概率論第4,5章課件

1、例：例：設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)X服從參數(shù)為服從參數(shù)為(0)的的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p（0p1），且中途下車與否相互獨(dú)立，以），且中途下車與否相互獨(dú)立，以Y表示在表示在中途下車的人數(shù)，求：（中途下車的人數(shù)，求：（1）在發(fā)車時(shí)有）在發(fā)車時(shí)有n個(gè)乘客的個(gè)乘客的條件下，中途有條件下，中途有m人下車的概率；（人下車的概率；（2）二維隨機(jī)變）二維隨機(jī)變量（量（X，Y）的概率分布）的概率分布.|C(1),0,0,1,2,mmn mnP Ym Xnppmn n解解:(1),|P Xn YmP Xn P Ym Xn(2):例：例：設(shè)二維隨

2、機(jī)變量（設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為）的概率密度為., 0,0,其他eyxyf（x，y）=求邊緣概率密度求邊緣概率密度e de ,0,=0,.0,yxxyx其他( )( , )dXfxf x yy解：解：43211010000104102101000102DFjFP 101107102iDP 10110410210310127 . 03 . 021例：例：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X和和Y獨(dú)立，其中獨(dú)立，其中X的概率分布為的概率分布為而而Y的概率密度為的概率密度為f(y)，求隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度的概率密度g(u). 【解】設(shè)【解】設(shè)F（y）是）是Y的分布函數(shù)，則由全概率公

3、式，知的分布函數(shù)，則由全概率公式，知U=X+Y的分布的分布函數(shù)為函數(shù)為( )0.3 |1 0.7 |2G uP XYuP XYu XP XYu X0.3 1|10.7 2|2P YuXP YuX由于由于X和和Y獨(dú)立，可見(jiàn)獨(dú)立，可見(jiàn)( )0.3 10.7 2G uP YuP Yu0.3 (1)0.7(2).F uF u例：例：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X與與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間0,3上的均勻分布，求上的均勻分布，求PmaxX,Y1.-2edxx做題小技巧做題小技巧第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變

4、量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了. 然而，在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布一般是較難然而，在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布一般是較難確定的確定的. 而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就

5、夠了數(shù)字特征就夠了. 因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的字特征是重要的 .在這些數(shù)字特征中，最常用的是在這些數(shù)字特征中，最常用的是數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)一、數(shù)學(xué)期望的概念一、數(shù)學(xué)期望的概念 1)(kkkpxXE即即定義定義1 設(shè)設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的分布率是是離散型隨機(jī)變量，它的分布率是: PX=xk=pk , k=1,2,若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 1kkkpx絕對(duì)收斂，絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)則稱級(jí)數(shù) 1kkkpx)(XE的和為隨機(jī)變量的和為隨機(jī)變量X的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望，記為，記為 ,若級(jí)數(shù)發(fā)散若級(jí)數(shù)發(fā)散 ，

6、則稱，則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在。的數(shù)學(xué)期望不存在。 1kkkpx定義定義2 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為f(x)，如，如果積分果積分 絕對(duì)收斂，則稱該積分的值絕對(duì)收斂，則稱該積分的值為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望或者均值，記為的數(shù)學(xué)期望或者均值，記為EX，即，即dxxxf)(dxxfxXE)()( 如果積分如果積分 發(fā)散，則稱發(fā)散，則稱X的數(shù)學(xué)期的數(shù)學(xué)期望不存在。望不存在。 ( )x f x dx為為他們射擊的分布律分別他們射擊的分布律分別乙兩個(gè)射手乙兩個(gè)射手、甲甲,試問(wèn)哪個(gè)射手技術(shù)較好試問(wèn)哪個(gè)射手技術(shù)較好?思考思考 誰(shuí)的技術(shù)比較好誰(shuí)的技術(shù)比較好? ?乙射手乙射手

7、擊中環(huán)數(shù)擊中環(huán)數(shù)概率概率10982 . 05 . 03 . 0甲射手甲射手擊中環(huán)數(shù)擊中環(huán)數(shù)概率概率10983 . 01 . 06 . 0解解),(3 . 96 . 0101 . 093 . 08)(1環(huán)環(huán) XE),( 1 . 93 . 0105 . 092 . 08)(2環(huán)環(huán) XE.,21XX數(shù)分別為數(shù)分別為設(shè)甲、乙射手擊中的環(huán)設(shè)甲、乙射手擊中的環(huán)故甲射手的技術(shù)比較好故甲射手的技術(shù)比較好.到站時(shí)刻到站時(shí)刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6一旅客一旅客8:20到車站到車站,求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望. 例例4.2 按規(guī)

8、定按規(guī)定,某車站每天某車站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一輛客車到站都恰有一輛客車到站,但到站時(shí)刻是隨機(jī)的但到站時(shí)刻是隨機(jī)的,且兩者且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立。其規(guī)律為：到站的時(shí)間相互獨(dú)立。其規(guī)律為： 其分布率為其分布率為以分計(jì)以分計(jì)為為解：設(shè)旅客的候車時(shí)間解：設(shè)旅客的候車時(shí)間),(X X 10 30 50 70 90 kp63626161636162611370()( ) ( )66P XP ABP A P B上表中例如的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為候車時(shí)間候車時(shí)間到站到站第二班車第二班車為事件為事件到站到站第一班車第一班車為事件為事件其中其中XBA.30:9,10:8分分22.27

