綜合與實(shí)踐-多邊形鑲嵌課件滬科版

1、 19.4 綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐 多邊形的鑲嵌多邊形的鑲嵌好漂亮的地板好漂亮的地板! !這是怎么鋪這是怎么鋪設(shè)的設(shè)的? ?一點(diǎn)空隙也沒有一點(diǎn)空隙也沒有. . 課題學(xué)習(xí)課題學(xué)習(xí) 鑲嵌鑲嵌用一些不重疊擺放的多邊形把平面的用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，這叫做一部分完全覆蓋，這叫做平面鑲嵌平面鑲嵌。鑲嵌也叫鑲嵌也叫密鋪密鋪。注意：注意：各種圖形拼接后要既各種圖形拼接后要既無縫隙無縫隙，又又不重疊不重疊定義：定義：僅用僅用一種一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面區(qū)域？邊形能鑲嵌成一個(gè)平面區(qū)域？探究探究 （一）（一）( (一）正三角形的平面鑲嵌一）正三

2、角形的平面鑲嵌6060606060606 6個(gè)正三角形可以鑲嵌個(gè)正三角形可以鑲嵌（二）正方形的平面鑲嵌（二）正方形的平面鑲嵌904 4個(gè)正方形可以鑲嵌個(gè)正方形可以鑲嵌（三）正六邊形的平面鑲嵌（三）正六邊形的平面鑲嵌120 120 120 3 3個(gè)正六邊形個(gè)正六邊形可以鑲嵌可以鑲嵌1231+2+3=?1+2+3=?（四）用邊長相同的（四）用邊長相同的正五邊形正五邊形能否鑲嵌？能否鑲嵌？思考：思考：為什么邊長相等的為什么邊長相等的正五邊形正五邊形不能不能鑲嵌，而邊長相等的鑲嵌，而邊長相等的正六邊形正六邊形能能鑲嵌？鑲嵌？要用圖形不留空隙、不重疊地鑲嵌要用圖形不留空隙、不重疊地鑲嵌一個(gè)平面區(qū)域，需使

3、得一個(gè)平面區(qū)域，需使得拼接點(diǎn)拼接點(diǎn)處處的的所有內(nèi)角之和等于所有內(nèi)角之和等于360還有還有其它其它正多邊形能鑲嵌嗎？正多邊形能鑲嵌嗎？還能找到能鑲嵌的其他正多邊形嗎？還能找到能鑲嵌的其他正多邊形嗎？ 。k (n-2)180n= 360。(n-2)(k-2)=4k=6n=3k=4n=4k=3n=6 設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有 k k 個(gè)正個(gè)正 n n 邊形的角，則有邊形的角，則有 k 為正整數(shù)，為正整數(shù)， n 為大于等于為大于等于 3 的正整數(shù)的正整數(shù)解為解為正多邊形可以鑲嵌的條件：正多邊形可以鑲嵌的條件：每個(gè)內(nèi)角都能被每個(gè)內(nèi)角都能被360360o o 整除。整除。 用用兩種兩種正多邊形

4、鑲嵌，哪些能鑲嵌正多邊形鑲嵌，哪些能鑲嵌成一個(gè)平面區(qū)域成一個(gè)平面區(qū)域? ?探究（二）探究（二）（一）正三角形與正方形（一）正三角形與正方形2 m+3 n=12m=3n=2 m60 +n90 =360設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有 m m 個(gè)正三角形的角個(gè)正三角形的角,n ,n 個(gè)正方形的角，則有個(gè)正方形的角，則有 m,n 為正整數(shù)為正整數(shù)解為解為3 3個(gè)個(gè)正三角形正三角形+2+2個(gè)個(gè)正方形正方形（二）正三角形與正六邊形m+2n=6m=2m=2n=2n=2m=4n=1 m60 +n120 =360設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有 m m 個(gè)正三角形的角個(gè)正三角形的角,n ,n 個(gè)正六個(gè)

5、正六邊形的角，則有邊形的角，則有 m,n 為正整數(shù)為正整數(shù)解為解為2 2個(gè)個(gè)正三角形正三角形+2+2個(gè)個(gè)正六邊形正六邊形4 4個(gè)個(gè)正三角形正三角形+1+1個(gè)個(gè)正六邊形正六邊形1 1個(gè)個(gè)正方形正方形+2+2個(gè)個(gè)正八邊形正八邊形（三）正方形與正八邊形2 2個(gè)個(gè)正五邊形正五邊形+1+1個(gè)個(gè)正十邊形正十邊形（四）正五邊形與正十邊形（五）正三角形與正十二邊形1 1個(gè)個(gè)正三角形正三角形+2+2個(gè)個(gè)正十二邊形正十二邊形收獲收獲當(dāng)拼接點(diǎn)處的當(dāng)拼接點(diǎn)處的所有角之和所有角之和是是360360 時(shí)，時(shí)，就能拼成一個(gè)平面圖形。就能拼成一個(gè)平面圖形。思考：思考：能否用三種正多邊形，如用能否用三種正多邊形，如用正三角形，

