隨機(jī)粗糙面建模

1、第一章 隨機(jī)粗糙面建模1.1 隨機(jī)粗糙面相關(guān)基本知識(shí)實(shí)際的自然背景，如地面、海面、雪地和沙漠以及各類(lèi)人造表面等，均可以看成是二維隨機(jī)粗糙面模型。對(duì)于一個(gè)給定的二維隨機(jī)粗糙面，對(duì)光波來(lái)說(shuō)可能呈現(xiàn)很粗糙，而對(duì)微波來(lái)說(shuō)卻可能呈現(xiàn)的很光滑，這主要是因?yàn)殡S機(jī)粗糙面的粗糙度是以波長(zhǎng)為度量單位的統(tǒng)計(jì)參數(shù)來(lái)表征的。描述隨機(jī)粗糙面的統(tǒng)計(jì)量除功率譜密度外，還有高度起伏的概率密度函數(shù)和均方根高度，相關(guān)函數(shù)和相關(guān)長(zhǎng)度，結(jié)構(gòu)函數(shù)，特征函數(shù)，均方斜度與曲率半徑等。而在各種實(shí)際隨機(jī)粗糙面模型中，有一類(lèi)二維粗糙表面模型只沿著正交坐標(biāo)系中的一個(gè)方向發(fā)生變化，而在另一個(gè)方向幾乎不發(fā)生變化。為了便于研究，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者將這類(lèi)實(shí)際粗糙

2、表面簡(jiǎn)化成一維粗糙表面模型1-3。盡管一維粗糙表面是最簡(jiǎn)單的粗糙表面模型，但是研究一維粗糙表面模型的電磁散射特性仍然具有重要的實(shí)際意義和廣泛的應(yīng)用價(jià)值。本節(jié)通過(guò)介紹一維隨機(jī)粗糙面的各個(gè)相關(guān)統(tǒng)計(jì)概念來(lái)對(duì)隨機(jī)粗糙面的特性進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明。1. 高度起伏概率密度函數(shù)以一維情況為例，設(shè)隨機(jī)粗糙面的高度起伏為，如圖1.1所示。它的概率密度函數(shù)反映了高度起伏的分布情況，用表示，則為相對(duì)于平均平面高度為的概率。獲得了高度分布的概率密度函數(shù)，就可以求出粗糙面的其它一些統(tǒng)計(jì)參量，如高度起伏的均值、高度起伏的均方根等。圖1.1 一維粗糙面示意圖高度起伏的均值定義為 (1.1)表示沿整個(gè)粗糙面求平均，通常我們都選取適當(dāng)

3、的參考面(一般取平面)，使得相對(duì)于此參考面的高度的均值為零，這會(huì)給計(jì)算帶來(lái)很大的方便。2. 高度起伏均方根粗糙面的高度起伏均方根是反映粗糙面粗糙程度的一個(gè)基本量，它的最原始定義為 (1.2)通?？梢酝ㄟ^(guò)數(shù)值計(jì)算得到：以適當(dāng)間隔對(duì)粗糙面進(jìn)行離散，設(shè)采樣點(diǎn)數(shù)為，取樣間隔為，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，一般選擇為(為入射波波長(zhǎng))，然后對(duì)離散值進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，計(jì)算公式為 (1.3)3. 相關(guān)函數(shù)對(duì)于特定分布的粗糙表面，單一的均方根并不能唯一描述粗糙面的特性，相關(guān)函數(shù)表明隨機(jī)表面上任意兩點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)程度，定義自相關(guān)函數(shù)為 (1.4)上式中當(dāng)，。進(jìn)一步定義歸一化自相關(guān)函數(shù)，即相關(guān)系數(shù)為 (1.5)這里，是表面的高度起伏均方差。

4、一般隨機(jī)粗糙面上的兩點(diǎn)距離增大，自相關(guān)函數(shù)減小。相關(guān)函數(shù)的形狀取決于表面的類(lèi)型，減小的快慢取決于表面兩點(diǎn)不相關(guān)的距離。高斯分布的相關(guān)函數(shù) (1.6)其中為相關(guān)長(zhǎng)度。指數(shù)分布相關(guān)函數(shù)可以定義為 (1.7)相關(guān)系數(shù)在時(shí)具有最大值1，隨著的增大，逐漸減小，當(dāng)時(shí)，。我們把降至?xí)r的值稱(chēng)為表面相關(guān)長(zhǎng)度，記為，即。表面相關(guān)長(zhǎng)度是描述隨機(jī)粗糙面各統(tǒng)計(jì)參量中的一個(gè)最基本量，它提供了估計(jì)表面上兩點(diǎn)相互獨(dú)立的一種基準(zhǔn)，即如果表面上兩點(diǎn)在水平距離上相隔距離大于，那么該兩點(diǎn)的高度值從統(tǒng)計(jì)意義上說(shuō)是近似獨(dú)立的。在極限情況下，即當(dāng)表面為光滑表面(鏡面)時(shí)，面上每一點(diǎn)與其它各點(diǎn)都是相關(guān)的，相關(guān)系數(shù)，相關(guān)長(zhǎng)度。4. 功率譜密度

5、將非歸一化的相關(guān)函數(shù)進(jìn)行Fourier變換，就可以得到高度起伏的功率譜密度，即 (1.8)同樣，相關(guān)函數(shù)也可以表示為的逆Fourier變換 (1.9)高斯分布隨機(jī)粗糙面的功率譜密度為 (1.10)指數(shù)分布的隨機(jī)粗糙面的功率譜密度為 (1.11)5. 結(jié)構(gòu)函數(shù)對(duì)于具有分形特征的隨機(jī)粗糙面，例如分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)(fractal Brown motion, fBm)隨機(jī)粗糙面和Weierstrass4分形函數(shù)所描述的隨機(jī)粗糙面，其高度起伏的導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，方差發(fā)散。而結(jié)構(gòu)函數(shù)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，因此研究其特性常選用結(jié)構(gòu)函數(shù)，結(jié)構(gòu)函數(shù)定義為表面上兩點(diǎn)高度差的均值，即 (1.12)它與相關(guān)函數(shù)實(shí)際是等效的，對(duì)于

6、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，結(jié)構(gòu)函數(shù)與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系為 (1.13)采用結(jié)構(gòu)函數(shù)的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是它與測(cè)量表面高度所選取的參考面無(wú)關(guān)，從而給計(jì)算帶來(lái)了方便。6. 特征函數(shù)特征函數(shù)定義為粗糙面高度起伏的概率密度函數(shù)的Fourier變換。這樣一維特征函數(shù)的定義式是 (1.14)它提供了粗糙表面對(duì)波的相位調(diào)制的測(cè)度，同樣包含了高度起伏概率密度的信息。7. 均方根斜率均方根斜率定義為表面上每一點(diǎn)的斜率的均方根值，即 (1.15)它與譜函數(shù)之間的關(guān)系為 (1.16)1.2 隨機(jī)粗糙面建模的蒙特卡洛方法研究隨機(jī)背景的電磁散射特性，首先必須對(duì)粗糙表面進(jìn)行建模。通過(guò)上一節(jié)的簡(jiǎn)單介紹，我們了解了隨機(jī)粗糙面功率譜的概念，利用功率譜密

