第三章變量之間的關(guān)系

1、第三章 變量之間的關(guān)系3.1 用表格表示的變量間關(guān)系一、常量與變量在某個(gè)變化過程中，數(shù)值始終不變的量叫做常量，可以取不同數(shù)值的量叫做變量。例1：在公式s=50t中，常量是 ，變量是 。二、自變量、因變量、表格法1定義：.如果一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化，那么把這個(gè)量叫做因變量，另一個(gè)量叫做自變量。2.（1）自變量是在一定范圍內(nèi)主動(dòng)發(fā)生變化的變量。（2）因變量是隨著自變量的變化而變化。3.表格法：利用表格，可以表示因變量隨自變量的變化而變化的情況。一般地，表格第一行表示自變量，第二行表示因變量。4.優(yōu)缺點(diǎn)：表格法一目了然，使用方便，但列出的數(shù)值有限，不容易看出自變量和因變量的變化規(guī)律。例2：你

2、以每小時(shí)8千米的速度勻速行走時(shí)，你所走的路程s（千米）隨著時(shí)間t（小時(shí)）的增大而增大，常量是 ，變量是 ，自變量是 ，因變量是 。練習(xí)1：圓柱的高h(yuǎn)為10cm，當(dāng)圓柱的地面半徑r由小變大變化時(shí)，圓柱的體積V也發(fā)生了變化，在這個(gè)變化過程中，自變量是 ，因變量是 。三、題型解析題型一：路程、速度、時(shí)間相關(guān)的問題例3：一輛小汽車在高速公路上從靜止到啟動(dòng)10秒后的速度經(jīng)測(cè)量如下表：時(shí)間（秒）012345678910速度（米/秒）00.31.32.84.97.611.014.118.424.228.9（1）上表反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？（2）如果用t表示時(shí)間，v表示速度，那

3、么隨著t的變化，v的變化趨勢(shì)是什么？（3）當(dāng)t每增加一秒時(shí)，v的變化情況相同嗎？在哪一秒鐘內(nèi)，v的增加最大？（4）若高速公路上小汽車行駛的速度的上限為120千米/時(shí)，試估計(jì)大約還需幾秒這輛小汽車速度將達(dá)到這個(gè)上限？練習(xí)2：小明和他爸爸做了一個(gè)試驗(yàn)：小明從一幢245m高的樓頂隨手扔下一個(gè)蘋果，由他爸爸測(cè)量有關(guān)數(shù)據(jù)，得到蘋果下落的路程和下落的時(shí)間有下列關(guān)系：下落時(shí)間t/s123456下落路程s/m5204580125180（1）隨著時(shí)間的增加，每秒下落的路程趨勢(shì)如何？（2）隨著時(shí)間的增加，蘋果下落的速度趨勢(shì)是什么？（3）請(qǐng)推測(cè)，7秒后蘋果是否會(huì)落地？練習(xí)3：聲音在空氣中傳播的速度y（米/秒）（簡稱

4、音速）與氣溫x（）之間的關(guān)系如下：氣溫x（）05101520音速y（米/秒）331334337340343（1）上表反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？（2）隨著氣溫的升高，音速的變化趨勢(shì)是？（3）在氣溫為15的一天召開運(yùn)動(dòng)會(huì)，某人看到發(fā)令槍的煙0.2秒后，聽到了槍聲，則由此可知，這個(gè)人距發(fā)令地點(diǎn)多少米？練習(xí)4：從高處讓一顆石子由靜止開始落下，它落下的高度與時(shí)間有下列關(guān)系：時(shí)間t/s12345下落的高度h/m5204580125推測(cè)一下用t表示h的公式，利用你的公式計(jì)算從靜止開始，經(jīng)過2.5秒，石子落下多少米？題型二：彈簧問題例4：在一次實(shí)驗(yàn)中，小強(qiáng)把一根彈簧的上端固定，在

5、其下端懸掛物品，下面測(cè)得的是彈簧的長度y與所掛的物體的質(zhì)量x 的一組對(duì)應(yīng)值：所掛的物體的質(zhì)量x012345彈簧的長度y202224262830（1）上表反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？（2）當(dāng)所掛重物為4kg時(shí)，彈簧多長？不掛重物呢？（3）若所掛重物為6kg時(shí)，（在彈簧的允許范圍內(nèi)），你能說出此時(shí)彈簧的長度嗎？ 練習(xí)5：一名同學(xué)用彈簧做實(shí)驗(yàn)，在彈簧上掛不同質(zhì)量的物體時(shí)，彈簧的長度就會(huì)發(fā)生變化，但所掛物體質(zhì)量不能超過1000g，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：物體質(zhì)量/g100200300400彈簧長度/cm11121314（1）你能指出在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中什么是自變量，什么是因變量嗎？（2）你能

