B，則B，則sin(B)1，即bc的取值范圍是(2，4.點評本題解答主要考查平面向量的數量積、三角恒等變換及三角形中的正弦定理、余弦定理、面積公式、三角形內角和定理等.解答本題主要有兩處要注意：第()小題中求bc沒有利用分別求出b、c的值為解，而是利用整體的思想，使問題得到簡捷的解答；(2)第()小題的求解中特別要注意確定角B的范圍.【專題訓練】一、選擇題1已知(cos40°，sin40°)，(cos20°，sin20°)，則·（ ）A1BCD2將函數y2

17、sin2x的圖象按向量(，)平移后得到圖象對應的解析式是（ ）A2cos2xB2cos2xC2sin2xD2sin2x3已知ABC中，若·0，則ABC是（ ）A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形D任意三角形4設(,sina)，(cosa,)，且，則銳角a為（ ）A30°B45°C60°D75°5已知(sin，)，(1，)，其中(，)，則一定有（ ）ABC與夾角為45°D|6已知向量(6，4)，(0，2),l，若C點在函數ysinx的圖象上,實數l（ ）ABCD7由向量把函數ysin(x)的圖象按向量(m，0)(m0)平移所得的圖象關于

18、y軸對稱，則m的最小值為（ ）ABCD8設02時，已知兩個向量(cos，sin)，(2sin，2cos)，則向量長度的最大值是（ ）ABC3D29若向量(cosa,sina)，(cosb,sinb)，則與一定滿足（ ）A與的夾角等于abBCD()()10已知向量(cos25°,sin25°)，(sin20°,cos20°)，若t是實數，且t，則|的最小值為（ ）AB1CD11O是平面上一定點，A、B、C是該平面上不共線的3個點，一動點P滿足：l()，l(0,)，則直線AP一定通過ABC的（ ）A外心B內心C重心D垂心2009031812對于非零向量我們可

19、以用它與直角坐標軸的夾角a,b(0ap,0bp)來表示它的方向，稱a,b為非零向量的方向角，稱cosa,cosb為向量的方向余弦，則cos2acos2b（ ）A1BCD0二、填空題13已知向量(sinq，2cosq)，(,).若，則sin2q的值為_14已知在OAB(O為原點)中，(2cosa，2sina)，(5cosb，5sinb)，若·5，則SAOB的值為_.15將函數f(x)tan(2x)1按向量a平移得到奇函數g(x)，要使|a|最小，則a_.16已知向量(1，1)向量與向量夾角為，且·1.則向量_三、解答題17在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若&#

20、183;·k(kR).（）判斷ABC的形狀；（）若c，求k的值18已知向量(sinA,cosA)，(,1)，·1，且為銳角.()求角A的大??；()求函數f(x)cos2x4cosAsinx(xR)的值域19在ABC中，A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，已知向量(1，2sinA)，(sinA，1cosA)，滿足，bca.()求A的大??；()求sin(B)的值20已知A、B、C的坐標分別為A（4，0），B（0，4），C（3cos，3sin）.（）若(，0)，且|，求角的大??；（）若，求的值21ABC的角A、B、C的對邊分別為a、b、c，(2bc，a)，(cosA，cosC)

21、，且()求角A的大??；()當y2sin2Bsin(2B)取最大值時，求角的大小.22已知(cosxsinx，sinx)，(cosxsinx，2cosx)，（）求證：向量與向量不可能平行；（）若f(x)·，且x,時，求函數f(x)的最大值及最小值【專題訓練】參考答案一、選擇題1B解析：由數量積的坐標表示知·cos40°sin20°sin40°cos20°sin60°.2D 【解析】y2sin2xy2sin2（x），即y2sin2x.3A 【解析】因為cosBAC0，BAC為鈍角.4B 【解析】由平行的充要條件得×si

22、nacosa0，sin2a1，2a90°，a45°.5B 【解析】·sin|sin|，(，)，|sin|sin，·0，6A 【解析】l(6，42l)，代入ysinx得，42lsin1，解得l.7B 【解析】考慮把函數ysin(x)的圖象變換為ycosx的圖象，而ysin(x)cos(x)，即把ycos(x)的圖象變換為ycosx的圖象，只須向右平行個單位，所以m，故選B.8C 【解析】|3.9D 【解析】(cosacosb,sinasinb)，(cosacosb,sinasinb)，()·()cos2acos2bsin2asin2b0，()()

23、10C 【解析】|2|2t2|22t·1t22t(sin20°cos25°cos20°sin25°)t2t1(t)2，|，|min.11C 【解析】設BC的中點為D，則2，又由l()，2l，所以與共線，即有直線AP與直線AD重合，即直線AP一定通過ABC的重心12A 【解析】設(x,y)，x軸、y軸、z軸方向的單位向量分別為(1,0)，(0,1)，由向量知識得cosa，cosb，則cos2acos2b1.二、填空題13 【解析】由，得sinq2cosq,tanq4，sin2q14 【解析】·5Þ10cosacobs10sin

24、asinb5Þ10cos(ab)5Þcos(ab)，sinAOB，又|2，|5，SAOB×2×5×15（，1） 【解析】要經過平移得到奇函數g(x)，應將函數f(x)tan(2x)1的圖象向下平移1個單位，再向右平移(kZ)個單位即應按照向量(，1) (kZ)進行平移要使|a|最小，16(1，0)或(0，1) 【解析】設(x，y)，由·1，有xy1 ，由與夾角為，有·|·|cos，|1，則x2y21 ，由解得或 即(1，0)或(0，1) 三、解答題17【解】（）·bccosA，·cacosB，又··，bccosAcacosB，由正弦定理，得sinBcosAsinAcosB，即sinAcosBsinBcosA0，sin(AB)0AB，AB0，即AB，ABC為等腰三角形.（）由（）知，·bccosAbc·，c，k1.18【解】()由題意得·sinAcosA1，2sin(A)1，sin(A)