固體物理學課后題答案

1、第一章 晶體結(jié)構(gòu)1.1、 如果將等體積球分別排成下列結(jié)構(gòu)，設(shè)x表示鋼球所占體積與總體積之比，證明：結(jié)構(gòu) X簡單立方 體心立方 面心立方 六角密排 金剛石 解：實驗表明，很多元素的原子或離子都具有或接近于球形對稱結(jié)構(gòu)。因此，可以把這些原子或離子構(gòu)成的晶體看作是很多剛性球緊密堆積而成。這樣，一個單原子的晶體原胞就可以看作是相同的小球按點陣排列堆積起來的。它的空間利用率就是這個晶體原胞所包含的點的數(shù)目n和小球體積V所得到的小球總體積nV與晶體原胞體積Vc之比，即：晶體原胞的空間利用率， （1）對于簡立方結(jié)構(gòu)：（見教材P2圖1-1）a=2r， V=，Vc=a3，n=1（2）對于體心立方：晶胞的體對角線

2、BG=n=2, Vc=a3（3）對于面心立方：晶胞面對角線BC=n=4，Vc=a3（4）對于六角密排：a=2r晶胞面積：S=6=晶胞的體積：V=n=12=6個 （5）對于金剛石結(jié)構(gòu)，晶胞的體對角線BG= n=8, Vc=a31.3、證明：面心立方的倒格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方。證明：（1）面心立方的正格子基矢（固體物理學原胞基矢）：由倒格子基矢的定義：，同理可得：即面心立方的倒格子基矢與體心立方的正格基矢相同。所以，面心立方的倒格子是體心立方。（2）體心立方的正格子基矢（固體物理學原胞基矢）：由倒格子基矢的定義：，同理可得：即體心立方的倒格子基矢與面心立方的正格基矢相同。所以，

3、體心立方的倒格子是面心立方。1.5、證明倒格子矢量垂直于密勒指數(shù)為的晶面系。證明：因為，利用，容易證明所以，倒格子矢量垂直于密勒指數(shù)為的晶面系。1.6、對于簡單立方晶格，證明密勒指數(shù)為的晶面系，面間距滿足：，其中為立方邊長；并說明面指數(shù)簡單的晶面，其面密度較大，容易解理。解：簡單立方晶格：，由倒格子基矢的定義：，倒格子基矢：倒格子矢量：，晶面族的面間距：面指數(shù)越簡單的晶面，其晶面的間距越大，晶面上格點的密度越大，單位表面的能量越小，這樣的晶面越容易解理。1.9、畫出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面與（100）面、（111）面與（110）面的交線的晶向。解：

4、1、(111)面與(100)面的交線的AB，AB平移，A與O點重合，B點位矢：， (111)面與(100)面的交線的晶向，晶向指數(shù)。2、(111)面與(110)面的交線的AB，將AB平移，A與原點O重合，B點位矢：，(111)面與(110)面的交線的晶向，晶向指數(shù)。第二章 固體結(jié)合2.1、兩種一價離子組成的一維晶格的馬德隆常數(shù)（）和庫侖相互作用能，設(shè)離子的總數(shù)為。 解 設(shè)想一個由正負兩種離子相間排列的無限長的離子鍵，取任一負離子作參考離子（這樣馬德隆常數(shù)中的正負號可以這樣取，即遇正離子取正號，遇負離子取負號），用r表示相鄰離子間的距離，于是有 前邊的因子2是因為存在著兩個相等距離的離子，一個在

5、參考離子左面，一個在其右面，故對一邊求和后要乘2，馬德隆常數(shù)為當X=1時，有 2.3、若一晶體的相互作用能可以表示為 試求：（1）平衡間距；（2）結(jié)合能（單個原子的）；（3）體彈性模量；（4）若取，計算及的值。解：（1）求平衡間距r0由，有：結(jié)合能：設(shè)想把分散的原子（離子或分子）結(jié)合成為晶體，將有一定的能量釋放出來，這個能量稱為結(jié)合能（用w表示）（2）求結(jié)合能w（單個原子的）題中標明單個原子是為了使問題簡化，說明組成晶體的基本單元是單個原子，而非原子團、離子基團，或其它復(fù)雜的基元。顯然結(jié)合能就是平衡時，晶體的勢能，即Umin即： （可代入r0值，也可不代入）（3）體彈性模量由體彈性模量公式：（

6、4）m = 2，n = 10， w = 4eV，求、 將，代入詳解：（1）平衡間距r0的計算晶體內(nèi)能平衡條件，（2）單個原子的結(jié)合能，（3）體彈性模量晶體的體積，A為常數(shù)，N為原胞數(shù)目晶體內(nèi)能由平衡條件，得 體彈性模量（4）若取，2.7、對于，從氣體的測量得到LennardJones參數(shù)為計算fcc結(jié)構(gòu)的的結(jié)合能以KJ/mol單位)，每個氫分子可當做球形來處理結(jié)合能的實驗值為0.751kJmo1，試與計算值比較解 以為基團，組成fcc結(jié)構(gòu)的晶體，如略去動能，分子間按LennardJones勢相互作用，則晶體的總相互作用能為：因此，計算得到的晶體的結(jié)合能為255KJmol，遠大于實驗觀察值0.7

