4-5證明不等式的基本方法自主訓(xùn)練

1、精品資源第二講 證明不等式的基本方法自主廣場(chǎng) 我夯基我達(dá)標(biāo)1.下列關(guān)系中對(duì)任意 a<b<0的實(shí)數(shù)都成立的是A.a2<b2B.lgb 2<lga 22)C. b>1D.(a思路解析:a<b<0,-a>-b>0.(-a) 2>(-b) 2>0,即 a2>b2>0.by <lg1=0. ab2p 22<1.又 Igb -Iga =lga1 . Igb 2<lga 2.答案：B2 .已知 a>0且 awl,P=log a(a3+1),Q=log a(a2+1),則 P,Q 的大小關(guān)系是(A.P>

2、QB.P<QC.P=QD.大小不確定思路解析：P-Q=log a(a3+1)-loga(a 2+l) = log3a 1a a21當(dāng) 0<a<1 時(shí),0<a3+1<a2+1,0< aa2 1<1, - -loga3 1 >0a >0.a2 1歡迎下載即 P-Q>0,. .P>Q.當(dāng) a>1 時(shí),a3+1>a2+1>0,3a2a1 .>1, - -log13a2a1八>0.1即 P-Q>0,. .P>Q.答案：A3 .a,b都是正數(shù)，P= "a"b ,Q= va+b ,

3、則P,Q的大小關(guān)系是(2A.P>QB.P<QC.P>QD.PWQ思路解析:. a,b都是正數(shù)，.-.P>0,Q>0.-p2-Q2=(a 、b )2-( . a b)22=_( ' a )2 v0-0.2.P2-Q2<0. .,.P< q.答案：D4.已知0<x<1,a= 2Jx ,b=1+x,c=1 ，則其中最大的是()1 -xA.a B.b C.c D.不能確定思路解析：因?yàn)?<x<1,所以a>0,b>0,c>0,又 a2-b2=( 2 x)2-(1+x) 2=-(1-x) 2<0,所以 a2-

4、b 2<0,a<b.又 c-b= 1 -(1+x)= >0,1 -x 1-x所以c>b,所以c>b>a. 答案：C5.已知 a,b,c,de 正實(shí)數(shù)且且<2,則()b dA.a a c cB.a c a c<< < < b b d db d b dC.a c a c<<D.以上均可能b d b d思路解析：因?yàn)閍-亙上=ad bc b b d b(b d)又因?yàn)閍,b,c,d e正實(shí)數(shù)且£<2,ad -bcaa c所以,<0.所以一<.b(b d)bb dacc ad-bcacc又因?yàn)?=

5、<0,所以<.bdd(b d) *dbdd答案：A6 .若-1<a<b<0,貝U 1 , 1 ,a 2,b2中值最小的是 .a b思路解析：依題意，知1 >1 ,a 2>b2,故只需比較1與b2的大小. a bb因?yàn)?b2>0, 1 <0,1 <b2.b b1答案：1b7 .已知 xC R 求證:1+2x4>x 2+2x3.證法一 ：1+2x4-(x 2+2x3)=2x3(x-1)-(x-1)(x+1)=(x-1)(2x 3-x-1)=(x-1) 2(2x2+2x+1)=(x-1) 2 (x+1) 2+x2 >0,即 1+

6、2x4-(x 2+2x3) >0.所以 1+2x4>x2+2x3.證法二：1+2x4-(x 2+2x3)=x4-2x3+x2+x4-2x 2+1=x2(x-1) 2+(x2-1) 2>0.即 1+2x4-(x 2+2x3) >0.所以 1+2x4>x 2+2x3.8 .已知 a>b>c>0,求證：a 2ab2bc2c>ab+cba+cca+b.證明：由 a>b>c>0,得 ab+cbc+aca+b>0.a a b b c c a a b b c cb c c a a b a a b b c c2al 2b 2c a

7、a b c 作商 F c-V-ba b ca-b a-c bb-c b b-a c-a c-b=(a)a-b(a)a-c(b)b-c.b c c由 a>b>c>0,得 a-b>0,a-c>0,b-c>0,且 a>1, a>1, b >1.b c ca)a-b( a)a-c( b)b-c>1.2a i_2bc2c>ab+cbc+aca+b9.已知x>0,x w 1,m>n>0,比較 :x m+ xmn+ 1x nx的大小.解:x m+=xm-x n+4m-(xx1-mxn 1：+ )x1nx=xm-x n+m-x

