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文檔簡介
1、 一、測量誤差 (一)概念對同一個量進(jìn)行多次觀測,盡管觀測者按照一定的方法去操作,用較高精度的儀器,同時也認(rèn)真地工作,可所得各觀測值之間總是存在差異。如觀測一個三角形的三個內(nèi)角的水平角度,理論上內(nèi)角和為180,但實(shí)際的結(jié)果卻與之有一定的差異。同一個量各觀測值之間,以及觀測值與其理論值之間的差異,稱為測量誤差(也稱觀測誤差)。第一節(jié) 測量誤差的概論15531242 6527183 590106第1頁/共64頁 一、測量誤差(二)測量誤差中的幾個基本名詞1.真值:被觀測量的實(shí)際數(shù)值,用X表示;2.觀測值:被觀測量的測算結(jié)果,用L表示;3.真誤差:觀測值與真值之間的差值,用表示。第一節(jié) 測量誤差的概
2、論LX第2頁/共64頁 一、測量誤差(三)真誤差的應(yīng)用1.三角形(內(nèi)角和)閉合差:用W表示2.閉合水準(zhǔn)路線的高差閉合差:用fh表示第一節(jié) 測量誤差的概論123180W1230hfhhh第3頁/共64頁 二、測量誤差產(chǎn)生的原因1.儀器誤差:測量所用儀器只有一定限度的精密度,儀器檢驗(yàn)校正也不可能絕對準(zhǔn)確,用這樣的儀器進(jìn)行測量,使觀測結(jié)果受到相應(yīng)的影響,這類誤差稱為儀器誤差。第一節(jié) 測量誤差的概論第4頁/共64頁 二、測量誤差產(chǎn)生的原因2. 人為誤差:觀測者感覺器官的鑒別能力局限性而產(chǎn)生的誤差。如用儀器對中、整平、瞄準(zhǔn)、讀數(shù)等,都是通過人的肉眼的估計(jì)和判斷,從而使成果帶有誤差。同時,觀測者的技術(shù)水平
3、、工作態(tài)度也會對觀測結(jié)果產(chǎn)生不同的影響。第一節(jié) 測量誤差的概論第5頁/共64頁 二、測量誤差產(chǎn)生的原因3. 外界環(huán)境:觀測時所處外界自然環(huán)境使得自然環(huán)境使觀測結(jié)果不可避免的帶有誤差。如溫度、風(fēng)力、大氣折光等因素,都會對觀測的結(jié)果帶來影響,而產(chǎn)生誤差。第一節(jié) 測量誤差的概論第6頁/共64頁 二、測量誤差產(chǎn)生的原因觀測條件的概念:與觀測過程同時存在的影響因素的綜合,包括了:觀測人員的操作水平,觀測使用儀器的精度和觀測時所處外界環(huán)境以及測繪所采用的方法,執(zhí)行的規(guī)范等。第一節(jié) 測量誤差的概論測量總是在一定的觀測條件下進(jìn)行的,則產(chǎn)生誤差就不可避免。只能是觀測條件好時,誤差小,觀測質(zhì)量好,亦即精度高。反之
4、,質(zhì)量差,精度低。第7頁/共64頁 三、測量誤差的分類根據(jù)誤差性質(zhì),測量誤差可分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差。(1)系統(tǒng)誤差:在同樣測量條件下做一系列觀測,如果出現(xiàn)的誤差在數(shù)值上、符號上具有規(guī)律性變化,或保持不變,這種測量誤差就稱為系統(tǒng)誤差。 如:鋼尺的名義長度30.000m,而實(shí)際長度29.990m,每次丈量一個整尺段距離就會多1cm。 系統(tǒng)誤差的來源:儀器誤差、儀器安置、理論誤差、人員誤差、外界條件影響等。 第一節(jié) 測量誤差的概論第8頁/共64頁 三、測量誤差的分類根據(jù)誤差性質(zhì),測量誤差可分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差。(1)系統(tǒng)誤差:由于系統(tǒng)誤差具有規(guī)律性,因此在觀測過程中,可以通過對儀器進(jìn)行檢驗(yàn)和校正
