相似矩陣的定義及性質(zhì)

1、1二二. 相似矩陣的定義及性質(zhì)相似矩陣的定義及性質(zhì)定義定義: 設(shè)設(shè) 都是都是 階矩陣，若存在可逆矩陣階矩陣，若存在可逆矩陣 ，使得，使得,a bnp1papb 則稱矩陣則稱矩陣 是矩陣是矩陣 的的相似矩陣，相似矩陣，ab對對 進行運算進行運算 稱為對稱為對 進行進行相似變換，相似變換，a1papapab可逆矩陣可逆矩陣 稱為把矩陣稱為把矩陣 變成矩陣變成矩陣 的的相似變換矩陣。相似變換矩陣。ab或稱矩陣或稱矩陣 與矩陣與矩陣 相似，相似，記作記作ab注：注：矩陣相似是一種等價關(guān)系矩陣相似是一種等價關(guān)系（1）反身性：）反身性：.aa（2）對稱性：若）對稱性：若 則則ab.ba（3）傳遞性：若）傳

2、遞性：若 則則,ab bc.ac2性質(zhì)性質(zhì)1: 相似矩陣有相似矩陣有相同的特征多項式、相同特征值、相同的特征多項式、相同特征值、 相同的行列式、相同的跡、相同的秩相同的行列式、相同的跡、相同的秩推論：推論：若矩陣若矩陣 與對角陣與對角陣 相似，相似，n na 12n 則則 是是 的的 個特征值。個特征值。12,n an3(1) 相似矩陣或者都可逆，或者都不可逆。相似矩陣或者都可逆，或者都不可逆。當(dāng)它們可逆時，它們的逆矩陣也相似。當(dāng)它們可逆時，它們的逆矩陣也相似。其它的有關(guān)相似矩陣的性質(zhì)：其它的有關(guān)相似矩陣的性質(zhì)：(3)若若 與與 相似，則相似，則 與與 相似。（相似。（ 為正整數(shù)）為正整數(shù)）a

3、bmambm 1111212.pa appa ppa p (5) 11111221122pk ak apk pa pk pa p(6)（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）12,k k(2)若若 與與 相似，則相似，則 與與 相似。（相似。（ 為正整數(shù)）為正整數(shù)）abkkakb(4)若若 與與 相似，而相似，而 是一個多項式，是一個多項式，ab( )f x則則 與與 相似。相似。( )f a( )f b4（2）有相同特征多項式的矩陣不一定相似。）有相同特征多項式的矩陣不一定相似。注注： （1）與單位矩陣相似的與單位矩陣相似的n階矩陣只有單位陣階矩陣只有單位陣e本身，本身， 與數(shù)量矩陣與數(shù)量矩陣ke 相似

4、的相似的n階方陣只有數(shù)量陣階方陣只有數(shù)量陣ke本身。本身。三三. 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件（利用相似變換把方陣對角化）（利用相似變換把方陣對角化）na對對 階方陣階方陣 ，如果可以找到可逆矩陣，如果可以找到可逆矩陣 ，p使得使得 為對角陣，就稱為為對角陣，就稱為把方陣把方陣 對角化。對角化。1pap a5定理定理1： 階矩陣階矩陣 可對角化（與對角陣相似）可對角化（與對角陣相似）na 有有 個線性無關(guān)的特征向量。個線性無關(guān)的特征向量。an（2）可逆矩陣）可逆矩陣 由由 的的 個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量 作列向量構(gòu)成。作列向量構(gòu)成。pan(逆命題不成立逆命題不成立)推論

5、：推論：若若 階方陣階方陣 有有 個互不相同的特征值個互不相同的特征值,nan則則 可對角化。（與對角陣相似）可對角化。（與對角陣相似）a 注注：（1）若）若 則則 的主對角元素即為的主對角元素即為 的特征值，的特征值，,a aa矩陣矩陣 的的相似標(biāo)準(zhǔn)形。相似標(biāo)準(zhǔn)形。k 如果不計如果不計 的排列順序，則的排列順序，則 唯一，稱之為唯一，稱之為6例例1:1: 判斷下列實矩陣能否化為對角陣？判斷下列實矩陣能否化為對角陣？122(1) 224242a 212(2) 533102a 解解: : 722 0 122(1)224242ae 得得1232,7 7得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系12221 ,0 .01p

6、p 當(dāng)當(dāng) 時，齊次線性方程組為時，齊次線性方程組為122 20ae x 1222244244ae 122000000 12322xxx 當(dāng)當(dāng) 時，齊次線性方程組為時，齊次線性方程組為 70ae x37 8227254245ae 1102011000 8得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系3122p 132312xxxx 2211020012 123,ppp線性無關(guān)線性無關(guān)即即a有有3個線性無關(guān)的特征向量，所以個線性無關(guān)的特征向量，所以a可以對角化?？梢詫腔?212(2)533102ae 310 212 533102a 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系11 ,1 所以所以 不能化為對角矩陣不能化為對角矩陣.a1231.