7、度，隨機(jī)粗糙面可以采用蒙特卡洛(Monte Carlo)方法5來(lái)模擬生成，蒙特卡洛方法又稱(chēng)線性濾波法。其基本思想是在頻域用功率譜對(duì)其進(jìn)行濾波，再做逆快速傅里葉變換(Inverse Fast Fourier Transform, IFFT)得到粗糙面的高度起伏。1.2.1 一維粗糙面由于粗糙表面被認(rèn)為是由大量的諧波疊加而成，諧波的振幅是獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，其方差正比于特定波數(shù)的功率譜。按照這種思路，可以由下列函數(shù)生成長(zhǎng)度為的一維粗糙表面樣本5，即 (1.17)其中表示粗糙表面上第個(gè)采樣點(diǎn)，與稱(chēng)為Fourier變換對(duì)，定義為 (1.18)其中定義離散波數(shù)的表達(dá)式為，定義為譜域相鄰的諧波樣本的空間波

8、數(shù)差，為粗糙表面的功率譜密度。表示均值為0，方差為1的正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)。當(dāng)時(shí)，滿足共軛對(duì)稱(chēng)關(guān)系。這樣可以保證進(jìn)行Fourier逆變換后所得到的粗糙表面的輪廓是實(shí)數(shù)。此外，在利用Fourier逆變換實(shí)現(xiàn)粗糙表面時(shí)，表面總長(zhǎng)度至少應(yīng)當(dāng)有5個(gè)相關(guān)長(zhǎng)度，這樣可以減少譜的重疊。由于合成過(guò)程的表面長(zhǎng)度是有限的，表面自相關(guān)函數(shù)并不完全衰減到零，因此會(huì)有某種振蕩存在。因此，為了反變換重新得到功率譜，需要對(duì)實(shí)數(shù)序列進(jìn)行加窗處理，以避免邊緣效應(yīng)和譜的重疊問(wèn)題。利用(1.10)式與(1.17)和(1.18)式，就可以模擬一維高斯隨機(jī)粗糙面。圖1.2(a)與1.2(b)給出了不同均方根高度、相關(guān)長(zhǎng)度的一維高斯粗糙面樣

9、本數(shù)值模擬圖形。高斯粗糙面是一種最為典型的粗糙面，從模擬圖形可以看出，均方根高度和相關(guān)長(zhǎng)度是粗糙面模擬中最基本而且極其重要的兩個(gè)參數(shù)，它們的變化對(duì)粗糙面的起伏高度、起伏頻繁程度都有很大的影響。從圖1.2(a)和1.2(b)可以看出，當(dāng)相關(guān)長(zhǎng)度相同時(shí)，均方根高度越大，粗糙面的起伏程度就越大；而均方根高度固定時(shí)，相關(guān)長(zhǎng)度越小，粗糙面變換就越劇烈，即變化的周期就越小?？梢?jiàn)，均方根高度決定著粗糙面的“縱向”變化特性，相關(guān)長(zhǎng)度決定著粗糙面的“橫向”變化特性。同樣利用(1.11)、(1.17)和(1.18)式，就可以模擬一維指數(shù)隨機(jī)粗糙面，圖1.3(a)與1.3(b)給出了不同均方根高度、相關(guān)長(zhǎng)度的一維指

10、數(shù)粗糙面樣本數(shù)值模擬圖形?？梢钥闯觯笖?shù)粗糙面與高斯粗糙面起伏隨均方根高度和相關(guān)長(zhǎng)度的變化有著相同的特點(diǎn)。圖1.2 一維高斯隨機(jī)粗糙面模型 圖1.3 一維指數(shù)隨機(jī)粗糙面模型1.2.2 二維粗糙面與一維隨機(jī)粗糙面的蒙特卡洛方法建模類(lèi)似，假設(shè)要產(chǎn)生的二維隨機(jī)粗糙面在和方向的長(zhǎng)度分別為和，等間隔離散點(diǎn)數(shù)為和，相鄰兩點(diǎn)間的距離分別為和，有，則粗糙面上每一點(diǎn) 處的高度可表示為6 (1.19)式中(1.20)同樣為二維隨機(jī)粗糙面的功率譜密度，其中，。與一維粗糙面的蒙特卡洛方法建模一樣，為了使為實(shí)數(shù)，其Fourier系數(shù)的相位必須滿足條件：，。在具體計(jì)算(1.20)式通常是利用二維IFFT來(lái)實(shí)現(xiàn)的。二維高斯

11、粗糙面6對(duì)應(yīng)的功率譜為 (1.21)圖1.4(a)圖1.4(c)給出了均方根高度分別為的二維高斯粗糙面模型。其中，相關(guān)長(zhǎng)度，方向和方向長(zhǎng)度，每個(gè)波長(zhǎng)采樣8個(gè)點(diǎn)的?？梢园l(fā)現(xiàn)，在相關(guān)長(zhǎng)度相同的前提下，均方根高度越大，粗糙面的高度起伏變化就越大，粗糙面的輪廓所能達(dá)到的峰值和谷值就越大，這與前面一維高斯粗糙面的高度起伏變化特點(diǎn)是相同的。圖1.5(a)圖1.5(c)給出了相關(guān)長(zhǎng)度分別為、和的二維高斯粗糙面模型。其中，均方根高度，方向和方向長(zhǎng)度，每個(gè)波長(zhǎng)采樣8個(gè)點(diǎn)?？梢园l(fā)現(xiàn)，在均方根高度相同的條件下，相關(guān)長(zhǎng)度代表了粗糙面的變化周期，相關(guān)長(zhǎng)度越小，粗糙面就變化越頻繁，峰值與峰值之間的距離越小，這一結(jié)論仍然與

12、一維粗糙面相同。 圖1.4(a) ,二維高斯粗糙面 圖1.4(b) ,二維高斯粗糙面圖 1.4(c) , 二維高斯粗糙面 圖 1.5(a) ,二維高斯粗糙面 圖1.5(b) ,二維高斯粗糙面圖1.5(c) ,二維高斯粗糙面1.3 實(shí)際動(dòng)態(tài)粗糙海面及其建模海洋面積占全球面積的四分之三左右，為了充分利用這個(gè)豐富的天然資源，人們需要對(duì)海洋進(jìn)行遙感。在國(guó)防建設(shè)方面，人們需要利用星載和機(jī)載雷達(dá)等在海洋背景下檢測(cè)和識(shí)別目標(biāo)。這些都需要對(duì)海洋面的電磁散射進(jìn)行研究。早在19世紀(jì)，人們就開(kāi)始了海浪的研究，對(duì)真實(shí)海浪的實(shí)驗(yàn)和理論上的研究自然引發(fā)了人們對(duì)海浪進(jìn)行模擬的想法，早期的做法是在實(shí)驗(yàn)室用風(fēng)和造波機(jī)進(jìn)行物理模

