兩個重要極限ppt課件

1、上頁下頁結束返回首頁鈴一、準則一、準則 I 及第一個重要極限及第一個重要極限二、準則二、準則 II 及第二個重要極限及第二個重要極限1.6 兩個重要極限兩個重要極限上頁下頁鈴結束返回首頁1上頁下頁鈴結束返回首頁一、準則一、準則 I 及第一個重要極限及第一個重要極限 如果數(shù)列xn、yn及zn滿足下列條件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 ) 準則準則 I （夾逼定理）（夾逼定理）準則準則 I 如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)=A lim h(x)=A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)=A (2)aynn=li

2、m aznn=lim 下頁那么數(shù)列xn 的極限存在 且nlimxn=a 那么數(shù)列xn 的極限存在 且nlimxn=a 2上頁下頁鈴結束返回首頁第一個重要極限第一個重要極限 顯然 BC AB AD(因此 sin x x tan x DB1OCAx1sinlim0=xxx 簡要證明簡要證明 參看附圖 設圓心角AOB=x (2 0 x) 從而 1sincosxxx (此不等式當 x0 時也成立) 因為1coslim0=xx 根據(jù)準則 I 1sinlim0=xxx 下頁3上頁下頁鈴結束返回首頁應注意的問題應注意的問題 這是因為 令u=a(x) 則u 0 于是 第一個重要極限第一個重要極限1sinlim

3、0=xxx 在極限)()(sinlimxxaa中 只要a(x)是無窮小 就有 1)()(sinlim=xxaa )()(sinlimxxaa1sinlim0=uuu 下頁4上頁下頁鈴結束返回首頁1sinlim0=xxx 1)()(sinlim=xxaa(a(x)0) 例例1 例例 1 求xxxtanlim0 解解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0=1cos1limsinlim00=xxxxx 解解 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0=1cos1limsinlim00=xxxxxxxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0=1cos1limsinli

4、m00=xxxxxxxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0=1cos1limsinlim00=xxxxx 解解 例例2 例例 2 求20cos1limxxx 解解 20cos1limxxx2112122sinlim21220=xxx20cos1limxxx=220220)21(2sinlim212sin2limxxxxx=2112122sinlim21220=xxx 下頁220sin12lim22xxx=5上頁下頁鈴結束返回首頁1sinlim0=xxx 1)()(sinlim=xxaa(a(x)0) 例例3 解解 解解 例例4 )0, 0.(sinsinlim0nmnxmxx求nx

5、nxnxmxmxmxnxmxxxsinsinlimsinsinlim00=.nm=.sintanlim30 xxxx求2030cos1tanlimsintanlimxxxxxxxxx=200cos1limtanlimxxxxxx=21=下頁6上頁下頁鈴結束返回首頁1sinlim0=xxx 1)()(sinlim=xxaa(a(x)0) 例例5 解解 .arcsinlim0 xxx求,arcsinxy =令,sinyx =則, 0,0yx時當yyxxyxsinlimarcsinlim00=1=下頁7上頁下頁鈴結束返回首頁1sinlim0=xxx 1)()(sinlim=xxaa(a(x)0) 例

6、例6 解解 首頁.5tan3sinlimxxx求, tx=令, 0, tx時當53=)55tan()33sin(lim5tan3sinlim0ttxxtx=ttt5tan3sinlim0=535tan533sinlim0ttttt=8上頁下頁鈴結束返回首頁二、準則二、準則 II 及第二個重要極限及第二個重要極限單調數(shù)列單調數(shù)列 如果數(shù)列xn滿足條件x1x2x3 xnxn1 就稱數(shù)列xn是單調增加的 如果數(shù)列x n滿足條件x1x2x3 xnxn1 就稱數(shù)列xn是單調減少的 單調增加和單調減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調數(shù)列 下頁9上頁下頁鈴結束返回首頁準則準則II 單調有界數(shù)列必有極限 前面曾證明 收斂的數(shù)列

7、一定有界 但有界的數(shù)列不一定收斂 現(xiàn)在準則II表明 如果數(shù)列不僅有界 并且是單調的 那么這個數(shù)列一定是收斂的 說明說明下頁10上頁下頁鈴結束返回首頁 可以證明數(shù)列xn是單調有界的 根據(jù)準則II 數(shù)列xn必有極限 這個極限我們用e來表示 即 第二個重要極限第二個重要極限 e是個無理數(shù) 它的值是e=2 718281828459045 指數(shù)函數(shù)y=ex及對數(shù)函數(shù)y=ln x 中的底就是常數(shù)e 設nnnx)11 ( = ennn=)11 (lim 我們還可以證明exxx=)11 (lim 下頁11上頁下頁鈴結束返回首頁第二個重要極限第二個重要極限應注意的問題應注意的問題exxx=)11 (lim 在極

8、限)(1)(1limxxaa中 只要a(x)是無窮小 就有 exx=)(1)(1limaa 這是因為 令)(1xua= 則 u 于是 )(1)(1limxxaaeuuu=)11 (lim 下頁12上頁下頁鈴結束返回首頁 例例7 解解 原式原式)0.()1 (limkkxkxx為自然數(shù)，求ke=kkxxxk)1 (lim=下頁exxx=)11 (lim exx=)(1)(1limaa(a(x)0) kkxxxk)1(lim= 例例8 解解 原式原式.)13(lim1xxxx求4e=2441)141 (lim=xxx2441)141 (lim)141(lim=xxxxx13上頁下頁鈴結束返回首頁 例例9 解解 原式原式.)1