7、 當(dāng)當(dāng) 時，齊次線性方程組為時，齊次線性方程組為 0ae x1231 312523101ae 101011000 10解：解：460350361ae 2120 例例2 2：設(shè)：設(shè)460350 .361a 若能對角化，求出可逆矩陣若能對角化，求出可逆矩陣 使得使得 為對角陣。為對角陣。p1pap 問問 能否對角化？能否對角化？a1231,2. 11得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系121 ,0p 200 .1p 當(dāng)當(dāng) 時，齊次線性方程組為時，齊次線性方程組為121 0ae x 360360360ae 120000000 122xx 當(dāng)當(dāng) 時，齊次線性方程組為時，齊次線性方程組為32 20ae x 660233

8、0363ae 101011000 121323xxxx 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系311.1p 2011010011 123,ppp線性無關(guān)，線性無關(guān)，a可以對角化?？梢詫腔?。令令 123201,101011pppp則有則有1100 010002pap 13注意：注意：若令若令 31211121001,0,pppp 即矩陣即矩陣 的列向量和對角矩陣中特征值的的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應(yīng)位置要相互對應(yīng)p1121 .pap 則有則有14把一個矩陣化為對角陣，不僅可以使矩陣運算簡化，而且把一個矩陣化為對角陣，不僅可以使矩陣運算簡化，而且在理論和應(yīng)用上都有意義。在理論和應(yīng)用上都有意義?？蓪?/p>

9、化的矩陣主要有以下可對角化的矩陣主要有以下幾種應(yīng)用：幾種應(yīng)用：1. 由特征值、特征向量反求矩陣由特征值、特征向量反求矩陣?yán)?：已知方陣：已知方陣 的特征值是的特征值是a1230,1,3,相應(yīng)的特征向量是相應(yīng)的特征向量是1231111 ,0,2 ,111 求矩陣求矩陣.a15解：因為特征向量是解：因為特征向量是3維向量，所以矩陣維向量，所以矩陣 是是3 階方陣。階方陣。a因為因為 有有 3 個不同的特征值，所以個不同的特征值，所以 可以對角化?？梢詫腔a即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣 , 使得使得p1pap 其中其中111102 ,111p 01,3 求得求得1111333110,2211

10、1636p 161ap p 11133311101110210221113111636 110121011 172. 求方陣的冪求方陣的冪例例4：設(shè)：設(shè) 求求45,23a 100.a解：解：4523ae (2)(1)0121,2. a可以對角化?？梢詫腔｝R次線性方程組為齊次線性方程組為當(dāng)當(dāng) 時，時，11 0ae x1100 5522ae 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣12xx 令令 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系:21x 111p 18齊次線性方程組為齊次線性方程組為當(dāng)當(dāng) 時，時，22 20ae x2500 25225ae 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣1252xx 令令 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系:21x 252p 令令12(,)

11、ppp 1512 求得求得1251311p 即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣 , 使得使得p112pap 191ap p 1001001app 10015102513120211 1001001525( 1)013121102 100100101101252552132252 203. 求行列式求行列式例例5：設(shè)：設(shè) 是是 階方陣，階方陣， 是是 的的 個特征值，個特征值，an2,4,2nan計算計算3.ae 解解：方法方法1 求求 的全部特征值，的全部特征值， 再求乘積即為行列式的值。再求乘積即為行列式的值。3ae ( )3f xx設(shè)設(shè)a的特征值是的特征值是2,4,2n即即2 ,ii 3ae的特

12、征值是的特征值是()23ifi 1323( 1) 1 3(23)niaein 21方法方法2：已知已知 有有 個不同的特征值，所以個不同的特征值，所以 可以對角化，可以對角化，ana即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣 , 使得使得p1242papn 1ap p 1133aep ppep1(3)pe p 13pe p 3e 234323n ( 1) 1 3(23)n 224. 判斷矩陣是否相似判斷矩陣是否相似解：解：方法方法13( )3,bf aaaeb的特征值為的特征值為(1)1(2)3(3)19fff 令令3( )31f xxx3階矩陣階矩陣 有有3個不同的特征值，所以個不同的特征值，所以 可以對

13、角化?？梢詫腔?。bb例例6：已知：已知3階矩陣階矩陣 的特征值為的特征值為1，2，3，a23,baae設(shè)設(shè)問矩陣問矩陣 能否與對角陣相似？能否與對角陣相似？a23即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣 , 使得使得p1123pap 113(3)p bppaae p1311(3 )pa ppa pp ep1111()()()3pappappappape31112321331 1319 方法方法2：因為矩陣因為矩陣 有有3個不同的特征值，所以可以對角化，個不同的特征值，所以可以對角化，a所以矩陣所以矩陣 能與對角陣相似。能與對角陣相似。b24例例7：設(shè)：設(shè) 階方陣階方陣 有有 個互異的特征值，個互異的特征值，nan 階方陣階方陣 與與 有相同的特征值。有相同的特征值。nba證明：證明：ba與與 相似。相似。證：設(shè)證：設(shè) 的的n個互異的特征值為