注冊電氣工程師基礎(chǔ)考試視頻課程筆記(V)

1、3 極限運(yùn)算法則 （ l ） （極限的四則運(yùn)算法則）注意：上述記號“ lim ”下的自變量變化過程可以是、，但等號兩端出現(xiàn)的必需是同一種。（ 3 ） （復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則）設(shè)函數(shù) y = fg （ x ）是由函數(shù) y = f （ u）與函數(shù)u = g （ x）復(fù)合而成， f g （x） 在點(diǎn) x0 的某去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，若，且存在當(dāng)時，有 ，則（二）極限存在準(zhǔn)則和兩個重要極限1 夾逼準(zhǔn)則和極限準(zhǔn)則I（數(shù)列情形）若數(shù)列且xn、yn、及zn滿足條件： （n= 1 , 2 , 3 ，）且則數(shù)列xn的極限存在且 準(zhǔn)則I（函數(shù)情形）若函數(shù) f （ x ）、 g （ x ）及 h （ x ）滿足條件：

2、利用準(zhǔn)則I，可得一個重要極限2 單調(diào)有界準(zhǔn)則和極限準(zhǔn)則II 單調(diào)有界的數(shù)列（或函數(shù)）必有極限。利用準(zhǔn)則II，可得另一個重要極限其中 e 是一個無理數(shù)， e =2 . 71828 （三）無窮小的比較設(shè) a 及都是在同一個自變量變化過程中的無窮小,且0， lim 也是在這個變化過程中的極限。若 lim =0，就稱是比a高階的無窮小，記作=（a）；并稱a是比低階的無窮小；若 lim =C 0，就稱是與 a 同階的無窮?。蝗?lim =1, 就稱是與 a 等階的無窮小，記作a 。關(guān)于等價無窮小，有以下性質(zhì)：若,且 lim 存在，則當(dāng) x 0時，有以下常用的等價無窮?。海ㄋ模├}一般地，對有理分式函數(shù)其

3、中P（ x ）、 Q （ x ）是多項(xiàng)式， 若（x）=Q（x0） 0,則注意：若 Q （ x 0） = 0 ，則關(guān)于商的極限運(yùn)算法則不能應(yīng)用，需特殊考慮。【例1-2-2】 求 【 解 】 （x2- 9 ） = 0 ，不能應(yīng)用商的極限運(yùn)算法則。但分子、分母有公因子x-3,故【例1-2-3】 。【 解 】 （ x2-5x+4）=0, （2x-3）= -1,故從而【例 l -2 -4】 求。【 解 】 當(dāng) x 時，分子、分母都為無窮大，不能應(yīng)用商的極限運(yùn)算法則，但可先用 x3 去除分子、分母，故【例1-2-5】 等于（ A ） 1 （ B ） 0 （ C ）不存在且不是 （ D ） 【解】 由于=0

4、，按照“有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小”，故應(yīng)選（B）, 注意不要與極限=1相混淆?！纠?-2-6】 求?！纠?-2-7】 求?！?解 】 令 x- t ,則當(dāng) x 時，t 。于是【例1-2-8】 求?！纠?-2-9】 求。【解】當(dāng) x 0 時，tan2x 2x, sin5x 5x，所以【例1-2-10】 求。【解】 當(dāng) x 0時，,cosx-1-,所以【例1-2-11】 等于（ A ）2 （ B ） 0 （ C ） （ D ）不存在且不是 【解】 因?yàn)樗?故極限不存在，且不是 ，應(yīng)選（ D ）?！?例 1 -2- 12 】 設(shè)f（ x ） = 2x 3 x -2 ，則當(dāng) x 0 時，有（

5、A ） f （ x ） 與 x 是等價無窮小 （ B ） f （ x ）與 x 同階但非等價無窮小 （ C ） f （ x ）是比 x 高階的無窮小 （D）f （ x ）是比 x 低階的無窮小【解】 所以應(yīng)選（ B ）。【 例 1 -2 -13 】 當(dāng) x 0 時， tanx sinx 是x3的 （ A ）高階無窮小 （ B ）低階無窮?。?C ）同階但非等價無窮小 （ D ）等價無窮小【解】應(yīng)選（ C ）。注意：當(dāng) x 0時， tanx x ，sinx x ，但不能得出 tanx - sinx x - x = 0 ，從而得出上述極限為零，而選（ A ）。事實(shí)上，上面的計(jì)算結(jié)果表明 tanx- sinx。由此可知，在利用等價無窮小求極限時，不能對分子或分母中的某個加項(xiàng)作代換，而應(yīng)該對分子或分母的整體，或其中的無窮小的因子作等價代換，才不