6、正三角形，正方形，正六邊形正方形，正六邊形（邊長相同）（邊長相同）能鋪能鋪滿地面？滿地面？1 1個(gè)個(gè)正三角形正三角形+2+2個(gè)個(gè)正方形正方形+1+1個(gè)個(gè)正六邊形正六邊形探究（三）探究（三）僅用同一種形狀、大小完全相同的僅用同一種形狀、大小完全相同的多邊形能進(jìn)行平面鑲嵌嗎？多邊形能進(jìn)行平面鑲嵌嗎？231231231231231231231231231231（一）同一種任意三角形的鑲嵌（一）同一種任意三角形的鑲嵌結(jié)論：結(jié)論：形狀、大小完全相同的任意三角形能鑲嵌成形狀、大小完全相同的任意三角形能鑲嵌成平面圖形。平面圖形。 通過探究我發(fā)現(xiàn)：通過探究我發(fā)現(xiàn)：1.1.任意形狀、大小相同的三角形都任意形狀、

7、大小相同的三角形都_鑲嵌鑲嵌, ,2.2.在每個(gè)拼接點(diǎn)處有在每個(gè)拼接點(diǎn)處有_個(gè)角，而這個(gè)角，而這_個(gè)角個(gè)角的和恰好是這個(gè)三角形的內(nèi)角和的的和恰好是這個(gè)三角形的內(nèi)角和的_倍，倍，也就是它們的和為也就是它們的和為_._.可以可以六六六六兩兩360o241324132413241324132413241324132413241324132413（二）同一種任意四角形的鑲嵌（二）同一種任意四角形的鑲嵌結(jié)論：結(jié)論：形狀、大小相同的任意四邊形能鑲嵌成平面圖形。形狀、大小相同的任意四邊形能鑲嵌成平面圖形。通過探究我發(fā)現(xiàn)：通過探究我發(fā)現(xiàn)：1.1.任意形狀大小相同的四邊形任意形狀大小相同的四邊形_鑲嵌鑲嵌. .

8、2.2.在每個(gè)拼接點(diǎn)處有在每個(gè)拼接點(diǎn)處有_個(gè)角，而這個(gè)角，而這_個(gè)個(gè)角的和恰好是這個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角之角的和恰好是這個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角之_,_,也就是它們的和為也就是它們的和為_. _. 可以可以四四四四和和360360上面我們討論的一般上面我們討論的一般三角形和四三角形和四邊形邊形都可以平面鑲嵌，因?yàn)槿嵌伎梢云矫骅偳?，因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和是形的內(nèi)角和是180，四邊形內(nèi)，四邊形內(nèi)角和是角和是360它們的內(nèi)角和是整它們的內(nèi)角和是整數(shù)倍都是數(shù)倍都是360，那么其它的一，那么其它的一般多邊形能進(jìn)行鑲嵌嗎？般多邊形能進(jìn)行鑲嵌嗎？例如：例如：在在五邊形中，五邊形中，內(nèi)角和內(nèi)角和540，已，已經(jīng)超過經(jīng)超過

9、360，即每一個(gè)內(nèi)角拼接在一，即每一個(gè)內(nèi)角拼接在一起時(shí)有重疊部分，不符合平面鑲嵌的起時(shí)有重疊部分，不符合平面鑲嵌的含義。當(dāng)邊數(shù)越大時(shí)，內(nèi)角和也越大，含義。當(dāng)邊數(shù)越大時(shí)，內(nèi)角和也越大，更不符合要求，因此邊數(shù)大于更不符合要求，因此邊數(shù)大于4的一般的一般多邊形不可以平面鑲嵌。多邊形不可以平面鑲嵌。結(jié)論：結(jié)論：1.1.要用圖形不留空隙、不重疊地鑲嵌一個(gè)平面區(qū)域，要用圖形不留空隙、不重疊地鑲嵌一個(gè)平面區(qū)域，需使得需使得拼接點(diǎn)處拼接點(diǎn)處的所有角之和等于的所有角之和等于360360。2.2.任意形狀但全等的三角形都可以進(jìn)行鑲嵌任意形狀但全等的三角形都可以進(jìn)行鑲嵌3.3.任意形狀但全等的四邊形也都可以進(jìn)行鑲嵌任意形狀但全等的四邊形也都可以進(jìn)行鑲嵌4.4.用一種正多邊形可