9、36290363703615062306310)( XE 例例4.3其概率密度為其概率密度為服從同一指數(shù)分布服從同一指數(shù)分布它們的壽命它們的壽命裝置裝置個(gè)相互獨(dú)立工作的電子個(gè)相互獨(dú)立工作的電子有有,)2 , 1(,2 kXk0, 00, 01)( xxexfx若將這兩個(gè)電子裝置串聯(lián)連接組成整機(jī)若將這兩個(gè)電子裝置串聯(lián)連接組成整機(jī),求整機(jī)求整機(jī)壽命壽命(以小時(shí)計(jì)以小時(shí)計(jì)) N 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望. 0001)()2 , 1(xxexFkXxk 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為解解 0001)(11)(22minxxexFxFx 0002)(2minxxexfNx 的概率密度為的概率密度為于是于是22)(

10、)(02min dxexdxxxfNEx12min(,)NXX 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1. 問(wèn)題的提出：?jiǎn)栴}的提出： 設(shè)已知隨機(jī)變量設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是的分布，我們需要計(jì)算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說(shuō)的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說(shuō)g(X)的期望的期望. 那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？ 一種方法是，因?yàn)橐环N方法是，因?yàn)間(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來(lái)的分布求出來(lái). 一旦一旦我們知道了我們知道了g(X

11、)的分布，就可以按照期望的定義把的分布，就可以按照期望的定義把Eg(X)計(jì)算出來(lái)計(jì)算出來(lái). 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)的分布而只根據(jù)X的的分布求得分布求得Eg(X)呢？呢？下面的定理指出，答案是肯定的下面的定理指出，答案是肯定的. 使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的的分布，一般是比較復(fù)雜的分布，一般是比較復(fù)雜的 .(1) 當(dāng)當(dāng)X為離散型時(shí)為離散型時(shí),它的分布率為它的分布率為P(X= xk)=pk ;絕對(duì)收斂，則有絕對(duì)收斂，則有若若 1)(), 2 , 1(kkkpxgk1( ) ()()kkkE YE g Xg xp(

12、2) 當(dāng)當(dāng)X為連續(xù)型時(shí)為連續(xù)型時(shí),它的密度函數(shù)為它的密度函數(shù)為f(x).若若絕對(duì)收斂，則有絕對(duì)收斂，則有 dxxfxg)()( dxxfxgXgEYE)()()()(定理定理1 設(shè)設(shè)Y是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X的函數(shù)的函數(shù):Y=g(X) (g是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù))連續(xù)型離散型XdxxfxgXpxgXgEYEkkk,)()(,)()()(1 該公式的重要性在于該公式的重要性在于: 當(dāng)我們求當(dāng)我們求Eg(X)時(shí)時(shí), 不必不必知道知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了. 這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來(lái)很大方便這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來(lái)很大方便. dxdyyxfyx

13、gYXgEZE),(),(),()( 定理定理2 設(shè)設(shè)g (X,Y) 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X、Y的函數(shù)，且的函數(shù)，且Eg(X)存在。存在。 (2) 如果如果X、Y是連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合概是連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合概率密度為率密度為f(x,y)，則，則 (1) 如果如果X、Y是離散型隨機(jī)變量，聯(lián)合概率是離散型隨機(jī)變量，聯(lián)合概率分布為分布為pij , i,j=1,2, ，則，則 11( ) (, )( ,)ijijjiE ZE g X Yg x ypXp1234 . 02 . 04 . 0解解的分布律為的分布律為XXY1231 0120.10.10.10.10.10.0030.)(, )(),(),(

14、:2YXEXYEYEXE 求求例例4.6 設(shè)設(shè) ( X , Y ) 的分布律為的分布律為. 03 . 014 . 003 . 01)( YE得得1 0121 21031Yp1 013 . 04 . 03 . 0的分布律為的分布律為Y. 24 . 032 . 024 . 01)( XE得得p),(YXXY)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0)1 , 1(1 . 0) 1, 2( 1 . 0)1 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0)1 , 3(1 . 0由于由于p),(YX)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0) 1 , 1 (1 . 0) 1, 2( 1 . 0)1

15、 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0)1 , 3(1 . 02)(YX 41091944 . 091 . 002 . 013 . 04)(2 YXE得得. 5 1 . 0313 . 001 . 0211 . 0211 . 011 . 002 . 01 XYE于于是是.151 ?),(, 0. 0, 0, 0,e1)()(,.,.,均均為為已已知知產(chǎn)產(chǎn)品品應(yīng)應(yīng)生生產(chǎn)產(chǎn)多多少少件件期期望望最最大大問(wèn)問(wèn)若若要要獲獲得得利利潤(rùn)潤(rùn)的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)度度為為服服從從指指數(shù)數(shù)分分布布其其概概率率密密件件們們預(yù)預(yù)測(cè)測(cè)銷銷售售量量他他再再者者元元的的損損失失而而積積壓壓一一件件產(chǎn)產(chǎn)品品導(dǎo)導(dǎo)致致元元利利可可獲獲

