第三章效用函數(shù)

1、問題：問題：某公司擬推出一種新產(chǎn)品，經(jīng)預(yù)測該產(chǎn)品在某公司擬推出一種新產(chǎn)品，經(jīng)預(yù)測該產(chǎn)品在市場看好的情況下，可以獲利市場看好的情況下，可以獲利10萬；在市場萬；在市場前景較差時，將虧損前景較差時，將虧損1萬元。市場看好和較萬元。市場看好和較差的概率分別為差的概率分別為0.6和和0.4，是否推出該新產(chǎn)，是否推出該新產(chǎn)品？品？若另有一產(chǎn)品可穩(wěn)獲利若另有一產(chǎn)品可穩(wěn)獲利2萬元，推出哪種產(chǎn)萬元，推出哪種產(chǎn)品更好？品更好？這是一個這是一個隨機決策隨機決策問題。問題。在隨機決策中，決策系統(tǒng)（在隨機決策中，決策系統(tǒng)（，A，F(xiàn)）中的）中的決策方案均是在狀態(tài)空間背景中加以比較，決策方案均是在狀態(tài)空間背景中加以比較，

2、并按照某種規(guī)則，選出決策者最滿意的行動并按照某種規(guī)則，選出決策者最滿意的行動方案。方案。在本章中，我們用在本章中，我們用事態(tài)體事態(tài)體表示在隨機性狀態(tài)表示在隨機性狀態(tài)空間中的行動方案，方案的比較表示為事態(tài)空間中的行動方案，方案的比較表示為事態(tài)體的比較，并引入體的比較，并引入效用效用的概念，用以衡量事的概念，用以衡量事態(tài)體（行動方案）的優(yōu)劣。態(tài)體（行動方案）的優(yōu)劣。3.1.1事態(tài)體及其關(guān)系事態(tài)體及其關(guān)系 1事態(tài)體的概念事態(tài)體的概念 定義定義3.1 具有兩種或兩種以上有限個可能結(jié)果的方案具有兩種或兩種以上有限個可能結(jié)果的方案（或事情），稱為事態(tài)體。（或事情），稱為事態(tài)體。事態(tài)體中各可能結(jié)果出現(xiàn)的概率

3、是已知的。事態(tài)體中各可能結(jié)果出現(xiàn)的概率是已知的。事態(tài)體即隨機性狀態(tài)空間中的行動方案。事態(tài)體即隨機性狀態(tài)空間中的行動方案。設(shè)某事態(tài)體的設(shè)某事態(tài)體的n個可能結(jié)果為：個可能結(jié)果為：o1, o2, , on各結(jié)果出現(xiàn)的概率是相應(yīng)為：各結(jié)果出現(xiàn)的概率是相應(yīng)為： p1, p2, , pn 則該事態(tài)體記為：則該事態(tài)體記為：T（p1, o1；p2, o2 ；pn, on）特別當(dāng)特別當(dāng)n 2時，稱時，稱 T為簡單事態(tài)體，此時為簡單事態(tài)體，此時 T（p, o1；1p, o2 ）事態(tài)體可以用樹形圖表示如下：事態(tài)體可以用樹形圖表示如下：Tp1p2pno1o2on當(dāng)當(dāng)n 2時：時：pT1-po1o2在凸線性組合下，在凸

4、線性組合下，是閉集。即：是閉集。即：若若T1，T2 ，則當(dāng)，則當(dāng)0 1時，有時，有 T1 ( (1 ) )T2 兩個事態(tài)體的凸線性組合仍是一個事態(tài)體。兩個事態(tài)體的凸線性組合仍是一個事態(tài)體。T( (0, o1；0, o2 ；1, oj ；0, on) ) 稱稱T為為退化事態(tài)體退化事態(tài)體。退化事態(tài)體仍屬于事態(tài)體集合退化事態(tài)體仍屬于事態(tài)體集合。定義定義3.2設(shè)設(shè)o1，o2是事態(tài)體是事態(tài)體T的任意兩個結(jié)果值，根的任意兩個結(jié)果值，根據(jù)決策目標(biāo)和決策者偏好，據(jù)決策目標(biāo)和決策者偏好，o1和和o2有如下關(guān)有如下關(guān)系：系：若偏好結(jié)果值若偏好結(jié)果值o1，則稱，則稱o1優(yōu)于優(yōu)于o2，記作，記作o1 o2；反之，稱反