8、n m=(x m-x n)(1-當(dāng) 0<x<1 時(shí)，由 m>n>0,知 xm<xn且 xm+n<1,則有 1-$<。,x所以(x*xn)(1- -)>0.m n /x當(dāng) x>1 時(shí)，由 m>n>0,知 xm>xn且 xm+n>1,則有 1- ->0.m nx所以(x*xn)(1-綜上所述:xm+mx我綜合我發(fā)展福)>0. x->xn+10. 已知aCRbCR且awb,在 J+3ab>2b2; a5+b5>a3b2+a2b3; a 2+b: 2(a-b- 1); a +- >2.四個(gè)

9、式子中恒成立的有 b a( )A.4個(gè) B.3 個(gè) C.2 個(gè) D.1 個(gè)思路解析：舉反例很容易排除，對(duì)利用作差法a5+b5-a 3b2-a 2b3=a3(a 2-b 2)-b 3(a 2-b 2)=(a2-b2)(a 3-b3)=(a-b) 2(a+b)(a 2+ab+b2),因?yàn)?a-b) 2>0,a 2+ab+b2>0,而 a+b 的符號(hào)是不確定的 故差值符號(hào)不能確定，因此不正確.對(duì)于a 2+b2-2a+2b+2=(a-1) 2+(b+1) 2>0,故 a2+b2>2(a-b+1),故正確.綜合以上分析，只有正確.答案：D11 .已知x=2.3a b,y=a-b,

10、其中a,b均為正數(shù),t C R則下列結(jié)論成立的是A.當(dāng) a< b 時(shí),x >yC.x刁B.當(dāng)awb時(shí),x &D.XWy2.思路解析：x-y= ( 一 )aa+b(a -t)2b(a b-t)(bT-a) (a b-t)(b-a t)ab(a b T)2 2(a b T)2'( (b -a +at-bt)= (b -a),abab故當(dāng)a<b時(shí),x >y.答案：A12 .設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax 2+bx+c(a>0),方程 f(x)-x=0 的兩個(gè)根 Xi,X2 滿足 0<Xi<X2<，當(dāng)ax e (0,x 1)時(shí)，求證:x<

11、f(x)<x證明：令 F(x)=f(x)-x=ax 由 x1,x2 是方程 f(x)-x=0 F(x)=a(x-x 1)(x-x 2).2+(b-1)x+c.的兩根，則又x C (0,x 1),由 0<x1<x2<-,a>0,aF(x)=a(x -x 1)(x-x 2)>0, 1. f(x) -x>0, 1. f(x)>x.又x1-f(x)=x 1- x+F(x) =X1 -x-a(x-x 1)(x-x 2)=a(x 1-x) 工+X-X2,a又 < 0<X1<X2<,a，xi-x>0, + +x-X2>0.a

12、.xi-f(x)>0, .-.x i>f(x).故 x<f(x)<x 1.13.求證：|log a(1-tanx)|>|loga(1+tanx)|, 其中 a>0,a w 1,x C (0,).證明：由 xC (0, ), /.tanx C (0,1).1.1 - tanx (0,1),1+tanx (1,2).1 |log a(1-tanx)|>0,|loga(1+tanx)|>0,| log a (1 -tanx) |-=|log (1+tanx) (1-tanx)|I log a (1 tanx) |1=-log (1+tanx) (1-t

13、anx) = log(1+tanx) 1 Tan x= log (1+tanx)1 tan x(1 Tan x)(1 tan)=1+log (1+tanx)11 - tan2.1 1+tanx>1,0<1 -tan.磊Jx2x<1,1 - 1+log (1+tanx) 21 -tan x>1.|log a(1-tanx)|>|loga(1+tanx)|.14.設(shè)函數(shù)f(x)= vx2 +1 -ax,其中a>0.若函數(shù)f(x)在0,+ 8)上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.解：設(shè)取 x1,x 2 0,+°°),且 x1<x2,f(x 1)

14、-f(x 2)= . x121 - . x221 -a(x 1-x 2)22x1-x2-a(x 1-x2)=(x 1-x 2)(.x：12 1xx2.x12 Tx22 1-a).(1)當(dāng)a>l時(shí)，由：x1 +x2<1,易知f(x 1)>f(x 2),所以，當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū).x12 T , x221間0,+ 8)上是單調(diào)遞減函數(shù).2a(2)當(dāng) 0<a<1 時(shí)，在區(qū)間0,+ °°)上存在兩點(diǎn)xi=0,x 2=,滿足 f(x 1)=f(x 2)=1,從而 f(x)1 -a2在0,+ 8)不是單調(diào)函數(shù).所求a的取值范圍是aC 1,+ °°).15.已知數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,a3=7,S4=24.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)設(shè) p,q 是正整數(shù)，且 pWq,求證：Sp+q< 1 (S2p+S2q).2解用差數(shù)列an的公差是d,依題意