生活中的幾何──歐式幾何

1、生活中的幾何歐式幾何幾何學發(fā)展簡況“幾何”這個詞在漢語里是“多少？”的意思，但在數(shù)學里 “幾何”的涵義就完全不同了?！皫缀巍边@個詞的詞義來源 于希臘文，原意是土地測量，或叫測地術。幾何學和算術一樣產生于實踐，也可以說幾何產生的歷史和 算術是相似的。在遠古時代，人們在實踐中積累了十分豐富 的各種平面、直線、方、圓、長、短、款、窄、厚、薄等概 念，并且逐步認識了這些概念之間、它們以及它們之間位置 關系跟數(shù)量關系之間的關系，這些后來就成了幾何學的基本 概念。正是生產實踐的需要，原始的幾何概念便逐步形成了比較粗 淺的幾何知識。雖然這些知識是零散的，而且大多數(shù)是經驗 性的，但是幾何學就是建立在這些零散、

2、經驗性的、粗淺的 幾何知識之上的。幾何學史數(shù)學中最古老的分支之一，也是在數(shù)學這個領域里 最基礎的分支之一。 古代中國、 古巴比倫、 古埃及、 古印度、 古希臘都是幾何學的重要發(fā)源地。大量出土文物證明，在我 國的史前時期，人們已經掌握了許多幾何的基本知識，看一 看遠古時期人們使用過的物品中那許許多多精巧的、對稱的 圖案的繪制，一些簡單設計但是講究體積和容積比例的器 皿，都足以說明當時人們掌握的幾何知識是多么豐富了。幾何之所以能成為一門系統(tǒng)的學科，希臘學者的工作曾起了十分關鍵的作用。兩千多年前的古希臘商業(yè)繁榮，生產比較發(fā)達，一批學者熱心追求科學知識，研究幾何就是最感興趣 的內容，在這里應當提及的是

3、哲學家、幾何學家柏拉圖和哲 學家亞里士多德對發(fā)展幾何學的貢獻。柏拉圖把邏輯學的思想方法引入了幾何，使原始的幾何知識 受邏輯學的指導逐步趨向于系統(tǒng)和嚴密的方向發(fā)展。柏拉圖 在雅典給他的學生講授幾何學，已經運用邏輯推理的方法對 幾何中的一些命題作了論證。亞里士多德被公認是邏輯學的 創(chuàng)始人，他所提出的“三段論”的演繹推理的方法，對于幾 何學的發(fā)展，影響更是巨大的。到今天，在初等幾何學中， 仍是運用三段論的形式來進行推理。但是，盡管那時候已經有了十分豐富的幾何知識，這些知識 仍然是零散的、孤立的、不系統(tǒng)的。真正把幾何總結成一門 具有比較嚴密理論的學科的，是希臘杰出的數(shù)學家歐幾里 得。歐幾里得在公元前

4、300 年左右，曾經到亞歷山大城教學，是 一位受人尊敬的、溫良敦厚的教育家。他酷愛數(shù)學，深知柏 拉圖的一些幾何原理。他非常詳盡的搜集了當時所能知道的 一切幾何事實，按照柏拉圖和亞里士多德提出的關于邏輯推 理的方法，整理成一門有著嚴密系統(tǒng)的理論，寫成了數(shù)學史 上早期的巨著幾何原本。第 1 頁幾何原本的偉大歷史意義在于它是用公理法建立起演繹 的數(shù)學體系的最早典范。在這部著作里，全部幾何知識都是 從最初的幾個假設除法、運用邏輯推理的方法展開和敘述 的。也就是說，從幾何原本發(fā)表開始，幾何才真正成為 了一個有著比較嚴密的理論系統(tǒng)和科學方法的學科。歐幾里得的幾何原本歐幾里得的幾何原本共有十三卷，其中第一卷

5、講三角形 全等的條件，三角形邊和角的大小關系，平行線理論，三角 形和多角形等積（面積相等）的條件；第二卷講如何把三角 形變成等積的正方形；第三卷講圓；第四卷討論內接和外切 多邊形；第六卷講相似多邊形理論；第五、第七、第八、第 九、第十卷講述比例和算術得里論；最后講述立體幾何的內 容。從這些內容可以看出，目前屬于中學課程里的初等幾何的主 要內容已經完全包含在幾何原本里了。因此長期以來， 人們都認為幾何原本是兩千多年來傳播幾何知識的標準 教科書。屬于幾何原本內容的幾何學，人們把它叫做歐 幾里得幾何學，或簡稱為歐式幾何。幾何原本最主要的特色是建立了比較嚴格的幾何體系， 在這個體系中有四方面主要內容，

6、定義、公理、公設、命題 （包括作圖和定理） 。幾何原本第一卷列有 23 個定義， 5 條公理，5 條公設。（其中最后一條公設就是著名的平行公設， 第 3 頁或者叫做第五公設。它引發(fā)了幾何史上最著名的長達兩千多 年的關于“平行線理論”的討論，并最終誕生了非歐幾何。 )這些定義、公理、公設就是幾何原本全書的基礎。全書 以這些定義、 公理、公設為依據(jù)邏輯地展開他的各個部分的。 比如后面出現(xiàn)的每一個定理都寫明什么是已知、什么是求 證。都要根據(jù)前面的定義、公理、定理進行邏輯推理給予仔 細證明。關于幾何論證的方法，歐幾里得提出了分析法、綜合法和歸 謬法。所謂分析法就是先假設所要求的已經得到了，分析這 時候

