數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新課件

1、2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新1數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新2*基礎(chǔ)教育改革：尋找解決教學(xué)問題基礎(chǔ)教育改革：尋找解決教學(xué)問題的大策略成為明顯趨勢。的大策略成為明顯趨勢。*2121世紀(jì)國際教育委員會認(rèn)為：教學(xué)世紀(jì)國際教育委員會認(rèn)為：教學(xué)質(zhì)量和教師素質(zhì)的重要性無論怎樣質(zhì)量和教師素質(zhì)的重要性無論怎樣強調(diào)都不過分。強調(diào)都不過分。引言引言2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新3一、為什么要談數(shù)學(xué)思想方法1、從數(shù)學(xué)思想方法的意義看2、從當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂教學(xué)現(xiàn)狀看2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新4從數(shù)學(xué)思想方法的意義看21世紀(jì)是“知識經(jīng)濟(jì)時代”，國際競

2、爭是“創(chuàng)新能力”的競爭，高科技的競爭，若把“高科技”比作皇冠的話，數(shù)學(xué)就是皇冠上的一顆明珠。就是說要培養(yǎng)21世紀(jì)高科技創(chuàng)新人才，首先應(yīng)培養(yǎng)具有創(chuàng)新思維能力的“數(shù)學(xué)王子”。在數(shù)學(xué)教育中，學(xué)生掌握科學(xué)的思維方法是成為創(chuàng)造型人才的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)高科技研究型人才、迎接新世紀(jì)國際高科技挑戰(zhàn)的比由之路。 2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新5思維是事物的本質(zhì)屬性和內(nèi)部規(guī)律性在人腦中的反映，它是智力的核心，而小學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要任務(wù)就是要培養(yǎng)學(xué)生實際操作能力的基礎(chǔ)上訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。 2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新6從當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀看多年來，我國小學(xué)實現(xiàn)依然存在時費低效的多年來，我國

3、小學(xué)實現(xiàn)依然存在時費低效的現(xiàn)象，表現(xiàn)在教師講解例題多，學(xué)生套題解為現(xiàn)象，表現(xiàn)在教師講解例題多，學(xué)生套題解為多，對復(fù)雜化的題型束手無策，更談不上創(chuàng)造多，對復(fù)雜化的題型束手無策，更談不上創(chuàng)造性地解決實際問題。究其實質(zhì)，是思維訓(xùn)練沒性地解決實際問題。究其實質(zhì)，是思維訓(xùn)練沒有到位，從思維方法訓(xùn)練的角度得到反省，過有到位，從思維方法訓(xùn)練的角度得到反省，過去教師過分看重思維結(jié)果，偏重灌輸，忽視學(xué)去教師過分看重思維結(jié)果，偏重灌輸，忽視學(xué)生思維過程的展示，以及錯誤思維過程的暴露，生思維過程的展示，以及錯誤思維過程的暴露，必須導(dǎo)致思維訓(xùn)練走過場，教師講的頭頭是道，必須導(dǎo)致思維訓(xùn)練走過場，教師講的頭頭是道，學(xué)生解

4、題摸不著門道的被動局面，只有讓學(xué)生學(xué)生解題摸不著門道的被動局面，只有讓學(xué)生經(jīng)歷思考過程，獲得思維方法，才能真正內(nèi)行經(jīng)歷思考過程，獲得思維方法，才能真正內(nèi)行為經(jīng)驗和知識，形成能力。為經(jīng)驗和知識，形成能力。 2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新7 課堂教學(xué)應(yīng)試為主教學(xué)目標(biāo)定位偏低教學(xué)目標(biāo)定位偏低 鞏固知識鞏固知識 熟練技能熟練技能教學(xué)內(nèi)容膚淺狹窄教學(xué)內(nèi)容膚淺狹窄 已知知識已知知識 浮于淺表浮于淺表 局限課本局限課本 固守單科固守單科教學(xué)過程預(yù)設(shè)過多教學(xué)過程預(yù)設(shè)過多 嚴(yán)密周到嚴(yán)密周到 強迫牽制強迫牽制 被動跟隨被動跟隨教學(xué)方式講授演繹教學(xué)方式講授演繹 教師講析教師講析 師生問答師生問答 學(xué)生活

5、動虛浮異化學(xué)生活動虛浮異化 有形無實有形無實 效度不高效度不高 機械練習(xí)機械練習(xí) 2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新8數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求 “幫助學(xué)生學(xué)會基本的數(shù)學(xué)思想方法”是新一輪數(shù)學(xué)課程改革所設(shè)定的一個基本目標(biāo)。以國際上的相關(guān)研究為背景，對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何突出數(shù)學(xué)思維進(jìn)行具體分析表明，即使是十分初等的數(shù)學(xué)內(nèi)容也同樣體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學(xué)思維形式及其特征性質(zhì)。2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新9理論依據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)主要是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，而不是單純的數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要加強數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識教學(xué)的同時，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，掌握數(shù)學(xué)思考方法，因此小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要有重大突破，就在于小學(xué)生思維