16、他他們們估估計(jì)計(jì)出出售售一一件件產(chǎn)產(chǎn)品品確確定定該該產(chǎn)產(chǎn)品品的的產(chǎn)產(chǎn)量量并并試試圖圖產(chǎn)產(chǎn)品品市市場(chǎng)場(chǎng)某某公公司司計(jì)計(jì)劃劃開(kāi)開(kāi)發(fā)發(fā)一一種種新新nmyyyfYnmyY 例例4.7解解,件件設(shè)生產(chǎn)設(shè)生產(chǎn) x:的的函函數(shù)數(shù)是是則則獲獲利利xQ .,),()(xYmxxYYxnmYxQQ若若若若yyQfQEYd)()(0 ymxyyxnmyyxyxde1de1)(0 ,e)()(nxnmnmx , 0e )()(dd nnmQExx令令).ln(nmnx 得得, 0e)()(dd22 xnmQEx又又.)(,)ln(,取取得得最最大大值值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)因因此此QEnmnx 其它其它）的概率密度為）的概率密度為

17、（設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量020)sin(),(, xyxAyxfYX).(),()2(,)1(XYEXEA求求求系數(shù)求系數(shù)211)sin(),(2/02/0 AdxyxAdydxdyyxf，得，得 ）由于）由于解：（解：（1 其它其它）的概率密度為）的概率密度為（設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量020)sin(),(, xyxAyxfYX).(),()2(,)1(XYEXEA求求求系數(shù)求系數(shù)4)sin(2122/02/0 dxdyyxxXE）（）解（解（12)sin(21),()(2/02/0 dxdyyxxydxdyyxxyfXYE例例11., 22的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期

18、望望求求正正態(tài)態(tài)分分布布且且都都服服從從標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)相相互互獨(dú)獨(dú)立立和和設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量YXZYX 解解的的聯(lián)聯(lián)合合概概率率密密度度為為和和相相互互獨(dú)獨(dú)立立和和YXYXNYNX,),1 , 0(),1 , 0( 2222e21e21),(yxyxf ,e212)(22yx 于是于是)()(22YXEZE .dde2122222yxyxyx 得得令令,sin,cos ryrx dde21)(220022rrZEr rrrde222022 rrrrdee020222 .2 例例12. , 0, 10 ,2)(. , 0, 10 ,3)(,00:1300:12 2時(shí)間的數(shù)學(xué)期望時(shí)間的數(shù)學(xué)期望求先到達(dá)

19、者需要等待的求先到達(dá)者需要等待的其他其他其他其他的概率密度分別為的概率密度分別為已知已知立立相互獨(dú)相互獨(dú)和和且設(shè)且設(shè)間間分別是甲、乙到達(dá)的時(shí)分別是甲、乙到達(dá)的時(shí)設(shè)設(shè)會(huì)面會(huì)面在在甲、乙兩人相約于某地甲、乙兩人相約于某地 yyyfxxxfYXYXYXYX解解的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為和和 YX . , 0, 10 , 10 ,6),(2其其他他yxyxyxf因此所求數(shù)學(xué)期望為因此所求數(shù)學(xué)期望為yxyxyxYXEdd6)(10102 21dd6)(dd6)(22DDyxyxyxyxyxyx61121 ).(41小小時(shí)時(shí) 三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 1. 設(shè)設(shè)C是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(

20、C)=C; 4. 設(shè)設(shè)X、Y 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若若k是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);niiniiXEXE11)(:推廣niiniiXEXE11)(:推廣（諸（諸Xi相互獨(dú)立時(shí)）相互獨(dú)立時(shí)）請(qǐng)注意請(qǐng)注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 獨(dú)立獨(dú)立。和和來(lái)證性質(zhì)來(lái)證性質(zhì)請(qǐng)同學(xué)自己證明，我們請(qǐng)同學(xué)自己證明，我們，性質(zhì)性質(zhì)4321于是有于是有概率密度為概率密度為其邊緣其邊緣）的概率密度）的概率密度設(shè)二維隨機(jī)變量（設(shè)二維隨機(jī)變量（證證),(),().,(,yfxfyxf

21、YXYX得證。得證。性質(zhì)性質(zhì)3)()(),(),(),()()(YEXEdxdyyxyfdxdyyxxfdxdyyxfyxYXE , 相互獨(dú)立相互獨(dú)立又若又若YX.4)()()()(),()(得證得證性質(zhì)性質(zhì)YEXEdxdyyfxxyfdxdyyxxyfXYEyX 例例10 一民航送客車載有一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出,旅客有旅客有10個(gè)車站可以下車個(gè)車站可以下車,如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客下車就不停車下車就不停車.以以X表示停車的次數(shù)，求表示停車的次數(shù)，求E(X).(設(shè)每設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否

22、并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立下車相互獨(dú)立)10, 2 , 110 iiiXi站有人下車站有人下車在第在第站沒(méi)有人下車站沒(méi)有人下車在第在第引入隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量解解1021XXXX 易知易知四、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用四、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用10, 2 , 1,10911,10902020 iXPXPii10, 2 , 1,1091)(20 iXEi由此由此次次進(jìn)而進(jìn)而784. 8109110)()()()()(2010211021 XEXEXEXXXEXE1 某人的一串鑰匙上有某人的一串鑰匙上有n把鑰匙把鑰匙,其中只有一把能打其中只有一把能打開(kāi)自己的家門開(kāi)自己的家門,他隨意地試用這串鑰匙中的某一把他隨

