chap4對稱要素組合定理及對稱型

1、第三節(jié)第三節(jié) 對稱要素的組合定理對稱要素的組合定理對稱要素的組合問題提出對稱要素的組合問題提出例如：立方體例如：立方體3L44L36L29PC 定理定理1 如果有一個如果有一個L2垂直于垂直于Ln，則，則 必有必有n個個L2垂直于垂直于Ln； 任意任意相鄰兩個相鄰兩個L L2 2的夾角為的夾角為Ln的的基轉(zhuǎn)角的一半?；D(zhuǎn)角的一半。Ln L2 LnnL2p 逆定理逆定理 若兩若兩L2相交，在交點并垂直兩相交，在交點并垂直兩L2必產(chǎn)生必產(chǎn)生Ln，其基，其基轉(zhuǎn)角是兩轉(zhuǎn)角是兩L L2 2夾角的兩倍，并在垂直于夾角的兩倍，并在垂直于L Ln n平面內(nèi)導(dǎo)出平面內(nèi)導(dǎo)出n n個個L2。思考思考: 兩個兩個L2

2、相交相交30, 交點處并垂直交點處并垂直L2所在平面會產(chǎn)生什么對稱軸所在平面會產(chǎn)生什么對稱軸?p定理定理2 2 若一對稱面若一對稱面P P垂直于偶次軸垂直于偶次軸L Ln(n(偶偶) )，其交點，其交點處必然存在處必然存在對稱中心對稱中心C C。Ln P LnP C (n為偶數(shù)為偶數(shù))石膏p逆定理逆定理 若有一偶次對稱軸若有一偶次對稱軸L Ln(n(偶偶) )與對稱中心與對稱中心C C共存，則過共存，則過C C且且垂直該對稱軸必有一對稱面垂直該對稱軸必有一對稱面P P；或若有一對稱面或若有一對稱面P P與對稱中心與對稱中心C C共存，則過共存，則過C C且垂直于且垂直于P P必有一必有一個個偶

3、偶次對稱軸。次對稱軸。該定理說明：該定理說明：L L2 2、P P、C C三者中任意兩者可三者中任意兩者可產(chǎn)生第三者。產(chǎn)生第三者。 P C L2P CLn C LnP C (n為偶數(shù)為偶數(shù))p定理定理3 3 若有一對稱面若有一對稱面P P包含對稱軸包含對稱軸L Ln n，則，則必有必有n n個個P P包含包含L Ln n；相鄰兩個相鄰兩個P P的夾角為的夾角為L Ln n的基轉(zhuǎn)角的一半。的基轉(zhuǎn)角的一半。 例如：例如：L6 P/ L66P/（定理（定理3與定理與定理1對應(yīng)）對應(yīng)）紅鋅礦p逆定理逆定理若有兩個對稱面相交，則對稱面的交線必為一對若有兩個對稱面相交，則對稱面的交線必為一對稱軸，其基轉(zhuǎn)角

4、為相鄰兩對稱面夾角的兩倍，并導(dǎo)出其他稱軸，其基轉(zhuǎn)角為相鄰兩對稱面夾角的兩倍，并導(dǎo)出其他n n個個包含包含L Ln n的的P P。思考思考: :兩個對稱面相交兩個對稱面相交6060, ,交線處會產(chǎn)生什么對稱軸交線處會產(chǎn)生什么對稱軸? ?p 定理定理4 若有一若有一L2垂直于垂直于Lin，或有一，或有一P包含包含Lin n為奇數(shù)時為奇數(shù)時必有必有n個個L2垂直于垂直于Lin和和n個個P包含包含Lin； n為偶數(shù)時為偶數(shù)時必有必有n2個個L2垂直于垂直于Lin和和n2個個P包含包含Lin。Lin P/ =Lin L2 Linn/2 L2 n/2 P/ （n為偶數(shù)）為偶數(shù)） Linn L2 nP/（n

5、為奇數(shù)）為奇數(shù)）第四節(jié)第四節(jié) 對稱型（點群）對稱型（點群） 1 1、對稱型的概念、對稱型的概念 晶體形態(tài)中，晶體形態(tài)中，全部對稱要素的組合全部對稱要素的組合，稱為該晶體形態(tài)的，稱為該晶體形態(tài)的對稱型對稱型 或或點群點群。 一般來說，當強調(diào)一般來說，當強調(diào)對稱要素對稱要素時稱對稱型，強調(diào)時稱對稱型，強調(diào)對稱操作對稱操作時稱點時稱點群。群。 根據(jù)晶體中可能存在的對稱要素及其組合規(guī)律，推導(dǎo)出晶體中根據(jù)晶體中可能存在的對稱要素及其組合規(guī)律，推導(dǎo)出晶體中可能出現(xiàn)的對稱型（點群）是非常有限的，僅有可能出現(xiàn)的對稱型（點群）是非常有限的，僅有3232個。那么，這個。那么，這3232個對稱型怎么推導(dǎo)出來？個對稱