5、、一定的觀測方法、提高作業(yè)人員的熟練程度、限定外業(yè)觀測條件等手段來抵消系統(tǒng)誤差的影響。 第一節(jié) 測量誤差的概論第9頁/共64頁 三、測量誤差的分類根據(jù)誤差性質(zhì),測量誤差可分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差。(2)偶然誤差:在同樣觀測條件下的測量值序列中,各測量值的測量誤差的數(shù)值、符號具有不確定性,但又服從一定統(tǒng)計(jì)規(guī)律的測量誤差稱為隨機(jī)誤差,測量上叫偶然誤差。例如:水準(zhǔn)尺上估讀到1mm,是估大還是估小,不可預(yù)測,不可確定,純系偶然。第一節(jié) 測量誤差的概論1542?1543?偶然誤差的隨機(jī)性,使得偶然誤差在觀測過程中無法被消除或抵消。第10頁/共64頁 三、測量誤差的分類根據(jù)誤差性質(zhì),測量誤差可分為系統(tǒng)誤差和
6、偶然誤差。(3)錯誤(粗差):歪曲測量成果或計(jì)算出的結(jié)果與實(shí)際不符,都是錯誤。產(chǎn)生原因多半是觀測者不正確操作,或粗心大意,或過分疲勞等使測出的成果產(chǎn)生錯誤。如:把上絲讀數(shù)當(dāng)作中絲讀數(shù);計(jì)算高差時,計(jì)算錯誤等。第一節(jié) 測量誤差的概論錯誤(粗差)不是誤差,它不應(yīng)出現(xiàn)在觀測記過當(dāng)中,在測量作業(yè)中必須有必要的檢核,同時也需要測量人員認(rèn)真的態(tài)度!第11頁/共64頁 系統(tǒng)誤差可以通過一定的手段抵消或消除; 錯誤(粗差)可以通過必要的檢核進(jìn)行排除; 但是,偶然誤差不可消除,即便偶然誤差很小,也會使得觀測值與真值不一致。 那么偶然誤差有多大?會對觀測的結(jié)果產(chǎn)生多大影響?這就是測量誤差所要研究的關(guān)于測量精度的問
7、題。 要研究精度,首先就要掌握偶然誤差都具有哪些特性。第二節(jié) 偶然誤差的特性第12頁/共64頁 實(shí)例:對某一個三角形的三個內(nèi)角進(jìn)行了358組相同條件下的觀測,得到358組三角形閉合差,取6為誤差區(qū)間,將這些閉合差按正負(fù)號由小到大排列,統(tǒng)計(jì)出各區(qū)間出現(xiàn)的誤差個數(shù)k,并計(jì)算其相對個數(shù)kn(358),kn稱為誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率。第二節(jié) 偶然誤差的特性第13頁/共64頁 從下列表格中你可以看出偶然誤差具有哪些特性?第二節(jié) 偶然誤差的特性結(jié)論1:有限觀測中,在一定的觀測條件下,偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值有限性第14頁/共64頁 從下列表格中你可以看出偶然誤差具有哪些特性?第二節(jié) 偶然誤差的特
8、性結(jié)論2:絕對值小的誤差出現(xiàn)的頻率大,絕對值大的誤差出現(xiàn)的頻率小密集性第15頁/共64頁 從下列表格中你可以看出偶然誤差具有哪些特性?第二節(jié) 偶然誤差的特性特征3:絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率大致相等對稱性第16頁/共64頁 從下列表格中你可以看出偶然誤差具有哪些特性?第二節(jié) 偶然誤差的特性推論:如果當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時,偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零抵償性12lim0nnn lim0nn第17頁/共64頁 當(dāng)觀測次數(shù)趨向于無窮(n),且誤差區(qū)間足夠小時,誤差頻率的直方圖會如何?第二節(jié) 偶然誤差的特性天啊!偶然誤差出現(xiàn)的頻率服從于正態(tài)分布!第18頁/共64頁l 偶然誤差正態(tài)分布的數(shù)學(xué)方程:l