6、發(fā)展的研究。這一教學(xué)原則改變了我們“滿堂灌”，“注入式”的教學(xué)方法，著眼于學(xué)生的思維的訓(xùn)練。給學(xué)生“思考”的機會，指導(dǎo)學(xué)生思維方法，使其形成良好的思維品質(zhì)。2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新10教學(xué)從現(xiàn)代教育觀點看：教學(xué)從現(xiàn)代教育觀點看：當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)偏重書本知識和雙基訓(xùn)練，缺少對學(xué)生學(xué)習(xí)情感、態(tài)度以及個體差異的關(guān)注，忽視研究性學(xué)習(xí)和實踐活動。在學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力的培養(yǎng)方面，與發(fā)達(dá)國家相比，差距十分明顯。有學(xué)者指出，按照。有學(xué)者指出，按照知識的外在程度，新經(jīng)濟(jì)時代把知識分為外顯部知識的外在程度，新經(jīng)濟(jì)時代把知識分為外顯部分與內(nèi)隱部分，它們構(gòu)成一個冰山模式，前者浮分與內(nèi)隱部分，它們

7、構(gòu)成一個冰山模式，前者浮出海面，后者在下托起整個冰山。后者就是內(nèi)隱出海面，后者在下托起整個冰山。后者就是內(nèi)隱部分，即智慧、情感和態(tài)度，它深深地嵌入于實部分，即智慧、情感和態(tài)度，它深深地嵌入于實踐之中。人的創(chuàng)新精神和實踐能力主要依賴于內(nèi)踐之中。人的創(chuàng)新精神和實踐能力主要依賴于內(nèi)隱部分。只有通過在行動中學(xué)習(xí)，才能達(dá)到培養(yǎng)隱部分。只有通過在行動中學(xué)習(xí)，才能達(dá)到培養(yǎng)和提高的目的。當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)狀呼喚著符合和提高的目的。當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)狀呼喚著符合時代要求的新數(shù)學(xué)課程的誕生。時代要求的新數(shù)學(xué)課程的誕生。 2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新11 知識的冰山模型知識的冰山模型明確知識明確知識（是什

8、么、為什么）（是什么、為什么）主要是事實和原理的知主要是事實和原理的知識識存于書本，可編碼（邏輯存于書本，可編碼（邏輯性）、可傳遞（共享性）、性）、可傳遞（共享性）、可反思（批判性）可反思（批判性）默會知識默會知識（怎么想、怎么做）（怎么想、怎么做） 本質(zhì)上是理本質(zhì)上是理 解力和領(lǐng)悟解力和領(lǐng)悟 存于個人經(jīng)驗（個體存于個人經(jīng)驗（個體 性）、嵌入實踐活動性）、嵌入實踐活動 （情境性）（情境性）2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新12 教學(xué)是兩組主體間的作用系統(tǒng)教學(xué)是兩組主體間的作用系統(tǒng) 從被動到互動從被動到互動尊重學(xué)生（需求、現(xiàn)狀、發(fā)展可能）尊重學(xué)生（需求、現(xiàn)狀、發(fā)展可能）要求學(xué)生（強調(diào)適切

9、性）要求學(xué)生（強調(diào)適切性）教師學(xué)生儒家文化：尊師重教儒家文化：尊師重教 主導(dǎo)性主體主導(dǎo)性主體發(fā)展性主體發(fā)展性主體2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新13從單一過程到復(fù)雜過程從單一過程到復(fù)雜過程存于實踐經(jīng)驗的存于實踐經(jīng)驗的默會知識默會知識 存于書本的存于書本的 明確知識明確知識 教師教師學(xué)生學(xué)生書本學(xué)習(xí)、行動學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)書本學(xué)習(xí)、行動學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新14在主導(dǎo)原則下取得新平衡是關(guān)鍵在主導(dǎo)原則下取得新平衡是關(guān)鍵打破舊平衡打破舊平衡 出現(xiàn)偏頗出現(xiàn)偏頗 平衡兼顧平衡兼顧 問題解決為中心問題解決為中心 概念和技能不落概念和技能不落 實實 平衡基本技能、概念

10、平衡基本技能、概念 理解和問題解決理解和問題解決 興趣作為出發(fā)點興趣作為出發(fā)點 知識不總是好玩知識不總是好玩 和容易的和容易的 平衡長效核心知識和平衡長效核心知識和 學(xué)生活動興趣學(xué)生活動興趣 重視應(yīng)用重視應(yīng)用 應(yīng)用情境混亂導(dǎo)應(yīng)用情境混亂導(dǎo) 致知識難懂致知識難懂 對應(yīng)用情境要作合適對應(yīng)用情境要作合適 的教學(xué)加工的教學(xué)加工 強調(diào)合作強調(diào)合作 依賴別人導(dǎo)致獨依賴別人導(dǎo)致獨 立思考能力下降立思考能力下降 弄清什么情況下合作弄清什么情況下合作 學(xué)習(xí)才有效學(xué)習(xí)才有效 教改實踐要有不走極端而達(dá)到頂尖的集其大成的智慧教改實踐要有不走極端而達(dá)到頂尖的集其大成的智慧2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新15國

11、際著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾稱之為“再創(chuàng)造”，他反復(fù)指出：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確的方法是實行“再創(chuàng)造”。數(shù)學(xué)教育家的教學(xué)原則，為我們闡明了數(shù)學(xué)教育方法：就是在引導(dǎo)學(xué)生獲取知識時，為學(xué)生創(chuàng)造能夠利用已有的感性經(jīng)驗和認(rèn)識條件，為學(xué)生提供思維的最近發(fā)展區(qū)，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，誘發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新16基礎(chǔ)知識與基本技能基礎(chǔ)知識與基本技能 雙基的內(nèi)涵與時代的發(fā)展雙基的內(nèi)涵與時代的發(fā)展 繁難偏舊的綜合繁難偏舊的綜合 過度形式化演繹問題過度形式化演繹問題2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新17基礎(chǔ)知識與基本技能基礎(chǔ)知識與基本技能523121 這是美國許多學(xué)生在做分?jǐn)?shù)加

