大連理工大學(xué)工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)第一章復(fù)習(xí)

1、第一章復(fù)習(xí)x.1 函數(shù)的極限及其連續(xù)性概念：省略注意事項(xiàng)1 無(wú)界變量與無(wú)窮大的區(qū)別：無(wú)窮大量一定是無(wú)界變量，但無(wú)界變量不一定是無(wú)窮大量，例如，是無(wú)界變量，但不是無(wú)窮大量。因?yàn)槿r(shí)，當(dāng)充分大時(shí)，可以大于一預(yù)先給定的正數(shù)；取時(shí)，2 記住常用的等價(jià)形式當(dāng)時(shí)，例1 當(dāng)時(shí)，下列函數(shù)哪一個(gè)是其他三個(gè)的高階無(wú)窮小（a）。（2）。（3）（4）。（）解：因?yàn)?，所以選擇c練習(xí) 解 3 若函數(shù)的表達(dá)式中包含有（或），則在運(yùn)算前通常要在分子分母乘以其共軛根式（或），反之亦然，然后再做有關(guān)分析運(yùn)算例2 求。解 當(dāng)時(shí)，又 ，故練習(xí) 求解 原式4 該極限的特點(diǎn)：解題方法（1） 若極限呈型，但第二個(gè)特點(diǎn)不具備，則通常湊指數(shù)冪

2、使（2）成立（2） 凡是型未定式，其結(jié)果：底必定是，冪可這樣確定：設(shè)，則這是因?yàn)?。例3 求。解 原式因?yàn)?，所以原極限。練習(xí) 求。解 原式，因?yàn)? 幾個(gè)常用的極限特別地 x.2 單調(diào)有界原理單調(diào)有界數(shù)列必有極限此類問(wèn)題的解題程序：（1）直接對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行分析或用數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證數(shù)列單調(diào)有界；（2）設(shè)的極限存在，記為代入給定的的表達(dá)式中，則該式變?yōu)榈拇鷶?shù)方程，解之即得該數(shù)列的極限。例4 已知數(shù)列：，求。解 用數(shù)學(xué)歸納法可證得單調(diào)增加：，顯然。假設(shè)成立，于是即 成立。顯然，從而數(shù)列有極限，不妨設(shè)。由于，兩遍去極限得：，即，即得出。根據(jù)包號(hào)性的推論可知非負(fù)，所以。x.3 項(xiàng)和的極限求解方法:(1)利用特殊

3、和式求和；（2）利用夾逼定理求極限（個(gè)項(xiàng)按遞增或遞減排列）；例5 求解 原式例6 求。解 因?yàn)?，而，由夾逼準(zhǔn)則有1x.4 項(xiàng)積的極限（1） 分子、分母同乘以一個(gè)因子，使之出現(xiàn)連鎖反應(yīng)；（2） 把通項(xiàng)拆開(kāi)，使各項(xiàng)相乘過(guò)程中中間項(xiàng)相消；（3） 夾逼定理（4） 利用對(duì)數(shù)恒等式化為n項(xiàng)和形式。例7 當(dāng)時(shí)，求解 原式練習(xí) 當(dāng)時(shí)，求解 原極限 例8 求。解 因?yàn)閤.5 有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的命題的證明證明方法有兩種1 直接法 其程序是先利用最值定理，再利用介值定理例1 設(shè)在上連續(xù)，且，證明：在內(nèi)至少存在一個(gè)使得，其中為任意正常數(shù)證 因?yàn)樵谏线B續(xù)所以在上有最大值與最小值由于，且，于是有從而即。由介值定理，在

4、上至少存在一個(gè)，使得2 間接法（己輔助函數(shù)法） 其程序是先作輔助函數(shù)，驗(yàn)證滿足零值定理?xiàng)l件，然后由零值定理得出命題的證明。輔助函數(shù)的作法：（1）把結(jié)論中的（或）該寫成；（2）移項(xiàng)，使等式右邊為零，令左邊的式子為，此即為所求的輔助函數(shù)例2 設(shè)在上連續(xù)，且，證明：在上至少存在一個(gè)，使得。證 令顯然，在上連續(xù)，注意到，故 當(dāng)時(shí)，可取為a或0，而當(dāng)時(shí)，有由零值定理可知存在一個(gè)，使得，即x.6 極限的求法1 約簡(jiǎn)分式的方法 求極限都是正整數(shù)）2 有理化分子和分母 求極限3 利用自然數(shù)求和 求極限4 利用基本極限 求極限56 利用基本極限 求極限7 利用單調(diào)有界數(shù)列必有極限 求數(shù)列的極限習(xí)題課一例1 試用

5、極限的“”定義證明：。證 ，要使，只要，即。因此，可取，那么對(duì)一切，恒有即。例2 設(shè)，證明數(shù)列沒(méi)有極限。證 如果數(shù)列有極限，那么它的任何子列都有相同的極限。因此，若能找出的兩個(gè)具有不同極限的子數(shù)列，便知沒(méi)有極限。由于；，因此數(shù)列沒(méi)有極限。例3 用“”定義證明：。證 先限制，此時(shí)有，或，從而，因此，要使，只要，于是取，則當(dāng)適合不等式時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值恒滿足不等式所以。例4 設(shè)，試確定常數(shù)和。解 左式上式要想極限為0，必須，又分母極限為所以，因此。例 5 證明：。證 因此 ，由及夾逼定理，即得例6 設(shè)，證明數(shù)列的極限存在，并求其極限。證 ，設(shè)，則。按歸納法可知，對(duì)任何的有，即為單調(diào)增加的數(shù)列。又按歸納