9、 其中:(1):(偶然誤差)自變量;(2)y:因變量,表示偶然誤差出現(xiàn)的頻率;(3):圓周率(4)e:自然底數(shù);第二節(jié) 偶然誤差的特性 22212yfe 第19頁/共64頁l 偶然誤差正態(tài)分布的數(shù)學(xué)方程:那么, 和 2 是什么?數(shù)學(xué)上: 是正態(tài)分布的最或然值;測繪學(xué):把2 稱為方差, 稱為標(biāo)準(zhǔn)差 。第二節(jié) 偶然誤差的特性 22212yfe 2222212limlimnnnnn 2limlimnnnn 第20頁/共64頁方差和標(biāo)準(zhǔn)差有什么作用?p 當(dāng) 越大,正態(tài)分布的曲線越平緩,說明偶然誤差分布的越分散;p 反之,正態(tài)分布曲線越突出,說明偶然誤差分布的越集中。第二節(jié) 偶然誤差的特性第21頁/共6
10、4頁現(xiàn)實(shí)工作中,觀測次數(shù)總是有限的。因此,需要有更適合實(shí)際測量工作的精度評定指標(biāo)。一、中誤差(m)概念:以有限次觀測的偶然誤差所求得的標(biāo)準(zhǔn)差作為衡量精度的標(biāo)準(zhǔn),被稱作為中誤差,用m表示。中誤差計(jì)算公式:第三節(jié) 評定精度的指標(biāo)22212nmnn 第22頁/共64頁例題:某測區(qū)圖根測量,24個三角形的精度觀測值,如下表所示,試計(jì)算三角形內(nèi)角和的中誤差。第三節(jié) 評定精度的指標(biāo)第23頁/共64頁例題:某測區(qū)圖根測量,24個三角形的同精度觀測值,如下表所示,試計(jì)算三角形內(nèi)角和的中誤差。解:(1)求每組三角形內(nèi)角和閉合差的平方第三節(jié) 評定精度的指標(biāo)第24頁/共64頁例題:某測區(qū)圖根測量,24個三角形的精度
11、觀測值,如下表所示,試計(jì)算三角形內(nèi)角和的中誤差。解:(2)求三角形內(nèi)角和閉合差的平方和第三節(jié) 評定精度的指標(biāo)第25頁/共64頁例題:某測區(qū)圖根測量,24個三角形的精度觀測值,如下表所示,試計(jì)算三角形內(nèi)角和的中誤差。解:(3)三角形內(nèi)角和的中誤差第三節(jié) 評定精度的指標(biāo)注意: (1)中誤差數(shù)值前必須要加號;(2)數(shù)值后面寫“單位”第26頁/共64頁二、平均誤差()概念:以一組獨(dú)立偶然誤差的絕對值的算術(shù)平均值作為衡量精度的標(biāo)準(zhǔn),稱為平均誤差,即作為 。平均誤差計(jì)算公式:第三節(jié) 評定精度的指標(biāo)12=nnn 第27頁/共64頁例題:某測區(qū)圖根測量,24個三角形的精度觀測值,如下表所示,試計(jì)算三角形內(nèi)角和
12、的平均誤差。第三節(jié) 評定精度的指標(biāo)第28頁/共64頁例題:某測區(qū)圖根測量,24個三角形的同精度觀測值,如下表所示,試計(jì)算三角形內(nèi)角和的中誤差。解:(1)求每組三角形內(nèi)角和閉合差的絕對值152502424第三節(jié) 評定精度的指標(biāo)第29頁/共64頁例題:某測區(qū)圖根測量,24個三角形的同精度觀測值,如下表所示,試計(jì)算三角形內(nèi)角和的中誤差。解:(2)求三角形內(nèi)角和閉合差絕對值之和55024 427(3)求三角形內(nèi)角和閉合差平均誤差第三節(jié) 評定精度的指標(biāo)3851824n第30頁/共64頁三、或然誤差()概念:將一列偶然誤差按絕對值的大小排列,取其居中的一個來作為衡量精度的標(biāo)準(zhǔn),稱為或然誤差,用符號表示。若
