第六章空間解析幾何要求與練習(xí)含答案

1、要求與一、學(xué)習(xí)要求1理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示2、 掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積），兩個(gè)向量垂直、平行的條件.掌握單位向量、方向數(shù) 與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，以及用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法3、 掌握平面方程和直線方程及其求法，會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問(wèn)題.7、了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，會(huì)求其方程二、練習(xí)1、一向量起點(diǎn)為 A（ 2，- 2，5），終點(diǎn)為 B （- 1，6，7）,求(1)分別在x軸、y軸上的投影，以及在z軸上的分向量;解:(1)(2) AB的模;（4） AB方向上的單位向量AB3,8,2，AB分別在x軸的投影

2、為-3，在 y軸上的投影為8,在z軸上的分向量2k ;(2)-382方； （3） AB的方向余弦為 一?=一，V77 V77 J771（4） AB方向上的單位向量=（_3i 8j 2k）.呻 4呻轉(zhuǎn)44442、設(shè)向量 a 和 b 夾角為 60°,且 |a| = 5，|b| = 8，求 |a b |，|a-b|.解：b% .' a b 2 = .'|：|2 |b|2 2|a|b|cos60° =、一129， |a-b ha_b 2 二 a-2|a|b|cos600 =7.4呻3、已知向量 a =2,2,1，b =8, -4,1，求一 T 、.、亠（1） 平行于

3、向量 a的單位向量；（2）向量b的方向余弦.解（1） a = -22 22 12 -3平行于向量a的單位向量-2,2 ,3；3 3 3 呻I廠22呻84 1（2） b = V8 +4 +1 =9，向量b的方向余弦為：一，-, .99 94、 一向量的終點(diǎn)為 B （ 2，- 1，7），該向量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影依次為4、一 4和7.求該向量的起點(diǎn) A的坐 標(biāo).T解：AB =（4，-4，7）=（2，-1，7）-（x，y，z）,所以（x，y，z）= （- 2，3，0）;445、已知 a -2, -2,1，b 二3, 2,2，求I 呻-I i（1）垂直于a和b的單位向量；（2）向量a在b上的投影；（3

4、）以a、b為邊的平行四邊形的面積以及夾角余弦解(1) c=a b h_6, _1,10 , c =押7，c0：37 (一6, 1,10)；(2)(3)4"1abr4-斗abab4S = a xbcos a,bsin (a,b ) = J137， cos(a,b )=；516、設(shè)|；|=3 , |b| = 2，向=4，求解：a +b +c2 2b c 2a_b b_c cja 二 0 ,所以 Mb b_c 去a = 29/ 2 ；7、求參數(shù)k，使得平面x ky -2z =9分別適合下列條件:(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5, -4, 一6)；(2)與平面2x 4y 3z =3垂直;(3)與平面2x_3

5、y，z=0成的角;4(4)與原點(diǎn)相距3個(gè)單位;:解：7、( 1) 2 ；( 2) 1；( 3) - ；( 4) _2 ；28、已知平面平行于 y軸，且過(guò)點(diǎn)P(1,-5,1)和Q(3,2, -1)，求平面的方程.解：設(shè)平面方程為：Ax By 0，將P(1,-5,1)和Q(3,2, -1)代入求得 A=1,B=1,D - -2.該平面方9、已知平面過(guò) 0(0,0,0)、A(1,0,1)、B(2,1,0)三點(diǎn)，求該平面方程.解：設(shè)平面方程為：Ax By C 0，將A(1,0,1)、B(2,1,0)代入平面方程得,A =1,B - -2,C - -1,，該平面方程為 x -2y -z =0.10、求過(guò)

6、點(diǎn) M (1,2,1)，且垂直于已知兩平面x，y=0與5y，z-1=0的平面方程.解：兩平面的法向量為：m =1,1,0 ,n 2 =10,5,1，所示平面的法向量為：nn,論 h1,1,o|Q5,1 j： 1,-1,5，則所示的平面方程為：x-y，5z-4=0.X f V Z = 12x y z = 411、把直線化為對(duì)稱式方程及參數(shù)方程解：兩平面的法向量為：m,門(mén)2 h2,1,1，則直線的方向向量為： 斗今Ts =厲 壓=1, T,1 ' i2,1,1二-2,1,3 ，取直線上一點(diǎn)為：(1，1， 1)，則直線對(duì)稱式方程為：X 1 v 1 z 1=t,參數(shù)方程為：彳-213x =1