6、法容易證明，故數(shù)列有界。因此有極限。設(shè)，則，對(duì)關(guān)系式的兩邊取極限，便有，即，解得，因?yàn)?，故，不合，因此，即? 設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，求常數(shù)得值。解 由于函數(shù)在處連續(xù)，根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充要條件，應(yīng)有由于，依上式即有，從而得。例8 證明：方程至少有一個(gè)不超過(guò)得根。證 設(shè)函數(shù)，則又函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，故由介值定理有在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。即方程至少有一個(gè)不超過(guò)得根。工科數(shù)學(xué)分析1.8 實(shí)數(shù)的連續(xù)性實(shí)數(shù)理論是極限的基礎(chǔ)。1.8.1 實(shí)數(shù)連續(xù)性定理一、閉區(qū)間套定理定理 1-6. (閉區(qū)間套定理) 設(shè)有閉區(qū)間列，若: （1）（2）則存在唯一數(shù)屬于所有的閉區(qū)間(即,且證明 由條件（1），數(shù)列單調(diào)增加有

7、上界，數(shù)列單調(diào)減少由下界，從而由單調(diào)有界原理，數(shù)列，都收斂，設(shè)，則故。任取，有從而 ，即屬于所有閉區(qū)間。假設(shè)有屬于所有閉區(qū)間，從而，有，有，由條件（2），有，即唯一。從圖上看,有一列閉線段(兩個(gè)端點(diǎn)也屬于此線段),后者被包含在前者之中,并且這些閉線段的長(zhǎng)構(gòu)成的數(shù)列以0為極限.則這一閉線段存在唯一一個(gè)公共點(diǎn). 一般來(lái)說(shuō),將閉區(qū)間列換成開(kāi)區(qū)間列,區(qū)間套定理不一定成立.二 、確界定理非空數(shù)集e有上界,則它有無(wú)限多個(gè)上界,在這無(wú)限多個(gè)上界之中,有一個(gè)上界與數(shù)集e有一種特殊關(guān)系.定義1-12:設(shè)e是非空數(shù)集.若,且（1），有；（2），有則稱是是數(shù)集e的上確界.表為。類似地,可以定義下確界.表為定義1-1

8、3:設(shè)e是非空數(shù)集.若,且（1），有；（2），有則稱是是數(shù)集e的下確界.表為。例如：數(shù)集，一般來(lái)講有限集一定有上、下確界，它的上、下確界就是它的最大與最小數(shù)；無(wú)限集可能有上（下）確界，也可能沒(méi)有，若有可能屬于該集，也可能不屬于該集。無(wú)上（下）界的數(shù)集，不存在上（下）確界。那么有上（下）界的數(shù)集是否存在上（下）確界呢？定理2（確界定理）若非空數(shù)集e有上界(下界)，則數(shù)集e存在唯一的上確界(下確界).由數(shù)集e非空，設(shè)。又由數(shù)集e有上界，設(shè)為其上界，且，則區(qū)間具有下述性質(zhì)（稱為p）：（1）右端點(diǎn)是數(shù)集e的上界（2）中至少包含有數(shù)集e的一個(gè)點(diǎn)（因?yàn)椋┰O(shè)，若為e的上界，則滿足性質(zhì)p，設(shè)。若不是e的上界，

9、則存在數(shù)使，從而滿足性質(zhì)p，設(shè)，從而得到具有性質(zhì)p的閉區(qū)間。與此類似，我們可以得到具有性質(zhì)p的閉區(qū)間，且（1）（2）由區(qū)間套定理，存在唯一的數(shù)屬于所有的閉區(qū)間，且。，由于為e的上界，故，有極限的保號(hào)性，我們有；，由，存在，使得，由性質(zhì)p的（2），從而，由定義是數(shù)集e的上確界。設(shè)，不妨設(shè)，令，則，使，這與是數(shù)集e的上確界矛盾，從而，故上確界唯一。三 、有限覆蓋定理設(shè)是一個(gè)區(qū)間（或開(kāi)或閉）、并有開(kāi)區(qū)間集（的元素都是開(kāi)區(qū)間、開(kāi)區(qū)間的個(gè)數(shù)可有限也可無(wú)限）.定義1-14：若，則稱開(kāi)區(qū)間集覆蓋區(qū)間.例1 ，覆蓋了，但中找不出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間將它覆蓋。 例2 ，覆蓋了，且可選出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間將它覆蓋。定理3(有限