5、之，稱o1劣于劣于o2，記作，記作o1 o2。若對結(jié)果值若對結(jié)果值o1, o2無所偏好，則稱無所偏好，則稱o1無差異于無差異于o2，記作，記作o1 o2。若不偏好結(jié)果值若不偏好結(jié)果值o1，則稱，則稱o1不優(yōu)于不優(yōu)于o2，記作，記作 o1 o2 ；反之，稱；反之，稱o1不劣于不劣于o2，記作，記作o1 o2 。定義定義 3.3 設(shè)兩個簡單事態(tài)體設(shè)兩個簡單事態(tài)體 T1，T2具有相同的結(jié)果值具有相同的結(jié)果值 o1，o2，即，即 ：T1（p1, o1；1p1, o2 ）T2（p2, o1；1p2, o2 ）并假定并假定o1 o2，則：，則：若若p1p2，稱事態(tài)體，稱事態(tài)體T1無差異于無差異于T2，記作

6、，記作T1T2 。若若p1p2，稱事態(tài)體，稱事態(tài)體T1優(yōu)于優(yōu)于T2，記作記作T1 T2；反之，稱事態(tài)體反之，稱事態(tài)體T1劣劣于于T2，記作，記作T1 T2。定義定義 3.4 設(shè)兩個簡單事態(tài)體設(shè)兩個簡單事態(tài)體 T1，T2僅具有一個相同結(jié)僅具有一個相同結(jié)果值，另一個結(jié)果值不相同，即果值，另一個結(jié)果值不相同，即 ：T1（p1, o1；1p1, o0 ）T2（p2, o2；1p2, o0 ）且且o2 o1 o0，若若p1p2，則事態(tài)體，則事態(tài)體T2優(yōu)于優(yōu)于T1，記作，記作T2 T1 。若若T1T2 ，則必有，則必有p1p2 。3.1.2理性行為公理理性行為公理 公理公理3.l（連通性（連通性，可比性）

7、，可比性） 事態(tài)體集合事態(tài)體集合上事態(tài)體的優(yōu)劣關(guān)系是連通的。上事態(tài)體的優(yōu)劣關(guān)系是連通的。即若即若T1，T2 則或者則或者T1 T2 ，或者或者T2 T1 ，或者，或者T1T2 ，三者必居其一。三者必居其一。表示任意兩個事態(tài)體都是可以比較其優(yōu)劣的！表示任意兩個事態(tài)體都是可以比較其優(yōu)劣的！3.1.2理性行為公理理性行為公理 公理公理3.2（傳遞性傳遞性） 事態(tài)體集合事態(tài)體集合上事態(tài)體的優(yōu)劣關(guān)系上事態(tài)體的優(yōu)劣關(guān)系是傳遞的是傳遞的。即若即若T1、T2 、T3 ，且，且T1 T2 ，T2 T3 ，則必有則必有 T1 T3 。表示任意多個事態(tài)體的優(yōu)劣是可以排序的表示任意多個事態(tài)體的優(yōu)劣是可以排序的（若有些

8、事態(tài)體無差異，可排在同一位置。）（若有些事態(tài)體無差異，可排在同一位置。）滿足公理滿足公理3.1和公理和公理3.2的的事態(tài)體集合稱為全序集。事態(tài)體集合稱為全序集。 3.1.2理性行為公理理性行為公理 公理公理3.3（復(fù)合保序性復(fù)合保序性，替代性，替代性） 若若T1，T2 ，Q ，且，且0p1，則，則T1 T2 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) pT1 ( (1p) )Q pT2 ( (1p) )Q 。表示任意事態(tài)體的優(yōu)劣關(guān)系是可以復(fù)合的，表示任意事態(tài)體的優(yōu)劣關(guān)系是可以復(fù)合的，復(fù)合后的事態(tài)體保持原有的優(yōu)劣關(guān)系不變。復(fù)合后的事態(tài)體保持原有的優(yōu)劣關(guān)系不變。3.1.2理性行為公理理性行為公理 公理公理3.4（相對有序性

