數(shù)學(xué)理卷湖南省師大附中高三第一次月考092

1、 (考試范圍：高考全部?jī)?nèi)容(除選考部分)本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共6頁(yè)。時(shí)量120分鐘。滿分150分。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知集合mx22x<0，nx<a，若mn，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(a)a2，) b(2，) c(，0) d(，0 2下列四個(gè)命題p1：x(0，)，<p2：x(0，1)，logx>logxp3：x(0，)，>logx p4：x，<logx其中的真命題是(d)ap1，p3 bp1，p4 cp2，p3 dp2，p43在如右圖所示的程序框圖中輸入10

2、，結(jié)果會(huì)輸出(d)a10 b11 c512 d1 0244將函數(shù)f(x)sin xcos x的圖象向左平移(>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為(c)a b. c. d.5若實(shí)數(shù)x，y滿足條件，則zx3y的最大值為(b)a9 b11 c12 d166不全相等的五個(gè)數(shù)a、b、c、m、n具有關(guān)系如下：a、b、c成等比數(shù)列，a、m、b和b、n、c都成等差數(shù)列，則(c)a2 b0 c2 d不能確定7已知邊長(zhǎng)為1的正方形abcd位于第一象限，且頂點(diǎn)a、d分別在x、y的正半軸上(含原點(diǎn))滑動(dòng)，則·的最大值是(c)a1 b. c2 d.8一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體

3、的表面積為(d)a. b. c. d2【解析】如圖所示，四面體為正四面體.9若曲線c1：x2y22x0與曲線c2：y(ymxm)0有4個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(b)a. b.c. d.【解析】曲線c1：(x1)2y21，圖象為圓心為(1，0)，半徑為1的圓；曲線c2：y0，或者ymxm0，直線ymxm0恒過(guò)定點(diǎn)(1，0)，即曲線c2圖象為x軸與恒過(guò)定點(diǎn)(1，0)的兩條直線作圖分析：k1tan 30°，k2tan 30°，又直線l1(或直線l2)、x軸與圓共有四個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖形可知mk.10已知集合a，其中ai且a30，則a中所有元素之和等于(d)a3 240

4、 b3 120 c2 997 d2 889【解析】由題意可知，a0，a1，a2各有3種取法(均可取0，1，2)，a3有2種取法(可取1，2)，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有3×3×3×2種方法，當(dāng)a0取0，1，2時(shí)，a1，a2各有3種取法，a3有2種取法，共有3×3×218種方法，即集合a中含有a0項(xiàng)的所有數(shù)的和為(012)×18；同理可得集合a中含有a1項(xiàng)的所有數(shù)的和為(3×03×13×2)×18；集合a中含有a2項(xiàng)的所有數(shù)的和為(32×032×132×2)×1

5、8；集合a中含有a3項(xiàng)的所有數(shù)的和為(33×133×2)×27；由分類計(jì)數(shù)原理得集合a中所有元素之和：s(012)×18(3×03×13×2)×18(32×032×132×2)×18(33×133×2)×2718(3927)81×277022 1872 889.故選d.選擇題答題卡題號(hào)12345678910答案ad來(lái)comdcbccdbd二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上11在abc中，

6、a15，b10，a60°，則cos b_12如右圖，橢圓1的長(zhǎng)軸為a1a2，短軸為b1b2，將坐標(biāo)平面沿y軸折成一個(gè)二面角，使點(diǎn)a2在平面b1a1b2上的射影恰好是該橢圓的左焦點(diǎn)，則此二面角的大小為_13若f(x)f(x)dxx，則f(x)_x_【解析】因?yàn)閒(x)dx是個(gè)常數(shù)，不妨設(shè)為m，所以f(x)xm，其原函數(shù)f(x)x2mxc(c為常數(shù))，所以可得方程mm，解得m.故f(x)x.14在函數(shù)f(x)aln x(x1)2的圖象上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)p(x1，y1)、q(x2，y2)，總能使得f(x1)f(x2)4(x1x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_【解析】由題意f(x)4對(duì)任意x&g

7、t;0恒成立，也就是a.15兩千多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子來(lái)表示數(shù)，按照點(diǎn)或小石子能排列的形狀對(duì)數(shù)進(jìn)行分類，圖中的實(shí)心點(diǎn)的個(gè)數(shù)1、5、12、22、，被稱為五角形數(shù)，其中第1個(gè)五角形數(shù)記作a11，第2個(gè)五角形數(shù)記作a25，第3個(gè)五角形數(shù)記作a312，第4個(gè)五角形數(shù)記作a422，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，則a5_35_，若an145，則n_10_.【解析】根據(jù)圖形變化的規(guī)律可歸納得an.三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟16(本題滿分12分)設(shè)f(x)sin2cos2x1.(1)求f(x)的最小正周期