7、- 2t y = 1 t .z = 1 3t解二：若取點(diǎn)為：（0，-3/2,5/2）,則直線對(duì)稱式方程為：- y-3/2 z-5/2-2， 參數(shù)方程為：x 二 _2t, y =t 3/ 2, z =3t 5/2 .12、求過(guò)點(diǎn)（0,2,4）且與平面x 2z=1及y-3z=2都平行的直線方程.解：兩平面的法向量為：:二1,2,2 , r2 = 0,1, -3，向向量為：s = q Oj = 1,2,2 0,1, -3 - -2,3,1 ，則直線方程為:x _ y _2-2 一 3z-41t，或x - - 2tIy = 2 3tIz = 4 t13、一直線過(guò)點(diǎn) A（2, -3,4）且和y軸垂直相交

8、，求其方程解：過(guò)點(diǎn)A（2, -3,4）的直線與y軸垂直相交的交點(diǎn)為（0,-3，0），直線的方向向量為:x -2（2，0，4），所以直線方程為：204，即3=0z 1 .14.將xoz坐標(biāo)面上的拋物線2 =5x繞x軸旋轉(zhuǎn)周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。7解：由坐標(biāo)面上的曲線繞一坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)生成的曲面方程的規(guī)律，所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方 程為 _ y2 z2 I =5x，即 y2 z215.畫(huà)出下列各方程所表示的曲面:y2 =2(2)29fa 2-!；2 -1 ; (3) z = 2x416 .指出F列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形?(1) x=2 y = x 1 ; (3)x2y2

9、 =4 ; x2 -y2 =1。方程在平面解幾中表示在空間解幾中表示平行于y軸的一直線與yoz平面平行且過(guò)(2,0,0 )的平面斜率為1，在y軸截距為1的直線平行于z軸，過(guò)(0,1,0)，(-1,0,1)的平面圓心在原點(diǎn)，半徑為 2的圓以過(guò)z軸的直線為軸，半徑為 2的圓柱面雙曲線母線平行于z軸的雙曲柱面17說(shuō)明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的?2(1)x2 丄 Z2 =1 ; (2) z _a 2 = x2y2。42解：(1)由xoy坐標(biāo)面上的雙曲線x2 -1，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周或是yoz坐標(biāo)面上的雙曲42線-Z2 =1，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到。4是yoz坐標(biāo)面上關(guān)于z軸對(duì)稱的一對(duì)相交直線(z-a)2 = y

10、2，即z = y + a和z=-y + a中之一條繞z軸旋轉(zhuǎn)一周；或是xoz坐標(biāo)上關(guān)于z軸對(duì)稱的一對(duì)相交直線(z-af = x2，即z = x a和z = -X a中之一條，繞z軸旋轉(zhuǎn)一周。18指出下列方程組在平面解析幾何與空間解析幾何中分別表示什么圖形?U13 ；(24x2y219J =3解：(1)在平面解析幾何中表示兩直線的交點(diǎn)；在空間解析幾何中表示兩平面的交線;(2)在平面解析幾何中表示橢圓與其一切線的交點(diǎn)；在空間解析幾何中表示橢圓柱面2 211與其切平面y =3的交線4919 分別求母線平行于x軸及y軸而且通過(guò)曲線2x2 + y2 + z2 = 16x2 z2 _ y2 = 0的柱面方程。解：10.從方程組中消去x得：3y2-2z2 =16，此方程即母線平行于x軸且通過(guò)已知曲線的柱面方程;20從方程組中消去y得：3x2 2z2 =16，此方程即母線平行于y軸且通過(guò)此曲線的柱面方程。20.求球面x2 y2 z2 =9與平面x z = 1的交線在xoy面上的投影的方程。解