電磁場(chǎng)與電磁波課后習(xí)題及答案二章習(xí)題解答

1、二章習(xí)題解答，一4 ；0U0d*3x'3，式中陰極板位于9x=d，極間電壓為U0。如果U0=40V、d =1cm、橫截面S=：10cm2，2.1一個(gè)平行板真空二極管內(nèi)的電荷體密度為X = 0，陽(yáng)極板位于 求：（1）x=0和x=d區(qū)域內(nèi)的總電荷量 Q ；（ 2）x=d2和x=d區(qū)域內(nèi)的總電荷量 Q。d 4x-2）Sdx 4 ；0U0S =-4.72 10七093d 0 0(2)2.2質(zhì)子束， 解（1）Q = J Pd i J（-二U 0ddQ 二"二t'一個(gè)體密度為p質(zhì)子束內(nèi)的電荷均勻分布，束直徑為質(zhì)子的質(zhì)量m=1.7 10 27 kg、1 2mv2（-上；0U0d&q

2、uot;x'3）Sdx4（1-）；0U0S =0.97 101 Cd 293d2=2 32漢10二C/m的質(zhì)子束，通過1000V的電壓加速后形成等速的2 mm，束外沒有電荷分布， 試求電流密度和電流。 電量q =1.6 10山c。由=qUv 二 2mqU =1.37 106 m sJ 二 Z=0.318 Am2I = J（d/2）2 =10上 A一個(gè)半徑為a的球體內(nèi)均勻分布總電荷量為Q的電荷，球體以勻角速度，繞一個(gè)直徑2.3旋轉(zhuǎn)，求球內(nèi)的電流密度。解 以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸（一直徑）為 z軸的夾角為二，則p點(diǎn)的線速度為球內(nèi)的電荷體密度為z軸。設(shè)球內(nèi)任一點(diǎn) P的位置矢量為r，且r與r s

3、inQ4 兀 a3/3J = v = 3r sin 二4 兀 a3/3a的導(dǎo)體球帶總電荷量為 Q，同樣以勻角速度 .繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)，求球表4-a32.4 一個(gè)半徑為 面的面電流密度。解 以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸（一直徑）為z軸。設(shè)球面上任一點(diǎn) P的位置矢量為r，且r與z軸的夾角為二，則p點(diǎn)的線速度為v = r = e as in71球面的上電荷面密度為Q 2 as in v - e si nr4兀a22.5 兩點(diǎn)電荷 q =8C位于z軸上z =4處，q2二-4C位于丫軸上y = 4處，求(4,0,0)處 的電場(chǎng)強(qiáng)度。解 電荷qi在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為E!qir-r2 ex4 - ez44

4、5r ri一二 0 (4 一 2)36電荷eq,在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為q24 二；0r -thr J31 ex4 - ey4二；0 (42)3故(4,0,0)處的電場(chǎng)為exez232、2二 02.6 一個(gè)半圓環(huán)上均勻分布線電荷;?i，求垂直于圓平面的軸線上E (0,0, a)，設(shè)半圓環(huán)的半徑也為 a，如題2.6圖所示。解 半圓環(huán)上的電荷元 幾d|丄一ad在軸線上z = a處的電場(chǎng)強(qiáng)度為z二a處的電場(chǎng)強(qiáng)度x題2.6圖dEa r -r4二；0 (, 2a)3_5_ ez二(ex cosey sin_) j .8、2 二；0a在半圓環(huán)上對(duì)上式積分，得到軸線上z=a處的電場(chǎng)強(qiáng)度為M ez：-e

5、 x2)8 - 2二；0aE (0,0, a)二.d E 二7= J ez-(excos 如 +ey si n°")dA=8 ；2°a _二22.7三根長(zhǎng)度均為L(zhǎng),均勻帶電荷密度分別為:?ii、:|2和:?i3地線電荷構(gòu)成等邊三角形。設(shè)1 = 2 ： 12 = 23，計(jì)算三角形中心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解 建立題2.7圖所示的坐標(biāo)系。三角形中心到各邊的距離為y題2.7圖d=Lta n303L2 6則gd3?l1Eey(COS30,-cos150)=eyy4二;0dy2二;0LE-(excos30 e,si門30)丑(盼 3 - ey)J1-2応名。L8兀£

6、76;LE3 =(excos30 -eySin30)2(ex、3 -唧王匚2%L8 瓏0L故等邊三角形中心處的電場(chǎng)強(qiáng)度為E =巴 E2 E3 二ey 亙-（補(bǔ) 3 ey）亙（ex 3 - ey）丄二 e丄2二；0L8二；0L8二；0L4二；0L2.8 點(diǎn)電荷+q位于（a,0,0）處，另一點(diǎn)電荷-2q位于（a,0,0）處，空間有沒有電場(chǎng)強(qiáng) 度E =0的點(diǎn)？解 電荷+q在（x, y,z）處產(chǎn)生的電場(chǎng)為二 q ex(x a) ey ezZ一4二;。(x a)2 y2 z232電荷_2q在（x, y,z）處產(chǎn)生的電場(chǎng)為2q ex(x -a) ey ez222 3.2（x, y, z）處的電場(chǎng)則為4二；