8、；(2)若函數(shù)yf(x)與yg(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，求當(dāng)x時(shí)yg(x)的最大值【解析】(1)f(x)sinxcoscosxsincosxsinxcosxsin，故f(x)的最小正周期為t8.(6分)(2)法一：在yg(x)的圖象上任取一點(diǎn)(x，g(x)，它關(guān)于x1的對(duì)稱點(diǎn)為(2x，g(x)由題設(shè)條件，點(diǎn)(2x，g(x)在yf(x)的圖象上，從而g(x)f(2x)sinsincos，當(dāng)0x時(shí)，x ，因此yg(x)在區(qū)間 上的最大值為ymaxcos.(12分)法二： 因區(qū)間關(guān)于x1的對(duì)稱區(qū)間為， 且yg(x)與yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，故yg(x)在區(qū)間上的最大值為yf(x)在區(qū)間

9、上的最大值由(1)知f(x)sin.當(dāng)x2時(shí)，x.因此yg(x)在區(qū)間上的最大值為ymaxsin.(12分)17(本題滿分12分)某電視臺(tái)擬舉行由選手報(bào)名參加的比賽類型的娛樂節(jié)目，選手進(jìn)入正賽前需通過(guò)海選，參加海選的選手可以參加a、b、c三個(gè)測(cè)試項(xiàng)目，只需通過(guò)一項(xiàng)測(cè)試即可停止測(cè)試，通過(guò)海選若通過(guò)海選的人數(shù)超過(guò)預(yù)定正賽參賽人數(shù)，則優(yōu)先考慮參加海選測(cè)試次數(shù)少的選手進(jìn)入正賽甲選手通過(guò)項(xiàng)目a、b、c測(cè)試的概率為分別為、， 且通過(guò)各次測(cè)試的事件相互獨(dú)立(1)若甲選手先測(cè)試a項(xiàng)目，再測(cè)試b項(xiàng)目，后測(cè)試c項(xiàng)目，求他通過(guò)海選的概率；若改變測(cè)試順序，對(duì)他通過(guò)海選的概率是否有影響？說(shuō)明理由；(2)若甲選手按某種順

10、序參加海選測(cè)試，第一項(xiàng)能通過(guò)的概率為p1，第二項(xiàng)能通過(guò)的概率為p2，第三項(xiàng)能通過(guò)的概率為p3，設(shè)他通過(guò)海選時(shí)參加測(cè)試的次數(shù)為，求的分布列和期望(用p1、p2、p3表示)；并說(shuō)明甲選手按怎樣的測(cè)試順序更有利于他進(jìn)入正賽【解析】(1)依題意，甲選手不能通過(guò)海選的概率為， 故甲選手能通過(guò)海選的概率為1.(3分)若改變測(cè)試順序?qū)λㄟ^(guò)海選的概率沒有影響，因?yàn)闊o(wú)論按什么順序，其不能通過(guò)的概率均為，即無(wú)論按什么順序，其能通過(guò)海選的概率均為.(5分)(2)依題意，的所有可能取值為1、2、3.p(1)p1，p(2)(1p1)p2，p(3)(1p1)(1p2)p3.故的分布列為123pp1(1p1)p2(1p1

11、)(1p2)p3(8分)ep12(1p1)p23(1p1)(1p2)p3(10分)分別計(jì)算當(dāng)甲選手按cba，cab，bac，bca，abc，acb的順序參加測(cè)試時(shí)，e的值，得甲選手按cba的順序參加測(cè)試時(shí)，e最小，因?yàn)閰⒓訙y(cè)試的次數(shù)少的選手優(yōu)先進(jìn)入正賽，故該選手選擇將自己的優(yōu)勢(shì)項(xiàng)目放在前面，即按cba的順序參加測(cè)試更有利于進(jìn)入正賽(12分)18(本題滿分12分)如圖，abc的外接圓o的半徑為5，ce垂直于o所在的平面，bdce，ce4，bc6，且bd1，cosadb.(1)求證：平面aec平面bced；(2)試問線段de上是否存在點(diǎn)m，使得直線am與平面ace所成角的正弦值為？若存在，確定點(diǎn)m