9、相對有序性，連續(xù)性，偏好的有界，連續(xù)性，偏好的有界性性） 若若T1，T2 ，T3 ，且，且T1 T2 T3 則存在數(shù)則存在數(shù) p，q，0pl，0q1，使得：，使得： pT1 ( (1p) )T3 T2 qT1 ( (1q) )T3 表示任意事態(tài)體都不是無限優(yōu)，也不是無限表示任意事態(tài)體都不是無限優(yōu)，也不是無限劣。劣。3.1.3事態(tài)體的基本性質(zhì)事態(tài)體的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)3.1設(shè)事態(tài)體設(shè)事態(tài)體 T1（p, o1；1p, o0 ）T2（x, o2；1x, o0 ）且且 o1 o0 ， o2 o0 ，若，若o2 o1 則存在則存在x=pp使得使得 T1T2 稱稱x為為可調(diào)概率值可調(diào)概率值。3.1.3事態(tài)

10、體的基本性質(zhì)事態(tài)體的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)3. 2（確定當(dāng)量和無差異概率）（確定當(dāng)量和無差異概率）設(shè)事態(tài)體設(shè)事態(tài)體T（x, o1；1x, o2 ）且）且o1 o2 。則對于滿足優(yōu)劣關(guān)系則對于滿足優(yōu)劣關(guān)系o1 o o2的任意結(jié)果值的任意結(jié)果值o，必存在，必存在xp（0pl），使得），使得T（p, o1；1p, o2 ） o稱結(jié)果值稱結(jié)果值o為事態(tài)體為事態(tài)體T的的確定當(dāng)量確定當(dāng)量，稱，稱p為為o關(guān)于關(guān)于o1與與o2的的無差異概率無差異概率。性質(zhì)性質(zhì)3. 3任一事態(tài)體無差異于一個簡單事態(tài)體。任一事態(tài)體無差異于一個簡單事態(tài)體。設(shè)有事態(tài)體設(shè)有事態(tài)體T （p1, o1；p2, o2 ；pn, on）則必存在一

11、個簡單事態(tài)體則必存在一個簡單事態(tài)體T（p, o*；1p, o0 ） T其中：其中： o* max o1, o2 , , on o0 min o1, o2 , , on 且：且： njjjqpp1這里，這里，qj( (j=1, 2, , n) )為為oj關(guān)關(guān)于于o*與與o0的無差異概率。的無差異概率。根據(jù)性質(zhì)根據(jù)性質(zhì)3. 3比較一般事態(tài)體之間的優(yōu)劣關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化比較一般事態(tài)體之間的優(yōu)劣關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為比較簡單事態(tài)體之間的優(yōu)劣關(guān)系為比較簡單事態(tài)體之間的優(yōu)劣關(guān)系（將問題（將問題簡化）簡化）得到事態(tài)體之間兩兩的優(yōu)劣或無差異關(guān)系后，得到事態(tài)體之間兩兩的優(yōu)劣或無差異關(guān)系后，再根據(jù)公理再根據(jù)公理3.2（傳遞

12、性）即可得到所討論（傳遞性）即可得到所討論事態(tài)體的排序。事態(tài)體的排序。設(shè)有決策系統(tǒng)（設(shè)有決策系統(tǒng)（，A，F(xiàn)），在離散情況），在離散情況下，結(jié)果值可以表示為決策矩陣：下，結(jié)果值可以表示為決策矩陣： mnmmnnnmijooooooooooO.)(212222111211矩陣矩陣O的第的第i行表示第行表示第i個可行方案的個可行方案的n個可能個可能結(jié)果值，即事態(tài)體結(jié)果值，即事態(tài)體Ti（p1, oi1；p2, oi2 ；pn, oin）( (i=1, 2, , m) )決策就是要對這決策就是要對這 m個事態(tài)體進行排序。個事態(tài)體進行排序。由第一節(jié)中的性質(zhì)由第一節(jié)中的性質(zhì)3.3知，存在簡單事態(tài)體知，存在簡