13、觀測次數(shù)為偶數(shù),取其中央兩個誤差的平均值作為或然誤差。前面例題中,三角形內(nèi)角和的或然誤差 為多少?第三節(jié) 評定精度的指標(biāo)序號123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24閉合差5 -50 160 -10 726 -2 -14 42 -5 -18 18 -4 -16 12 296 -20 39 -17 -34 -13 -24序號123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24絕對值0245556710 12 13 14 16 16 17 18 20 24 26 29 34 3
14、9 42 50第31頁/共64頁四、相對誤差(K)真誤差、中誤差、平均誤差、或然誤差都是絕對誤差,誤差的大小值與本身的數(shù)值大小有關(guān),無需參照被觀測量的數(shù)值。但是,在一些測量工作中,絕對誤差不能表達(dá)觀測精度的優(yōu)劣,如距離測量的精度評定。因此,引入了相對誤差的概念,即:中誤差的絕對值與被觀測量的比值。相對誤差為無綱量,常把分子化為1表示。第三節(jié) 評定精度的指標(biāo)1mKXXm第32頁/共64頁五、容許誤差( 容)由偶然誤差的第一特性可知,在一定觀測條件下,偶然誤差的絕對值不會超過一定限值。這個限值就是極限誤差,或稱為容許誤差。大于1倍中誤差的真誤差出現(xiàn)的概率約為32,大于兩倍中誤差的真誤差出現(xiàn)的概率約
15、為5%,大于三倍中誤差的真誤差出現(xiàn)的概率只占3左右。因此在有限次觀測的測量中不容許有較大的誤差出現(xiàn),常取兩倍或三倍中誤差作為偶然誤差的容許值,稱為容許誤差 。第三節(jié) 評定精度的指標(biāo)23mm容容第33頁/共64頁在實(shí)際工作中有許多未知量不能直接觀測而求其值,需要由觀測值間接計(jì)算出來。如:某未知點(diǎn)B的高程HB,是由起始點(diǎn)A的高程HA加上A點(diǎn)到B點(diǎn)間進(jìn)行了若干站水準(zhǔn)測量而得來的觀測高差h1、h2、hn求和得出的。這時未知點(diǎn)B的高程HB是個獨(dú)立觀測值(諸觀測高差h1、h2、hn)的函數(shù)。那么如何根據(jù)觀測值的中誤差去求觀測值函數(shù)的中誤差呢?闡述觀測值中誤差與觀測值函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律,稱為誤差傳播定
16、律。第四節(jié) 誤差傳播定律第34頁/共64頁一、誤差傳播定律的一般公式設(shè)有一般函數(shù):式中,Z 為間接計(jì)算的觀測值; xi 為求解Z的若干獨(dú)立觀測值。則,通過微分學(xué)推到可知,Z的中誤差mz:第四節(jié) 誤差傳播定律12nZF xxx、 、 、1222222212nZxxxnFFFmmmmxxx第35頁/共64頁二、幾種典型函數(shù)的中誤差(一)倍數(shù)函數(shù)的中誤差則倍數(shù)函數(shù)的中誤差為:式中: 則上式可寫成:第四節(jié) 誤差傳播定律Zkx22ZxFmmxFkxZxmkm第36頁/共64頁 例:在1:2000比例尺地形圖上,量得A、B兩點(diǎn)間距離Sab25.5mm,其中誤差mSab0.2mm 求,A、B間的實(shí)地距離SA
17、B及其中誤差mSAB。解:(1)AB實(shí)地距離SAB2000Sab200025.551000mm51m(2)由倍數(shù)函數(shù)中誤差公式得mSAB2000mSab 2000(0.2)400mm0.4mSAB51m0.4m倍數(shù)函數(shù)中誤差計(jì)算例題第37頁/共64頁二、幾種典型函數(shù)的中誤差(二)和或差函數(shù)的中誤差1.基本型公式 則中誤差為:式中: 則上式可寫成:第四節(jié) 誤差傳播定律Zxy 2222ZxyFFmmmxy11FxFy22Zxymmm第38頁/共64頁二、幾種典型函數(shù)的中誤差(二)和或差函數(shù)的中誤差2.推廣型公式則倍數(shù)函數(shù)的中誤差為:式中: 則上式可寫成:第四節(jié) 誤差傳播定律12nZxxx12222