12、的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】(1)證明：bd平面abcbdab，又因?yàn)?bd1，cosadb.故ad，ab10直徑長(zhǎng)，(3分)acbc.又因?yàn)閑c平面abc，所以ecbc.acecc，bc平面ace，又bc平面bced，平面aec平面bced.(6分)(2)法一：存在，如圖，以c為原點(diǎn)，直線ca為x軸，直線cb為y軸，直線ce為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有點(diǎn)的坐標(biāo)，a(8，0，0)，b(0，6，0)，d(0，6，1)，e(0，0，4)則(8，6，1)，(0，6，3)，設(shè)(0，6，3)(0，6，3)，0<<1故(8, 66，13)由(1)易得平面ace的法向量為(0，6，0)

13、，設(shè)直線am與平面ace所成角為，則sin ，解得.(10分)所以存在點(diǎn)m，且時(shí)，直線am與平面ace所成角的正弦值為. (12分)法二：(幾何法)如圖，作mnce交ce于n，連接an，則mn平面aec，故直線am與平面ace所成的角為man，且mnan，ncac.設(shè)mn2x，由直線am與平面ace所成角的正弦值為，得amx，所以anx.另一方面，作dkmnbc，得enx，nc4x而ac8，故rtanc中，由an2ac2nc2得17x264(4x)2，x2，mn4，em2所以存在點(diǎn)m，且em2時(shí)，直線am與平面ace所成角的正弦值為. (12分)19(本題滿分13分)等比數(shù)列an中的前三項(xiàng)a1

14、、a2、a3分別是下面數(shù)陣中第一、二、三行中的某三個(gè)數(shù)，且三個(gè)數(shù)不在同一列(1)求此數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足bn3anlg an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和sn.【解析】(1)經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a15或4時(shí)，不可能得到符合題中要求的等比數(shù)列；故有a13，a26，a312，等比數(shù)列公比q2，所以an3·2n1.(5分)(2)由an3·2n1得bn3anlg an9×2n1(1)n.所以sn9(122n1)(lg 3lg 2)lg 2(9分)n為偶數(shù)時(shí)，sn9×lg 29(2n1)lg 2.n為奇數(shù)時(shí)，sn9×(lg 3lg 2)lg 29(2n

15、1)lg 2lg 3.所以， sn(13分)20(本題滿分13分)已知圓c：(x1)2(y1)22經(jīng)過(guò)橢圓1(a>b>0)的右焦點(diǎn)f和上頂點(diǎn)b.(1)求橢圓的方程；(2)如圖，過(guò)原點(diǎn)o的射線l與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為q，與圓c的交點(diǎn)為p，m為op的中點(diǎn)， 求·的最大值【解析】(1)在c：(x1)2(y1)22中，令y0得f(2，0)，即c2，令x0，得b(0，2)，b2，由a2b2c28，橢圓：1.(4分)(2)法一：依題意射線l的斜率存在，設(shè)l：ykx(x>0，k>0)，設(shè)p(x1，kx1)，q(x2，kx2) 由得：(12k2)x28，x2.(6分)由得：

16、(1k2)x2(22k)x0，x1，··(x2，kx2)(x1x2k2x1x2)2(k>0). (9分)22.設(shè)(k)，(k)，令(k)>0，得1<k<.又k>0，(k)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減當(dāng)k時(shí)，(k)max，即·的最大值為2.(13分)法二：依題意射線l的斜率存在，設(shè)l：ykx(x>0，k>0)，設(shè)p(x1，kx1)，q(x2，kx2) 由得：(12k2)x28，x2.(6分)·()··(1，1)·(x2，kx2)(1k)x22(k>0)(9分)2.設(shè)t1k(t>

17、;1)，則.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，(·)max2.(13分)21(本題滿分13分)已知函數(shù)f(x)exax22x1(xr)(1)當(dāng)a0時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)a<0，有f(x)>.【解析】(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)ex2x1(xr)，f(x)ex2，且f(x)的零點(diǎn)為xln 2，當(dāng)x(，ln 2)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(ln 2，)時(shí)，f(x)>0 即(，ln 2)是f(x)的單調(diào)減區(qū)間，(ln 2，)是f(x)的單調(diào)增區(qū)間(5分)(2)由f(x)exax22x1(xr)得：f(x)ex2ax2，記g(x)ex2ax2(xr)a<0，g(x)ex2a>0，即f(x)g(x)是r上的單調(diào)增函數(shù)，又f(0)1<0，f(1)e2a2>0，故