機(jī)械振動(dòng)學(xué)習(xí)題解答三

1、機(jī)械振動(dòng)學(xué)機(jī)械振動(dòng)學(xué)習(xí)題解答（三）習(xí)題解答（三）2013-05-151 力法力法 牛頓第二定律/動(dòng)量矩定理2 視察法視察法 對(duì)鏈?zhǔn)较到y(tǒng)，直接寫出結(jié)果3 剛度法剛度法/柔度法柔度法剛度法要使第j個(gè)廣義坐標(biāo)發(fā)生單位位移而其余廣義坐標(biāo)的位移為0，需要在第i個(gè)廣義坐標(biāo)上施加的力，即為剛度矩陣k中的元素kij柔度法在第j個(gè)廣義坐標(biāo)上施加單位力，使第i個(gè)廣義坐標(biāo)發(fā)生的位移，即為柔度矩陣a中的元素aij4 lagrange方程方程多自由度系統(tǒng)列微分方程多自由度系統(tǒng)列微分方程 mxkxf21 2iiiiiiidlldqlvudc xdtxxx慣性力慣性力保守力保守力阻尼力阻尼力動(dòng)能動(dòng)能勢(shì)能勢(shì)能 a mxxaf

2、mx kxcx 212mx 212kxok2xk1j0t2t1t1mg解法一解法一 (力法力法) ：設(shè)m相對(duì)平衡位置的位移為x，向下為正；j0相對(duì)平衡位置的轉(zhuǎn)角為，順時(shí)針為正。對(duì)m：對(duì)j0 ：11mxkrk x214 如圖所示，固定滑車力學(xué)模型中，起吊物品質(zhì)量為m，滑輪繞中心o的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為j0，假定繩索與滑輪間無(wú)滑動(dòng)，求系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程。整理可得微分方程：220112jk xrkrkr1121120000kk rmxxk rkkrj 注：重力項(xiàng)和彈簧靜伸長(zhǎng)抵消，因?yàn)樽ⅲ褐亓?xiàng)和彈簧靜伸長(zhǎng)抵消，因?yàn)閙g = k。（參見(jiàn)習(xí)題。（參見(jiàn)習(xí)題2-5）由由單獨(dú)引起的彈簧單獨(dú)引起的彈簧彈力（彈簧被壓短）彈

3、力（彈簧被壓短）由由x單獨(dú)引起的彈簧單獨(dú)引起的彈簧彈力（彈簧被拉長(zhǎng)）彈力（彈簧被拉長(zhǎng)）解法二（解法二（lagrange方程）：方程）：設(shè)m相對(duì)平衡位置的位移為x；j0相對(duì)平衡位置的轉(zhuǎn)角為。系統(tǒng)動(dòng)能：系統(tǒng)勢(shì)能：2201122vmxjok2x將以上各式代入lagrange方程：即得微分方程。k1j02221211()22uk xrkrlvu2110112, , , ()llllmxk xkrjk xrkkrxx 0, 0dlldlldtxxdt注：重力勢(shì)能和彈簧靜變形的彈性勢(shì)能抵消。注：重力勢(shì)能和彈簧靜變形的彈性勢(shì)能抵消。m解法三（剛度法）：解法三（剛度法）：設(shè)m相對(duì)平衡位置的位移為x，向下為正；

4、j0相對(duì)平衡位置的轉(zhuǎn)角為，順時(shí)針為正。先令x = 1， = 0，要使系統(tǒng)受力平衡，須在m上施加向下的力k1 ，在j0上施加逆時(shí)針力矩k1r，即再令x = 0， = 1，要使系統(tǒng)受力平衡，須在m上施加向上的力k1r，在j0上施加順時(shí)針力矩即因此微分方程為111211, kkkk r ok2xk1j0m21212212, ()kk rkkkr 1121120000kk rmxxk rkkrj 212()kkr解法四（柔度法）：解法四（柔度法）：設(shè)m相對(duì)平衡位置的位移為x，向下為正；j0相對(duì)平衡位置的轉(zhuǎn)角為，順時(shí)針為正。假設(shè)m受到一個(gè)向下的單位力，則彈簧k1相對(duì)平衡位置伸長(zhǎng)1/k1，彈簧k2相對(duì)平衡

5、位置伸長(zhǎng)1/k2，所以x = 1/k1+1/k2， = 1/(k2r)，即假設(shè)j0受到一個(gè)順時(shí)針?lè)较虻膯挝涣?，則彈簧k1相對(duì)平衡位置無(wú)變形，彈簧k2伸長(zhǎng)1/k2r，所以x = 1/k2r， = 1/(k2r2)，即因此微分方程為1121122111+, aakkk rok2xk1j0m122222211, aak rk r122202201/1/1/()001/()1/()mkkk rxxjk rk r 215 用視察法建立圖示鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的振動(dòng)微分方程。解：解：微分方程為1233111111334221122000kkkkmxccxxkkkmxccxx與與m1相連的所有彈簧相連的所有彈簧連接連