7、成立的條件，由此達到證明的步驟；綜合法是從以前證 明過的事實開始，逐步的導出要證明的事項；歸謬法是在保 留命題的假設下，否定結論，從結論的反面出發(fā)，由此導出 和已證明過的事實相矛盾或和已知條件相矛盾的結果，從而 證實原來命題的結論是正確的，也稱作反證法。歐幾里得幾何原本的誕生在幾何學發(fā)展的歷史中具有重 要意義。它標志著幾何學已成為一個有著比較嚴密的理論系 統(tǒng)和科學方法的學科。從歐幾里得發(fā)表 幾何原本 到現(xiàn)在， 已經過去了兩千多年， 盡管科學技術日新月異，但是歐幾里得幾何學仍舊是中學生 學習數(shù)學基礎知識的好教材。由于歐氏幾何具有鮮明的直觀性和有著嚴密的邏輯演繹方法相結合的特點，在長期的實踐中表明

8、，它巳成為培養(yǎng)、提 高青、少年邏輯思維能力的好教材。歷史上不知有多少科學 家從學習幾何中得到益處，從而作出了偉大的貢獻。少年時代的牛頓在劍橋大學附近的夜店里買了一本幾何原 本，開始他認為這本書的內容沒有超出常識范圍，因而并 沒有認真地去讀它，而對笛卡兒的“坐標幾何”很感興趣而 專心攻讀。后來，牛頓于 1664 年 4 月在參加特列臺獎學金 考試的時候遭到落選，當時的考官巴羅博士對他說：“因為 你的幾何基礎知識太貧乏，無論怎樣用功也是不行的?！边@ 席談話對牛頓的震動很大。 于是， 牛頓又重新把 幾何原本 從頭到尾地反復進行了深入鉆研，為以后的科學工作打下了 堅實的數(shù)學基礎。近代物理學的科學巨星愛

9、因斯坦也是精通幾何學，并且應用 幾何學的思想方法，開創(chuàng)自己研究工作的一位科學家。愛因 斯坦在回憶自己曾走過的道路時，特別提到在十二歲的時候 “幾何學的這種明晰性和可靠性給我留下了一種難以形容 的印象”。后來，幾何學的思想方法對他的研究工作確實有 很大的啟示。他多次提出在物理學研究工作中也應當在邏輯 上從少數(shù)幾個所謂公理的基本假定開始。在狹義相對論中， 愛因斯坦就是運用這種思想方法，把整個理論建立在兩條公 理上：相對原理和光速不變原理。在幾何學發(fā)展的歷史中，歐幾里得的幾何原本起了重大第 5 頁的歷史作用。這種作用歸結到一點，就是提出了幾何學的 “根據(jù)”和它的邏輯結構的問題。 在他寫的幾何原本 中

10、， 就是用邏輯的鏈子由此及彼的展開全部幾何學，這項工作， 前人未曾作到。但是，在人類認識的長河中，無論怎樣高明的前輩和名家， 都不可能把問題全部解決。由于歷史條件的限制，歐幾里得 在幾何原本中提出幾何學的“根據(jù)”問題并沒有得到徹 底的解決，他的理論體系并不是完美無缺的。比如，對直線 的定義實際上是用一個未知的定義來解釋另一個未知的定 義，這樣的定義不可能在邏輯推理中起什么作用。又如，歐 幾里得在邏輯推理中使用了“連續(xù)”的概念，但是在幾何 原本中從未提到過這個概念。現(xiàn)代幾何公理體系人們對幾何原本中在邏輯結果方面存在的一些漏洞、破 綻的發(fā)現(xiàn)，正是推動幾何學不斷向前發(fā)展的契機。最后德國 數(shù)學家希爾伯

11、特在總結前人工作的基礎上，在他 1899 年發(fā) 表的幾何基礎一書中提出了一個比較完善的幾何學的公 理體系。這個公理體系就被叫做希爾伯特公理體。希爾伯特不僅提出了個完善的幾何體系，并且還提出了建 立一個公理系統(tǒng)的原則。就是在一個幾何公理系統(tǒng)中，采取 哪些公理，應該包含多少條公理，應當考慮如下三個方面的 問題：第一，共存性 （和諧性 ） ，就是在一個公理系統(tǒng)中，各條公理 應該是不矛盾的，它們和諧而共存在同一系統(tǒng)中。第二，獨立性，公理體系中的每條公理應該是各自獨立而互 不依附的，沒有一條公理是可以從其它公理引伸出來的。第三，完備性，公理體系中所包含的公理應該是足夠能證明 本學科的任何新命題。這種用公理系統(tǒng)來定義幾何學中的基本對象和它的關系的 研究方法，成了數(shù)學中所謂的“公理化方法”，而把歐幾里 得在幾何原本提出的體系叫做古典公理法。公理化的方法給幾何學的研究帶來了一個新穎的觀點，在公 理法理論中，由于基本對象不予定義，因此就不必探究對象 的直觀形象是什么，只專門研究抽象的對象之間的關系、性 質。從公理法的角度看，我們可以任意地用點、線、面代表 具體的事物，只要這些具體事物之間滿足公理中的結合關 系、順序關系、合同關系等，使這些關系滿足公理系統(tǒng)中所 規(guī)定的要求，這就構成了幾何學。因此，凡是符合