18、22212nZxxxnFFFmmmmxxx111nFxFx12222nZxxxmmmm第39頁/共64頁二、幾種典型函數(shù)的中誤差(二)和或差函數(shù)的中誤差3.同精度觀測公式mx1mx2mxnm同精度觀測函數(shù)的中誤差為:第四節(jié) 誤差傳播定律12nZxxx12222nZxxxmmmmZmmn第40頁/共64頁例6-3:以30m長的鋼尺丈量90m的距離,當(dāng)每尺段量距的中誤差為5mm,求全長的中誤差。解:(1)由同精度觀測函數(shù)公式,得(2)通精度觀測函數(shù)中誤差公式,得同精度觀測函數(shù)中誤差計(jì)算例題90303030SSSS9030538.7SSmmnmm 第41頁/共64頁二、幾種典型函數(shù)的中誤差(三)線性
19、函數(shù)的中誤差函數(shù)的中誤差為:式中: 則上式可寫成:第四節(jié) 誤差傳播定律1 12 2n nZk xk xk x11nnFkxFkx1222222212nZxxnxmk mk mk m1222222212nZxxxnFFFmmmmxxx第42頁/共64頁例:設(shè)有某線性函數(shù)為其中x1、x2、x3的中誤差分別為m13mm、m22mm、m36mm,求Z的中誤差。解:按誤差傳播定律,并將x1、x2、x3的中誤差代入線性函數(shù)中誤差公式得線性函數(shù)中誤差計(jì)算例題321141149144xxxZmm6 . 1614121493144141149144222222222321zxxxzmmmmm第43頁/共64頁二
20、、幾種典型函數(shù)的中誤差(四)一般函數(shù)(非線性函數(shù))的中誤差利用誤差傳播定律的一般公式 先求函數(shù)F對各自變量的偏導(dǎo)數(shù),再求函數(shù)中誤差。第四節(jié) 誤差傳播定律1222222212nZxxxnFFFmmmmxxx第44頁/共64頁例:如圖,測得AB的豎角30000030,平距AC為D200.000.05米,求A、B兩點(diǎn)間高差h及其中誤差mh。一般函數(shù)(非線性函數(shù))中誤差計(jì)算例題第45頁/共64頁解: (1)求A、B兩點(diǎn)之間的高差h(2)滿足一般函數(shù),計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)(3)求高差h的中誤差(=206265)一般函數(shù)(非線性函數(shù))中誤差計(jì)算例題tan200.00tan30115.47mhDtantan300.5
21、77hD22sec200 sec 30266.670hD2222300.5770.05266.6700.048206265hm 米2222hDDhFmmm第46頁/共64頁 測量工作中,多余觀測起到什么作用?作用一:為觀測成果進(jìn)行有效的檢核;作用二:獲取觀測結(jié)果的最或然值。 測量平差的概念 有多余觀測的情況下,對包含有偶然誤差的觀測值進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的工作。作用:(1)獲得觀測量的最或然值;(2)評定精度;方法:直接平差、條件平差和間接平差。第五節(jié) 同精度直接平差第47頁/共64頁 一、同精度觀測值的最或然值1.算數(shù)平均值原理設(shè)對某未知量進(jìn)行同精度n次觀測,其值為X,觀測值分別L1、L2、Ln,相
