(完整版)橢圓知識點總結(jié)

1、1橢圓知識點知識要點小結(jié)：知識點一：橢圓的定義平面內(nèi)一個動點P到兩個定點Fi、F2的距離之和等于常數(shù)(PR | PF2 | 2a IF1F2), ,這個動點P的軌跡叫橢圓這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距注意：若(|PFi |PF2F1F2)，則動點P的軌跡為線段F1F2；若(PFj PF2 |F1F2)，則動點P的軌跡無圖形知識點二：橢圓的標準方程2 2篤爲(wèi)1 (a b 0)，其中c2a2b2a b2篤1 (a b 0)，其中c2a2b2；注意：1 1.只b2有當(dāng)橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，2.2.在橢圓的兩種標準方程中，都有(a b 0)和c2a2

2、b2；3.3.橢圓的焦點總在長軸上. .當(dāng)焦點在x軸上時，橢圓的焦點坐標為(c,0),( c,0)；當(dāng)焦點在y軸上時，橢圓的焦點坐標為(0,c),(0, c)知識點三：橢圓的簡單幾何性質(zhì)2 2x y橢圓：rr 1 (a b 0)的簡單幾何性質(zhì)a b21(a b 0):說明：把x換成x、或把y換成 y y、或把x、b2 2務(wù)芯1是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，并a2b2且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。(2) 范圍：橢圓上所有的點都位于直線x a和yb所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標滿足x a,1 1 當(dāng)焦點在x軸上時，橢圓的標準方程:2 2.當(dāng)焦點在y軸上時

3、，橢圓的標準方程:2y_2a才能得到橢圓的標準方程;(1(1)對稱性：對于橢圓標準方程2x2ay同時換成xy y、原方程都不變，所以橢圓2|y I b。(3) 頂點：橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。x2y2橢圓 rr 1 (a b 0)與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為A( a,0),a b3A2（a,0）,Bi（O, b）,B2（0,b）線段A1A2,B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸, 圓的長半軸長和短半軸長。I AA2I 2a, ,I B1B2 | 2b。a和b分別叫做橢（4 4）離心率:越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于 0 0，c就越接近 0 0,從而b越接近于

4、a，這時橢圓就越接近于圓。當(dāng)2 2且僅當(dāng)a b時，c 0，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2y2a。注意：橢圓 篤篤1a b橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作e2c2a因為（a c0），所以e的取值范圍是（0 e1）。e越接近 1 1，則c就越接近a，從而a2的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：（1 1）|PF2PM2（PFiI |PF22a）；PF1PM1（PMiPM2IMlMy-XKiKi州炳0（2 2）（ BF1BFJ a）；（3）AFJ|甘2（OFiOF2c）；A?Fa c；a c41性質(zhì)1焦占八、八、F, c,0),F2(C,0)F1(0, c),F2(0,

5、C)焦距F1F22c| F1F2 |2c范圍Xa，1yb| x b,y a對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱頂點(a,0),(0, b)(0, a),( b,0)軸長長軸長= =2a，短軸長= =2b離心率ec(0 e 1) a準線方程2aX Xc2a y c焦半徑PF1a ex0,PF2IaPF1I a eyg,PF2a ey22 22Xyyx注意：橢圓亍1,221 (a b 0)的相同點：形狀、大小都相同；參數(shù)間的關(guān)系都有ababC222(a b 0)和e (0 e 1)，a b c；不同點：兩種橢圓的位置不同； 它們的焦點坐標也不相同。a規(guī)律方法：1 1 如何確定橢圓的標準方程？任何橢圓都有

6、一個對稱中心，兩條對稱軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸， 橢圓的方程才是標準方程形式。此時，橢圓焦點在坐標軸上。確定一個橢圓的標準方程需要三個條件：兩個定形條件a,b；一個定位條件焦點坐標，由焦點坐標的形式確定標準方程的類型。2 2 橢圓標準方程中的三個量a, b,c的幾何意義橢圓標準方程中，a,b,c三個量的大小與坐標系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：(a且(a2b2c2)?？山柚覉D理解記憶：顯然：a,b, c恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a a 是斜邊，b b、c c 為兩條直角邊。

