運用圓錐曲線第二定義解題

1、運用圓錐曲線第二定義解題圓錐曲線第二定義：動點m與定點f的距離和它到直線的距離的比為e，則當0<e<1時，動點m的軌跡是橢圓；當e=1時，動點m的軌跡是拋物線；當e>1時，動點m的軌跡是雙曲線。一般來說，凡與圓錐曲線上點、焦點、準線、離心率有關(guān)的問題，經(jīng)常考慮第二定義，因而，運用圓錐曲線第二定義解題是最基本、最一般的方法，且圓錐曲線第二定義具有豐富的解題功能，在解題中不僅起到簡捷明快的作用，而且能優(yōu)化解題，下面舉例加以說明。一、求軌跡方程例1、 求經(jīng)過定點m(1,2)，以y軸為準線，離心率為的橢圓的左頂點的軌跡方程。解：由題意，知橢圓在y軸的右側(cè)，如圖1所示，設為橢圓的左頂點

2、，為橢圓的左焦點，由橢圓第二定義有： 即又點m（1，2）在橢圓上，即有 ， 簡化得故，所求橢圓的左頂點的軌跡方程為二、求最值問題例2、已知定點a（3，2），p是雙曲線上的動點，f是右焦點，當取最小值時，求p點的坐標。分析：本題若按照常規(guī)方法建立目標函數(shù)，再求最值，則極其繁瑣。觀察焦半徑的系數(shù)與離心率的關(guān)系，借助于第二定義轉(zhuǎn)化，并結(jié)合平面幾何知識求解則相對容易許多。解： 設p到右準線的距離為d，則, ,這個問題轉(zhuǎn)化為在雙曲線上求一點p，使p到點a的距離與到右準線的距離和和最小。如圖2即直線pa垂直于準線時合題意。此時的最小值為，且例3、已知橢圓，過焦點不垂直于x軸和弦交橢圓于a、b兩點，ab的垂

3、直平分線交x軸于n，求|nf|：|ab|的值。解：如圖3，由a、b向準線引垂線aa，bb，由a向bb作垂線ad，d為垂足，則 由定義知 同理 由得 三、求弦長例4、斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點，與拋物線相交于兩點a、b，求線段ab的長。解：如圖4，由拋物線定義可知，|af|等于點a到拋物線準線的距離|aa|，設，則，同理，于是得 由拋物線的標準方程可知，拋物線焦點的坐標為f（1，0），所以直線ab的方程為將方程代入拋物線方程，得于是|ab|=6+2=8四、求范圍例5、以雙曲線的右焦點f為焦點，右準線為準線的橢圓，截直線所得的弦恰被x軸所平分，求k的取值范圍。解：由雙曲線方程得橢圓的焦點為，右準線為設橢圓上任意一點,離心率為，則即由得又因截得的弦恰被x軸所平分關(guān)于y的方程的兩根之和為零，即 即 又，例6、已知雙曲線，左右焦點分別為，左準線為，若雙曲線左支上存在一點p，使得是p到的距離d與的等比中項，求離心率e的