12、這是美國許多學(xué)生在做分?jǐn)?shù)加減時所犯的錯誤，為此我們應(yīng)該減時所犯的錯誤，為此我們應(yīng)該考慮雙基的內(nèi)涵與時代的發(fā)展之考慮雙基的內(nèi)涵與時代的發(fā)展之間的關(guān)系間的關(guān)系.2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新181 1、從實物到算式的、從實物到算式的“數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)化”過過程程 -小學(xué)數(shù)學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)有余數(shù)的除法有余數(shù)的除法 7 73=2 13=2 1 FreudenthalFreudenthal研究所的達(dá)朗其研究所的達(dá)朗其( (Jan de Lange,1996Jan de Lange,1996) )在在ICME-8ICME-8的大會報告中介紹了荷蘭的一堂課：的大會報告中介紹了荷蘭的一堂課：8181名家長出席

13、學(xué)名家長出席學(xué)校家長會，每張桌子可坐校家長會，每張桌子可坐6 6人，需要布置多少張桌子？一類人，需要布置多少張桌子？一類學(xué)生具體地擺桌子；第二類學(xué)生經(jīng)歷了具體到形式的抽象；學(xué)生具體地擺桌子；第二類學(xué)生經(jīng)歷了具體到形式的抽象；第三類學(xué)生套用算式去做。實際上，三類學(xué)生中只有第二類第三類學(xué)生套用算式去做。實際上，三類學(xué)生中只有第二類才真正體驗到了才真正體驗到了“數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)化”的含義。的含義。2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新19問題問題糾纏于區(qū)分等分除、包含除等枝節(jié)糾纏于區(qū)分等分除、包含除等枝節(jié), ,未突出未突出“有有余數(shù)余數(shù)”這個要點這個要點習(xí)慣于程式化訓(xùn)練：習(xí)慣于程式化訓(xùn)練：3 3（ ）

14、7 7 括號里最大能填幾？未關(guān)注試商的現(xiàn)實意義括號里最大能填幾？未關(guān)注試商的現(xiàn)實意義(3)(3)表面地尋找規(guī)律表面地尋找規(guī)律 16165 53131 17 175 53232 18 185 53333 19 195 53434 余數(shù)余數(shù)(1(1、2 2、3 3、4 4）與除數(shù)（）與除數(shù)（5 5）比較大）比較大小，得出余數(shù)小于除數(shù)小，得出余數(shù)小于除數(shù)忘記了對小學(xué)生來說忘記了對小學(xué)生來說“數(shù)學(xué)就是生活數(shù)學(xué)就是生活” ” 2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新202021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新21 實物操作實物操作 表象操作表象操作 符號操作符號操作 分豆子分豆子 腦中分豆子腦中分豆

15、子 算式運算算式運算 （具體）（具體） （半具體、半抽象）（半具體、半抽象） （抽象）（抽象） 尋找規(guī)律尋找規(guī)律“分豆子分豆子”與布魯納的認(rèn)知理論與布魯納的認(rèn)知理論 數(shù)學(xué)是在具體、半具體、半抽象、抽象中間的鋪數(shù)學(xué)是在具體、半具體、半抽象、抽象中間的鋪排，是穿梭于實物與算式之間所作的形式化過渡。排，是穿梭于實物與算式之間所作的形式化過渡。2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新22豁然開朗：表象操作是形式化的重要中介豁然開朗：表象操作是形式化的重要中介 如退位減法如退位減法23-8=23-8=？學(xué)生有多種思維水平：？學(xué)生有多種思維水平：第一種：第一種：第二種：第二種：形式化形式化尋找意義尋找意

16、義 2323 8 8 15 15第三種：第三種：第四種：說出算理第四種：說出算理 23238=10 +(13 8=10 +(13 8)=158)=15 23 23 8=(20 8=(20 8)+3=158)+3=15 23 23 8=(23 8=(23 10)+2=1510)+2=15 停留于第一、第二種水平的學(xué)生停留于第一、第二種水平的學(xué)生“只會動手做只會動手做, , 不會不會動腦想動腦想”，從第二到第三種是關(guān)鍵的一步，通過表象操作，從第二到第三種是關(guān)鍵的一步，通過表象操作，越過這一步，才能達(dá)到計算自動化，或靈活運用多種方法越過這一步，才能達(dá)到計算自動化，或靈活運用多種方法并說出算理。并說出

17、算理。2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新23二、數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)展史數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新241數(shù)學(xué)思想與方法數(shù)學(xué)思想與方法1,從詞義看：思想是指客觀存在反映在人的意識中經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。2,從哲學(xué)角度看，思想的涵義有二：一是與“觀念”同義，二是指相對于感性認(rèn)識的理性認(rèn)識成果。3,數(shù)學(xué)思想：對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認(rèn)識過程中提煉上升的思想觀點，它在認(rèn)識活動中被反復(fù)運用，帶有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想。例：化歸思想、分類思想、模型思