7、3 3如何由橢圓標準方程判斷焦點位置橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標5準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2,y2的分母的大小,CCC方程表示橢圓。當(dāng)時，橢圓的焦點在x軸上；當(dāng)一A BA5 5求橢圓標準方程的常用方法：待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標準方程，再由條件確定方程中的參數(shù)a,b,c的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6 6 共焦點的橢圓標準方程形式上的差異2 1(mb2)，此類問題常用待定系數(shù)法求解。b mPF1PF2之間的關(guān)系9 9如何計算橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系?用a、b

8、表示為e J1()?(0 e 1)。哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。程Ax2By2C(A,B,C 均不為零)是表示橢圓的條件2方程Ax2By2C可化為A-CBy2C弘1,所以只有 A A、B B C C 同號，且 A ACB B 時,B時，橢圓的焦點在y軸上。2則 c c 相同。與橢圓篤a2b1 (a b 0)共焦點的橢圓方程可2x2a7 7.8 8.判斷曲線關(guān)于x軸、若把曲線方程中的若把曲線方程中的y換成若把曲線方程中的 如何求解與焦點三角形厶 思路分析：與焦點三角形y軸、x換成原點對稱的依據(jù)：x，方程不變，則曲線關(guān)于y軸對稱；三角形面積公式SPFFy同時換成x、y，方程不變，則曲線關(guān)于原

9、點對稱。PFPF1F F2( P P 為橢圓上的點)有關(guān)的計算問題？PFPF1F F2有關(guān)的計算問題時，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理12(或勾股定理)、PFiPF2sin F1PF2相結(jié)合的方法進行計算解題。將有關(guān)線段PFi、PF?、，有關(guān)角F1PF2( (F1PF2F1BF2) )結(jié)合起來,建立PF1PF2、長軸與短軸的長短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率c2e(0 e 1)，因為caa2b2,a c 0,6* a顯然：當(dāng)-越小時，e(0 e 1)越大，橢圓形狀越扁；當(dāng)-越大，e(0 e 1)越小，橢圓形狀越趨近aa于圓。(一)叫；橢圓及其性質(zhì) 1 1、橢圓的定義7(1)平面內(nèi)與兩個定點 F

10、 Fi, F F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F|FiF F2| | )的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫 橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。(2)一動點到定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個(0,1)內(nèi)常數(shù)e，那么這個點的軌跡叫做橢圓.其中定點叫做焦點，定直線叫做準線，常數(shù)e就是離心率.2 2、橢圓的標準方程(二)橢圓的焦半徑橢圓的焦半徑公式:焦點在 y y 軸上的橢圓的焦半徑公式:(三八上一直線與橢圓問題(韋達定理的運用)1 1、弦長公式：若直線l : y kx b與圓錐曲線相交與A、B兩點，A ( x1, y1), B( x2, y2)則弦長AB(X1X2)2(y1y2)2,

11、(xX2)2(kx1kx?)21k2為x?1 k2. (x1x2)24x1x2例 1.1.已知橢圓 I I : : 及直線 y y = x x + m m ( 1 1)當(dāng)直線和橢圓有公共點時，求實數(shù) m m 的取值范圍; (2 2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線的方程。2 2x y2 2、已知弦AB的中點，研究AB的斜率和方程AB是橢圓二+2= 1(1(a b0)0)的一條弦，中點M坐標為( (xo,yo) ),a b3 3、橢圓的參數(shù)44=1(abo)b3acosbsi n(為參數(shù))4 4、離心率：橢圓焦距與長軸長之比” eCa橢圓的準線方程(b)2一0a左準線l1: x右準線丨2：(左焦半

12、徑)r1a ex0(右焦半徑)a a exo其中e是離心率MFj aMF2| aeyo(其中F1,F2分別是橢圓的下上焦點)eyo8則AB的斜率為一b2xo2a yo. .運用點差法求AB的斜率，設(shè)A( (X1,y1) ),B(X2,y2) .A、B都在橢圓上,2 2X1y172 + T2 =1,a b2 2X2y2孑 +b2=1,兩式相減得92 22 2:已知橢圓 匚1和直線 l:x-y+9=0l:x-y+9=0 ，在 I I 上取一點 M M，經(jīng)過點 M M 且以橢圓的焦12 3點F1,F2為焦點作橢圓，求M M 在何處時所作橢圓的長軸最短，并求此橢圓方程。3 3:過橢圓2x2y22的焦點