13、擬，這在一定條件下具有可控性，方便了對(duì)海浪的測(cè)量和研究7。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)值模擬顯示了更大的靈活性和可控性，更由于它的低成本使得數(shù)值模擬海面得到了廣泛應(yīng)用。國(guó)內(nèi)外許多實(shí)驗(yàn)室已建立模擬池來(lái)模擬實(shí)際海面進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量或者外場(chǎng)測(cè)量，提出了各種各樣的海譜模型和經(jīng)驗(yàn)公式。海浪是空域和時(shí)域上高度不規(guī)則的和不重復(fù)的物理現(xiàn)象，其變化形勢(shì)是事先無(wú)法預(yù)知的。從定性的角度來(lái)說(shuō)，海面是在大尺度的、近似周期性的波浪上疊加著波紋、泡沫和飛濺浪花。通常把大尺度波浪稱(chēng)為海面的大尺度結(jié)構(gòu)，小尺度的波紋等則稱(chēng)為海面的微細(xì)結(jié)構(gòu)。1.3.1 實(shí)際粗糙海面的基本知識(shí)下面介紹幾種用來(lái)描述海面結(jié)構(gòu)和狀態(tài)的常用術(shù)語(yǔ)8, 9。波：是由于

14、風(fēng)作用于水面，通過(guò)與水面的摩擦作用使海水產(chǎn)生了波動(dòng)，從而產(chǎn)生了波。風(fēng)持續(xù)作用形成海浪，進(jìn)而形成涌。重力波：傳播速度主要受重力作用的波。重力波的時(shí)間標(biāo)度為0.1到25秒范圍，波長(zhǎng)為2厘米到500米，高度最高可達(dá)30米。張力波(或稱(chēng)毛細(xì)波、細(xì)浪)：這種波的傳播速度主要由波動(dòng)的傳輸媒質(zhì)液體表面的張力作用控制。表面張力波的時(shí)間標(biāo)度為0.1到0.01秒范圍，波長(zhǎng)為0.5厘米到2厘米，高度小于1厘米。風(fēng)域：(1)是風(fēng)在相同方向和速度下產(chǎn)生海浪的海面區(qū)域；(2)也可應(yīng)用為在產(chǎn)生了海浪的風(fēng)向上所測(cè)量的區(qū)域長(zhǎng)度。涌：是由一些具有長(zhǎng)波長(zhǎng)的、接近于正弦波形的波浪所組成。這種海波的傳播超出了它的產(chǎn)生區(qū)域。涌的特點(diǎn)是波

15、形規(guī)整、波長(zhǎng)長(zhǎng)且波峰平滑。海態(tài)：用來(lái)描述海面粗糙度的數(shù)值化語(yǔ)言。海態(tài)還可以更精確的定義為波列中最高的三分之一振幅的平均值。有三種數(shù)值級(jí)數(shù)方式來(lái)描述海態(tài)。如表1.1所示，道格拉斯(Doglsas)級(jí)數(shù)應(yīng)用廣泛，但被國(guó)際氣象組織(WMO)代碼75代替的第三種系統(tǒng)是蒲福風(fēng)級(jí)，這種方式是用風(fēng)速來(lái)描述，如表1.2所示。表1.1 WMO和Douglas尺度 表1.2 蒲福尺度蒲福級(jí)數(shù)術(shù)語(yǔ)描述風(fēng)速(節(jié))0靜風(fēng)<11弱風(fēng)32輕柔風(fēng)63微風(fēng)7-104和風(fēng)11-165勁風(fēng)17-216強(qiáng)風(fēng)22-27728-338大風(fēng)34-40941-4710暴風(fēng)48-5511強(qiáng)暴風(fēng)56-6312颶風(fēng)>64海態(tài)級(jí)數(shù)WMO

16、 代碼波高(英尺)Douglas 尺度波高(英尺)海面粗糙度描述000平靜的10-1/3<1光滑的21/3-5/33輕微的35/3-43-5緩和的44-85-8粗糙的58-138-12很粗糙613-2012-20高的720-3020-40很高的830-45>40陡峭的9>45注：1節(jié)(速度單位)=1海里/小時(shí) =0.51444米/秒；1海里=1.852公里；1英寸=2.54厘米像其它媒質(zhì)一樣，從電磁理論的觀點(diǎn)看，海面的媒質(zhì)特性也以它的介電常數(shù)和電導(dǎo)率為特性。在研究電磁波與海面的相互作用中，海水的介電常數(shù)是一個(gè)非常重要的參數(shù)，它通常是電磁波頻率、海水的溫度和海水的含鹽度的復(fù)函數(shù)

17、。通常海水復(fù)介電常數(shù)的實(shí)部和虛部分別為 (1.22a) (1.22b)式中：為電磁波的入射頻率，是自由空間介電常數(shù)，靜態(tài)介電常數(shù)、海水的張弛時(shí)間和離子電導(dǎo)率分別都是海水的溫度和含鹽度的函數(shù)，其具體計(jì)算公式可參見(jiàn)文獻(xiàn)10，在此不做累述。這樣，當(dāng)給定工作頻率，通過(guò)測(cè)量海水溫度和含鹽度后就可以確定海水的介電常數(shù)。1.3.2 實(shí)際動(dòng)態(tài)粗糙海面的功率譜及蒙特卡洛方法建模由海浪學(xué)的基本理論可知，當(dāng)海風(fēng)吹向平靜海面時(shí)，海浪主要由波長(zhǎng)較小的短波組成，隨著這些短波個(gè)數(shù)的增加，它們之間的非線性作用使能量傳給波長(zhǎng)更長(zhǎng)的波，同時(shí)這個(gè)傳遞過(guò)程將持續(xù)到一個(gè)能量損耗與波的個(gè)數(shù)增加平衡的時(shí)刻，而且當(dāng)達(dá)到平衡時(shí)，海面風(fēng)速越大，