18、想、極限思想、統(tǒng)計思想、最優(yōu)化思想。4,數(shù)學(xué)方法：從數(shù)學(xué)角度提出問題、解決問題（包括數(shù)學(xué)內(nèi)部問題和實際問題）的過程中采用的各種方式、手段、途徑等，其中包括變換數(shù)學(xué)形式。求和可以考慮分解組合的方法，變換問題的數(shù)學(xué)形式。2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新25 二、數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)展和演進(jìn)數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)展和演進(jìn) 數(shù)學(xué)是一門古老的學(xué)科，它從萌芽時期發(fā)展至今已經(jīng)有數(shù)千年的歷史。數(shù)學(xué)的發(fā)展史不只是一些新概念、新命題的簡單堆砌，它包含著數(shù)學(xué)思想和方法的積淀，尤其是數(shù)學(xué)本身許多質(zhì)的飛躍，即數(shù)學(xué)思想方法的重大突破。1，古代的數(shù)學(xué)思想和方法 從遠(yuǎn)古到公元前5世紀(jì)左右的數(shù)學(xué)萌芽時期是一個漫長的歷史過程。

19、（人們積累了算術(shù)和幾何方面的零碎知識，逐漸形成了抽象意義下的數(shù)和圖形的概念，產(chǎn)生了計數(shù)法和各種數(shù)制下的算法，出現(xiàn)了測地術(shù)。此時尚未形成一般的數(shù)學(xué)理論，還談不上有什么重要的數(shù)學(xué)思想。但是一一對應(yīng)的計數(shù)法（對應(yīng)思想）和記數(shù)符號的使用有力地推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展。另外，直接的觀察和體念被作為最重要的認(rèn)識方法。 數(shù)學(xué)經(jīng)過漫長的萌芽時期，在古巴比倫、埃及和中國積累了大量的數(shù)學(xué)知識之后，匯成了兩股不同的數(shù)學(xué)源流，2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新26 形成了兩個各具特色、風(fēng)格各異的數(shù)學(xué)體系。一個是以巴 比倫和埃及數(shù)學(xué)為源頭的，在希臘匯合后又得到長足進(jìn)步 與發(fā)展的古希臘數(shù)學(xué)，另一個則是以解決問題為宗旨、以

20、 注重算法為特點的古代中國數(shù)學(xué)。 古希臘的數(shù)學(xué)融數(shù)學(xué)與哲學(xué)為一體，以哲學(xué)促進(jìn)數(shù)學(xué) 理論的建立，提出了一系列思辯性的數(shù)學(xué)觀點、理論和方 法。首先 ，古希臘人對數(shù)學(xué)的認(rèn)識有了根本性的變化。他 們認(rèn)為數(shù)學(xué)不僅可用來解決一些實際問題，更重要的是他 們試圖用數(shù)學(xué)來理解世界，把數(shù)學(xué)看作是理解宇宙的一把 鑰匙，是研究自然的一部分，其深刻的數(shù)學(xué)思想對后世影 響很大。其次，古希臘人用演繹證明方法研究幾何，使幾 何學(xué)成為一個演繹系統(tǒng)。歐幾里得的幾何原本和阿波 羅尼斯的圓錐曲線是演繹數(shù)學(xué)的代表著作。把邏輯證 明系統(tǒng)地引入數(shù)學(xué)，把數(shù)學(xué)奠基于邏輯之上，這是對數(shù)學(xué) 認(rèn)識的一個質(zhì)的飛躍。由此得來數(shù)學(xué)思想方法的更新 公里化的

21、思想和演繹推理進(jìn)入了數(shù)學(xué)。值得一提的是，古2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新27希臘雖然非常強調(diào)演繹推理，但數(shù)學(xué)思想發(fā)展的歷史表明，他們的數(shù)學(xué)創(chuàng)造也離不開觀察、實驗，離不開歸納、猜想和分析。 中國古代數(shù)學(xué)是以問題為中心的算法體系，九章算術(shù)的成書是其形成的標(biāo)志。2、近代的數(shù)學(xué)思想和方法、近代的數(shù)學(xué)思想和方法 1718世紀(jì)，歐洲的數(shù)學(xué)創(chuàng)造也進(jìn)入了一個嶄新的時期，這個時期，數(shù)學(xué)不僅產(chǎn)生了許多新的分支，而且產(chǎn)生了許多新的思想和方法，它突出表現(xiàn)在從演繹幾何到幾何代數(shù)化、從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)以及從必然數(shù)學(xué)到或然數(shù)學(xué)的幾個重大轉(zhuǎn)折上。3、現(xiàn)代的數(shù)學(xué)思想和方法、現(xiàn)代的數(shù)學(xué)思想和方法2021-10-9數(shù)

22、學(xué)思想方法及其教學(xué)最新28美國的基礎(chǔ)教育n馬力平（原華師大碩士）在馬力平（原華師大碩士）在數(shù)學(xué)的認(rèn)知和教學(xué)數(shù)學(xué)的認(rèn)知和教學(xué)例例舉了這樣一個例子：舉了這樣一個例子：n象象n考察考察2020個小學(xué)教師，個小學(xué)教師，62%62%的教師沒有答對（樣本雖小，的教師沒有答對（樣本雖小，但他們中但他們中1818個具有學(xué)士學(xué)位，個具有學(xué)士學(xué)位，6 6個具有碩士或博士學(xué)個具有碩士或博士學(xué)位）位）n美國小學(xué)（三至五年級）不教分?jǐn)?shù)美國小學(xué)（三至五年級）不教分?jǐn)?shù)n美國也在學(xué)習(xí)中國的基礎(chǔ)教育，因此，我們得尋找中美國也在學(xué)習(xí)中國的基礎(chǔ)教育，因此，我們得尋找中西方的最佳結(jié)合點西方的最佳結(jié)合點中間地帶中間地帶32153202