13、單事態(tài)體T，使得，使得Ti（pi, o*；1pi, o0 ） Ti問題又化為對這問題又化為對這m個簡單事態(tài)體個簡單事態(tài)體Ti進行排進行排序。序。 Ti（pi, o*；1pi, o0 ） Ti注意到這注意到這m個簡單事態(tài)體個簡單事態(tài)體Ti具有相同的結(jié)具有相同的結(jié)果值果值o*、 o0 ，根據(jù)定義，根據(jù)定義3.3，其優(yōu)劣關(guān)系可，其優(yōu)劣關(guān)系可以由比較以由比較pi的大小決定。的大小決定。根據(jù)性質(zhì)根據(jù)性質(zhì)3.3 njijjiqpp1qjj是結(jié)果值是結(jié)果值oij關(guān)于關(guān)于o*與與o0的的無差異概率無差異概率。其中：其中： 問題：如何測定問題：如何測定無差異概率？無差異概率？，max,ijjioo* min,i

14、jjioo0 3.2.1 效用和效用函數(shù)的概念效用和效用函數(shù)的概念1. 效用的概念效用的概念2. 定義定義3.53.設(shè)決策問題的各可行方案有多種可能的設(shè)決策問題的各可行方案有多種可能的結(jié)果值結(jié)果值o，依據(jù)決策者的主觀愿望和價值，依據(jù)決策者的主觀愿望和價值傾向，每個結(jié)果值對決策者均有不同的價傾向，每個結(jié)果值對決策者均有不同的價值和作用。值和作用。反映結(jié)果值反映結(jié)果值o對決策者的價值對決策者的價值和作用大小的量值稱為效用。和作用大小的量值稱為效用。3.2.1 效用和效用函數(shù)的概念效用和效用函數(shù)的概念2. 效用函數(shù)的概念效用函數(shù)的概念3. 定義定義3.6若在事態(tài)體集合若在事態(tài)體集合上存在實值函數(shù)上存

15、在實值函數(shù)u，有：，有：( (1) )對任意的對任意的T1、T2 ，T1 T2 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)u( (T1) ) u( (T2) )2.2. ( (2) )對任意的對任意的T1、T2 ，且且0 1，有，有u T1 ( (1 ) )T2 = u( (T1) )( (1 ) )u( (T2) )2.則稱則稱u( (T) )為定義在為定義在上的效用函數(shù)。上的效用函數(shù)。3. 估計效用函數(shù)的方法估計效用函數(shù)的方法（1）標(biāo)準(zhǔn)效用測定法）標(biāo)準(zhǔn)效用測定法( (概率當(dāng)量法，概率當(dāng)量法，VM法法) ) 思路思路：對于給定的結(jié)果值，測定其效用值。：對于給定的結(jié)果值，測定其效用值。設(shè)有決策系統(tǒng)（設(shè)有決策系統(tǒng)（，A，

16、F），其結(jié)果值集），其結(jié)果值集合為：合為： O（o1, o2 , , on）記：記： o* max o1, o2 , , on o0 min o1, o2 , , on 3.3.對于每一個結(jié)果值對于每一個結(jié)果值oj都存在一個概率值都存在一個概率值pj，使得使得oj（pj , o*；1pj , o0） pj就可以作為就可以作為結(jié)果值結(jié)果值oj的效用值。的效用值。（1）標(biāo)準(zhǔn)效用測定法）標(biāo)準(zhǔn)效用測定法(概率當(dāng)量法，概率當(dāng)量法，VM法法) 步驟步驟設(shè)設(shè) u( (o*) )=1，u( (o0) )= 0；建立簡單事態(tài)體（建立簡單事態(tài)體（x, o*；1- -x, o0 ），其中），其中x稱為可調(diào)概率；稱為