23、意地試用這串鑰匙中的某一把去開(kāi)門去開(kāi)門,若每把鑰匙試開(kāi)一次后除去若每把鑰匙試開(kāi)一次后除去,求打開(kāi)門時(shí)試求打開(kāi)門時(shí)試開(kāi)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望開(kāi)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望. 000)(xxexfx的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。求求XeY2 1 解解 設(shè)試開(kāi)次數(shù)為設(shè)試開(kāi)次數(shù)為X,分布率為：是離散型隨機(jī)變量，其X于是于是 E(X) nknk112)1 (1nnn21n31)()(022 dxeedxxfeYExxxP(X=k)=1/n, k=1, 2, , n解解 從數(shù)字從數(shù)字0, 1, 2, , n中任取兩個(gè)不同的數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)字, 求這兩個(gè)數(shù)字之差的絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望求這兩個(gè)數(shù)字之差的絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望. , 的絕對(duì)值

24、的絕對(duì)值為所選的兩個(gè)數(shù)字之差為所選的兩個(gè)數(shù)字之差設(shè)設(shè) X , 3 , 2 , 1 nX的的所所有有可可能能取取值值為為則則,2 11 nnXP, 21)1(2 nnXP一般的一般的., 2, 1,21)1(nknknkXP nkkXkPXE1)( nknknk121)1(.32 n3解解. ,)( ,! 0 的值的值與與求求已知已知為為的概率的概率取非負(fù)整數(shù)值取非負(fù)整數(shù)值設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量BAaXEnABpnXnn , 的的分分布布列列是是因因?yàn)闉閄pn 0nnXP 0!nnnBA, 1 BAe,BeA 得得 0!)(nnnBnAXE 1)!1(nnnBA, aABeB .,aBeAa 因此

25、因此4 某銀行開(kāi)展定期定額有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄某銀行開(kāi)展定期定額有獎(jiǎng)儲(chǔ)蓄, 定期一年定期一年, 定額定額60元元, 按規(guī)定按規(guī)定10000個(gè)戶頭中個(gè)戶頭中, 頭等獎(jiǎng)一個(gè)頭等獎(jiǎng)一個(gè), 獎(jiǎng)獎(jiǎng)金金500元元; 二等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)10個(gè)個(gè), 各獎(jiǎng)各獎(jiǎng)100元元; 三等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)100個(gè)個(gè), 各獎(jiǎng)各獎(jiǎng)10元元; 四等獎(jiǎng)四等獎(jiǎng)1000個(gè)個(gè), 各獎(jiǎng)各獎(jiǎng)2元元. 某人買了五個(gè)某人買了五個(gè)戶頭戶頭, 他期望得獎(jiǎng)多少元他期望得獎(jiǎng)多少元?解解因?yàn)槿魏我粋€(gè)戶頭獲獎(jiǎng)都是等可能的因?yàn)槿魏我粋€(gè)戶頭獲獎(jiǎng)都是等可能的, . 的期望的期望金數(shù)金數(shù)先計(jì)算一個(gè)戶頭的得獎(jiǎng)先計(jì)算一個(gè)戶頭的得獎(jiǎng)X4234108889101101101101021010050

26、0pX分布列為分布列為5 的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望為為X210110101100101500101)(234 XE ),( 45. 0元元 買五個(gè)戶頭的期望得獎(jiǎng)金額為買五個(gè)戶頭的期望得獎(jiǎng)金額為 )(5)5(XEXE ).( 25. 245. 05元元 ).1 ,min( ,)1(1)( 2XExxfX求求的概率密度的概率密度設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 解解)1 ,min( XE xxfxd)()1,min( 11d)(d)(xxxxfxxfx 12112d111d11xxxxxx 12102d112d12xxxxx.212ln1 6第二節(jié)第二節(jié) 方差方差方差的定義方差的定義方差的計(jì)算方差的計(jì)算方差的性質(zhì)

27、方差的性質(zhì)切比雪夫不等式切比雪夫不等式1. 概念的引入概念的引入 方差是一個(gè)常用來(lái)體現(xiàn)隨機(jī)變量取值分散程方差是一個(gè)常用來(lái)體現(xiàn)隨機(jī)變量取值分散程度的量度的量.實(shí)例實(shí)例 有兩批燈泡有兩批燈泡,其平均壽命都是其平均壽命都是 E(X)=1000小時(shí)小時(shí). Ox Ox 1000 1000一、隨機(jī)變量方差的概念及性質(zhì)一、隨機(jī)變量方差的概念及性質(zhì)).(,)(.)()Var()(, )Var()(,)(,)(,222XXDXEXEXXDXXDXXEXEXEXEX記記為為為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差或或均均方方差差稱稱即即或或記記為為的的方方差差為為則則稱稱存存在在若若是是一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè) 2. 方差的定義方差