23、1-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新29一條船上有一條船上有7575頭牛和頭牛和3232頭羊，頭羊，問船長幾歲？問船長幾歲？ 這是學(xué)校把學(xué)生越教越笨的表現(xiàn)這是學(xué)校把學(xué)生越教越笨的表現(xiàn). .中國的中小學(xué)生有中國的中小學(xué)生有92.5% 92.5% 給出答案給出答案法國四年級小學(xué)生給答案的為法國四年級小學(xué)生給答案的為65%65%2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新30（荷蘭）甲離學(xué)校（荷蘭）甲離學(xué)校1010公里，乙離甲公里，乙離甲3 3公里，公里， 問乙離學(xué)校幾公里？問乙離學(xué)校幾公里？n訓(xùn)練學(xué)生的表示能力n甲、乙、學(xué)校在一條直線上？ 沒有說 校 乙 甲 乙 2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教

24、學(xué)最新31數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用舉例數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用舉例1 1、數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)模型方法、數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)模型方法數(shù)學(xué)從內(nèi)容到方法都顯示出極其高度的抽象性數(shù)學(xué)從內(nèi)容到方法都顯示出極其高度的抽象性(1).數(shù)學(xué)抽象方法11數(shù)學(xué)抽象的概念 數(shù)學(xué)抽象是抽象方法在數(shù)學(xué)中的具體運用，也就是利用抽象方法把大量生動的關(guān)于現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的直觀背景材料進(jìn)行去偽存真，由此及彼，由表及里的加工和制作，提煉數(shù)學(xué)概念，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)理論。2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新3212 數(shù)學(xué)抽象的特點(1)數(shù)學(xué)抽象的特殊內(nèi)容：數(shù)學(xué)只是量的科學(xué)。1，1頭牛，1只羊（2) 數(shù)學(xué)抽象的特殊高度：和一般的自然科學(xué)相比，數(shù)

25、學(xué)抽象的又一特點在于它所達(dá)到的高度，數(shù)學(xué)的抽象程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了自然科學(xué)中的一般抽象。首先，數(shù)學(xué)抽象往往是在其他學(xué)科抽象基礎(chǔ)上的再抽象。（例如，正比例函數(shù)是物理學(xué)中勻速直線運動和簡諧運動的再抽象。其次，數(shù)學(xué)抽象具有逐級抽象的特點。更為重要的是，數(shù)學(xué)抽象的特殊高度表現(xiàn)在數(shù)學(xué)中一些概念與真實世界的距離是如此遙遠(yuǎn)以致常常被看成“思維的自由想象物和創(chuàng)造物”，這即為數(shù)學(xué)中所謂的“理想元素”（如無窮遠(yuǎn)點）（3)數(shù)學(xué)抽象的特殊方法。數(shù)學(xué)抽象就是一種建構(gòu)的活動，數(shù)學(xué)的研究對象是通過邏輯建構(gòu)活動來得到構(gòu)造的。2.數(shù)學(xué)抽象的基本方法2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新3321 理想化抽象在純粹理想的狀態(tài)下，對事

26、物進(jìn)行簡單化與完善化的加工處理，撇開事物的具體內(nèi)容，排除次要的、偶然的因素，聚合事物的一般的本質(zhì)的屬性，抽象出相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的方法。22 強抽象與弱抽象 強抽象是指在已知概念中，加強對某一屬性的限制，抽象出作為原概念特例的新概念的方法，即通過擴大原概念的內(nèi)涵來建立新概念的抽象方法。例：從四邊形概念出發(fā)，從兩組對邊給予適當(dāng)限制，則得平行四邊形和梯形的概念。若從平行四邊形概念出發(fā)，再對邊或角分別適當(dāng)限制，有得到矩形、菱形及正方形的概念。弱抽象：指在已知概念中，減弱對某一屬性的限制，抽象出比原概念更為廣泛的新概念，使原概念成為新概念的特例的方法。即通過縮小原概念的內(nèi)涵來建立新概念的抽象方法。2021-

27、10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新34例：從全等三角形的概念出發(fā)，借助弱抽象就可獲得相似形與等積形的概念，它們分別保留了“形狀相同”及“面積相等”的特性。23 等置抽象從一類對象（具體的或抽象的個體）中抽象出其中的某種共同屬性的抽象方法。例：自然數(shù)的概念就是用等置抽象的思想建立起來的。每個自然數(shù)實際上都是一類等價集合的標(biāo)記，它反映這類集合中元素的數(shù)目是該類集合的類的標(biāo)記，它反映這類集合中元素的數(shù)目，是該類集合的類的特征。24 存在性抽象先用假設(shè)的方法肯定抽象出來的數(shù)學(xué)概念存在性，并由此發(fā)展出一定的數(shù)學(xué)理論，然后在理論和實踐中加以驗證，從而確認(rèn)新的數(shù)學(xué)理論的合理性。如：自然數(shù)“無限延伸”以及無理數(shù)