6、接m1和和m2之間的之間的所有彈簧的所有彈簧的負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)對(duì)角陣對(duì)角陣對(duì)稱陣對(duì)稱陣 (規(guī)則規(guī)則與剛度陣相同與剛度陣相同)對(duì)稱陣對(duì)稱陣與與m2相連的相連的所有彈簧所有彈簧m1k4k1k2k3c1m2216 繩索-質(zhì)量系統(tǒng)的參數(shù)如圖所示，設(shè)m1 = 2m2，各段繩索中的張力均為t。試用柔度法建立系統(tǒng)作微振動(dòng)的微分方程。解法一：解法一：（柔度法）把m1和m2豎直方向的位移作為廣義坐標(biāo)，向下為正。對(duì)m1施加一豎直向下的單位力，使m1和m2產(chǎn)生的位移即為柔度系數(shù)a11和a21 。同理，對(duì)m2施加一豎直向下的單位力，得柔度系數(shù)a12和a22。于是微分方程：tm1m2t1121211111211sinsin12

7、sin/, sin/ 23ttlaalaltlll211222202100123mxxlmxxt2111123laat1122241 0223xxm lxxt即解法二：解法二：（剛度法）把m1和m2豎直方向的位移作為廣義坐標(biāo)，向下為正。使m1產(chǎn)生豎直向下的單位位移， m2位置不變，需要對(duì)m1和m2施加的豎直向下的力，即為剛度系數(shù)k11和k21 。同理，使m2產(chǎn)生豎直向下的單位位移，m1位置不變，得剛度系數(shù)k12和k22 。于是微分方程：tm1m2t11111112 sin2sin1/tktklllll21122220210012mxxtmxxlk11tk21t121211sinsin1/tkt

8、kll 217 如圖所示系統(tǒng)中，k1 = k2 = k3 = k，m1 = m2 = m，r1 = r2 = r，j1 = j2 = j。求系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程。解：解：（力法）設(shè)j1和j2分別沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)了1和2。則彈簧內(nèi)力分別為（均為拉伸）對(duì)j1和j2受力分析：k2于是微分方程：k1f1f2f2f3k3j1, r1j2, r2121220210012jkrj11 1 1221 12 2332 2, , fkrfkrrfkr121 11 1 1121 12 212221 12 2232 22jkr rkrrrjkrrrkr r 注：還可以用注：還可以用剛度法列方程。剛度法列方程。218 行

9、車載重小車運(yùn)動(dòng)的力學(xué)模型如圖所示，小車質(zhì)量為 m1，受到兩根剛度為 k 的彈簧的約束，懸掛物品質(zhì)量為m2，懸掛長(zhǎng)度為 l，擺角很小，求系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程。解：解：（ lagrange方程）以m1水平方向的位移和m2的擺角為廣義坐標(biāo)。由于m2相對(duì)m1的速度為 ，m1的速度（即牽連速度）為 ，故m2的絕對(duì)速度為系統(tǒng)的動(dòng)能為勢(shì)能為kklm1m2lx 2222coslxx l222212112cos22tm xmlxx l2211 cos2ukk xm gl令 l = t - u，列l(wèi)agrange方程：可得于是微分方程：d0dd0dlltxxllt0sin2sin2sin2cos22202sin22

10、cos221glmlxmlxmlxmlmkxlmlmxmm 0222202221glmxlmlmkxlmxmm 12222222000mmm lkxxm lm lm gl 略去 高階項(xiàng)，且 ，方程可化簡(jiǎn)為2sincos1，122/coslxmmxml 222/coslmlm xl22/sinsinlm glm x l /2lxkx 微分方程令 ，代入方程得線性方程組要使方程有非零解，須 ，從而得固有頻率 。將 代回線性方程組，得對(duì)應(yīng)的振型 。于是振型矩陣振型具有正交性：振型具有正交性：正則振型多自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)多自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 0mxkx i txx e 20kmx 2det0kmiix

11、i 0 tijxmxijtiiixmxm12 .uxx 12(,.)tumumdiag m m將m換成k也成立1122 / /.uxmxm 2212 , .ttumuiukudiag微分方程令 ，方程可解耦令 ，方程可解耦1 直接解令 ，得 ，解得2 模態(tài)綜合法先分析自由振動(dòng)，得到振型和主坐標(biāo)，使方程解耦，再解方程多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)多自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) 0mxkx xuy11112222000000mykymyky 211122220000yyyy xuy mxkxf i txx e 2kmxf x38 求圖示系統(tǒng)的固有頻率和主振型（桿為剛性，不計(jì)質(zhì)量）。解：解：(剛度法) 以m和2m豎直方

12、向的位移為廣義坐標(biāo)，向下為正。使m產(chǎn)生豎直向下的單位位移，2m位置不變，需要對(duì)m和2m施加的豎直向下的力，即為剛度系數(shù)k11和k21 。k于是微分方程：klm2mll1121112220kkkkklklk l力平衡：力矩平衡：12224 , 5kkkk 得同理可得：112205400245xxmkkxxmkk11215 , 4kkkk 1k11k212kk微分方程線性方程組特征方程解得固有頻率將固有頻率代入線性方程組，得振幅比于是振型矩陣：112205400245xxmkkxxmkk22540452kmkkkm242221590mkmk2212153 17153 17, 44kkmm21112