28、的定義方差是一個(gè)常用來(lái)體現(xiàn)隨機(jī)變量方差是一個(gè)常用來(lái)體現(xiàn)隨機(jī)變量 X 取值分取值分散程度的量散程度的量. 如果如果 D(X) 值大值大, 表示表示 X 取值分散取值分散程度大程度大, E(X) 的代表性差的代表性差; 而如果而如果 D(X) 值小值小, 則則表示表示X 的取值比較集中的取值比較集中, 以以 E(X) 作為隨機(jī)變量作為隨機(jī)變量的代表性好的代表性好.3. 方差的意義方差的意義離散型隨機(jī)變量的方差離散型隨機(jī)變量的方差 ,)()(12kkkpXExXD 連續(xù)型隨機(jī)變量的方差連續(xù)型隨機(jī)變量的方差,d)()()(2xxfXExXD 4. 隨機(jī)變量方差的計(jì)算隨機(jī)變量方差的計(jì)算 (1) 利用定義

29、計(jì)算利用定義計(jì)算 .)(的概率密度的概率密度為為其中其中Xxf., 2 , 1,的分布律的分布律是是其中其中XkpxXPkk .)()()(22XEXEXD 證明證明)()(2XEXEXD )()(222XEXXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE 22)()(XEXE (2) 利用公式計(jì)算利用公式計(jì)算).()(22XEXE 證明證明22)()()(CECECD 5. 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)(1) 設(shè)設(shè) C 是常數(shù)是常數(shù), 則有則有. 0)( CD22CC . 0 (2) 設(shè)設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量, C 是常數(shù)是常數(shù), 則有則有).()(2XDCCXD 證明證明)(CXD

30、)(22XEXEC ).(2XDC )(2CXECXE ).()()(YDXDYXD (3) 設(shè)設(shè) X, Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, D(X), D(Y) 存在存在, 則則證明證明)()()(2YXEYXEYXD 2)()(YEYXEXE )()(2)()(22YEYXEXEYEYEXEXE ).()(YDXD 推廣推廣).()()()(2121nnXDXDXDXXXD 則則有有相相互互獨(dú)獨(dú)立立若若,21nXXX即即取取常常數(shù)數(shù)以以概概率率的的充充要要條條件件是是,10)()4(CXXD . 1 CXP).(., 0, 10,1, 01,1)(XDxxxxxfX求求其他其他具有概率密度具有概率密度

31、設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 解解 1001d)1(d)1()(xxxxxxXE, 0 二、例題講解二、例題講解例例1 1020122d)1(d)1()(xxxxxxXE,61 于是于是22)()()(XEXEXD 2061 .61 例例2。，求，求設(shè)設(shè))()(XDX 解解X的分布率為的分布率為0, 2 , 1 , 0,! kkekXPk上節(jié)已算得上節(jié)已算得而而,)( XE)1()(2XXXEXE )()1(XEXXE 0!)1(kkkekk 222)!2(kkke 22ee.,泊松分布就被確定了泊松分布就被確定了只要知道只要知道分布率中只含一個(gè)參數(shù)分布率中只含一個(gè)參數(shù)。泊松分布的。泊松分布的等于等于

32、數(shù)學(xué)期望與方差相等，數(shù)學(xué)期望與方差相等，由此可知，泊松分布的由此可知，泊松分布的 22)()()(XEXEXD因此因此,泊松分布泊松分布 )(,)(XDXE例例3。，求，求設(shè)設(shè))(),(XDbaUX解解 的概率密度為的概率密度為X 其它其它01)(bxaabxf。方差為。方差為上節(jié)已求得上節(jié)已求得2)(baXE 1221)()()(22222abbadxabxXEXEXDba 因此因此,均勻分布均勻分布 12)(,2)(2abXDbaXE 例例4設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布,其概率密度為其概率密度為 0001)(xxexfx )()(0XDXE，求，求其中其中 解解 dxex

33、dxxxfXEx01)()(2022221)()( dxexdxxfxXEx2)( XD因此因此由此可知由此可知,指數(shù)分布指數(shù)分布2 ）（，）（XDXE例例7).()(),1 , 0(XDXENX和和求求設(shè)設(shè)解解的概率密度為的概率密度為X xexx2221)( 于是于是021)()(22 dxxedxxxXEx 121)()()(2222 dxexdxxXExXDx 則則若若),1 , 0( NX1)(, 0)( XDXE），（，則，則若若10),(2NXZNX 1)(, 0)( ZDZE質(zhì)得質(zhì)得由數(shù)學(xué)期望和方差的性由數(shù)學(xué)期望和方差的性而而, ZX )()()()(EZEZEXE22)()()

34、()( DZDZDXD，則，則若若),(2 NX2)(,)( XDXE差所確定。差所確定?？捎伤臄?shù)學(xué)期望和方可由它的數(shù)學(xué)期望和方布完全布完全望和方差，因而正態(tài)分望和方差，因而正態(tài)分分別是該分布的數(shù)學(xué)期分別是該分布的數(shù)學(xué)期和和概率密度中的兩個(gè)參數(shù)概率密度中的兩個(gè)參數(shù)這就是說(shuō)，正態(tài)分布的這就是說(shuō)，正態(tài)分布的2 例如例如,),4 , 2(),3 , 1(相互獨(dú)立相互獨(dú)立和和且且若若YXNYNX），（故有故有也服從正態(tài)分布，而也服從正態(tài)分布，而則則484,48)(, 4)(32 NZXDZEYXZ且它們相互獨(dú)立，則且它們相互獨(dú)立，則若若, 2 , 1),(2niNXiii .)0,(:212211仍