28、、負(fù)數(shù)、虛數(shù)都是由存在性抽象方法建立起來的。2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新35應(yīng)用舉例：應(yīng)用舉例：例17只杯放在桌子上，三只杯口朝上，四只杯口朝下，現(xiàn)要求每次同時翻轉(zhuǎn)其中四只使杯口朝向相反，問能否經(jīng)過有限次翻轉(zhuǎn)后，使所有杯子杯口均朝下？ 分析：+1表示杯口朝上，-1表示杯口朝下起始狀態(tài)：三個+1，四個-1（+1）（+1）（+1）（+1）（-1）（-1）（-1）終點狀態(tài)是七個-1，即 （-1）翻轉(zhuǎn)一只杯子使其朝向相反，不是+1也即在（+1）或（-1）上乘以（-1）?，F(xiàn)欲將四只杯子同時翻轉(zhuǎn)，可見每次“運算”（即翻轉(zhuǎn)杯子）的總結(jié)果是乘以（）原問題就抽象為如下問題：能否每次同時改變四個符號

29、使起始狀態(tài)變?yōu)榻K點狀態(tài)，顯然不可能。因為，起始狀態(tài)結(jié)果為，終點狀態(tài)為711, 1就是442021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新36例 男女若干人圍坐在一個圓桌，在相鄰兩人間插上一朵花；同性者中間插一朵紅花，異性者中間插一朵蘭花。若所插的紅花與蘭花一樣多，證明：男女人數(shù)總和是4的倍數(shù)。例 （1906年匈牙利）設(shè)a 為1，2，3， 的 某種排列，證明，若n為奇數(shù)，則積（ 為偶數(shù)。由上例可以編出下列習(xí)題例（1968年英國） 設(shè)a 為整數(shù)， 為它們的一個排列，證明：數(shù)（ 為偶數(shù)。naaa,.,321n).(2)(121naaan7321,.,aaa721.,bbb).()(772211bababa

30、2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新37例任選六個人在一起集合，試證其中要么至少有三個人彼此不認(rèn)識，要么至少有三個人互相認(rèn)識。（此問題常稱為六人集合問題，現(xiàn)用理想化抽象的方法處理）2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新38例例在哥尼斯堡七橋問題中，一筆畫問題就是七橋問題的數(shù)學(xué)模型。2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新39n例將1到100這一百個自然數(shù)寫在一起成為一個多位數(shù)：12345678910111213149899100n試從這個數(shù)中去掉一百個數(shù)字，而使剩下的數(shù)最大，問應(yīng)怎樣去法？最后剩下的數(shù)是什么數(shù)？2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新40n按照題意，應(yīng)使最后剩下的

31、這個數(shù)的前面幾位數(shù)字盡量地大。n（1）去掉12345678，共8個數(shù)字，使剩下的第一位數(shù)字為9；n（2）去掉第一個9后面的1011128，再去掉19的1，這樣共去掉19個數(shù)字，使剩下的第二位數(shù)字為9，再去掉第二個9后面的22627282共19個數(shù)字，使剩下的第三位數(shù)字位9，如此繼續(xù)下去至剩下第五個9時，算一算就知道去掉了84個數(shù)字。n（3）去掉第五個9后面的14個數(shù)字505，這樣一共去掉98個數(shù)字，再可去掉兩個數(shù)字，若去掉57，則剩下的第六位數(shù)字為5，不算大，因此只去掉一個數(shù)字5，使剩下的第六位數(shù)字為7。n（4）最后再去掉7后面的一個數(shù)字5，使剩下的第七位字為8。n由上面得到的剩下的最大數(shù)為：

32、n99999785960619899100。2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新41例:計算： .1505011022110111100199141312112021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新42提示： 分子= =分母=答案為2。1001614121210013121150131211100131211.1001531521511212021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新43整體化思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用整體把握法是指全面地、總體地考慮數(shù)學(xué)問題，注意分析問題的整體結(jié)構(gòu)，從整體角度思考，從宏觀上理解和認(rèn)識問題的實質(zhì)，以達(dá)到解決問題的目的。例1設(shè)都是非零實數(shù)，則行列式中至少有一項是

33、負(fù)數(shù)，有一項是正數(shù)。942861753843762951987654321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新441.挖掘問題的整體化特征挖掘問題的整體化特征例2在正方形內(nèi)部給出2000個點，現(xiàn)在用M來表示該正方形的個頂點和上述個點構(gòu)成的點集，并按下式規(guī)則把上述正方形紙片剪成一些三角形，使得：每個三角形三個頂點都是M中元素；除頂點之外，每個三角形不再含M中的元素，試問：共可剪出多少個三角形？如果三角形每邊剪一刀，共要剪幾刀？2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新45故共剪出4200個三角形。（）每個三角形共有三邊，故每個三角形共要

34、剪刀，4200個三角形共 邊。但原四邊形的四邊不必剪，并且注意到其余每邊都是兩個三角形的公共邊，故應(yīng)剪的刀數(shù)是(故共要剪去6100刀。 （圖1 正方形）34002.60012320012)4340022021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新46分析與思考：分析與思考：（）如果逐點或逐個三角形來考慮，那就太繁瑣了。由于三角形三內(nèi)角和為定值，而正方形每個頂點不管這樣剪總可以提供90，內(nèi)部的每個點可以提供360，因此可以從三角形內(nèi)角和總數(shù)方面作整體性考慮。如圖，中有兩類點：第一類為四邊形的頂點，即 等。第二類是四邊形內(nèi)部的那2000個點，如 等。研究以第一類點為頂點的所有三角形的相關(guān)角，如以D為公