6、預(yù)測(cè)所掛物體的質(zhì)量為800g時(shí)，彈簧的長度是多少嗎？彈簧的長度為15cm時(shí)，所掛物品的質(zhì)量是多少？（3）不掛物體時(shí)，彈簧的長度是多少？在彈性范圍內(nèi)彈簧的最大長度是多少？題型三：分段計(jì)費(fèi)問題例5：上網(wǎng)費(fèi)包括網(wǎng)絡(luò)使用費(fèi)（每月38元）和上網(wǎng)通信費(fèi)（每小時(shí)2元）。某電信局對(duì)撥號(hào)上網(wǎng)的用戶分時(shí)段優(yōu)惠，具體政策如下表（包括最大值，不包括最小值）：每月上網(wǎng)的時(shí)間優(yōu)惠標(biāo)準(zhǔn)030小時(shí)無優(yōu)惠3050小時(shí)通信費(fèi)優(yōu)惠30%50100小時(shí)通信費(fèi)優(yōu)惠40%100小時(shí)以上通信費(fèi)優(yōu)惠60%例如：某戶某月上網(wǎng)總時(shí)間為42小時(shí)，則他應(yīng)該繳納的上網(wǎng)費(fèi)為：38+2×30+（42-30）×（1-30%）×

7、2=114.8元。你能根據(jù)上面提供的例子完成下表嗎？每月上網(wǎng)總時(shí)間應(yīng)繳上網(wǎng)費(fèi)20小時(shí)40小時(shí)60小時(shí)120小時(shí)練習(xí)6：某城市自來水收費(fèi)實(shí)行階梯水價(jià)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下。某用戶5月份交水費(fèi)45元，則所用水為 噸。月用水量不超過12噸的部分超過12噸不超過18噸的部分超過18噸的部分收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)（元/噸）2.002.503.003.2 用關(guān)系式表示的變量間關(guān)系一、關(guān)系式法1.兩個(gè)變量之間的關(guān)系有時(shí)可以用，一個(gè)含有兩個(gè)變量及數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)的等式來表示，這種表示變量之間關(guān)系的方法叫關(guān)系式法。2.優(yōu)缺點(diǎn)：關(guān)系式法簡單明了，能準(zhǔn)確反應(yīng)整個(gè)變化過程中因變量與自變量之間的相互關(guān)系，但是求對(duì)應(yīng)值時(shí)，要經(jīng)過比較復(fù)雜的計(jì)算，而

8、且在實(shí)際問題中，有的變量之間的關(guān)系不一定能用關(guān)系式表示出來。3.確定關(guān)系式的步驟：先找出題目中關(guān)于自變量與因變量的相等關(guān)系，再用含自變量的代數(shù)式來表示因變量。4.知自變量求因變量，實(shí)質(zhì)是代數(shù)式求值； 知因變量求自變量，實(shí)質(zhì)是解方程。二、題型解析題型一：關(guān)于圖形的問題利用周長、面積或體積公式來列關(guān)系式例1：一個(gè)梯形，梯形的上底是x，下底的長是10，高是6。（1）梯形的面積y與上底長x之間的關(guān)系式是什么？（2）用表格表示上底x從1變到9時(shí)（每次增加1），面積y的值。（3）當(dāng)x每增加1，y如何變化？（4）當(dāng)x=0和x=10時(shí)，y等于多少？此時(shí)y表示什么？練習(xí)1：圓柱的高是5cm，當(dāng)圓柱的底面半徑由小

9、變大時(shí)，圓柱的體積也隨之發(fā)生變化。（1）在這個(gè)變化過程中，自變量、因變量各是什么？（2）已知圓柱底面半徑為r（cm），體積為V（cm3），則V與r之間有什么關(guān)系？（3）當(dāng)?shù)酌姘霃綖?cm時(shí)，圓柱的體積是多少？（4）當(dāng)圓柱的體積為500cm3時(shí)，底面半徑是多少？（5）圓柱體的體積隨底面半徑的增大如何變化？練習(xí)2：若長方形的周長為24厘米，其中一邊為x（x0），面積為y平方厘米，則這樣的長方形中y與x的關(guān)系式為 。練習(xí)3：如圖3.2-1，在直角三角形ABC中，BC=6，AC=8，點(diǎn)D在線段AC上從點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)。若設(shè)CD=x，ABD的面積為y.（1）請(qǐng)寫出y與x的關(guān)系式；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，y有最