7、0 (x-a) y z 。令e =0，則有ex(x a) eyy ezz = 2ex(a) eyy ezZr / 亠 2 亠 2 斗 2 = 3"2、2 斗 2 亠 2十3"2(x+a) +y +z (x_a) + y +z由上式兩端對(duì)應(yīng)分量相等，可得到(x+a)(x _a)2 +y2 +z232 =2(x_a)(x + a)2 + y2 +z23'2y(x a)2 + y2 +z232 =2y(x +a)2 + y2 +z23'2z(xa)2 +y2 +z23'2 =2z(x +a)2 + y2 +z232當(dāng)y = 0或z - 0時(shí)，將式或式代入式

8、，得a=0。所以，當(dāng)y = 0或z = 0時(shí)無(wú)解；當(dāng)y=0且z=0時(shí)，由式，有(x+a)(x_a)3 =2(x_a)(x + a)3解得但x-3a 2 2a不合題意，故僅在,2.9 個(gè)很薄的無(wú)限大導(dǎo)電帶電面， 的電場(chǎng)強(qiáng)度E中，有一半是有平面上半徑為解半徑為x =(-3_2、.2)a(-3a_2、.2a,0,0)處電場(chǎng)強(qiáng)度 E= 0。 電荷面密度為 二。證明：垂直于平面的z軸上Z = 處.3%的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生的。電荷線密度為- dr的帶電細(xì)圓環(huán)在z軸上z = z°處的電場(chǎng)強(qiáng)度為d E _ ez22 3 22 臥 r2+E)32故整個(gè)導(dǎo)電帶電面在 z軸上z = z0處的電場(chǎng)強(qiáng)度為rqdr

9、O0二 ez一 0 2；0廠>wz0drz01E _ ez2232 Yz22 12°2；°(r -20)2 ；0 (r n)而半徑為 3z0的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生在 z軸上 s 處的電場(chǎng)強(qiáng)度為當(dāng)球體以均勻角速度，3z0i rgdrg 1E _ ez J / 2 丄 ez / 2 丄21 2_ ez 0 20(r +z。)2® (r +Z。)1。4可2.10 一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球帶電荷量為Q，當(dāng)球體以均勻角速度繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)，如題2.10圖所示。求球心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度解 球面上的電荷面密度為Q24兀a國(guó)繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)時(shí)，球面上位置矢量r=era點(diǎn)處的電流面密度為r；2

10、0d rr；20 dr8二 a84兀細(xì)圓環(huán)的半徑為 b =asi，圓環(huán)平面到球心的距離d =acosr，禾U用電流圓環(huán)的軸線上的磁場(chǎng)公式，則該細(xì)圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為-0b2 d IJ0 Qa2sind-J s = -" v =3 r =、" ez'：' - er a =ccQ e-x a sin)- e sin 二屮屮4兀a將球面劃分為無(wú)數(shù)個(gè)寬度為dl二ad寸的細(xì)圓環(huán)，則球面上任一個(gè)寬度為dI = a細(xì)圓環(huán)的電流為d I = Jsd lQsinv000 Qsin3=d =d B _ez223 2 - ez2.222 32 一 ez2(b d )8 (

11、a sin 二 a cos -)故整個(gè)球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為0Qsi nU-%'QB弋.0d丄e2.11兩個(gè)半徑為b、同軸的相同線圈，各有N匝，相互隔開距離為 d，如題2.11圖所示。電流|以相同的方向流過這兩個(gè)線圈。（1） 求這兩個(gè)線圈中心點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B =exBx ；（2）證明：在中點(diǎn)處dBX/dx等于零；（3） 求出b與d之間的關(guān)系，使中點(diǎn)處 d2 B dx2也等于零。解（1）由細(xì)圓環(huán)電流在其軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度B V2Be%N|b2(b2 d24)32x (0 ： x ： d)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 亠%NIb2' 2(b2 x2)322b2 (d -x)2323%N

12、lb2x3%Nlb2(d-x)2(b2 x2)2b2 (d x)2處，有3%Nlb2d 23%Nlb2d 22b2 d2 4522b2 d2 4520d2 Bx15%Nlb2x2 _ 30Nlb22(b2 x2)722(b2 x2)5215%Nlb2(d -x)2 _3%Nlb22b2 (d x)2722b2 (d x)2525d41b2匚d2 4*2 _b2 +d2 452即5d2. 4 二 b2 d2 4故解得d = b2.12 條扁平的直導(dǎo)體帶，寬為2a，中心線與z軸重合，通過的電流為。證明在第一Bx =_上必0(，By =上1 n12式中a、r1和2如題2.12圖所示。x4- a n解