35、共頂點的，它們的和為90。以第二類點中每個點為頂點的三角形的相關(guān)角的和為360，例如，以P為頂點的三角形有3個，其中，以P為公共頂點的個角之和為 ，故符合條件的所有三角形的內(nèi)角和為) 1 ()2(DCBA，QP，360654180400236020009042021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新472、從全局入手解決局部問題n本來是個局部的數(shù)學(xué)問題，為解決它，“升格”為全局問題，通過對全局問題的研究，導(dǎo)致原問題的解決。n例3 求包含在正整數(shù)與（）之間的分母為3的所有不同約分?jǐn)?shù)之和。mnnm 2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新48n思考與分析：思考與分析：這樣的所有分?jǐn)?shù)是它既非等差數(shù)

36、列，又非等比數(shù)列，當(dāng)然不好求和，但我們看到包含正整數(shù)與之間的可約分分?jǐn)?shù)為它的各項和容易求出為 。這兩類分?jǐn)?shù)統(tǒng)一在整體之中，而這整體分?jǐn)?shù)為等差數(shù)列，各項和為所以所求分?jǐn)?shù)之和為 313235343231nnmmmm，nnmm，11,2) 1)(1mnnmSnnnmmmmmm，31323534132312) 133)(2mnnmS2212mnSSS2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新49n3、從整體結(jié)構(gòu)考慮，抓住整體的不變性、從整體結(jié)構(gòu)考慮，抓住整體的不變性n在研究一個題目時，當(dāng)一些條件變化了，而另一些條件或者研究對象的整體保持不變，這些整體的不變性可以直接影響題目的結(jié)果，我們就要從整體上去發(fā)

37、現(xiàn)和抓住這些不變的因素。n例4 設(shè)名選手兩兩之間進(jìn)行一場比賽，沒有平局，第i名選手勝場，負(fù)，求證：n我們考慮比賽總場數(shù)這一整體。n因為每一場比賽，沒有平局，必有一人勝，一人負(fù)，所以，所有人所有勝場總和等于所有人所有負(fù)場總和，即n 。這是一個不變量。n 另外，對于每個選手都是比賽了場，因此有n （這又是一個不變量）。n利用這兩個不變量，本題很容易解決n于是)2(niwil2222122221nnlllwwwnnlllwww21211n1nlwii2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新50n利用這兩個不變量，本題很容易解決n于是n于是0)(1()() 1()()(11112121212niin

38、iiniiiniiiiiiniiniiniilwnlwnlwlwlwlw2222122221nnlllwww2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新514、從整體性質(zhì)出發(fā)對已知條件整、從整體性質(zhì)出發(fā)對已知條件整體運用體運用對已知條件要克服單抓一二項，而忽視其他，要從整體性質(zhì)出發(fā)對已知條件整體運用，挖掘已有條件的地位與作用，從而達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生整體思考能力。例已知 求的值。172523212222222222222wzyx174543414222222222222wzyx176563616222222222222wzyx178583818222222222222wzyx2222wzyx2021-1

39、0-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新52思考與分析：思考與分析：把四個方程變成一個整體，即以為根的關(guān)于的方程（）這是一個關(guān)于的分式方程，可以化為關(guān)于的四次方程 （）又因為為方程（2）的根，則整理得 （）比較方程（2）和（3）中的系數(shù)可得+84= 22228 ,6 ,4 ,2t1753122222222twtztytxtt0)84(4322322224atatatwzyxt22228 ,6 ,4 ,2, 0)8)(6)(4)(2(2222tttt0)8642(4322322224atatatt2222wzyx120864222222222wzyx3t2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新535利用

40、配對策略，把局部補成整體利用配對策略，把局部補成整體通過題目中的某個式子A的特點，配上一個A的對偶式B，使得A和B從整體上有些比較明顯的結(jié)果。2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新54例 已知均為正實數(shù)，且滿足n求證：不等式對正整數(shù)成立。 naaa,21121naaa211212132222121aaaaaaaaaaaannnnnn2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新556挖掘結(jié)論的整體性挖掘結(jié)論的整體性題目的結(jié)論整體性很強，而從局部并不容易去思考，這時，我們常常把結(jié)論的對象看做一個整體，并從整體上去研究結(jié)論的特征，從而獲得解題的方法。n例7 今有男女各2n人，圍成內(nèi)外兩圈跳邀請舞，

41、每圈各2n人，有男有女，跳舞規(guī)則如下：每當(dāng)音樂一起，如面對面是一男一女，則男的邀請女的跳舞，如果均是男的，或者均是女的，則鼓掌助興，曲終時，外圈的人均向前一步，如此繼續(xù)，試證：在整個跳舞過程中，至少有一次起舞的男女不小于n。2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新56n思考與分析：思考與分析：我們不能局限在哪一次起舞的過程，也沒有辦法去確定哪一次起舞的男女不小于對，只能對本題的結(jié)果整體思考。n我們設(shè)內(nèi)圈的人為 ， 外圈的人為 ，并設(shè)男的為+1，女的為1。n有了以上的賦值，可以使問題數(shù)學(xué)化。n考查n若 和 都是男的或者都是女的，依題設(shè)，則不起舞，此時有 nxxx221,nyyy221,iiyx

42、ixiy01iiyx2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新57 若 和 一是男的，一是女的，依題設(shè)，則起舞，此時有 。n考慮結(jié)論的整體，假定每次起舞都小于 n 對 ，即結(jié)論不成立，我們可尋求可能發(fā)生的矛盾。n 由于總對數(shù)為2n對，若每次起舞者都小于n對，則起舞者小于不起舞者，則有ixiy01iiyx000012212212222121123221222211nnnnnnnnnnyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyx2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新58n將以上2n個不等式相加得n（ （1）n下面針對（1）式，研究n設(shè)內(nèi)圈有k個男的，則有2n-k女的，此時外圈有2n-k 個