17、可調(diào)概率；通過反復(fù)提問，不斷改變可調(diào)概率值通過反復(fù)提問，不斷改變可調(diào)概率值x，讓，讓決策者權(quán)衡比較，直至當(dāng)決策者權(quán)衡比較，直至當(dāng)x= pj時時 oj（pj , o*；1pj , o0）測得結(jié)果值測得結(jié)果值oj的效用的效用 u( (oj) )= pj = pj u( (o*) )( (1pj ) )u( (o0) )3. 估計效用函數(shù)的方法估計效用函數(shù)的方法（2）確定當(dāng)量法）確定當(dāng)量法( (修正的修正的VM法法) ) 思路思路：對于給定的效用值，測定其結(jié)果值。：對于給定的效用值，測定其結(jié)果值。 步驟步驟設(shè)設(shè) u( (o*) )=1，u( (o0) )= 0；對于給定的效用值對于給定的效用值pj，

18、構(gòu)造簡單事態(tài)體，構(gòu)造簡單事態(tài)體（pj , o*；1pj , o0）通過反復(fù)提問，不斷改變結(jié)果值通過反復(fù)提問，不斷改變結(jié)果值o ，讓決，讓決策者權(quán)衡比較，直至當(dāng)策者權(quán)衡比較，直至當(dāng)o= oj時時3. oj（pj , o*；1pj , o0）4. 得得效用值效用值pj對應(yīng)的對應(yīng)的結(jié)果值為結(jié)果值為oj，即，即u( (oj) )= pj 。介紹一種實用的效用函數(shù)的構(gòu)造方法。介紹一種實用的效用函數(shù)的構(gòu)造方法。 基本思路基本思路對于決策問題的結(jié)果值集合，先用對于決策問題的結(jié)果值集合，先用確定當(dāng)確定當(dāng)量法量法找出一個基準(zhǔn)效用值，即效用值等于找出一個基準(zhǔn)效用值，即效用值等于0.5的結(jié)果值，稱為確定當(dāng)量的結(jié)果值

19、，稱為確定當(dāng)量o。其余效用。其余效用值不再測定，而是按比例用線性內(nèi)插的方值不再測定，而是按比例用線性內(nèi)插的方法，用同一個標(biāo)準(zhǔn)計算得到。法，用同一個標(biāo)準(zhǔn)計算得到。 方法方法設(shè)決策問題結(jié)果值集合為：設(shè)決策問題結(jié)果值集合為：O（o1, o2 , , on） 取取o* max o1, o2 , , on o0 min o1, o2 , , on 并令并令 u( (o*) )=1，u( (o0) )= 0； 構(gòu)造簡單事態(tài)體構(gòu)造簡單事態(tài)體（0.5, o*； 0.5, o0），用），用確確定當(dāng)量法定當(dāng)量法找到該找到該事態(tài)體事態(tài)體的確定當(dāng)量的確定當(dāng)量o，使，使得得： o（0.5, o*； 0.5, o0） 方

20、法方法 對結(jié)果值進行歸一化處理，記歸一化的結(jié)對結(jié)果值進行歸一化處理，記歸一化的結(jié)果值為果值為x( (oj) ) Oooooooxjjj ，0*0)(則：則： x*=x( (o*) )=1， x0=x( (o0) )= 0， 0 x( (oj) )1 記記確定當(dāng)量確定當(dāng)量o的歸一化值為的歸一化值為，也記為，也記為x0.50*05 . 00*05 . 0)(xxxxoooooxx （0, 0）,（ , 0.5）,（1, 1）ux0110.5 方法方法 在新區(qū)間在新區(qū)間0, 和和, 1按同樣方法插入點按同樣方法插入點（ x0.25, 0.25）和（）和（ x0.75, 0.75），保持比例），保持比