7、5lKJmo1對于的晶體，量子修正是很重要的，我們計算中沒有考慮零點能的量子修正，這正是造成理論和實驗值之間巨大差別的原因第三章 固格振動與晶體的熱學性質(zhì)3.2、討論N個原胞的一維雙原子鏈（相鄰原子間距為a），其2N個格波解，當= 時與一維單原子鏈的結(jié)果一一對應(yīng)。 解：質(zhì)量為的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ；質(zhì)量為的原子位于2n， 2n+2， 2n+4 。 牛頓運動方程N個原胞，有2N個獨立的方程設(shè)方程的解，代回方程中得到A、B有非零解，則兩種不同的格波的色散關(guān)系一個q對應(yīng)有兩支格波：一支聲學波和一支光學波.總的格波數(shù)目為2N. 當時，兩種色散關(guān)系如圖所示：長波極限情況下，與一維單

8、原子晶格格波的色散關(guān)系一致.3.3、考慮一雙子鏈的晶格振動，鏈上最近鄰原子間的力常數(shù)交錯地為和，令兩種原子質(zhì)量相等，且最近鄰原子間距為。試求在處的，并粗略畫出色散關(guān)系曲線。此問題模擬如這樣的雙原子分子晶體。答：（1）淺色標記的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ；深色標記原子位于2n， 2n+2， 2n+4 。第2n個原子和第2n1個原子的運動方程：體系N個原胞，有2N個獨立的方程方程的解：，令，將解代入上述方程得：A、B有非零的解，系數(shù)行列式滿足：因為、，令得到兩種色散關(guān)系： 當時，當時，（2）色散關(guān)系圖：3.6.求出一維單原子鏈的頻率分布函數(shù)。3.7、設(shè)三維晶格的光學振動在q=0附近

9、的長波極限有求證：;.解依據(jù)，并帶入上邊結(jié)果有3.10、設(shè)晶體中每個振子的零點振動能為，使用德拜模型求晶體的零點振動能。證明:根據(jù)量子力學零點能是諧振子所固有的，與溫度無關(guān)，故T=0K時振動能就是各振動模零點能之和。和代入積分有，由于一股晶體德拜溫度為，可見零點振動能是相當大的，其量值可與溫升數(shù)百度所需熱能相比擬3.11、一維復(fù)式格子求（1），光學波，聲學波。（2）相應(yīng)聲子能量是多少電子伏。（3）在300k時的平均聲子數(shù)。（4）與相對應(yīng)的電磁波波長在什么波段。解（1）， （2）（3）（4）第四章 能帶理論4.2、寫出一維近自由電子近似，第n個能帶(n=1，2，3)中，簡約波數(shù)的0級波函數(shù)。解第

10、一能帶：第二能帶：第三能帶：4.3、電子在周期場中的勢能 0 ， 其中d4b，是常數(shù)試畫出此勢能曲線，求其平均值及此晶體的第一個和第二個禁帶度解(I)題設(shè)勢能曲線如下圖所示(2)勢能的平均值：由圖可見，是個以為周期的周期函數(shù)，所以題設(shè)，故積分上限應(yīng)為，但由于在區(qū)間內(nèi)，故只需在區(qū)間內(nèi)積分這時，于是 。（3），勢能在-2b,2b區(qū)間是個偶函數(shù)，可以展開成傅立葉級數(shù)利用積分公式得第二個禁帶寬度代入上式再次利用積分公式有4.4、用緊束縛近似模型求出面心立方晶格和體心立方晶格s態(tài)原子能級相對應(yīng)的能帶函數(shù)。解：我們求解面心立方，同學們做體立方。（1）如只計及最近鄰的相互作用，按照緊束縛近似的結(jié)果，晶體中S

11、態(tài)電子的能量可表示成：在面心立方中，有12個最近鄰，若取，則這12個最近鄰的坐標是：由于S態(tài)波函數(shù)是球?qū)ΨQ的，在各個方向重疊積分相同，因此有相同的值，簡單表示為J1=。又由于s態(tài)波函數(shù)為偶宇稱，即在近鄰重疊積分中，波函數(shù)的貢獻為正J10。于是，把近鄰格矢代入表達式得到：=+=（2）對于體心立方：有8個最近鄰，這8個最近鄰的坐標是： 4.7、有一一維單原子鏈，間距為a，總長度為Na。求（1）用緊束縛近似求出原子s態(tài)能級對應(yīng)的能帶E(k)函數(shù)。（2）求出其能態(tài)密度函數(shù)的表達式。（3）如果每個原子s態(tài)只有一個電子，求等于T=0K的費米能級及處的能態(tài)密度。解（1）(2) ,(3), 4.12、正方晶格設(shè)有二維正方晶格，晶體勢為用基本方程，近似求出布里淵區(qū)角處的能隙 解以表示位置矢量的單位矢量，以表示倒易矢量的單位矢量，則有，晶體勢能。這樣基本方程求布里淵區(qū)角頂，即處的能隙，可利用雙項平面波近似來處理。當時依次有而其他的，所以在雙項平面波近似下上式中只有 =0，因為第五章 晶體中電子在電場和磁場中的運動5