43、男的， k個女的。n于是n兩式相乘得n（ （2）n（1）與（2）發(fā)生矛盾。n于是，一定有一次起舞的男女不少于n對。0)(221221nnyyyxxxnnyyyxxx221221和nkknkxxxn22) 1()2() 1(221knkknyyyn22) 1() 1()2(2210)(4)(2221221knyyyxxxnn2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新59例:在一串分?jǐn)?shù)： （1）第幾個分?jǐn)?shù)？（2）第400個分?jǐn)?shù)是幾分之幾？;41,42,43,44,43,42,41;31,32,33,32,31;21,22,21;112021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新60解:1+3+5+7+

44、9+11+13+15+17+7=88 88+2（10-7）=941+3+5+所以第400個分?jǐn)?shù)為2012012012012014001202）（2012021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新61例在1到100的自然數(shù)集合中，任取51個數(shù)，其中必有兩個數(shù)，它們中的一個是另一個的倍數(shù)。構(gòu)造抽屜：設(shè)P為1到100之間的奇數(shù)，按P2（的形式可以將1到100的所有自然數(shù)分成符合要求的50類：2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新62由于從50類中任取51個數(shù)，至少有兩個數(shù)在同一類中。 9951249,4923 ,23 , 23 , 321 ,21 , 21 , 1502625522621AAAAA

45、2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新63化歸思想例 將1976 分拆成自然數(shù)之和，再將其相乘，試求（并證明）所有這種乘積中之最大值。2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新64特殊化方法與極端化方法特殊化方法與極端化方法例1 在等式 中的括號內(nèi)填上兩個不同的自然數(shù)。分析：小的一個數(shù)必須大于7而小于14，即只有8到13六種情況，若是8，必須 是一個分子為1的分?jǐn)?shù)。注意到 （1）便知8與56即為所求。同時易知只有一組解（8，56）推廣一、7能否換成別的自然數(shù)？注意到（1）式中等式右端的分子1是有8-7而得到，一般有： （2）此式是否只有 一組解？事實上，由 知，只有為素數(shù)時才是唯一。 ()

46、1()1718171817156187)78() 1(1111nnnn)1(, 1(nnn)(1)(11knknknnkknn2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新65n極端化就是通過對極端位置或狀態(tài)下問題特性的考察，以獲得有益啟示，從中引出一般位置或狀態(tài)下的性質(zhì)，從而獲得解決問題的思路。數(shù)學(xué)中的“極端”情況很多。例如，點是圓的半徑為零的極端情況，切線是割線的極端情況等。n 例2 兩人輪流在一張圓桌上擺放大小相同的硬幣，每次只能平放一個，不能重疊，在桌上放下最后一枚硬幣者為游戲的勝利者。試問是先放者取勝，還是后放者取勝？n分析與思考：分析與思考：先考慮極端情形。假設(shè)硬幣恰與圓桌一樣大小，則

47、先擺必勝。這是因為只要把硬幣擺在桌子中心即可。從極端情形中可以獲得啟示：先擺的人可以把第一枚硬幣占據(jù)桌子中心，由于桌面為中心對稱，以后不論對方把硬幣放至何處，先擺的人總可以把硬幣擺在與其成中心對稱的位置，故必先擺者取勝。n 對于一時難以入手的一般問題，一個使用最普遍而又較為簡單易行的化歸途徑，乃是把它向特殊的形式轉(zhuǎn)化，這就是特殊化法。2021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新66有趣的數(shù)學(xué)有趣的數(shù)學(xué)趣味數(shù)學(xué)的啟示角谷猜想：例：任取一個大于2的自然數(shù)反復(fù)進(jìn)行下述兩種運算：（1） 若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘以3再加上1（2） 若是偶數(shù)，則將該數(shù)除以2對3反復(fù)進(jìn)行這樣的運算：對4，5，6進(jìn)行運算其結(jié)果也是

48、1對7運用枚舉歸納法，建立了這樣一個猜想：從任意一個大于2的自然數(shù)出發(fā)，反復(fù)進(jìn)行（1）、（2）兩種運算，最后必定得到1。這個猜想后來被多次檢驗，發(fā)現(xiàn)對7000億以下的數(shù)都是正確的，但是否對大于2的一切自然數(shù)都是正確，至今還不得而知。124816510381651020401326521734112271242021-10-9數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)最新67數(shù)學(xué)中的黑洞美國賓夕法尼大學(xué)數(shù)學(xué)教授米歇爾.?？藢懥瞬簧佟皵?shù)學(xué)黑洞”的文章，其中最簡單的一個是123黑洞。在古希臘神話中，科林斯國王西西佛斯受到天譴，天神罰他把一塊巨石推倒一座山上，但無論他怎樣努力，這塊石頭總是在快要到達(dá)山頂之前不可避免地滾下來，于是他只能重新在推，就這樣沒完沒了，永無休止。在數(shù)學(xué)中，同樣的事情也可能發(fā)生。開始我們可以取任何一數(shù)字串，位數(shù)不限，例如948856371接著是數(shù)一數(shù)其中的偶數(shù)個數(shù)，奇數(shù)個數(shù)以及總數(shù)的數(shù)字個數(shù)，把它們寫成一個三數(shù)組。對上例來說，便是4，5，9，并略去其中的逗號，濃縮地記為459對上述三數(shù)組重復(fù)上述