18、海浪中長(zhǎng)波能達(dá)到的波長(zhǎng)越長(zhǎng)。由于海能量的傳送主要是依賴(lài)波長(zhǎng)較小的短波完成，一旦海風(fēng)突然消失，這些短波將很快衰減，而長(zhǎng)波則可以持續(xù)好幾天。長(zhǎng)波可以傳送很遠(yuǎn)，它們的衰減系數(shù)很小，而短波更多是局限于某一較小區(qū)域，因此海面上任一點(diǎn)的波都是由本地產(chǎn)生的短波和從其它地方傳來(lái)的長(zhǎng)波疊加而成的。海浪是一個(gè)復(fù)雜的隨機(jī)過(guò)程，從20世紀(jì)50年代Pierson率先將無(wú)線電噪音理論應(yīng)用于海浪研究中開(kāi)始，利用譜函數(shù)描述和研究海浪特性就成為了一個(gè)重要的方向，至今已經(jīng)有多種海浪譜被提出，如PM譜，A. K. Fung完全海譜，JONSWAP譜等，其中譜函數(shù)代表海浪能量相對(duì)于空間波數(shù)的分布，隨著風(fēng)速的增大，譜曲線下包圍面積增大

19、(即風(fēng)浪的總能量增加)，譜峰向較低的頻率方向推移。海浪按照恢復(fù)力的不同又可以分為重力波和張力波，其中以海洋表面張力作為恢復(fù)力的波為張力波，而以重力作為恢復(fù)力的為重力波，在海浪形成中短波屬于表面張力波，長(zhǎng)波屬于重力波，因此一般的海浪波都是在重力波的基礎(chǔ)上疊加張力波而成。1. 一維動(dòng)態(tài)粗糙海面的功率譜及蒙特卡洛方法建模與高斯粗糙面相同，海譜定義為海面高度相關(guān)函數(shù)的Fourier變換，它作為隨機(jī)過(guò)程的二階統(tǒng)計(jì)特性之一，直接給出了構(gòu)成海面各諧波分量相對(duì)于空間頻率和方位的分布，可以說(shuō)是描述海面最基本的方法之一，采用統(tǒng)計(jì)方法模擬海面時(shí)，都是從海譜出發(fā)的，因此有必要對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)單的介紹。到目前為止眾多學(xué)者已經(jīng)

20、提出了各種形式的海譜模型。(a) 一維PM海譜及建模PM海譜11是由W. J. Pierson和L. Moskowitz提出的，其表達(dá)式為 (1.23)其中和是無(wú)量綱經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，是重力加速度，=9.81m/s2，是海面19.5m高度處的風(fēng)速。有了海面的功率譜以后，同樣可以利用Monte Carlo方法模擬一維動(dòng)態(tài)粗糙海面模型，只不過(guò)是將(1.17)式改為如下形式 (1.24)其中 (1.25) 圖1.6 不同風(fēng)速下的PM海譜及粗糙海面模型從圖1.6(a)中可以看出，不論風(fēng)速的取值大小如何，PM譜中總有一個(gè)峰值，其對(duì)應(yīng)的頻率為，風(fēng)速越大，越小，這表明海表面受兩種波譜共同影響，當(dāng)時(shí)，功率譜滿足正冪律

21、譜，而當(dāng)時(shí)，功率譜滿足負(fù)冪律譜。從圖1.6(a)中還可以很明顯的看出，隨著風(fēng)速的增大，PM譜的峰值增大。圖1.6(b)中分別給出了時(shí)刻，海面長(zhǎng)度為320m，風(fēng)速分別為5m/s、7m/s和10m/s時(shí)的PM海面模型，從圖中可以看出隨著風(fēng)速的增大，海面的起伏增大，海浪的峰值增高，這是與現(xiàn)實(shí)情況是相符合的。(b) 一維A. K. Fung完全海譜A. K. Fung的半經(jīng)驗(yàn)海譜是一種完全海譜12，它是建立在PM譜與W. J. Pierson提出的張力波譜的基礎(chǔ)上的。當(dāng)時(shí)應(yīng)用重力波譜，當(dāng)時(shí)應(yīng)用張力波譜，并令當(dāng)時(shí)二者譜密度相等，從而得到一種完全譜，而W. J. Pierson提出的張力波譜表達(dá)式為 (1

22、.26)其中：，是摩擦風(fēng)速，單位是，設(shè)已知高度為的風(fēng)速為，則與之間的關(guān)系可以表示為 (1.27)這樣，總的A. K. Fung完全海譜可表示為 (1.28)圖1.7給出了不同摩擦風(fēng)速下的半經(jīng)驗(yàn)譜隨波數(shù)的變化關(guān)系。圖1.7 不同摩擦風(fēng)速下半經(jīng)驗(yàn)譜隨波數(shù)的變化關(guān)系 圖1.8 一維JONSWAP譜隨風(fēng)域的成長(zhǎng)過(guò)程(c) 一維JONSWAP譜A. K. Fung的半經(jīng)驗(yàn)海譜屬于穩(wěn)態(tài)海譜，即假設(shè)海面滿足充分生成的條件，此時(shí)海態(tài)只與風(fēng)速有關(guān)。這只是一種理想情況，在實(shí)際當(dāng)中，由于波浪間能量轉(zhuǎn)換的復(fù)雜性及大氣條件的多變性，海面多處于非穩(wěn)態(tài)，還需要引入其它的參數(shù)來(lái)描述海面。60年代末期，英、荷、美、德等國(guó)為了適

23、應(yīng)北海開(kāi)發(fā)的需要于1968-1969年在丹麥、德國(guó)邊境西海岸對(duì)海浪進(jìn)行系統(tǒng)觀測(cè)，即聯(lián)合北海波浪計(jì)劃(Joint North Sea Wave Project)，它是迄今為止對(duì)海浪最為系統(tǒng)的觀測(cè)，由此得到了JONSWAP非穩(wěn)態(tài)海譜模型13，它被認(rèn)為是國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)海洋譜。其一維形式為 (1.29)其中為峰頻率，為峰升高因子，其定義為，為譜峰值，為PM譜的峰值(的觀測(cè)值介于1.56之間，平均值為)，稱(chēng)為峰形參數(shù)，其值等于 (1.30)無(wú)因次常數(shù)，無(wú)因次風(fēng)區(qū)(為風(fēng)區(qū)，為米高度處的風(fēng)速)，其值范圍為至，無(wú)因次峰頻率。圖1.8給出了JONSWAP譜相對(duì)于風(fēng)域的成長(zhǎng)過(guò)程?？梢院苊黠@地看到譜曲線下的面積隨風(fēng)域增大

24、，峰頻率隨風(fēng)域減小的規(guī)律。當(dāng)波浪在傳播過(guò)程中隨風(fēng)域的增大成長(zhǎng)時(shí)，峰頻向低頻率推移。2. 二維動(dòng)態(tài)粗糙海面的功率譜及其蒙特卡洛方法建模(a) 二維A. K. Fung海譜及其建模在二維情況下，為了體現(xiàn)由于風(fēng)向而使海譜呈現(xiàn)出來(lái)的各向異性，可以引入角度分布函數(shù)對(duì)其進(jìn)行修正，即 (1.31)其中是觀察方向與逆風(fēng)方向之間的夾角，、是與有關(guān)的量，是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，它可通過(guò)比較由此海譜計(jì)算出來(lái)的雷達(dá)散射截面值與實(shí)測(cè)值而確定，根據(jù)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，。為確定、，可利用斜率方差。由公式 (1.32)可得 (1.33) (1.34)與分別是逆風(fēng)與側(cè)風(fēng)方向的斜率方差。將的表示式代入上面兩式，可得， (1.35)上式中，是高度