35、然服從正態(tài)分布仍然服從正態(tài)分布的常數(shù)的常數(shù)是不全為是不全為它們的線性組合它們的線性組合nnnCCCXCXCXC ),(12212211 niiiniiinnCCNXCXCXC 且且.,.,),04. 0,50.22(),03. 0 ,40.22()cm(22的概率的概率求活塞能裝入氣缸求活塞能裝入氣缸任取一只氣缸任取一只氣缸任取一只活塞任取一只活塞相互獨(dú)立相互獨(dú)立氣缸的直徑氣缸的直徑計(jì)計(jì)以以設(shè)活塞的直徑設(shè)活塞的直徑Y(jié)XNYNX解解),04. 0,50.22(),03. 0 ,40.22(22NYNX因因?yàn)闉?,0025. 0 ,10. 0( NYX所以所以0 YXPYXP故有故有 0025.

36、0)10. 0(00025. 0)10. 0()(YXP)2( .9772. 0 例例8三、切比雪夫不等式三、切比雪夫不等式或或 由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，則越小，則事件事件|X-E(X)| 的概率越大，即的概率越大，即隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 集集中在期望附近的可能性越大中在期望附近的可能性越大.2 221| )(| XEXP22| )(| XEXP，有不等式則對(duì)于任意正數(shù)方差具有數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)變量定理,)(,)(2XDXEX例例9 已知正常男性成人血液中已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白細(xì)胞，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是數(shù)平均是7300，均方差是，均方差是700

37、 . 利用切比雪夫不等利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率之間的概率 .解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X依題意，依題意，E(X)=7300,D(X)=7002所求為所求為 P(5200 X 9400) P(5200 X 9400) = P(-2100 X-E(X) 2100) = P |X-E(X)| 21002)2100()(1XD由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 P |X-E(X)| 21002)2100700(198911即估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在即估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率不之間的概率不小于小于8/9 .1

38、0 pp)1(pp 10, 1 pnnp)1(pnp 0 ba 2)(ba 12)(2ab 0 2分布分布參數(shù)參數(shù)數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望方差方差兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布泊松分布泊松分布均勻分布均勻分布指數(shù)分布指數(shù)分布正態(tài)分布正態(tài)分布0, 2五、常見(jiàn)分布的期望與方差五、常見(jiàn)分布的期望與方差1、 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X服從幾何分布，概率分布為服從幾何分布，概率分布為PX=k=p(1-p)k-1, k=1,2,其中其中0p0, D(Y)0,)()(),(YDXDYXCovXY 稱稱在不致引起混淆時(shí)在不致引起混淆時(shí)，記記 為為 .XY 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：11 | . 證證: 由方差的性

39、質(zhì)和協(xié)方差的定義知由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知,對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù) b, 有有0D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y )(),(XDYXCovb 令令，則上式為，則上式為 D(Y- bX)= )(),()(2XDYXCovYD)()(),(1)(2YDXDYXCovYD1)(2 YD由于方差由于方差D(Y)是正的是正的,故必有故必有1- 0,所以所以 | |1。22.1XY存在常數(shù)存在常數(shù) a,b(b0），使使 PY= a + b X=1，即即 X 和和 Y 以概率以概率 1 線性相關(guān)線性相關(guān).3. X和和Y獨(dú)立時(shí)，獨(dú)立時(shí)， =0，但其逆不真，但其逆不真.由于當(dāng)由于

40、當(dāng)X和和Y獨(dú)立時(shí)，獨(dú)立時(shí)，Cov(X,Y)= 0.故故)()(),(YDXDYXCov= 00但由但由并不一定能推出并不一定能推出X和和Y 獨(dú)立獨(dú)立.例例1 設(shè)設(shè)XN(0,1), Y=X2, 求求X和和Y的相關(guān)系數(shù)。的相關(guān)系數(shù)。4. 若若 ，稱稱X和和Y不相關(guān)。不相關(guān)。0XY定理：定理：若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X與與Y的方差都存在，且均不的方差都存在，且均不為零；則下列四個(gè)命題等價(jià)。為零；則下列四個(gè)命題等價(jià)。 0XY（1） ； （2）cov(X ,Y) = 0； （3）E(XY)=EXEY；（4）D(X Y)=DX+DY。 但可以證明對(duì)下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)但可以證明對(duì)下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)等

41、價(jià)若若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則服從二維正態(tài)分布，則X與與Y獨(dú)立獨(dú)立X與與Y不相關(guān)不相關(guān)前面，我們已經(jīng)看到：前面，我們已經(jīng)看到：若若 X 與與 Y 獨(dú)立，則獨(dú)立，則X與與Y不相關(guān)，不相關(guān)，但由但由X與與Y不相關(guān)，不一定能推出不相關(guān)，不一定能推出X與與Y獨(dú)立獨(dú)立.1、）具有概率密度，設(shè)隨機(jī)變量（YX其它020 , 20)(81),(yxyxyxf。求)(),(),(),(YXDYXCovYEXE2、相互獨(dú)立，且設(shè)設(shè)YXNYNX),(),(22是不全為零的常數(shù)）。，其中的相關(guān)系數(shù)和試求(21YXZYXZ1、解、解95)(,361),(,67)()(YXDYXCovYEXE2、解、解2)()(Y