13、222553 171.086416553 170.461416bkmakbkmak 111.0860.461u22540452akmkbkkm 2212注： !39 如圖所示均質(zhì)桿的質(zhì)心 c 點(diǎn)向下移動(dòng)的位移 x 及桿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)角 為廣義坐標(biāo)，求系統(tǒng)的固有角頻率和主振型。解：解：設(shè)桿的質(zhì)心向下移動(dòng) x 且向順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 。分別分析桿的受力平衡和力矩平衡：k于是微分方程：kl/4mcl/4l/2 224424llxkllxkjlxklxkxm 1422511124160200mkklxxmlklkl 微分方程線性方程組特征方程解得固有頻率將固有頻率代入線性方程組，得振幅比于是振型矩陣：142

14、2511124160200mkklxxmlklkl 2142225114161220kmklklklml2142225114161220akmklbklklml 221223972397, 88kkmm2111222227971.424/ 4227978.424/ 42bkmalkllbkmalkll 111.4248.424ull2212 !310 如圖所示扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)中，kt1 = kt2 = kt，j1 = 2j2 = 2j。求系統(tǒng)的固有頻率和主振型；設(shè)1(0) = 1 rad，2(0) = 2 rad， ，求系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)。解：解：設(shè)j1和j2的轉(zhuǎn)角分別為1和2 ，分析其力矩平衡

15、kt2于是微分方程：特征方程固有頻率12(0)(0)0kt1j11j221 11 122122221tttjkkjk 112220210011tjkj 22220ttttkjkkkj 2211u振型矩陣：22122222, 22ttkkjj（也可用視察法）由振型矩陣得系統(tǒng)響應(yīng)為代入初始條件解得即 1122u1111222211coscos22atat111222112211112222111222(0)coscos1(0)2cos2cos2(0)sinsin0(0)2sin2sin0aaaaaaaa 12121.207,0.207,0aa 1122111.207cos0.207cos22tt1

16、122cos(12)/ 2cos(12)/ 2aa1122sinsin0aa311 求圖示系統(tǒng)的振型矩陣 、正則化振型矩陣 和主坐標(biāo)。解：解：用視察法可得微分方程特征方程固有頻率 u ukmkmk112202002xxmkkxxmkk224222204302kmkmkmkkkm22123, kkmm 1111u振型矩陣主質(zhì)量： 11011201101102tmmmumumm 122mmm主質(zhì)量矩陣主坐標(biāo) 112111122220.50.50.50.50.50.5xxyxxuxxyxx正則化的振型矩陣(p.63 式3-79) 1211221/1/111112m/mmumm或 1121112221

17、2/ 211112/ 2mxxyxxmuyxxmxx注：據(jù)此，微分方程可改寫為如下的解耦形式：11112222000000mykymyky 211122220000yyyy 1200tkukuk其中312 如圖所示系統(tǒng)中，軸的抗彎剛度為ei，它的慣性矩不計(jì)，圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 j = mr2/4，r = l/4，靜平衡時(shí)軸在水平位置。求系統(tǒng)的固有頻率。解：解：以圓盤豎直向下的位移 x 和轉(zhuǎn)角 為廣義坐標(biāo)。方法一：柔度法微分方程：lr32112132llaaeiei在梁端點(diǎn)施加單位力時(shí)，撓度，轉(zhuǎn)角212222llaaeiei在梁端點(diǎn)施加單位彎矩時(shí)，撓度，轉(zhuǎn)角322ll03200ll2mxxeieij

18、eiei 方法二：剛度法當(dāng)梁端點(diǎn)的撓度為1，轉(zhuǎn)角為0時(shí)，受到的力為k11，力矩為k21。當(dāng)梁端點(diǎn)的撓度為0，轉(zhuǎn)角為1時(shí)，受到的力為k12，力矩為k22。lr32112111321121212l121326ll02k lkeikeieileikkkleiei3212221222122222l60324ll12k lkeikeieileikkkleiei32212600064eieimxxlljeieill 微分方程：計(jì)算固有頻率特征方程固有頻率lr26432222687680m leil me i12331.7021,16.2820eieimlml23222126064eieimlleieijl

19、l313 用rayleigh法和dunkerley公式估算圖示系統(tǒng)中質(zhì)點(diǎn)在鉛垂平面中作垂直于繩索微振動(dòng)時(shí)的基頻，并與精確解相比較。解：解：由2-16題知，微分方程特征方程：m1m2lll21122220210012mxxtmxxl22222202ttmllttmll2122330.6342ttm lm l解得基頻的精確解：rayleigh法法dunkerley法法 21221-121 12rayleigh39rayleigh14tttttxxxkxtm lxmxxkxtm lxmkmx 任意假設(shè)振型函數(shù)，但各元素必須同號(hào)，比如令則第一種商：第二種商： 1222222204210221233mmmlldkmmmmtt 21222131422tttr dlmmlm 21222021 , 0012mxmkmx已知415 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)參數(shù)如圖所示，求系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：解：微分方程kt線性方程組：振幅穩(wěn)態(tài)響應(yīng)kt2j1j2t sinttttkjjsin0