13、的直線交橢圓 A,BA,B 兩點，求AOB面積的最大值。2 2X1X22+a=0 0,X1X2xi+X2y1y2byi+y22=0 0,例、過橢圓yy2Xi.2bxi+X2a2yi+y2b2xooyb2xoKAB=2. .a yo(四)、2x252y162x162仝1內(nèi)一點M(2,1)引一條弦，使弦被M點平分，求這條弦所在直線的方程。47 四種題型與三種方法四種題型 1 1:已知橢圓 C C :1內(nèi)有一點 A A (2 2, 1 1), F F 是橢圓 C C 的左焦點，P P 為橢圓 C C 上的動點，求丨 PAPA |+ +5| PFPF |的最小值322 2:已知橢圓25最大值與最小值。

14、2y161內(nèi)有一點A( 2 2, 1 1),F為橢圓的左焦點，P是橢圓上動點，求|PA|+ + |PF| | 的23 3 :已知橢圓2532y161外一點A(5 5, 6 6),l為橢圓的左準線，P為橢圓上動點，點P到I的距離為d,求| |PA+ +d的最小值。52b24 4:定長為d( (d) )的線段 ABAB 的兩個端點分別在橢圓a到橢圓右準線的最短距離。2x2a2爲(wèi)1(a b 0)上移動，求 ABAB 的中點 M Mb22三種方法 1 1：橢圓篤a2占1的切線與兩坐標軸分別交于A,BA,B 兩點，求三角形 OABOAB 的最小面積101課后同步練習(xí)邊上，則 ABCABC 的周長是X1.

15、1.橢圓y1的焦點坐標是，離心率是，準線方程是251692 2. .已知 F F1、F F2是橢圓2X2y_y_1的兩個焦點，過 F F1的直線與橢圓交于MNMN 兩點，則厶 MNFMNF 的周長為169B B.1616C C.2525D D. 32323 3. .橢圓2X2y1上一點P到一個焦點的距離為5 5,則P到另一個焦點的距離為()259A.5A.5B.6B.6C.4C.4D.10D.104 4. .已知橢圓方程為2X2y1, ,那么它的焦距是()2011A.6A.6B.3B.3C.3C.3,31D.D.3122( ()A)A .8.85.5.如果方程x2A.A.(0 0,+ +8)k

16、y2B.(0,2B.(0,2) )2表示焦點在C.(1,+C.(1,+y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是8) )D.(0,1)D.(0,1)6 6設(shè)F1,F2為定點，| | A.A.橢圓 B.B.27.7.已知方程X+ +m 1F1F2F6，動點直線2=1=1 ,2 mC.C.表示焦點在8.8.已知橢圓的兩個焦點坐標是FiM滿足MF,|MF2| 6，則動點M的軌跡是(圓 D.D.y y 軸上的橢圓，則線段m m 的取值范圍為(-2(-2， 0 0)，F(xiàn)2(2 2，0 0)，53并且經(jīng)過點P( -，一)，則橢圓標準方程是2 22X610.10.過點P(J3, -2-2 ),Q(-2(-2 乜3

17、, 1 1 )兩點的橢圓標準方程是2 2 .11.11.若橢圓-J 1的離心率是1,則 k k 的值等于. .k 892-X X2212.12. 已知 ABCABC 的頂點 B B、C C 在橢圓+ y y2= 1 1 上，9.9.過點A( -1-1，-2-2 )且與橢圓1的兩個焦點相同的橢圓標準方程是頂點 A A 是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BCBC11成等差數(shù)列”是“X1X28”的(B)(B)必要不充分條件13.F13.Fi、F F2分別為橢圓2 2a2+b2= =1的左、右焦點，點P P 在橢圓上， POFPOF 是面積為.3的正三角形，貝 U U b b2的值214.14.設(shè) M M 是橢圓25F Fi、 F F2為焦點,F1MF2，貝VSMF1F2615.15.在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為焦點到相應(yīng)準線的距離為 1 1,則該橢圓的離心率為(A)(A)2(B)(B)-22(C)(C)(D)(D)A(X1,ydB(4,9),C(X2, y?)16.16.設(shè)5X2是右焦點為的橢圓25必19上三個不同的點,則 “AF , BF , CF(A(A)充要條件122 2二乞117.17.如圖，把橢圓25 16的長軸AB分成8等份，過每個分點作x軸的垂線