42、DXD222221)()()()()(YDXDYXDZD222222)()()()()(YDXDYXDZD22222121)()(),(21ZDZDZZCovZZ),(),(21YXYXCovZZCov),(),(22YYCovXXCov22()( )D XD Y222()解解 . ),( , 0, 20, 10),21(76),( ),( 2數(shù)數(shù)的協(xié)方差矩陣及相關(guān)系的協(xié)方差矩陣及相關(guān)系求求其他其他函數(shù)為函數(shù)為的聯(lián)合密度的聯(lián)合密度設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量YXyxxyxyxfYX yxyxfxXEdd),()( xyxyxxdd )21(7610202 xxxd767121023

43、 ,75 3yxxyxxXEdd )21(76)(1020222 ,7039 ,49023757039)( 2 XD故故xyxyxyYEdd )21(76)(10202 因因?yàn)闉?78 xyxyxyYEdd )21(76)(1020222 ,2134 ( 2 YD故故xyxyxxyXYEdd )21(76)(10202 ,2117 )()()(),(Cov YEXEXYEYX 故故,147178752117 ),( 的協(xié)方差矩陣為的協(xié)方差矩陣為于是于是YX.147461471147149023 的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)與與YX)()(),(CovYDXDYXXY .691

44、5 備備 用用 例例 題題四、小結(jié)四、小結(jié) 這一節(jié)我們介紹了協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、這一節(jié)我們介紹了協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、相關(guān)系數(shù)是刻劃兩個(gè)變量間相關(guān)系數(shù)是刻劃兩個(gè)變量間線性相關(guān)程度線性相關(guān)程度的一個(gè)重的一個(gè)重要的數(shù)字特征要的數(shù)字特征.注意獨(dú)立與不相關(guān)并不是等價(jià)的注意獨(dú)立與不相關(guān)并不是等價(jià)的.當(dāng)當(dāng)(X,Y) 服從二維正態(tài)分布時(shí)，有服從二維正態(tài)分布時(shí)，有X 與與 Y 獨(dú)立獨(dú)立X 與與 Y 不相關(guān)不相關(guān)第四節(jié)第四節(jié) 矩矩原點(diǎn)矩原點(diǎn)矩 中心矩中心矩一、一、 原點(diǎn)矩原點(diǎn)矩 中心矩中心矩定義定義 設(shè)設(shè)X和和Y是隨機(jī)變量，若是隨機(jī)變量，若 , 2 , 1),(kXEk存在，稱它為存在，稱它為X的的k階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩

45、，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱 k階矩階矩. , 3 , 2,)(kXEXEk若存在，稱它為存在，稱它為X的的k階中心矩階中心矩.可見(jiàn)，均值可見(jiàn)，均值 E(X)是是X一階原點(diǎn)矩，方差一階原點(diǎn)矩，方差D(X)是是X的二階中心矩。的二階中心矩。協(xié)方差協(xié)方差Cov(X,Y)是是X和和Y的的二階混合中心矩二階混合中心矩.稱它為稱它為 X 和和 Y 的的 k+L 階混合（原點(diǎn)）矩階混合（原點(diǎn)）矩.若若)()(LkYEYXEXE存在，存在，稱它為稱它為X 和和 Y 的的 k+L 階混合中心矩階混合中心矩. )(LkYXE設(shè)設(shè) X 和和 Y 是隨機(jī)變量，若是隨機(jī)變量，若 k,L=1,2,存在，存在，可見(jiàn)，可見(jiàn)，第五章第五章

46、大數(shù)定理與中心極限定理大數(shù)定理與中心極限定理 弱大數(shù)定律弱大數(shù)定律 (辛欽大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律) 依概率收斂定義及性質(zhì)依概率收斂定義及性質(zhì)貝努利大數(shù)定律貝努利大數(shù)定律 第一節(jié)第一節(jié) 大數(shù)定律大數(shù)定律 設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2, 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，服從同一分布，具有數(shù)學(xué)期服從同一分布，具有數(shù)學(xué)期E(Xi)=, i=1,2,， 則對(duì)于任意正數(shù)則對(duì)于任意正數(shù) ，有，有定理定理1（辛欽大數(shù)定律）（辛欽大數(shù)定律）1|1|lim1 niinXnP辛欽辛欽一、弱大數(shù)定理一、弱大數(shù)定理（辛欽大數(shù)定律）（辛欽大數(shù)定律） 例例 在一個(gè)罐子中在一個(gè)罐子中,裝有裝有10個(gè)編號(hào)為個(gè)編號(hào)為0-9的同樣的的

47、同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并記下號(hào)碼記下號(hào)碼. 否則次取到號(hào)碼第001kXk 設(shè)設(shè)，k=1,2, 問(wèn)對(duì)序列問(wèn)對(duì)序列Xk能否應(yīng)用大數(shù)定律？能否應(yīng)用大數(shù)定律？nkknXnP11| 1 . 01|lim 即即對(duì)對(duì)任意的任意的0,解解: 10,0.10.9kXk=1,2, E(Xk)=0.1, 諸諸Xk 獨(dú)立同分布，且期望存在，故能使用大獨(dú)立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律數(shù)定律.二、二、依概率收斂定義及性質(zhì)依概率收斂定義及性質(zhì) 定義定義，有，有若對(duì)于任意正數(shù)若對(duì)于任意正數(shù)一個(gè)常數(shù)一個(gè)常數(shù)是是是一個(gè)隨機(jī)變量序列，是一個(gè)隨機(jī)變量序列，