13、 將導(dǎo)體帶劃分為無(wú)數(shù)個(gè)寬度為dx的細(xì)條帶，每一細(xì)條帶的電流dl二丄dx，。由安培環(huán)路定理，可得位于x處 2a 的細(xì)條帶的電流dl在點(diǎn)P(x, y)處的磁場(chǎng)為，%ldx4二a(x-x )2 y212 %lydx4 a(x -x )2 y2得到兩個(gè)線圈中心點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為（2）兩線圈的電流在其軸線上%Nlb2B=ex<dBx = dx故在中點(diǎn)x = d2 dBx dx所以2.5 2(3)dx22 i7 2令 d2Bxdx2x =d 2=0，有象限內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為則題2.12圖=0dB 二土也S2- R 4aRdBx = -d Bsin 八-15所以BxdByBcos 。巴匕4兀 a(x x

14、 j2 + y %ly dx.224：a(x-x) y Jol2-X !arctan%larcta n-arcta n_a _x%1y丿% Iarcta n-arcta na4 二 a巴 I | (x + a)2 + y2in 2 2 8 a (x _ a) yaBy22/二a(x-x) y 2.13如題2.13圖所示，有一個(gè)電矩為 P的電偶極子，位于坐標(biāo)原點(diǎn)上，另一個(gè)電矩為 R,的電偶極子，位于矢徑為r的某一點(diǎn)上。試證明兩偶極子之間相互作用力為Fr彳山卩：(sinsincos -2cosKCOsr2)4 二；0r式中弓=：r, p -，2=：r, p ， '是兩個(gè)平面(r, p)和(

15、r, P2)間的夾角。樣的相對(duì)取向下這個(gè)力值最大？解電偶極子p在矢徑為r的點(diǎn)上產(chǎn)生的電場(chǎng)為4 ；or r所以P與P2之間的相互作用能為13(融(2)W4 =-pl_E14%因?yàn)?= r, p ，勺 “r, p,，p|_r = pir cosippf = p2r cos2又因?yàn)?#169;是兩個(gè)平面(r, p)和(r, p>)間的夾角，所以有(r=<p)b(r 漢 p2r2p.|p2sinsinEcosS3另一方面，利用矢量恒等式可得(r 漢 pOE 卩2)=(“ p)x訕pr2p _(rLpJ門LIp2 = r2(pLP2) -(rLp)(丄pj%l (x -x )d x%lln

16、(x-x)2 y24 - ari4 :；P_ P2r并冋兩個(gè)偶極子在怎因此1(p1 b)2【(r pi)_(r p2) (r_pj(rp2) = RPzSinsincos口p?coscosr于是得至UWe 二 P1p>2 3 (sinq sinr2 cos - 2cosq cos2)4%故兩偶極子之間的相互作用力為ppd 1（si nq sin 日 2 cos 一 2co陰 co52）（飛）= d r rFr = 一-r3p1p2-4 （sinsigeos - 2C0S20S 2） 4二；0r由上式可見，當(dāng) K -勺=0時(shí)，即兩個(gè)偶極子共線時(shí)，相互作用力值最大。2.14 兩平行無(wú)限長(zhǎng)直線

17、電流h和丨2，相距為解 無(wú)限長(zhǎng)直線電流Il產(chǎn)生的磁場(chǎng)為Bi直線電流J每單位長(zhǎng)度受到的安培力為F m12d，求每根導(dǎo)線單位長(zhǎng)度受到的安培力Fm。tl0l 1“左71I I二 l2ezB1dy2 0 1 202d式中©2是由電流Ii指向電流丨2的單位矢量。同理可得，直線電流Ii每單位長(zhǎng)度受到的安培力為F _ F _e Jo|il廠 m21廠 m12e122.15 根通電流11的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線和一個(gè)通電流I2的圓環(huán)在同一平面上，圓心與導(dǎo)線的距離為d，如題2.15圖所示。證明：兩電流間相互作用的安培力為Fm - l1l2（sec： -1） 這里是圓環(huán)在直線最接近圓環(huán)的點(diǎn)所張的角。解 無(wú)限長(zhǎng)直線電流l1產(chǎn)生的磁場(chǎng)為M12-r圓環(huán)上的電流元I 2 d 12受到的安培力為由題2.15圖可知所以r10I1I2d Fm Fd 12 Bd l2 ey 丄2“d12 =(-in r ezcosr)adrx = d acos-J0al1l22x匚(-ezsin&excose)dT =0 2二(d a cost)-al l 2 二r0al1I 2_ex2jt2 :沖 e %al1l2, 2兀d,d H = _e x（-十；=0 （d acos?。?二 a a、d2 -a22.16 證明在不均勻的電場(chǎng)中，某一電偶極子P繞坐標(biāo)原點(diǎn)所受到的力矩為 r （必