25、為處的風(fēng)速，單位為。同樣可以利用蒙特卡洛方法建立二維動(dòng)態(tài)A. K .Fung海面，只是將(1.20)式改為 (1.36)其中 (1.37)圖1.9分別給出了利用蒙特卡洛方法模擬的時(shí)刻下，不同風(fēng)速與風(fēng)向下二維A. K. Fung海面樣本模型，從圖中可以看出：(1)當(dāng)風(fēng)速較小時(shí)，海面的局部變化很快，但整體起伏較小，而當(dāng)風(fēng)速增大時(shí)海面的整體起伏增大，但局部變化變慢，這與海浪的自然變化規(guī)律相符；(2)當(dāng)風(fēng)向不同時(shí)，波浪的起伏和運(yùn)動(dòng)方向不同。由此可見(jiàn)，采用該方法構(gòu)造的二維海面與實(shí)際情況相符，具有物理可行性。 (a) 風(fēng)速5m/s，風(fēng)向0° (b) 風(fēng)速5m/s，風(fēng)向90° (c) 風(fēng)

26、速10m/s，風(fēng)向0° (d) 風(fēng)速10m/s，風(fēng)向90° (e) 風(fēng)速15m/s，風(fēng)向0° (f) 風(fēng)速15m/s，風(fēng)向90°圖1.9 A. K. Fung二維海面模型(b) 二維JONSWAP海譜及其建模與二維A. K. Fung譜類(lèi)似，在二維情況下，為了考慮風(fēng)向的影響，也需要對(duì)JONSWAP引入一方向因子，即 (1.38)其中 (1.39)式中代表風(fēng)向，表示觀察方向。同樣也可以對(duì)用蒙特卡洛方法模擬二維JONSWAP譜海面進(jìn)行模擬。利用海面的波高頻率譜和波高波數(shù)譜之間的關(guān)系 (1.40)以及海譜時(shí)間域頻率和空間域頻率之間的關(guān)系重力波和張力波都考慮：

27、(1.41a)僅考慮重力波： (1.41b)僅考慮張力波： (1.41c)類(lèi)似于(1.36)式，利用(1.40)和(1.41)式，對(duì)于確定的有和，這樣就會(huì)生成一組，然后再由數(shù)組，即可以利用蒙特卡洛方法模擬二維JONSWAP海面。1.3.3 實(shí)際動(dòng)態(tài)粗糙海面的分形模型“分形”的概念是由Mandelbrot14首次提出的，分形指的是組成部分與整體以某種方式相似形，分形表征的是形體內(nèi)部嵌套的自相似結(jié)構(gòu)。所謂自相似，簡(jiǎn)單地講就是縮放對(duì)稱(chēng)性，是指研究對(duì)象在所有方向按同一比例擴(kuò)展或收縮的均勻線性變換。分形內(nèi)部任何一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的部分，在一定程度上，都應(yīng)是整體的再現(xiàn)和縮影，局部與局部、局部與整體在形態(tài)、功能、

28、信息、時(shí)間與空間等方面或在統(tǒng)計(jì)意義上具有自相似性。分形在物理化學(xué)生物中的應(yīng)用，在地質(zhì)，水文及氣象科學(xué)中的應(yīng)用，在地震科學(xué)中的應(yīng)用以及在海面雷達(dá)預(yù)警中的應(yīng)用正日益得到人們的關(guān)注15, 16。實(shí)際海面是一個(gè)復(fù)雜的隨機(jī)粗糙面，它是在大尺度的近似周期性的波浪上疊加著小尺度的波紋、泡沫和飛濺浪花，即由大尺度結(jié)構(gòu)和微細(xì)結(jié)構(gòu)組成。而分形具有自相似性，可兼顧大范圍有序和小范圍無(wú)序的特點(diǎn)，因此可用分形函數(shù)來(lái)模擬粗糙海面。Jaggard等17和Franceschetti18最早提出了一維及二維分形粗糙面模型，它們均是基于帶限Weierstrass分形函數(shù)，文獻(xiàn)19在此基礎(chǔ)上將PM譜引入到帶限Weierstrass

29、函數(shù)中以模擬粗糙海面，我們?cè)没鶢柣舴蚪品椒▽?duì)這一分形粗糙海面模型的后向散射場(chǎng)的幅度分布特性進(jìn)行了研究20；另一方面，從前面內(nèi)容我們知道實(shí)際海浪波是由重力波和張力波共同形成的，同時(shí)實(shí)際海浪波的功率譜中既包含有正冪律部分也包含負(fù)冪律部分，而經(jīng)典分形模型只能模擬負(fù)冪律部分，這就啟發(fā)我們通過(guò)改進(jìn)經(jīng)典的帶限Weierstrass分形海面模型以模擬考慮具有正、負(fù)冪律譜分布的實(shí)際粗糙海面21-23。1. 一維分形海面模型(a) Weierstrass 分形函數(shù)Mandelbrot給出具有分形特性的Weierstrass函數(shù)，其具體表達(dá)形式為4 (1.42)其中，為任意的隨機(jī)相位函數(shù)，為分維數(shù)且近似等于

30、其豪斯道夫維數(shù)，參數(shù)。Weierstrass分形函數(shù)的實(shí)部也具有分形特性，并且是一種數(shù)學(xué)意義上的分形函數(shù)。在此為了能更清楚地說(shuō)明問(wèn)題，令，此時(shí)Weierstrass函數(shù)的實(shí)部為 (1.43)從上式可以明顯看出下面的標(biāo)度性質(zhì)成立 (1.44)圖1.10中給出了同一分維數(shù)下的具有自仿射特性的曲線，從圖中可以很明顯的看出，雖然圖1.10(a)和(b)中在軸上的標(biāo)度范圍不同，但是兩幅圖的曲線形狀基本是一樣的，這說(shuō)明了在不同標(biāo)度范圍內(nèi)Weierstrass函數(shù)曲線的形狀是不變的，即曲線雖然在方向和方向上均按照一定的比率在變化著，但曲線的基本形狀卻幾乎不變，這說(shuō)明了Weierstrass函數(shù)曲線具有自仿射