10、大值，最大值是多少？此時(shí)點(diǎn)D在什么位置？DA（3）當(dāng)ABD的面積是ABC的面積的,點(diǎn)D在什么位置？CB圖3.2-1題型二：不同的計(jì)費(fèi)方案之間的比較例2：某移動(dòng)通信公司開設(shè)了兩種通信業(yè)務(wù)，“全球通”：使用時(shí)首先繳50元月租費(fèi)，然后每通話1分鐘，付話費(fèi)0.4元；“動(dòng)感地帶”：不繳月租費(fèi)，每通話1分鐘，付話費(fèi)0.6元（本題的通話均指市內(nèi)通話）。若一個(gè)月通話x分鐘，兩種方式的費(fèi)用分別為y1和y2元。（1）寫出y1、y2與x之間的關(guān)系式；（2）一個(gè)月內(nèi)通話多少分鐘，兩種移動(dòng)通訊費(fèi)相同？（3）某人估計(jì)一個(gè)月內(nèi)通話300分鐘，應(yīng)選擇哪種移動(dòng)通信合算些？練習(xí)4：某文具店出售書包和文具盒，書包每個(gè)定價(jià)30元，文

11、具盒每個(gè)定價(jià)5元。該商店制定了兩種優(yōu)惠方案：買一個(gè)書包贈(zèng)送一個(gè)文具盒；按總價(jià)的9折付款。某班學(xué)生需要購買8個(gè)書包，文具盒若干（不少于8個(gè)）。如果設(shè)文具盒數(shù)為x（個(gè)），付款數(shù)為y（元）。（1）分別求出兩種優(yōu)惠方案中y與x之間的關(guān)系式；（2）購買文具盒多少個(gè)時(shí)，兩種方案付款相同？購買文具盒大于8個(gè)時(shí)，兩種方案中哪一種更省錢？題型三：利用表格列關(guān)系式例3：某市規(guī)定用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月的用水不超過6立方米，水費(fèi)按每立方米a元收費(fèi)；超過6立方米，不超過的部分仍按a元收費(fèi)，超過的部分每立方米按b元收費(fèi)。該市某用戶今年3,4月份的用水量和水費(fèi)如下表所示：月份用水量/立方米水費(fèi)/元357.54927（1

12、）求a，b的值，并寫出不超過6立方米和超過6立方米時(shí)，水費(fèi)與用水量之間的關(guān)系式；（2）若該用戶5月份的用水量為8立方米，求該用戶5月份的水費(fèi)。3.3 用圖像表示的變量間關(guān)系一、圖像法1.用圖像來表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系的方法叫做圖像法。2.通常用水平方向的數(shù)軸（稱為橫軸）上的點(diǎn)表示自變量，用豎直方向的數(shù)軸（稱為縱軸）上的點(diǎn)表示因變量，用坐標(biāo)來表示每對(duì)自變量和因變量的對(duì)應(yīng)值所在位置。3.優(yōu)缺點(diǎn)：圖像法的特點(diǎn)是形象、直觀，可以形象地反映出變量之間關(guān)系的變化趨勢(shì)和某些性質(zhì)，是研究變量性質(zhì)的好工具，其不足是由圖像法往往難以得到準(zhǔn)確的對(duì)應(yīng)值。二、路程、速度與時(shí)間關(guān)系的圖像規(guī)律總結(jié)速度速度速度速度時(shí)間時(shí)間時(shí)

13、間時(shí)間加速減速勻速停止路程/s速度/V時(shí)間/tbbacdac00時(shí)間/t圖3.3-1圖3.3-21.如圖3.3-1，（1）a代表物體從 開始 運(yùn)動(dòng)；（2）b代表物體 運(yùn)動(dòng)；（3）c代表物體 運(yùn)動(dòng)；（4）a代表的速度 代表的速度（填、）2.如圖3.3-2，（1）a代表物體 運(yùn)動(dòng)；（2）b代表物體 ；（3）c代表物體 運(yùn)動(dòng)直至回到原地。3.在s-t圖像中，線段的傾斜程度表示速度的快慢，越陡速度越快，越平緩速度越慢。三、題型解析題型一：關(guān)于路程、速度與時(shí)間的圖像例1：如圖3.3-3，根據(jù)汽車行駛情況的圖象回答下列問題：（1）圖中反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？（2）A、B、C三點(diǎn)分別代表了什么？（3）汽