6、型怎么推導(dǎo)出來？ 2 2、對稱型的推導(dǎo)、對稱型的推導(dǎo)依據(jù)：對稱型中高次軸數(shù)量多少：依據(jù)：對稱型中高次軸數(shù)量多少：A A類對稱型（高次軸不多于一個）類對稱型（高次軸不多于一個）B B類對稱型（高次軸多于一個）類對稱型（高次軸多于一個）（1 1）A A類對稱型的推導(dǎo)類對稱型的推導(dǎo) 1 1）對稱軸）對稱軸L Ln n單獨存在單獨存在（原始式）：（原始式）： 可能的對稱型為可能的對稱型為L L1 1；L L2 2；L L3 3；L L4 4；L L6 6 。（1 1）A A類對稱型的推導(dǎo)：類對稱型的推導(dǎo)：2 2）對稱軸與對稱軸的組合）對稱軸與對稱軸的組合（軸式）：（軸式）： 在這里我們只考慮在這里我們

7、只考慮L Ln n與垂直它的與垂直它的L L2 2的組合。根據(jù)上節(jié)所述對的組合。根據(jù)上節(jié)所述對稱要素組合規(guī)律稱要素組合規(guī)律L Ln n L L2 2L Ln nnLnL2 2，可能的對稱型為：，可能的對稱型為：（L L1 1L L2 2= =L L2 2）；）；L L2 22 2L L2 2=3=3L L2 2；L L3 33 3L L2 2；L L4 44 4L L2 2；L L6 66 6L L2 2 如果如果L L2 2與與L Ln n斜交有可能斜交有可能出現(xiàn)多于一個的高次軸，出現(xiàn)多于一個的高次軸，這時就不屬于這時就不屬于A類對稱型了類對稱型了（1 1）A A類對稱型的推導(dǎo)：類對稱型的推

8、導(dǎo)： 3）對稱軸）對稱軸Ln與垂直它的對稱面與垂直它的對稱面P的組合的組合（中心式）：（中心式）： 根據(jù)組合規(guī)律根據(jù)組合規(guī)律Ln(偶次偶次)PLn(偶次偶次)PC，則可能的對稱型為：，則可能的對稱型為：L2PC；（；（L3P=Li6）；）；L4PC；L6PC。 （1 1）A A類對稱型的推導(dǎo)：類對稱型的推導(dǎo)： 4）對稱軸）對稱軸Ln與包含它的對稱面的組合與包含它的對稱面的組合（面式）：（面式）： 根據(jù)組合規(guī)律根據(jù)組合規(guī)律Ln PLnnP，可能的對稱型為：，可能的對稱型為：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。 （1 1）A A類對稱型的推導(dǎo)：類對稱型的推導(dǎo)： 5）對稱軸）對稱軸

9、Ln與垂直它的對稱面，以及包含它的對稱面的組合與垂直它的對稱面，以及包含它的對稱面的組合（軸面（軸面式）：式）： 垂直垂直Ln的的P與包含與包含Ln的的P的交線，必為垂直的交線，必為垂直Ln的的L2， 即即Ln P P=Ln P P=LnnL2(n + 1)PC（偶數(shù)）（偶數(shù)） Ln P P=Ln P P=LnnL2nP（奇數(shù)）（奇數(shù)） 可能的對稱型為：可能的對稱型為：(L1L22P=L22P ）；）；L22L23PC=3L23PC；（L33L24P=Li63L23P）；）；L44L25PC；L66L27PC。 （1 1）A A類對稱型的推導(dǎo)：類對稱型的推導(dǎo)：6 6）旋轉(zhuǎn)反伸軸單獨存在）旋轉(zhuǎn)反

10、伸軸單獨存在（倒轉(zhuǎn)式）：（倒轉(zhuǎn)式）：可能的對稱型為：可能的對稱型為：L Li i1 1= =C C；L Li i2 2= =P P；L Li i3 3= =L L3 3C C；L Li i4 4；L Li i6 6= =L L3 3P P。7）旋轉(zhuǎn)反伸軸）旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin與垂直它的與垂直它的L2（或包含它的（或包含它的P）的組合）的組合（反伸（反伸面式）：面式）：根據(jù)組合規(guī)律：當根據(jù)組合規(guī)律：當n為奇數(shù)時為奇數(shù)時LinnL2nP，可能的對稱型為：，可能的對稱型為：（Li1L2P=L2PC）；）；Li33L23P=L33L23PC；當當n為偶數(shù)時為偶數(shù)時 Lin(n /2)L2(n /2)P，可

11、能的對稱型為：，可能的對稱型為：（Li2L2P=L22P）；）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。 這樣推導(dǎo)出來的對稱型共有這樣推導(dǎo)出來的對稱型共有27個，見表個，見表42。 還有還有5個是個是B類（高次軸多于一個）對稱型，不要求推導(dǎo)。類（高次軸多于一個）對稱型，不要求推導(dǎo)。L Ln nL Ln nnL L2 2Ln P(C)Ln nPLn nL L2 2 (n+1)P(C)L Li in nL Li in n nL L2 2 nPL Li in n n/2L L2 2 n/2PL L1 1L Li in n = CL L2 23L3L2 2L2 PCL2 2P3L L2 2 3PCL Li i2 2 = PL L3 3L L3 33L L2 2L3 3PL Li in n =L L3 3 C L3 3L L2 2 3PCL L4 4L L4 44L L2 2L4 PCL4 4PL4 4L L2 2 5PCL Li i4 4L Li i4 4 2L2 2PL L6 6L L6 66L L2 2L6 PCL6 6PL6 6L L2 2 7PCL Li i6 6=L L3 3 PL Li i6 6 3L L2 2 3P= L L3 3 3L L2 2 4P32晶類晶類低、中、高級晶族低、中、