非線性物理11

1、第一章第一章非線性振動初步非線性振動初步第一節(jié) 無阻尼單擺的自由振蕩第二節(jié) 阻尼振子第三節(jié) 受迫振蕩非線性振動初步非線性振動初步第一節(jié)第一節(jié) 無阻尼單擺的自由振蕩無阻尼單擺的自由振蕩 1 小角度無阻尼單擺小角度無阻尼單擺 2 任意角度無阻尼單擺振動任意角度無阻尼單擺振動 3 無阻尼單擺的相圖與勢能曲線無阻尼單擺的相圖與勢能曲線由牛頓第二定律：由牛頓第二定律： 非線性方程非線性方程, 式中角頻率：sin22mgfdtdlm0sin22lgdtd0sin2022dtdlg /01 1 小角度無阻尼單擺小角度無阻尼單擺 數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)學(xué)表達(dá)式(1)(2)(3) 線性化處理線性化處理忽略3次以上的高次項(xiàng)

2、得線性方程! 7! 5! 3sin753xxxxxxx sin02022dtd0sin2022dtd(4)cos()(0tpt002022dtd(5)該式是振幅為該式是振幅為p，角頻率為，角頻率為 的簡諧振動，其振動的簡諧振動，其振動波形為正弦曲線。波形為正弦曲線。角頻率只與擺線角頻率只與擺線 l 得長度有關(guān)，得長度有關(guān)，與擺錘質(zhì)量無關(guān)與擺錘質(zhì)量無關(guān)，稱為固有角頻率。，稱為固有角頻率。引入代換引入代換 得：得：一次積分后：一次積分后： 式中式中e e 為積分常數(shù)，由初始條件決定。把為積分常數(shù)，由初始條件決定。把 看作為兩個看作為兩個變量，則方程是一個圓周方程，圓的半徑為變量，則方程是一個圓周方

3、程，圓的半徑為 ，振動過程，振動過程是一個代表點(diǎn)沿圓周轉(zhuǎn)動。是一個代表點(diǎn)沿圓周轉(zhuǎn)動。022dtdtt 0edtd222121,dtd2e相圖相圖(6)相圖相圖 相圖即狀態(tài)圖，是法國偉大數(shù)學(xué)家龐加萊相圖即狀態(tài)圖，是法國偉大數(shù)學(xué)家龐加萊(poincare(poincare) )于十九于十九世紀(jì)末提出用相空間軌線表示系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的方法。相圖上每一世紀(jì)末提出用相空間軌線表示系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的方法。相圖上每一個點(diǎn)表示了系統(tǒng)在某一時刻狀態(tài)（擺角與角速度），個點(diǎn)表示了系統(tǒng)在某一時刻狀態(tài)（擺角與角速度），系統(tǒng)運(yùn)動狀系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)用相圖上的點(diǎn)的移動來表示，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡稱為軌線態(tài)用相圖上的點(diǎn)的移動來表示，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡稱

4、為軌線。能量方程能量方程右邊第一項(xiàng)為系統(tǒng)動能右邊第一項(xiàng)為系統(tǒng)動能k ，第二項(xiàng)為系統(tǒng)勢能，第二項(xiàng)為系統(tǒng)勢能v，e 是系統(tǒng)的是系統(tǒng)的總能量。運(yùn)動過程中總能量。運(yùn)動過程中k 和和v 兩者都隨時間變化，而系統(tǒng)總能量兩者都隨時間變化，而系統(tǒng)總能量e 保持不變。保持不變。 當(dāng)當(dāng)k =v =0時，時，e=0，有，有 ，這時擺處于靜止?fàn)顟B(tài)，這時擺處于靜止?fàn)顟B(tài)，為靜止平衡。為靜止平衡。 當(dāng)當(dāng)e 0 時，由于系統(tǒng)總能量保持不變，擺的運(yùn)動用確定周時，由于系統(tǒng)總能量保持不變，擺的運(yùn)動用確定周期描述。不同能量期描述。不同能量e 相應(yīng)于半徑不同的圓，構(gòu)成一簇充滿整個相應(yīng)于半徑不同的圓，構(gòu)成一簇充滿整個平面的同心圓平面的同