14、車在哪些時(shí)間段內(nèi)保持勻速行駛？時(shí)速分別是多少？（4）汽車行駛了多長時(shí)間？它的最大速度是多少？（5）用自己的語言大致描述這輛汽車的行駛情況。206040322824201612840 速度/（km/h）時(shí)間/min圖3.3-3練習(xí)1：玲玲騎車上學(xué)，加速行駛一段時(shí)間后，勻速前進(jìn)，快到十字路口時(shí)看到前面是紅燈，于是減速停下來，綠燈亮后，她又加速行駛一段時(shí)間，快到學(xué)校時(shí)，減速行駛進(jìn)入校園停了下來，下列選項(xiàng)中可以近似地刻畫玲玲騎車的速度隨著時(shí)間變化的情況是（ ）tt000vvvtttt0vABCDts0tsDCBss練習(xí)2：小張騎車沿直線旅行，先前進(jìn)了1000米，休息了一段時(shí)間，又原路返回800米，再前

15、進(jìn)1200米，則他離起點(diǎn)的距離s與時(shí)間t的關(guān)系示意圖是（ ）000A練習(xí)3：小強(qiáng)騎自行車上學(xué)，開始以一定速度勻速行駛，但行至途中自行車出現(xiàn)故障，只好停下來修車，車修好后，因怕耽誤上學(xué)，他加快騎車速度，并勻速行駛，下面是行駛路程s（m）關(guān)于時(shí)間t（min）的 圖象，那么符合小強(qiáng)行駛情況的圖象大致是（ ）xy0ts0ts0ts0ts0BCBDCBAAA練習(xí)4：萬州某運(yùn)輸公司的一艘輪船在長江上航行，往返于萬州、朝天門兩地，假設(shè)輪船在靜水中的速度不變，長江的水流速度不變，該輪船從萬州出發(fā)，逆水航行到朝天門，停留一段時(shí)間（卸貨、裝貨、加燃料等），又順?biāo)叫蟹祷厝f州，若該輪船從萬州出發(fā)后所用的時(shí)間為x（h

16、），輪船距萬州的距離為y（km），則下列各圖中，能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的大致圖像是（ ）xy0xy0xy0DD練習(xí)5：一人騎自行車從家里出發(fā)，先加速行駛一段路程后，又勻速騎了一段路程，途中遇一熟人，減速后停下來，講了一陣話，后又加速行駛一段路程后勻速行駛，接著又減速行駛到目的地。下列圖象中能正確表示這段情形的是（ ）速度速度速度速度00C時(shí)間時(shí)間時(shí)間00時(shí)間練習(xí)6：一輛公共汽車從車站開出，加速行駛一段后開始勻速行駛，過了一段時(shí)間，汽車到達(dá)下一個(gè)車站。乘客上、下車后汽車開始加速，一段時(shí)間后又開始勻速行駛，請(qǐng)用圖象大致地表示汽車在這段時(shí)間內(nèi)的速度變化情況。題型二：關(guān)于容器注水，水面高度隨時(shí)間變化

17、的圖象例2：均勻的向一個(gè)容器注水，最后把容器注滿，在注水過程中，水面高度h隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖3.3-4所示，則這個(gè)容器的形狀為（ ）練習(xí)7：如圖，向放在水槽底部的燒杯注水（流量一定），注滿燒杯后，繼續(xù)注水，直至注滿水槽，水槽中水面上升高度h與注水時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系，大致是（）ABC D.題型三：生活中問題的圖象應(yīng)用表示例3：麗麗放學(xué)回家進(jìn)門后覺得口渴，可家里沒有涼開水，于是她用水壺接了水，放在爐子上燒開，燒開后又倒入水杯中晾涼后才喝，下列圖象中，可以近似地刻畫出水的溫度隨時(shí)間的變化而變化的是（）ABCD練習(xí)8：新成藥業(yè)集團(tuán)研究開發(fā)了一種新藥，在實(shí)驗(yàn)藥效時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果兒童按規(guī)定劑量服用，那么2小時(shí)的時(shí)候血液中含藥量最高，接著逐步衰減，每毫升血液中含藥量y（微克）隨時(shí)間x（小時(shí)）的變化如圖所示當(dāng)兒童按規(guī)定劑量服藥后：（1）何時(shí)血液中含藥量最高？是多少微克？（2）A點(diǎn)表示什么意義？（3）每毫升血液中含藥量為2微克以上時(shí)在治療疾病時(shí)是有效的，那么這個(gè)有效期是多長？（4）你建議該兒童首次服藥后幾小時(shí)再服藥？為什么？題型四：關(guān)系式與圖象的綜合應(yīng)用例4：爺爺帶了若干千克自產(chǎn)的土豆進(jìn)城出售，為了方便，他帶了一些零錢備用，按市場(chǎng)價(jià)出售一些后，又降價(jià)出售，售出土豆的千克數(shù)x與他手中持有的錢數(shù)y（含備用零錢）