31、性。 圖1.10 同一分維數(shù)下的自仿射曲線圖1.11中給出了不同分維數(shù)下的Weierstrass函數(shù)曲線，對(duì)比圖1.11(a)和(b)可以很明顯的看出，在橫坐標(biāo)區(qū)間相同的情況下，分維數(shù)大的曲線變化的劇烈，而且分維數(shù)大的曲線在縱坐標(biāo)起伏上也更大，即分維數(shù)越大的曲線變化越劇烈。 圖1.11 具有不同分維數(shù)的Weierstrass曲線根據(jù)式(1.43)式可以得到Weierstrass分形函數(shù)的方差為，顯然當(dāng)時(shí)，方差趨于無(wú)窮大，且當(dāng)，時(shí)，方差隨指數(shù)地增大，這顯然不滿足物理意義上對(duì)粗糙面的要求。因此我們必須用物理上的分形函數(shù)來(lái)代替純數(shù)學(xué)上的分形函數(shù)，該函數(shù)既要保持原分形函數(shù)的主要特征，又要盡可能的描述隨

32、機(jī)粗糙面，這就需要對(duì)Weierstrass函數(shù)進(jìn)行修正。以下引入帶限Weierstrass分形函數(shù)模擬實(shí)際粗糙海面。(b) 經(jīng)典Weierstrass分形海面模型基于帶限Weierstrass分形函數(shù)的一維經(jīng)典動(dòng)態(tài)分形海面模型的表達(dá)式為22 (1.45)其中，為海面的高度起伏均方根，為歸一化因子，是粗糙面的模擬長(zhǎng)度，為尺度因子，且當(dāng)是有理數(shù)時(shí)，表現(xiàn)為周期函數(shù)，當(dāng)是無(wú)理數(shù)時(shí)，表現(xiàn)為準(zhǔn)周期函數(shù)，是分形模型的分維數(shù)，并表征分形粗糙面的粗糙程度，表示模型中含有的正弦分量的個(gè)數(shù)，是粗糙海面的空間基波數(shù)，并決定空間海浪的基頻，是觀測(cè)雷達(dá)平臺(tái)的運(yùn)行速度，為上均勻分布的隨機(jī)相位。表示空間波數(shù)，則可以表示為，其

33、中m/s2表示重力加速度，是海水表面張力，是海水密度。海面的高度起伏方根及基波波數(shù)與海面風(fēng)速之間滿足下面的關(guān)系24 (1.46) (1.47)取s和m/s，可得經(jīng)典分形模型的相關(guān)函數(shù)為 (1.48)在時(shí)有 (1.49)因此歸一化因子可寫(xiě)為 (1.50)根據(jù)(1.48)式可以得到分形海面的功率譜函數(shù)為 (1.51)其中，表示狄拉克脈沖函數(shù)。則當(dāng)時(shí)可以定義連續(xù)譜為 (1.52)從上式可以看出，經(jīng)典分形海面模型的功率譜函數(shù)僅包含負(fù)冪律指數(shù)部分，也就是說(shuō)，只有海面功率譜中呈負(fù)冪律形式的部分才可以用(1.45)式模擬。 圖1.12 m/s時(shí)不同分維數(shù)的經(jīng)典分形海面的輪廓曲線圖1.13 m/s時(shí)不同分維數(shù)

34、的一維經(jīng)典分形海面的輪廓曲線圖1.12和圖1.13給出了不同風(fēng)速和分維數(shù)下的一維經(jīng)典分形海面的輪廓曲線，其中。分別對(duì)比圖1.12和圖1.13的左右兩幅圖可以很明顯的發(fā)現(xiàn)分維數(shù)越大，輪廓曲線在細(xì)節(jié)方面變化的越劇烈，也就是說(shuō)粗糙面的變化越劇烈，說(shuō)明分維數(shù)是表征分形粗糙面表面粗糙程度的一個(gè)特征量。對(duì)比圖1.12和圖1.13還可以看出，風(fēng)速越大，粗糙面高度起伏越大，這與實(shí)際海面高度起伏與風(fēng)速之間的變化關(guān)系是吻合的。(c) 改進(jìn)Weierstrass分形海面從前面的章節(jié)中可知實(shí)際海浪波的功率譜密度函數(shù)中既包含有正冪律部分也包含負(fù)冪律部分，而經(jīng)典分形模型只能模擬負(fù)冪律部分，這就啟發(fā)我們用下面的改進(jìn)分形海面

35、模型來(lái)模擬實(shí)際海面，它可以表示為22 (1.53)式中，為模型中的正冪率因子，是空間波數(shù)小于基波波數(shù)時(shí)的尺度因子，為空間波數(shù)大于基波波數(shù)時(shí)的尺度因子，且，和是上均勻分布的隨機(jī)相位，其余參數(shù)的定義與經(jīng)典分形海面一樣。海面的高度起伏方根及基波波數(shù)與海面風(fēng)速之間依然滿足(1.46)和(1.47)式。取s和m/s，可得改進(jìn)分形模型的相關(guān)函數(shù)為 (1.54)在時(shí)有 (1.55)因此歸一化因子可寫(xiě)為 (1.56)根據(jù)(1.54)式可以得到分形海面的功率譜函數(shù)為 (1.57)當(dāng)和時(shí)可以定義連續(xù)譜為 (1.58)通過(guò)(1.58)式可以發(fā)現(xiàn)改進(jìn)分形模型的功率譜函數(shù)與實(shí)際海面的PM譜類(lèi)似都是分為兩段，在時(shí)功率譜滿

36、足正冪律，在時(shí)滿足負(fù)冪律，可見(jiàn)采用改進(jìn)分形模型即(1.53)式替代經(jīng)典分形模型(1.45)式來(lái)模擬實(shí)際動(dòng)態(tài)海面的功率譜與實(shí)際海面的海譜更接近。在相同風(fēng)速下將改進(jìn)分形模型的功率譜與PM譜進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)模型中的正冪率因子，尺度因子，分維數(shù)及時(shí)，改進(jìn)分形模型的功率譜既包含正冪律部分又包含負(fù)冪律部分，且與PM海譜能夠較好的吻合，若將(1.46)式修正為，二者之間的吻合更好。圖1.14給出了不同風(fēng)速下改進(jìn)分形的功率譜密度函數(shù)與PM譜密度函數(shù)的比較，從圖中可以看出二者在大部分的波數(shù)范圍內(nèi)吻合的都較好，只是在基波附近存在幅值上的差異。 圖1.14 不同風(fēng)速下改進(jìn)分形模型的功率譜密度函數(shù)與PM譜的比較圖