5、心圓(或橢圓或橢圓)。 同一圓周同一圓周(或橢圓或橢圓)上各點(diǎn)能量相同，又稱為等能軌道。坐標(biāo)上各點(diǎn)能量相同，又稱為等能軌道。坐標(biāo)原點(diǎn)是能量原點(diǎn)是能量e =0 的點(diǎn)，圍繞該點(diǎn)是橢圓，故稱橢圓軌線圍繞的的點(diǎn)，圍繞該點(diǎn)是橢圓，故稱橢圓軌線圍繞的靜止平衡點(diǎn)為靜止平衡點(diǎn)為橢圓點(diǎn)橢圓點(diǎn)。edtd222121evk0周期與擺角無關(guān)？t0為零擺角極限下的周期看看實(shí)驗(yàn)結(jié)果：0510203045t/t01.00001.00051.00191.00771.01741.0369?2/200tglt單擺周期單擺周期2 2 任意角度無阻尼單擺振動任意角度無阻尼單擺振動 定性結(jié)論：1. 周期隨擺角增加周期隨擺角增加而增加而

6、增加2. 隨擺角增加波形隨擺角增加波形趨于矩形趨于矩形單擺周期數(shù)學(xué)表達(dá)式單擺周期數(shù)學(xué)表達(dá)式2 任意角度無阻尼單擺振動任意角度無阻尼單擺振動 任意擺角單擺周期與擺角的關(guān)系可采用如下方法求得任意擺角單擺周期與擺角的關(guān)系可采用如下方法求得將方程將方程(3)乘以乘以 ，并對，并對 積分，得積分，得dtdtcos2202cdtd(7)在最大角位移在最大角位移 處，處， ，可求得積分常數(shù)，可求得積分常數(shù)00dtd2002cosc 因此由因此由(7)式得式得2100coscos2dtd(8)對對(8)式積分，得式積分，得2100coscos2dt(9)設(shè)設(shè) t = 0 時時 ，并設(shè)周期為，并設(shè)周期為 t，則

7、在，則在 t = t/4時應(yīng)有時應(yīng)有 ，再利用三角函數(shù)公式再利用三角函數(shù)公式002sin21cos2可得可得002120202sin2sin41dt(10)引入代換引入代換sin2sin2sin0(11)則有則有ddcos2sin2cos210進(jìn)而可把進(jìn)而可把(10)式變?yōu)槭阶優(yōu)?0212020202120200sin2sin122sin2sin2coscos2sin2dtdtt式中式中002t(12)最后，可計(jì)算出最后，可計(jì)算出 2sin43212sin2110420220tt(13)忽略高次項(xiàng)，可得忽略高次項(xiàng)，可得2sin411020tt(14)任意角度無阻尼擺軌線的數(shù)學(xué)表達(dá)式任意角度無阻

8、尼擺軌線的數(shù)學(xué)表達(dá)式由機(jī)械能守恒定律可知單擺的能量滿足關(guān)系式由機(jī)械能守恒定律可知單擺的能量滿足關(guān)系式cos12122mglmle常量(15)對上式進(jìn)行無量綱化處理對上式進(jìn)行無量綱化處理(即把即把 看作看作 t )，可得，可得tlgt 0hmglecos1212常量(16)由此解得由此解得cos12h(17)1.坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn) 附近附近相軌線為近似橢圓形的閉合道；相軌線為近似橢圓形的閉合道；2.平衡點(diǎn)平衡點(diǎn) 為單擺倒置點(diǎn)為單擺倒置點(diǎn)( (鞍點(diǎn)鞍點(diǎn)),),附近附近相軌線雙曲線相軌線雙曲線;3.從從 到到 或相反的連線為分界線或相反的連線為分界線. .在分界線內(nèi)的軌線是閉合回線在分界線內(nèi)的軌線是閉