22、應(yīng)的真誤差為1、2、n。根據(jù)真誤差公式得:將上式兩端分別取和并除以n,得:第五節(jié) 同精度直接平差1,2,iiLXin LXnn第48頁/共64頁 一、同精度觀測值的最或然值1.算數(shù)平均值原理根據(jù)偶然誤差的第四個特性(抵償性),當(dāng)觀測次數(shù)n時, 就趨于零,即:第五節(jié) 同精度直接平差 n lim0nn LXnn LXn Lxnx 被稱為算術(shù)平均值,它是同精度觀測的最或然值!第49頁/共64頁 一、同精度觀測值的最或然值2.改正數(shù)的概念一個觀測量的觀測值與真值之差為真誤差,算術(shù)平均值與觀測值之差,稱為改正數(shù),記作V。第五節(jié) 同精度直接平差Vi表示某個觀測量的第i個改正數(shù)x 被稱為算術(shù)平均值Li表示某
23、個量的第i個觀測值1,2,iiVxLin第50頁/共64頁 二、同精度的精度評定精度評定包括了:觀測值的精度評定和算術(shù)平均值的精度評定1.觀測值的精度評定(觀測值中誤差)觀測值中誤差的計(jì)算公式為:真誤差真誤差無法獲取,用改正數(shù)無法獲取,用改正數(shù)V代替代替,經(jīng)推導(dǎo)得觀測值中誤差的計(jì)算公式為:第五節(jié) 同精度直接平差mn 1VVmn第51頁/共64頁 二、同精度的精度評定2.算術(shù)平均值的精度評定算術(shù)平均值計(jì)算函數(shù)為:應(yīng)用觀測值函數(shù)中誤差計(jì)算公式(線性函數(shù)誤差傳播定律公式)得:因?yàn)長1,L2,Ln為同精度觀測值,觀測值中誤差均為m,則上式簡化為第五節(jié) 同精度直接平差 12111nLxLLLnnnn12
24、22222212nZxxnxmk mk mk m12222222111nxLLLmmmmnnn2xmmmnn第52頁/共64頁 二、同精度的精度評定2.算術(shù)平均值的精度評定例題:設(shè)對某一水平角同精度觀測了同精度觀測了6測回,測回,觀測值列于表中,試計(jì)算該水平角的最或然值并評定其精度。第五節(jié) 同精度直接平差第53頁/共64頁解:(1)計(jì)算水平角觀測的最或然值(算術(shù)平均值)x =(L1L2 L6) 6= 6322 25第五節(jié) 同精度直接平差 Lxn第54頁/共64頁解:(2)計(jì)算各觀測值的改正數(shù)ViV1(xL1) 632225632229 04V2(xL2) 5V3(xL3) 3V4(xL4) 1
25、V5(xL5) 3V6(xL6) 1第五節(jié) 同精度直接平差第55頁/共64頁解:(3)計(jì)算觀測值的中誤差m =第五節(jié) 同精度直接平差22222212345622222211453131516259 1 9 1613.555VVVVVVVVmnn 觀測值中誤差說明6測回觀測中,每個測回觀測值的精度。第56頁/共64頁解:(3)計(jì)算算術(shù)平均值的中誤差mx第五節(jié) 同精度直接平差3.51.46xmmn算數(shù)平均值中誤差代表最終觀測結(jié)果的精度。第57頁/共64頁 1、用、用50m鋼尺單程丈量了鋼尺單程丈量了150m的距離,每尺段丈量中誤差的距離,每尺段丈量中誤差5mm,全長的丈量中誤差為多少?,全長的丈量中誤差為多少?習(xí)題:15012322215012312312315053538.7LLLLmmmmLLLmmmmmmmmmm 、 、 為同精度觀測則:第58頁/共64頁 2、對某直線丈量了、對某直線丈量了6次,觀測結(jié)果為:次,觀測結(jié)果為:246.535m、246.548m、246.520m、246.529m、246.550m、246.537m,求算術(shù)平均值、算術(shù)平均值中誤差及相對,求算術(shù)平均值、算術(shù)平均值中誤差及相對誤差?誤差?習(xí)題: (1)246.535246.548 .246.
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