W2_7洛必達(dá)法則

1、1 高等數(shù)學(xué) 第十六講2三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式一、一、 型未定式型未定式00第七節(jié)洛必達(dá)法則 第二章 3)()(limxgxf函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限 轉(zhuǎn)化00( 或 型)()(limxgxf本節(jié)研究本節(jié)研究:洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則4若兩個函數(shù) xaxxFxf或當(dāng),時都趨于零或趨于。那么， xFxflim可能存在，也可能不存在。通常此種極限稱為未定式。分別簡記為.,00這種極限不能用“商的極限等于極限的商”的法則來計算。此外，還有0,0,100共七種類型。如兩個重要極限：00sinlim0 xxx 111limexxx未定式.,00等僅是一個習(xí)慣記號，沒有運(yùn)

2、算意義。如：2tanlimxxx)sin11(lim0 xxx都不對！都不對！5一、一、001) lim( )lim( )0 xxxxf xg x0( )3) lim( )xxfxg x存在 (或為 )00( )( )limlim( )( )xxxxf xfxg xg x02)( )( )(),f xg xx與在內(nèi)可導(dǎo)( )0 x且g定理定理 1.型未定式型未定式00(洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則) 6( 在 x , 之間)證證:0 x0 x不妨假設(shè)00()()0,f xg x在指出的鄰域內(nèi)任取0,xx則( ),( )f xg x在以 x, 為端點的區(qū)間上滿足柯001) lim( )lim( )0 x

3、xxxf xg x故00( )()( )( )( )()f xf xf xg xg xg x( )( )fg0( )lim( )xxf xg x0( )lim( )xfg0( )lim( )xxfxg x)3定理條件定理條件: 西定理條件,0( )3) lim( )xxfxg x存在 (或為 )02)( )( )(),f xg xx與在內(nèi)可導(dǎo)( )0g x且0 x7推論推論1. 定理 1 中0 xx換為0,xx0,xx,xx之一,推論推論 2. 若( )lim( )fxg x0,( ),( )0fxg x仍屬型 且滿足定理1條件, 則( )( )limlim( )( )f xfxg xg x(

4、 )lim( )fxgx條件 2) 作相應(yīng)的修改 , 定理 1 仍然成立.,x00( )( )limlim( )( )xxxxf xfxg xg x洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則8例例1. 求.123lim2331xxxxxx解解: 原式 lim1x型00266lim1xxx23注意注意: 不是未定式不能用洛必達(dá)法則 !266lim1xxx166lim1x332x1232 xx9例例2 求00sinlim30 xxxx解解: 原式)()sin(lim30 xxxx203cos1limxxx00006sinlim0 xxx)3()cos1 (lim20 xxx6110例例3. 求.arctanlim12x

5、xx解解: 原式 limx型00221limxxx1211x21x型11例例4. 求.sintanlim20 xxxxx解解: 注意到xsin原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31x型00例例5. 求20n(1)lim.xlxxx型00解解:原式201lim1.1xx0.x 2ln(1) .xxx12二、二、型未定式型未定式001) lim( )lim ( )xxxxf xg x 0( )3) lim( )xxfxg x存在 (或為)0( )lim( )xxf xg x定理定理 2.證略證略: 0( )lim( )xxfxg

6、 x(洛必達(dá)法則)02)( )( )(),f xg xx與在內(nèi)可導(dǎo)( )0g x 且13.3tantanlim2xxx型解解:原式xxxxxcos3cos3sinsinlim2（有時可以化簡再計算）xxxcos3coslim2xxxsin3sin3lim23例例1. 求14例例2. 求. )0(lnlimnxxnx解解:型原式11limnxxxnnxxn1lim0例例3. 求求解解:原式0 xnxexn1limxnxexnn22) 1(limxnxen!lim. )0, 0(limnexxnx型15. )0(0lnlimnxxnx例2. 例3. )0, 0(0limnexxnx說明說明:1)

7、例2、3 , 表明x時,lnx后者比前者趨于更快 .而)0(xe, )0( nxn2) 在滿足定理條件的某些情況下洛必達(dá)法則不能解決 計算問題 .例如,xxx21lim21limxxxxxx21limxxx21lim11lim2xx1用洛必達(dá)法則163) 若,)()()(lim時不存在xFxf.)()(lim)()(limxFxfxFxf例如例如, 1、1cos1limxx極限不存在)sin1 (limxxx1xxxxxsintan1sinlim. 220)sec1cos1sin2(lim20 xxxxxtan1sinlim20 xxxxxx1xxxxsinlim17三、其他未定式三、其他未定

8、式:,0 ,00,1型0解決方法解決方法:通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0010取對數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化例例1. 求).0(lnlim0nxxnx型0解解: 原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx注：原式xxnxln1lim000解不出！解不出！18型. )tan(seclim2xxx解解: 原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20例例2. 求通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0010取對數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化19例例3 3)ln11(lim1xxxxxxxxxxln) 1(1lnlim1)1(1ln)1(1lnlim1xxx

9、xxx)(21) 1(1lnlimxxxxx21) 1(2lnlim1xxxxx21lim120解解:203cos1limxxx30 limxx例例4.xxxx1sin1cotlim0原式xxsin222103limxxxxcos1221x61xxxxxxtansinsinlim021例例5. 求.lim0 xxx型00通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0010取對數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化解解: xxx0limxxxeln0lim0e1xxxe1ln0lim2110limxxxexxe0lim注：利用等價無窮小xxxsin0limxxx0lim22例例6 求nnnlim解：解： 根據(jù)數(shù)列極限和函數(shù)極限的關(guān)系，

10、取 xxxf1xxx1lim1xxxeln1limxxxelnlimxxe1lim10 e當(dāng)x取正整數(shù)時，即有且nn,nnnlimnnn1lim23例例7 求下列極限0lim. 1111xxxx)1 (解：解： 原式xxxeln111limxxxe1lnlim100 xxe1lim11exxx22tanlim. 20)(0解：解： 原式xxxetanln)2(20limxxxe21tanlnlim02xxxecos)2(lim20200 xxxesin)2(2lim0210e24xxxtan01lim. 4)(0)0(0 xxxln1arctan2lim. 3解：解：原式)arctan2ln(ln1limxxxexxxeln)arctan2ln(lim)arctan2(111lim2xxxxe10exxxtan0解：解： 原式xxxeln0limxxxe1lnlim0 xxe0lim10e注：注： 未定式只有化為.,00才能應(yīng)用羅必塔法則！25思考與練習(xí)思考與練習(xí))1ln()cos1 (cossin3lim120 xxxxxx原式xxxxx120cossin3lim21)1ln(xx)03(2123解解:2)cos1 (lim0 xx26內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型00,1 ,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111gfy 令取