37、1.15給出了分別利用改進(jìn)分形模型與PM譜模型模擬的不同風(fēng)速下粗糙海面的表面輪廓曲線。從圖中可以發(fā)現(xiàn)改進(jìn)分形海面表面輪廓的基波波浪同PM海面的基波波浪基本是一致的，但分形模型的小尺度波浪更為明顯，從而說(shuō)明改進(jìn)分形海面模型能更好地描繪海面的細(xì)微結(jié)構(gòu)。 圖1.15 不同風(fēng)速下改進(jìn)分形模型與PM海面表面輪廓的比較2. 二維改進(jìn)分形海面模型經(jīng)典的二維Weierstrass分形海面模型表達(dá)式為25 (1.59)其中，為海面的高度起伏均方根，為歸一化因子，是二維分形粗糙面模型的分維數(shù)，為尺度因子，是基波波浪的空間波數(shù)，和分別是雷達(dá)平臺(tái)在和方向上的運(yùn)動(dòng)速度，為波浪的運(yùn)動(dòng)方向角，是角頻率，是上均勻分布的隨機(jī)相

38、位。海面的高度起伏均方根及基波波數(shù)與海面風(fēng)速之間的關(guān)系依然可以用(1.46)和(1.47)式24來(lái)表述。同經(jīng)典一維Weierstrass分形海面模型類(lèi)似，經(jīng)典二維分形海面模型只能較好地模擬粗糙海面功率譜的負(fù)冪律部分，但是由于二維海面的功率譜并不是單純的負(fù)冪律譜，而是當(dāng)空間波數(shù)大于基波波數(shù)時(shí)海面的功率譜函數(shù)近似是負(fù)冪律函數(shù)，當(dāng)空間波數(shù)小于基波波數(shù)時(shí)，海面的功率譜函數(shù)近似滿足正冪律函數(shù)關(guān)系，因此與改進(jìn)的一維分形海面模型類(lèi)似，本書(shū)給出改進(jìn)二維分形海面模型21, 22 (1.60)其中，是空間波數(shù)小于基波波數(shù)時(shí)的尺度因子，為空間波數(shù)大于基波波數(shù)時(shí)的尺度因子，和為波浪的運(yùn)動(dòng)方向角, 和是角頻率，和是上均

39、勻分布的隨機(jī)相位。一般來(lái)說(shuō)上式中的和是時(shí)間的函數(shù)，在較短時(shí)間內(nèi)可以簡(jiǎn)單的認(rèn)為是和時(shí)間無(wú)關(guān)，且和滿足，其中是風(fēng)向和軸的夾角，同時(shí)和的一階概率密度函數(shù)滿足最適合中國(guó)海域的Donelan方向函數(shù)模型26 (1.61)其中 (1.62)是波浪運(yùn)動(dòng)方向同風(fēng)向之間的夾角。取s，可以得到利用(1.60)式模擬的二維分形海面的空間相關(guān)函數(shù)(1.63)為了得到閉合形式的相關(guān)函數(shù)，定義復(fù)空間相關(guān)函數(shù)為 (1.64)對(duì)比上面兩式可以看出，空間相關(guān)函數(shù)應(yīng)為復(fù)空間相關(guān)函數(shù)的實(shí)部，即。應(yīng)用關(guān)系式：及，上式可化為 (1.65)其中 (1.66) (1.67)取(1.65)式的實(shí)部同時(shí)應(yīng)用和的偶函數(shù)性質(zhì)及，可得 (1.68)

40、在下面求解二維改進(jìn)分形模型功率譜的過(guò)程中都取，相關(guān)函數(shù)就可表示下面的求和形式 (1.69)其中 (1.70)同樣將海譜也寫(xiě)成求和的形式，即 (1.71)其中 (1.72)式中，是波浪運(yùn)動(dòng)方向同風(fēng)向之間的夾角。為了求得功率譜的閉式，在此仍然采用復(fù)空間相關(guān)函數(shù)代替空間相關(guān)函數(shù)進(jìn)行求解，即應(yīng)用復(fù)空間相關(guān)函數(shù)的二維傅立葉變換求解，即 (1.73)將(1.65)式代入(1.73)式中可得 (1.74)因，所以有 (1.75)根據(jù)關(guān)系及余弦函數(shù)的性質(zhì)可以求得 (1.76)由于方向海譜和波浪的角分布函數(shù)滿足下面的關(guān)系27 (1.77)其中波浪的方向分布函數(shù)具有下面的性質(zhì) (1.78)把分形海譜寫(xiě)為下面的形式

41、 (1.79)這樣可以求得 (1.80) (1.81)設(shè) (1.82)那么由(1.76)、(1.79)及(1.82)式可得 (1.83)容易證明 (1.84)以上我們推導(dǎo)給出了改進(jìn)分形海面模型的表面輪廓譜函數(shù)。由(1.76)式可見(jiàn)其表面輪廓譜函數(shù)是脈沖的形式，而不是連續(xù)的。下面在(1.76)式的基礎(chǔ)上推導(dǎo)給出連續(xù)譜的形式。由(1.80)及(1.82)式可得 (1.85)定義連續(xù)海譜為，當(dāng)時(shí)，且取，把代入并經(jīng)數(shù)學(xué)計(jì)算可以得到 (1.86)上式給出了連續(xù)海譜的表達(dá)形式，下面求解連續(xù)波浪分布函數(shù)。由(1.81)式可見(jiàn)，要求解連續(xù)波浪分布函數(shù)，首先要求解的連續(xù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有 (1.87)其中，取，因此

42、有 (1.88)同理當(dāng)時(shí)，有 (1.89)在不考慮方向分布函數(shù)情況下，將二維改進(jìn)分形模型的連續(xù)譜(1.86)式和相同風(fēng)速下的各向同性PM譜進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)分形模型中的正冪率因子，尺度因子，分維數(shù)及時(shí)，兩者吻合較好。由于分形模型能更精細(xì)地反映粗糙海面的細(xì)微結(jié)構(gòu)，使得所模擬的分形海面的功率譜能量向較大的空間波數(shù)方向移動(dòng)，為了使得改進(jìn)分形海面模型在基波波數(shù)附近的譜和PM海譜能更好得吻合，通過(guò)比對(duì)兩種譜的數(shù)值模擬結(jié)果，發(fā)現(xiàn)需引入修正因子到高度起伏均方根與風(fēng)速之間的關(guān)系式(1.46)中，這樣就有 (1.90)通過(guò)數(shù)值求解(1.60)式所模擬的分形海表面輪廓的功率譜，可以確定，這與一維改進(jìn)分形海面模型

43、的情形類(lèi)似。在選取以上參數(shù)條件下，本書(shū)提出的二維改進(jìn)分形模型的功率譜與全域PM譜吻合得較好。圖1.16 不同風(fēng)速下分形模型和PM譜模型海面輪廓相關(guān)函數(shù)的比較圖1.16中給出了不同風(fēng)速下，經(jīng)典分形模型、改進(jìn)分形模型及PM海面的一階和二階相關(guān)函數(shù)的比較。圖中橫坐標(biāo)，從圖中可以看出，不同的風(fēng)速下，由零階Bessel 函數(shù)所決定的改進(jìn)分形模型和由各向同性PM譜經(jīng)二維逆傅立葉變換得到的一階空間相關(guān)函數(shù)吻合較好；而經(jīng)典分形模型與PM譜的一階空間相關(guān)函數(shù)差別相對(duì)較大。同樣，由圖中還可以發(fā)現(xiàn)，由高階Bessel函數(shù)所確定的即考慮風(fēng)向影響的(為簡(jiǎn)單并能說(shuō)明問(wèn)題起見(jiàn)，計(jì)算時(shí)取，)二階情況與文獻(xiàn)28中有關(guān)的二階PM

