Cha21-2(1)二重積分計(jì)算

1、如果積分區(qū)域?yàn)椋喝绻e分區(qū)域?yàn)椋? bxa ).()(21xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 為曲頂柱體的體積為曲頂柱體的體積為底，以曲面為底，以曲面的值等于以的值等于以),(),(yxfzDdyxfD 應(yīng)用計(jì)算應(yīng)用計(jì)算“平行截平行截面面積為已知的立面面積為已知的立體求體積體求體積”的方法的方法,a0 xbzyx)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 得

2、得.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果積分區(qū)域?yàn)椋喝绻e分區(qū)域?yàn)椋?dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D X型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y軸的直軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn)線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn). Y型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于x軸的直軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn)線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn).若區(qū)域如圖，若區(qū)域如圖，3D2D1D在分割后的三個區(qū)域上分別在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式使用積分公式.321 DDDD則

3、必須分割則必須分割.xy 1例例 1 1 改改變變積積分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖xy 222xxy 例例 2 2 改改變變積積分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的的次次序序.原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖例例 3 3 改變積分改變積分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的次序的次序.axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(222

4、2 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a例例 4 4 求求 Ddxdyyx)(2，其中，其中D是由拋物線是由拋物線2xy 和和2yx 所圍平面閉區(qū)域所圍平面閉區(qū)域.解解兩兩曲曲線線的的交交點(diǎn)點(diǎn)),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 例例5 5 求求 Dydxdyex22，其其中中 D 是是以以),1 , 1(),0 , 0()1 , 0(為為頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的三三角角形形. dyey2無法用初等函數(shù)表示無法用初等函數(shù)表示解解 積積

5、分分時(shí)時(shí)必必須須考考慮慮次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 例例 6 6 計(jì)計(jì)算算積積分分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121.解解 dxexy不不能能用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示先先改改變變積積分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 例例 7 7 求由下列曲面所圍成的立體體積，求由下列曲面所圍成的立體體積，yxz ，xyz ，1 yx，0 x，0 y.解解曲面圍成的立體如圖曲面圍成的立體如圖., 10 yx,xyyx 所

6、求體積所求體積 DdxyyxV )( 1010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.247 所所圍圍立立體體在在xoy面面上上的的投投影影是是二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式（在積分中要正確選擇（在積分中要正確選擇積分次序積分次序）二、小結(jié)二、小結(jié).),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型X型型設(shè)設(shè))(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，并并設(shè)設(shè)Adxxf 10)(， 求求 110)()(xdyyfxfdx.思考題思考題 1)(xdyyf不能直接積出不能直接積出,

7、改改變變積積分分次次序序. 令令 110)()(xdyyfxfdxI,思考題解答思考題解答則原式則原式 ydxyfxfdy010)()(.,)()(010 xdyyfdxxf故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 一、一、 填空題填空題: : 1 1、 Ddyyxx )3(323_._.其中其中 . 10 , 10: yxD 2 2、 Ddyxx )cos(_._.其中其中D是頂是頂 點(diǎn)分別為點(diǎn)分別為 )0 , 0(，)0 ,( ，),( 的三角形閉區(qū)域的三角形閉區(qū)域 . .

8、3 3、將二重積分、將二重積分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由是由x軸及半圓周軸及半圓周)0(222 yryx所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域, ,化為先對化為先對y后對后對x的二次積分的二次積分, ,應(yīng)為應(yīng)為_._.練練 習(xí)習(xí) 題題 4 4、將二重積分、將二重積分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由直線是由直線 2, xxy及雙曲線及雙曲線)0(1 xxy所圍成的閉區(qū)所圍成的閉區(qū) 域域, ,化為先對化為先對x后對后對y的二次積分的二次積分, ,應(yīng)為應(yīng)為 _. _. 5 5、將將二二次次積積分分 22221),(xxxdyyxfdx改改換換積積分分次次序序, , 應(yīng)應(yīng)為為_ _ _ _

9、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、將將二二次次積積分分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改改換換積積分分次次序序, , 應(yīng)應(yīng)為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 7 7、將將二二次次積積分分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改改換換積積分分次次序序, , 應(yīng)應(yīng)為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二、畫出積分區(qū)域二、畫出積

10、分區(qū)域, ,并計(jì)算下列二重積分并計(jì)算下列二重積分: : 1 1、 Dyxde , ,其中其中D是由是由1 yx所確定的閉區(qū)域所確定的閉區(qū)域. . 2 2、 Ddxyx )(22其中其中D是由直線是由直線 xyxyy2, 2 及及所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. . 3 3、 xDdyyxxydxdyxf020)(2(cos),( 。4 4、,2 Ddxdyxy其中其中D: : 20 , 11 yx. .三、設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域三、設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由直線由直線, 2 yxxy 和和x軸所圍成軸所圍成, ,它的面密度它的面密度22),(yxyx , ,求該求該薄片的質(zhì)量薄片的質(zhì)量 . .四、四、 求由曲面求由曲面222yxz 及及2226yxz , ,所圍成的所圍成的立體的體積立體的體積 . .一、一、1 1、1 1； 2 2、23 ；3 3、 220),(xrrrdyyxfdx；4 4、 22121121),(),(yydxyxfdydxyxfdy；5 5、 211