9、合回線單擺作周期振動。分界線以外單擺作周期振動。分界線以外單擺能量單擺能量e e 超過勢能曲線的極超過勢能曲線的極大值，軌道就不再閉合，單擺大值，軌道就不再閉合，單擺作向左或向右方向的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動作向左或向右方向的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動00，0 0 0 單擺完整相圖單擺完整相圖3 任意角度無阻尼單擺的相圖與勢能曲線任意角度無阻尼單擺的相圖與勢能曲線相圖橫坐標(biāo)相圖橫坐標(biāo)是以是以2 2 為周期的，為周期的，擺角擺角 是同一個倒立位置，是同一個倒立位置，把相圖上把相圖上g g點(diǎn)與點(diǎn)與g g 點(diǎn)重迭一起點(diǎn)重迭一起時，就把相平面卷縮成一個柱時，就把相平面卷縮成一個柱面。所有相軌線都將呈現(xiàn)在柱面。所有相軌線都將呈現(xiàn)在柱面上

10、。因此，平面上的相軌線面上。因此，平面上的相軌線是柱面上的相軌線的展開圖。是柱面上的相軌線的展開圖。柱面上的單擺相軌線柱面上的單擺相軌線3 任意角度無阻尼單擺的相圖與勢能曲線任意角度無阻尼單擺的相圖與勢能曲線第二節(jié)第二節(jié) 阻尼振子阻尼振子1 阻尼單擺 不動點(diǎn)2 無驅(qū)杜芬方程1. 阻尼單擺阻尼單擺 不動點(diǎn)不動點(diǎn)無阻尼時：設(shè)阻尼力與擺的速度成 正比：取 得：如果滿足 則有：sinmgfdtdlm22sinmgdtdlfdtdlm22m2/0sin22022dtddtdxx sin022022dtddtdl數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)學(xué)表達(dá)式設(shè)解為得特征方程l為待定常數(shù)，特征方程解：故有：通解為最后有：tel022

11、02ll2022, 1l220li2, 1)(21)(2)(1titittitiececeecec)cos(tept小擺角阻尼單擺的解小擺角阻尼單擺的解1. 阻尼單擺阻尼單擺 不動點(diǎn)不動點(diǎn))cos(tept)sin()cos(ttepdtdtsin)sin(cos)cos(taevtaeuttpattae相軌線相軌線 吸引子吸引子1. 阻尼單擺阻尼單擺 不動點(diǎn)不動點(diǎn)對阻尼單擺解對阻尼單擺解引入新變量引入新變量 ( u, v)相軌線相軌線 吸引子吸引子1. 阻尼單擺阻尼單擺 不動點(diǎn)不動點(diǎn) 阻尼單擺軌線矢徑隨轉(zhuǎn)角增加而縮短，在阻尼單擺軌線矢徑隨轉(zhuǎn)角增加而縮短，在u,v平面上是向內(nèi)平面上是向內(nèi)旋轉(zhuǎn)的

12、對數(shù)螺旋線簇。在旋轉(zhuǎn)的對數(shù)螺旋線簇。在 平面內(nèi)也與此類似。平面內(nèi)也與此類似。 能量耗散使相軌線矢徑對數(shù)衰減。無論從哪點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)若干能量耗散使相軌線矢徑對數(shù)衰減。無論從哪點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)若干次旋轉(zhuǎn)后趨向坐標(biāo)原點(diǎn)，原點(diǎn)為次旋轉(zhuǎn)后趨向坐標(biāo)原點(diǎn)，原點(diǎn)為“吸引子吸引子”，它把相空間的點(diǎn)，它把相空間的點(diǎn)吸引過來，原點(diǎn)又稱吸引過來，原點(diǎn)又稱不動點(diǎn)不動點(diǎn)。tae,1. 整相平面被通過鞍點(diǎn)整相平面被通過鞍點(diǎn)g與與g 的軌線分成三個區(qū)域。的軌線分成三個區(qū)域。2. 在坐標(biāo)原點(diǎn)附近軌線是向在坐標(biāo)原點(diǎn)附近軌線是向內(nèi)旋轉(zhuǎn)的對數(shù)螺旋線內(nèi)旋轉(zhuǎn)的對數(shù)螺旋線, ,和小和小擺角情況相似。擺角情況相似。3. 鞍點(diǎn)的位置仍在原處。鞍點(diǎn)的位置