21、例關(guān)系關(guān)系 0*05 . 005 . 0025. 0 xxxxxxxx計算得：計算得：275. 0225. 02 xx， 0*05 . 05 . 0*5 . 075. 0 xxxxxxxx（ 2, 0.25）,（22, 0.75）ux0110.50.2520.7522 若認(rèn)為點數(shù)太少，效用曲線不夠精確，可若認(rèn)為點數(shù)太少，效用曲線不夠精確，可繼續(xù)繼續(xù)按同樣方法按同樣方法在新產(chǎn)生的區(qū)間在新產(chǎn)生的區(qū)間內(nèi)插入效內(nèi)插入效用中點，直到產(chǎn)生足夠的點為止。用中點，直到產(chǎn)生足夠的點為止。若在效用區(qū)間若在效用區(qū)間0, 1中插入中插入2n個分點：個分點：)2 , 2 , 1(2nnkk 記相應(yīng)的歸一化的結(jié)果值為記相

22、應(yīng)的歸一化的結(jié)果值為k ，有：，有： 111)2 , 3 , 2)2() 1212() 1(0)2 , 2 , 1()1 (srnrrkknttnkkrktktkkk（其其中中： 在風(fēng)險型或不確定型決策問題中，決策者在風(fēng)險型或不確定型決策問題中，決策者選擇方案幾乎都要承擔(dān)一定的風(fēng)險，不同選擇方案幾乎都要承擔(dān)一定的風(fēng)險，不同的決策者對風(fēng)險的態(tài)度是有區(qū)別的。的決策者對風(fēng)險的態(tài)度是有區(qū)別的。 效用表示了決策者對決策方案各結(jié)果值的效用表示了決策者對決策方案各結(jié)果值的偏好程度，也偏好程度，也反映了反映了不同類型的決策者對不同類型的決策者對風(fēng)險的不同態(tài)度風(fēng)險的不同態(tài)度。 因此從因此從不同類型的效用函數(shù)不同

23、類型的效用函數(shù)可以看出可以看出決策決策者對風(fēng)險的不同態(tài)度者對風(fēng)險的不同態(tài)度。1. 中立型效用函數(shù)中立型效用函數(shù)2.設(shè)有效用函數(shù)設(shè)有效用函數(shù)u=u(x)，若對，若對xlx2，有，有 )2(2)()(2121xxuxuxu 則稱該效用函數(shù)為中立型。則稱該效用函數(shù)為中立型。其效用曲線是一條直線。其效用曲線是一條直線。中立型效用函數(shù)的效用值和結(jié)果值成正中立型效用函數(shù)的效用值和結(jié)果值成正比例，因此可以用結(jié)果值直接評選方案。比例，因此可以用結(jié)果值直接評選方案。2. 保守型效用函數(shù)保守型效用函數(shù)設(shè)有效用函數(shù)設(shè)有效用函數(shù)u=u(x)，若對，若對xlx2，有，有 )2(2)()(2121xxuxuxu 則稱該效

24、用函數(shù)為保守型。則稱該效用函數(shù)為保守型。其效用曲線是一條其效用曲線是一條上凸上凸曲線，曲線，表示效用值隨表示效用值隨結(jié)果值的增加而增加，但增加的速度逐漸由結(jié)果值的增加而增加，但增加的速度逐漸由快至慢?？熘谅７从沉藳Q策者隨結(jié)果值增加越來越反映了決策者隨結(jié)果值增加越來越謹(jǐn)慎，對風(fēng)險持厭惡態(tài)度。謹(jǐn)慎，對風(fēng)險持厭惡態(tài)度。3. 冒進型效用函數(shù)冒進型效用函數(shù)設(shè)有效用函數(shù)設(shè)有效用函數(shù)u=u(x)，若對，若對xlx2，有，有 )2(2)()(2121xxuxuxu 則稱該效用函數(shù)為冒進型。則稱該效用函數(shù)為冒進型。其效用曲線是一條其效用曲線是一條下凸下凸曲線，曲線，表示效用值隨表示效用值隨結(jié)果值的增加而增加，