44、譜相關(guān)函數(shù)結(jié)果吻合得較好，而經(jīng)典分形模型海面的二階相關(guān)函數(shù)與之相差較大。由于空間相關(guān)函數(shù)可直接由譜函數(shù)作逆傅立葉變換得到，圖1.16的計(jì)算結(jié)果也進(jìn)一步說(shuō)明了相對(duì)于經(jīng)典分形模型的功率譜而言，改進(jìn)分形模型的功率譜和經(jīng)典的PM譜分布更趨于一致。圖1.17計(jì)算了改進(jìn)分形模型在空間波數(shù)取不同值時(shí)波浪的方向分布函數(shù)隨方位角的變化，并與文獻(xiàn)27中的Mitsuyasu方向分布函數(shù)結(jié)果進(jìn)行了比較，從圖中可以看出，當(dāng)空間波數(shù)等于基波波數(shù)時(shí)，海浪的方向分布最為集中，隨著海浪空間波數(shù)的增大或減小，海浪的運(yùn)動(dòng)方向逐漸向空間各個(gè)方向展開(kāi)，該結(jié)果和Mitsuyasu波浪方向分布函數(shù)的結(jié)論是一致的。這就證明了本書(shū)中的改進(jìn)分形

45、海面模型的各向異性特征是可靠的。 圖1.17 不同空間波數(shù)時(shí)的方向分布函數(shù) (a)本文結(jié)果 (b)文獻(xiàn)27結(jié)果圖1.18給出了風(fēng)速為5m/s時(shí)二維改進(jìn)分形模型的方向海譜與PM方向譜的比較，從圖中可以看出，改進(jìn)分形模型的方向海譜同PM方向譜一樣都是各向異性的，隨著風(fēng)向角度的不同，海譜的幅值大小是不同的，且兩者在峰值大小上存在差異。 (a) (b)圖1.18 不同風(fēng)速下改進(jìn)分形模型的方向海譜同PM方向海譜的比較 (a)改進(jìn)分形譜(b)PM譜通過(guò)以上分析可知，在一定的參數(shù)條件下，(1.60)式模擬的二維改進(jìn)分形海面方向分布函數(shù)與文獻(xiàn)結(jié)果吻合的較好，方向譜與實(shí)際海面PM譜吻合較好，即本書(shū)中提出的二維改

46、進(jìn)分形模型與經(jīng)典分形模型相比，能更真實(shí)地模擬實(shí)際海面。圖1.19-1.21給出了不同分維數(shù)、風(fēng)向及不同風(fēng)速下的二維改進(jìn)分形海面的表面輪廓示意圖。比較每組中的兩幅圖可得與一維情況時(shí)類(lèi)似的結(jié)論：分維數(shù)越大，粗糙面在細(xì)微結(jié)構(gòu)上變化越劇烈，對(duì)應(yīng)的粗糙面越粗糙。對(duì)比圖1.19和圖1.20還可以看出，風(fēng)向不同時(shí)，海面的高度起伏方向是不同，與二維PM海面的結(jié)果類(lèi)似。對(duì)比圖1.19和圖1.21，可以發(fā)現(xiàn)隨著風(fēng)速的增大，海面的高度起伏變大，這也與一維情況的結(jié)果類(lèi)似。圖1.19 風(fēng)速m/s，風(fēng)向時(shí)不同分維數(shù)的二維改進(jìn)分形海面.圖1.20 風(fēng)速m/s，風(fēng)向時(shí)不同分維數(shù)的二維改進(jìn)分形海面圖1.21 風(fēng)速m/s，風(fēng)向時(shí)

47、不同分維數(shù)的二維改進(jìn)分形海面1.3.4 海浪波方程該方法是由Neumann和Pierson提出的，實(shí)現(xiàn)時(shí)，通過(guò)考慮拉格朗日關(guān)于運(yùn)動(dòng)海面的線性解，其形式如下16 (1.91)通過(guò)對(duì)上述初始解進(jìn)行線性疊加，即可得到用大量離散的空間點(diǎn)表示的海表面方程，即 (1.92)式中、為海面的三維坐標(biāo)，為軸上的平均步長(zhǎng)，是在之間均勻分布的隨機(jī)變量，為一滿足Gaussian分布的隨機(jī)變量，其均值等于風(fēng)向(與軸的夾角)，方差為0.5左右，為波浪的頻譜分布參數(shù)，定義如下 (1.93)為反映浪高的零均值Gaussian隨機(jī)變量，其方差由下式計(jì)算 (1.94)其中為海譜，是在或方向離散的點(diǎn)數(shù)。參 考 文 獻(xiàn)1. Beck

48、man P and Spizzichino A. The Scattering of Electromagnetic Waves from Rough Surfaces. Norwood, MA: Artech House, Inc., 1987.2. Ogivy J A. Theory of Wave Scattering from Random Rough Surface. Bristol: Adam Hilger, 1991.3. Fung A K. Microwave Scattering and Emission Models and Their Applications. Bost

49、on: Artech House, 1994.4. Mandelbrot B B. The Fractal Geometry of Nature. New York: Freeman, 1982.5. Tsang L, Kong J A, Ding K H and Ao C O. Scattering of Electromagnetic Waves: Numerical Simulations. New York: Wiley Interscience, 2001.6. 金亞秋, 劉鵬, 葉紅霞. 隨機(jī)粗糙面與目標(biāo)復(fù)合散射數(shù)值模擬理論與方法. 北京：科學(xué)出版社, 2008.7. 徐德倫, 于

50、定勇. 隨機(jī)海浪理論. 北京：高等教育出版社, 2001.8. Nathanson F E, Reilly J P and Cohen M N. Radar Design Principles, Signal Processing and the Environment (2nd Ed.). New York: McGraw Hill, 1991.9. Skolnik M. Radar Handbook (2nd Ed.). New York: McGraw Hill , 1990.10. 焦培南, 張忠治. 雷達(dá)環(huán)境與電波傳播特性. 北京：電子工業(yè)出版社, 2007.11. Thorsos E I. Acoustic scattering from “Pierson-Moskowitz” sea surface. J. Acoust. Soc. Am., 1990, 88(1): 335349.12. Fung A K and Lee K K. A Semi-empirical sea-spectrum model for scattering coefficient estimation. IEEE Journal of Oceanic Engineering. 1982, 7(4): 16676.13. Hasselmann D E. Directional