13、仍在原處。任意擺角下的相圖任意擺角下的相圖1. 阻尼單擺阻尼單擺 不動點(diǎn)不動點(diǎn)運(yùn)動運(yùn)動 從倒立開始往下擺，從倒立開始往下擺，由于能量耗散達(dá)不到原有由于能量耗散達(dá)不到原有高度。高度。軌線軌線 從一個鞍點(diǎn)出發(fā)到不從一個鞍點(diǎn)出發(fā)到不了另一鞍點(diǎn)，分界線被破了另一鞍點(diǎn)，分界線被破壞了。壞了。相流相流 所有中間區(qū)域的相點(diǎn)所有中間區(qū)域的相點(diǎn)流向坐標(biāo)原點(diǎn)。原點(diǎn)是該流向坐標(biāo)原點(diǎn)。原點(diǎn)是該區(qū)域的不動點(diǎn)，是該區(qū)域區(qū)域的不動點(diǎn)，是該區(qū)域吸引子。左右兩個區(qū)域也吸引子。左右兩個區(qū)域也有相應(yīng)的吸引子，它們分有相應(yīng)的吸引子，它們分別處在該圖左別處在該圖左( -2( -2) )和右和右(+2(+2 ) )兩側(cè)。兩側(cè)。2. 杜芬

14、方程杜芬方程 數(shù)學(xué)上將含有 三次項(xiàng)的二階方程稱為duffing方程。有。有驅(qū)動力方程為： 例例：弱非線性單擺屬duffing方程：?。?得：tfxxdtdxdtxdcos3223x6/sin3xxx0)6/(32022xxdtdxdtxd0sin2022xdtdxdtxd杜芬杜芬方程研究無驅(qū)無阻尼杜芬方程：研究無驅(qū)無阻尼杜芬方程： 積分得：積分得：由系統(tǒng)能量由系統(tǒng)能量 知：知：23200,1,0d xxxdtf exxdtdx242212121evk242121xxv00勢能曲線勢能曲線2. 杜芬方程杜芬方程00勢能曲線勢能曲線2. 杜芬方程杜芬方程勢能：勢能： 討論討論：由：由 知：知：1.

15、 當(dāng)當(dāng) 時有一個平衡點(diǎn)：時有一個平衡點(diǎn)：2. 當(dāng)當(dāng) 時有三個平衡點(diǎn)：時有三個平衡點(diǎn)：3. 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn) 為兩個能量最小點(diǎn)為兩個能量最小點(diǎn)242121xxv0000/dxdv00 xx0 xx00相圖相圖2. 杜芬方程杜芬方程00 從杜芬方程從杜芬方程勢能曲線勢能曲線，畫出，畫出( ( ）平面上的相軌線。）平面上的相軌線。1. 1. 對于對于 ，坐標(biāo)原點(diǎn)是橢圓點(diǎn)，附近為閉合橢圓軌道，坐標(biāo)原點(diǎn)是橢圓點(diǎn)，附近為閉合橢圓軌道; ;2. 2. 對于對于 , ,坐標(biāo)原點(diǎn)是鞍點(diǎn)，鄰近相軌線是雙曲線坐標(biāo)原點(diǎn)是鞍點(diǎn)，鄰近相軌線是雙曲線; ;在在 處是處是橢圓點(diǎn)，附近是閉合軌道。因原點(diǎn)軌線附近呈雙曲線，形成一對蛋橢圓點(diǎn)，附近是閉合軌道。因原點(diǎn)軌線附近呈雙曲線，形成一對蛋形軌線。形軌線。3. 3. 對于對于 , ,通過坐標(biāo)原點(diǎn)是兩條相交界軌線。其中兩條軌線走向原通過坐標(biāo)原點(diǎn)是兩條相交界軌線。其中兩條軌線