25、且增加的速度越來越結(jié)果值的增加而增加，且增加的速度越來越快?？?。反映了決策者隨結(jié)果值增加越來越敢于反映了決策者隨結(jié)果值增加越來越敢于冒險追求高額回報的態(tài)度。冒險追求高額回報的態(tài)度。ux110中立型效用函數(shù)中立型效用函數(shù)保守型效用函數(shù)保守型效用函數(shù)冒進型效用函數(shù)冒進型效用函數(shù)4. 混合型效用函數(shù)混合型效用函數(shù)5.三種基本效用函數(shù)的混合，如：三種基本效用函數(shù)的混合，如：ux110混合型效用函數(shù)混合型效用函數(shù)表示當(dāng)表示當(dāng)xx0時，即時，即結(jié)果值不大時，決策結(jié)果值不大時，決策者具有一定冒險精神；者具有一定冒險精神；當(dāng)當(dāng)xx0時，即結(jié)果時，即結(jié)果值較大時，決策者對值較大時，決策者對風(fēng)險轉(zhuǎn)而持謹(jǐn)慎態(tài)度。風(fēng)

26、險轉(zhuǎn)而持謹(jǐn)慎態(tài)度。x0一、效用函數(shù)表的構(gòu)造一、效用函數(shù)表的構(gòu)造實際構(gòu)造效用函數(shù)時，取實際構(gòu)造效用函數(shù)時，取n=6定出效用曲定出效用曲線上的線上的26（64）個點，效用函數(shù)的精度已）個點，效用函數(shù)的精度已經(jīng)足夠。經(jīng)足夠。書后附表書后附表6給出了給出了n=6對于不同的權(quán)衡指標(biāo)對于不同的權(quán)衡指標(biāo)值值(0.5)的效用函數(shù)值。的效用函數(shù)值。0.5時時，對應(yīng)的是冒進（下凸）型效用函數(shù)，對應(yīng)的是冒進（下凸）型效用函數(shù)，效用函數(shù)值無法直接查表效用函數(shù)值無法直接查表。一、效用函數(shù)表的構(gòu)造一、效用函數(shù)表的構(gòu)造可以證明：可以證明： 0.5的效用曲線的效用曲線u(x)與與=1的的效效用曲線用曲線u(x)是關(guān)于直線是關(guān)

27、于直線u=x對稱的。因此，對稱的。因此， 0.5的效用函數(shù)值可以按下面的方法求的效用函數(shù)值可以按下面的方法求得：得： u(x)1 u(1x)具體步驟見教材具體步驟見教材P62。注：注：查表時在給定的查表時在給定的列若沒有對應(yīng)的列若沒有對應(yīng)的x值，值，則找出與之相鄰的兩個值則找出與之相鄰的兩個值x1、x2 ，查出對，查出對應(yīng)的效用值后用線性內(nèi)插的方法應(yīng)的效用值后用線性內(nèi)插的方法確定確定u(x)。二、效用函數(shù)表的使用二、效用函數(shù)表的使用例例3.1某企業(yè)欲投產(chǎn)一種新產(chǎn)品，有三種方某企業(yè)欲投產(chǎn)一種新產(chǎn)品，有三種方案可供選擇案可供選擇。已知。已知市場市場存在存在三種狀態(tài)三種狀態(tài)：暢暢銷、一般、滯銷，三種

28、方案在不同的市場銷、一般、滯銷，三種方案在不同的市場狀態(tài)下所獲利潤額狀態(tài)下所獲利潤額構(gòu)成以下的決策矩陣：構(gòu)成以下的決策矩陣： 5 . 261455 . 72022 . 65 . 9)(33ijoO決策者認(rèn)為：決策者認(rèn)為： o4.5（0.5, 20； 0.5, 5）解：解： o* max oij 20， o0 min oij 5u( (o*) )=1，u( (o0) )= 0將決策矩陣的結(jié)果值歸一化將決策矩陣的結(jié)果值歸一化：0*0)(oooooxijij 得得歸一化后的決策矩陣為：歸一化后的決策矩陣為： 1 . 044. 076. 005 . 0128. 0448. 058. 0)(33ijxX

29、由由 o4.5（0.5, 20； 0.5, 5）得：得：38. 0)5(20)5(5 . 40*0 oooo 查查P369附表附表6， 0.38 所在列，以所在列，以x220.5為例為例 ： 0.490621 x220.5 0.503698而而u(0.490621)0.65625， u(0.503698)0.671875用線性內(nèi)插法：用線性內(nèi)插法：490621. 0503698. 0490621. 05 . 065625. 0671875. 065625. 0)(22 xu解得解得u(x22) 0.6675。同理同理得：得： u(x11) 0.7300， u(x12) 0.6091，u(x13

