專題二第2講三角恒等變換與解三角形

1、第2講三角恒等變換與解三角形自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1(2012·大綱全國)已知為第二象限角，sin cos ，則cos 2abc.d.解析利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角公式求解sincos ，(sin cos)2，2sin cos ，即sin 2.又為第二象限角且sin cos 0，2k2k(kz)，4k24k(kz)，2為第三象限角，cos 2.答案a2(2012·浙江)在abc中，內(nèi)角a、b、c的對邊分別為a、b、c.已知cos a，sin bcos c.(1)求tan c的值；(2)若a，求abc的面積解析(1)因?yàn)?a，cos a，得sin a.又cos csin

2、 bsin(ac)sin acos ccos asin ccos csin c，所以tan c.(2)由tan c，得sin c，cos c.于是sin bcos c，由a及正弦定理，得c.設(shè)abc的面積為s，則sacsin b.考題分析新課標(biāo)高考對本部分的考查，一般多以小題考查三角變換在求值、化簡等方面的應(yīng)用，而解答題常常有以下三種：三角變換與內(nèi)部相關(guān)知識的綜合性問題、三角變換與向量的交匯性問題、三角變換在實(shí)際問題中的應(yīng)用問題網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一：三角變換及求值【例1】設(shè)，sin，求的值審題導(dǎo)引解答本題的關(guān)鍵是求出sin 與cos ，觀察所給的條件式會(huì)發(fā)現(xiàn)求sin 與cos 的方法有兩

3、個(gè)，一是利用角的變換，二是解關(guān)于sin 與cos 的方程組規(guī)范解答解法一由，得，又sin，cos.cos coscoscos sinsin .sin .故原式cos .解法二由sin，得sin cos ，平方得12sin cos ，即2sin cos 0.由于，故.(sin cos )212sin cos ，故sin cos ，聯(lián)立，解得sin ，cos .原式cos (12sin )×.【規(guī)律總結(jié)】sin 、cos 的求值技巧當(dāng)已知sin，cos時(shí)，利用和、差角的三角函數(shù)公式展開后都含有sin cos 或sin cos ，這兩個(gè)公式中的其中一個(gè)平方后即可求出2sin cos ，根據(jù)

4、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，即可求出另外一個(gè)，這兩個(gè)聯(lián)立即可求出sin ，cos 的值或者把sin cos 、sin cos 與sin2cos21聯(lián)立，通過解方程組的方法也可以求出sin 、cos 的值易錯(cuò)提示三角函數(shù)求值中要特別注意角的范圍，如根據(jù)sin2求sin 的值時(shí)，sin ± 中的符號是根據(jù)角的范圍確定的，即當(dāng)?shù)姆秶沟胹in 0時(shí)，取正號，反之取負(fù)號注意在運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系時(shí)也有類似問題【變式訓(xùn)練】1(2012·煙臺(tái)一模)若，且cos2sin，則tan a1b.c.d.解析cos2sincos2cos 22cos2sin2，即tan21. 又，tan 0，tan

5、1.2(2012·南京模擬)已知sinsin ，0，則cos _.解析sinsin sin cos sin sin cos sin，sin.又0，cos，cos coscossin.答案考點(diǎn)二：正、余弦定理的應(yīng)用【例2】(2012·湖南師大附中模擬)在abc中，角a、b、c所對應(yīng)的邊分別為a、b、c，且(2ac)cos bbcos c.(1)求角b的大?。?2)若cos a，a2，求abc的面積審題導(dǎo)引(1)把條件式中的邊利用正弦定理轉(zhuǎn)化為角后進(jìn)行三角恒等變換可求b；(2)利用(1)的結(jié)果求b及c，利用公式求面積規(guī)范解答(1)因?yàn)?2ac)cos bbcos c，由正弦定理

6、，得(2sin asin c)cos bsin bcos c.2sin acos bsin ccos bsin bcos csin(bc)sin a.0a，sin a0，cos b.又0b，b.(2)由正弦定理，得b，由cos a可得a，由b，可得sin c，sabsin c×2××【規(guī)律總結(jié)】解三角形的一般方法是(1)已知兩角和一邊，如已知a、b和c，由abc求c，由正弦定理求a、b.(2)已知兩邊和這兩邊的夾角，如已知a、b和c，應(yīng)先用余弦定理求c，再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用abc求另一角(3)已知兩邊和其中一邊的對角，如已知a、b和a，應(yīng)先用

7、正弦定理求b，由abc求c，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解題時(shí)可能有多種情況(4)已知三邊a、b、c，可應(yīng)用余弦定理求a、b、c.【變式訓(xùn)練】3(2012·北京東城11校聯(lián)考)在abc中，角a、b、c所對的邊分別為a、b、c，若sin asin c，b30°，b2，則邊c_.解析由正弦定理得ac，由余弦定理可知b2a2c22accos b，即43c2c22c2×，解得c2.答案2考點(diǎn)三：解三角形與實(shí)際應(yīng)用問題【例3】(2012·宿州模擬)已知甲船正在大海上航行當(dāng)它位于a處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的b處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營救，甲船立即以10海

8、里/小時(shí)的速度勻速前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里c處的乙船，乙船當(dāng)即也決定勻速前往救援，并且與甲船同時(shí)到達(dá)(供參考使用：取tan 41°)(1)試問乙船航行速度的大?。?2)試問乙船航行的方向(試用方位角表示，譬如北偏東度)審題導(dǎo)引據(jù)題意作出示意圖，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形，利用正、余弦定理求解規(guī)范解答設(shè)乙船運(yùn)動(dòng)到b處的距離為t海里則t2ac2ab22ab·accos 120°1022022×10×20×700，t10，又設(shè)acb，則，則sin 0.65，41°，乙船應(yīng)朝北偏東71

9、76;的方向沿直線前往b處求援速度為5海里/小時(shí)【規(guī)律總結(jié)】應(yīng)用解三角形知識解決實(shí)際問題需要下列四步(1)分析題意，準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；(3)將所求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識正確求解；(4)檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否具有實(shí)際意義，對結(jié)果進(jìn)行取舍，得出正確答案 【變式訓(xùn)練】4如圖所示，小麗家住在成都市錦江河畔的電梯公寓ad內(nèi)，她家河對岸新建了一座大廈bc，為了測得大廈的高度，小麗在她家的樓底a處測得大廈頂部b的仰角為60°，

10、爬到樓頂d處測得大廈頂部b的仰角為30°，已知小麗所住的電梯公寓高82米，請你幫助小麗算出大廈高度bc及大廈與小麗所住電梯公寓間的距離ac.解析設(shè)acx米，則bcx米，過點(diǎn)d作debc，易得bex，xx82.x41米bc×41123米名師押題高考【押題1】已知，則sin cos _.解析·，則sin cos .答案押題依據(jù)誘導(dǎo)公式、倍角公式等都是高考的熱點(diǎn)，應(yīng)用這些公式進(jìn)行三角恒等變換是高考的必考內(nèi)容本題考點(diǎn)設(shè)置恰當(dāng)、難度適中，體現(xiàn)了對基礎(chǔ)知識和基礎(chǔ)能力的雙重考查，故押此題【押題2】在abc中，角a、b、c的對邊分別為a、b、c，且a、b、c成等差數(shù)列 (1)若b，a3，求c的值；(2)設(shè)tsin asin c，求t的最大值解析(1)因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以2bac，因?yàn)閍bc，所以b.因?yàn)閎，a3，b2a2