48、設(shè)設(shè) .,21aYYYn.,21aYaYYYPnn記為記為依概率收斂于依概率收斂于則稱序列則稱序列性質(zhì)性質(zhì)).,(),(),(),(,bagYXgbayxgbYaXPnnPnPn連續(xù)，則連續(xù)，則點(diǎn)點(diǎn)在在又設(shè)函數(shù)又設(shè)函數(shù)，設(shè)設(shè)lim 1nnP Ya定理定理1的另一種敘述的另一種敘述:PX11niiXXn依概率收斂于依概率收斂于 。即。即 設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2, 相互獨(dú)立，服從同相互獨(dú)立，服從同一分布，具有數(shù)學(xué)期一分布，具有數(shù)學(xué)期E(Xi)=, i=1,2,， 則序列則序列 設(shè)設(shè) nA 是是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)發(fā)生的次數(shù)，生的次數(shù)，p是事件是事件A在每次

49、試驗(yàn)中發(fā)生在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意正數(shù)的概率，則對(duì)于任意正數(shù) 0 ，有，有 定理定理2（貝努里大數(shù)定律貝努里大數(shù)定律）1|lim pnnPAn或或 伯努利伯努利0|lim pnnPAn證明證明nAAXXXnpnbn 21),(由此可表示為由此可表示為因?yàn)橐驗(yàn)?,1()()(.10ppXDpXEpkk ，因而因而分布分布）以為參數(shù)的（以為參數(shù)的（從以從以其中相互獨(dú)立，且都服其中相互獨(dú)立，且都服即得即得由定理由定理11|)(1|lim21 pXXXnPnn|lim pnnPAn 證畢證畢注注 貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分充分大時(shí)，事件大時(shí)，事

50、件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率nA/n與事件與事件A的概率的概率p有較有較大偏差的概率很小大偏差的概率很小.(頻率的穩(wěn)定性頻率的穩(wěn)定性)0|lim pnnPAn或或.替事件的概率替事件的概率事件發(fā)生的頻率可以代事件發(fā)生的頻率可以代第二節(jié)第二節(jié) 中心極限定理中心極限定理中心極限定理中心極限定理例題例題課堂練習(xí)課堂練習(xí) 如果一個(gè)隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因如果一個(gè)隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合影響所造成，而每一個(gè)別因素對(duì)這種綜合素的綜合影響所造成，而每一個(gè)別因素對(duì)這種綜合影響中所起的作用不大影響中所起的作用不大. 則這種隨機(jī)變量一般都服則這種隨機(jī)變量一般都服從或近似服從正態(tài)分布從或近似服從

51、正態(tài)分布. 自從高斯指出測(cè)量誤差服從正態(tài)自從高斯指出測(cè)量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見(jiàn)自然界中極為常見(jiàn). 現(xiàn)在我們就來(lái)研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有現(xiàn)在我們就來(lái)研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問(wèn)題的規(guī)律性問(wèn)題.高斯高斯 當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么呢？無(wú)限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么呢？ 由于無(wú)窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于由于無(wú)窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于，故我們，故我們不研究不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量機(jī)變量. nkknknkkknXDXEXY111)()(正態(tài)分布正態(tài)

52、分布的極限分布是否為標(biāo)準(zhǔn)的極限分布是否為標(biāo)準(zhǔn)討論討論nY 在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做布這一類定理都叫做中心極限定理中心極限定理. nkkkXnkX1), 1(的和的和即考慮隨機(jī)變量即考慮隨機(jī)變量一、中心極限定理一、中心極限定理 xnnXPxFniinnn 1lim)(lim定理定理1（獨(dú)立同分布下的中心極限定理）（獨(dú)立同分布下的中心極限定理），則隨機(jī)變量之和，則隨機(jī)變量之和方差方差布，且具有數(shù)學(xué)期望和布，且具有數(shù)學(xué)期望和相互獨(dú)立，服從同一分相互獨(dú)立，服從同一分設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量), 2 , 1()(,)(:,221 kXDXEXXXkkn nnXYnkkn 1滿足滿足對(duì)于任意對(duì)于任意的分布函數(shù)的分布函數(shù)xxFn)(的標(biāo)準(zhǔn)化變量的標(biāo)準(zhǔn)化變量 nkkX1 x-2t -dte212 )(x 注注).1 , 0(;),(,11211NnnXnnNXnXnkknkknkk近似地近似地近似地近似地有有和與其標(biāo)準(zhǔn)化變量分別和與其標(biāo)準(zhǔn)化變量分別充分大時(shí)，隨機(jī)變量之充分大時(shí)，隨機(jī)變量之當(dāng)當(dāng)布的隨機(jī)變量之和布的隨機(jī)變量之和、定理表明，獨(dú)立同分、定理表明，獨(dú)立同分 )1 , 0(),(22NnXnNX近似地近似地近似地近似地或或?yàn)闉槎ɡ淼牧硪环N形式可寫定理的另一種形式可寫、獨(dú)立同分布中