30、) 0.4306， u(x31) 0.8742u(x32) 0.5596， u(x33) 0.2068且且u(x21)u( (o*) )=1， u(x23)u( (o0) )=0得得決策者的效用矩陣為：決策者的效用矩陣為： 2068. 05996. 08742. 006675. 014306. 06091. 07300. 0)(33ijuU解：解： 同上例方法同上例方法得得歸一化后的決策矩陣為歸一化后的決策矩陣為： 1 . 044. 076. 005 . 0128. 0448. 058. 0)(33ijxX由由 o11.25（0.5, 20； 0.5, 5）得：得：65. 0)5(20)5(2

31、5.110*0 oooo 查查P369附表附表6，1-0.65=0.35 所在列，以所在列，以x320.44為例為例， u(x32)1u(1x32) 1 u(0.56) ： 0.53689 0.56 0.5775而而u(0.53689)0.734375， u(0.5775)0.75用線性內(nèi)插法解得用線性內(nèi)插法解得u(0.56) 0.7433，因此：，因此： u(x32)1 u(0.56) 0.2567同理同理得：得： u(x11) 0.3819， u(x12) 0.2598，u(x13) 0.1271， u(x22) 0.2920u(x31) 0.5725， u(x33) 0.0251且且u(

32、x21)u( (o*) )=1， u(x23)u( (o0) )=0得得決策者的效用矩陣為：決策者的效用矩陣為： 0251. 02567. 05725. 002920. 011271. 02598. 03819. 0)(33ijuU前面討論了針對特定的結(jié)果值，如何測定前面討論了針對特定的結(jié)果值，如何測定其效用，我們得到的只是一些離散的效用其效用，我們得到的只是一些離散的效用值，要得到連續(xù)的效用函數(shù)，則需要用曲值，要得到連續(xù)的效用函數(shù)，則需要用曲線擬合的方法。線擬合的方法。 常見的擬合曲線形式常見的擬合曲線形式 線性函數(shù)型線性函數(shù)型 u(x)c1a1（xc2）其中其中c1、a1、c2為待定參數(shù)。

33、為待定參數(shù)。前面查表時用內(nèi)插法確定某些效用值，前面查表時用內(nèi)插法確定某些效用值，實際上就相當(dāng)于效用函數(shù)為分段線性函數(shù)。實際上就相當(dāng)于效用函數(shù)為分段線性函數(shù)。 常見的擬合曲線形式常見的擬合曲線形式 指數(shù)函數(shù)型指數(shù)函數(shù)型 1 )()(1122cxaeacxu 其中其中ci、ai（i1，2，3）均為待定參數(shù)。）均為待定參數(shù)。 雙指數(shù)函數(shù)型雙指數(shù)函數(shù)型2)()()(113322cxacxaeeacxu 指數(shù)加線性函數(shù)型指數(shù)加線性函數(shù)型)(1 )(33)(1122cxaeacxucxa 常見的擬合曲線形式常見的擬合曲線形式 冪函數(shù)型冪函數(shù)型 其中其中c1、a1、c2 為待定參數(shù)。為待定參數(shù)。不論采用哪種形式的函數(shù)，一般都盡可能化不論采用哪種形式的函數(shù)，一般都盡可能化為線性函數(shù)通過最小二乘法確定待定參數(shù)。為線性函數(shù)通過最小二乘法確定待定參數(shù)。 對數(shù)函數(shù)型對數(shù)函數(shù)型)10)()(211 acxacxua（)ln()(211cxacxu 3.4.1冪函數(shù)型效用曲線的擬合冪函數(shù)型效用曲線的擬合 冪函數(shù)的一般形式冪函數(shù)的一般形式1.yta（0a1）2.當(dāng)當(dāng)0a1時，冪函數(shù)曲線是上凸的。時，冪函數(shù)曲線是上凸的。在區(qū)間（在區(qū)間（0，）上，曲線的曲率是變化）上，曲線的