10、覆蓋定理）若開(kāi)區(qū)間集覆蓋閉區(qū)間，則中存在有限個(gè)開(kāi)區(qū)間也覆蓋了閉區(qū)間.證明：假設(shè)中任意有限個(gè)開(kāi)區(qū)間都不覆蓋閉區(qū)間，簡(jiǎn)稱沒(méi)有有限覆蓋。設(shè)，則與至少有一個(gè)沒(méi)有有限覆蓋，否則將是有限覆蓋。設(shè)其中沒(méi)有有限覆蓋的為。與此類似，我們可以得到具有沒(méi)有有限覆蓋的閉區(qū)間，且（1）（2）由區(qū)間套定理，存在唯一的數(shù)屬于所有的閉區(qū)間，且。顯然，由于開(kāi)區(qū)間集覆蓋，從而中必至少存在一個(gè)開(kāi)區(qū)間，使得，即，有極限的保號(hào)性，當(dāng)充分大時(shí)，有，這與沒(méi)有有限覆蓋矛盾，從而中存在有限個(gè)開(kāi)區(qū)間也覆蓋了閉區(qū)間有限覆蓋定理亦稱為緊致性定理或海涅-波萊爾定理.在有限覆蓋定理中，將被覆蓋的閉區(qū)間改為開(kāi)區(qū)間則定理不一定成立.四、聚點(diǎn)定理定義：設(shè)e是

11、數(shù)軸上的無(wú)限點(diǎn)集. 是數(shù)軸上的一個(gè)定點(diǎn)（可以屬于e，也不可以屬于e）.若，點(diǎn)的鄰域都含有e的無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，則稱是e的一個(gè)聚點(diǎn)。例如 ，則中的每一點(diǎn)都是的聚點(diǎn)。，則是的聚點(diǎn)。無(wú)聚點(diǎn)。定理1-9（聚點(diǎn)定理）數(shù)軸上有界無(wú)限點(diǎn)集e至少有一個(gè)聚點(diǎn). 證明：已知無(wú)限點(diǎn)集e有界，設(shè)和分別是e的下界和上界，從而，假設(shè)結(jié)論不成立，即閉區(qū)間的任一點(diǎn)都不是e的聚點(diǎn)，因?yàn)椴皇莈的聚點(diǎn)，所以，使中只含有e的有限多個(gè)點(diǎn)（或者沒(méi)有e的點(diǎn)）。這樣就構(gòu)成了開(kāi)區(qū)間集顯然，開(kāi)區(qū)間集s覆蓋，根據(jù)有限覆蓋定理，s中存在有限個(gè)開(kāi)區(qū)間，設(shè)有n個(gè)開(kāi)區(qū)間也覆蓋，自然覆蓋點(diǎn)集e。但是每個(gè)開(kāi)區(qū)間只含有e的有限多個(gè)點(diǎn)，所以這n個(gè)開(kāi)區(qū)間也只含有e的有限

12、多個(gè)點(diǎn)，這與e是無(wú)限點(diǎn)集矛盾，于是，e至少有一個(gè)聚點(diǎn)。五、致密性定理定理5(致密性定理) 有界數(shù)列必有收斂的子數(shù)列。證明 若數(shù)列有無(wú)限多項(xiàng)相等，設(shè)顯然，常數(shù)列是收斂的子數(shù)列。若數(shù)列沒(méi)有無(wú)限多項(xiàng)相等，則有有界無(wú)限點(diǎn)集.根據(jù)聚點(diǎn)定理，e至少有一個(gè)聚點(diǎn)。按照聚點(diǎn)定義取，。取，且。（因?yàn)槭蔷埸c(diǎn)所以含有無(wú)限多個(gè)中的點(diǎn)，所以去掉中的前個(gè)有限點(diǎn)后，中仍然含有的點(diǎn)，任取一個(gè)即可） 取，且 如此進(jìn)行下去，就構(gòu)造了數(shù)列的子數(shù)列。且，有，當(dāng)時(shí)，有。所以，即子數(shù)列收斂。六、柯西收斂準(zhǔn)則 定理6(柯西收斂準(zhǔn)則) 數(shù)列收斂 證明: 必要性若數(shù)列 收斂，設(shè)，由極限定義， ，從而，分別有與，于是有充分性取，和，有，從而，有取

13、，則有，即數(shù)列有界。根據(jù)致密性定理,數(shù)列存在一個(gè)收斂的子數(shù)列，設(shè).接下來(lái)證明由已知有又已知，對(duì)上述，有取，從而，同時(shí)有及，從而有，即或數(shù)列收斂.1.8.2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明1. 性質(zhì)的證明 定理1-12.(有界性) 若函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù),則函數(shù)在閉區(qū)間有界,即有證法 由已知條件得到函數(shù)在的每一點(diǎn)的某個(gè)鄰域有界.要將函數(shù)在每一點(diǎn)的領(lǐng)域有界擴(kuò)充到在閉區(qū)間有界,可應(yīng)用有限覆蓋定理,從而能找到. 證明 已知函數(shù)在連續(xù)，根據(jù)連續(xù)的定義及極限的局部有界性，使得，。顯然，開(kāi)區(qū)間集覆蓋閉區(qū)間，根據(jù)有限覆蓋定理，存在有限個(gè)開(kāi)區(qū)間也覆蓋，且，有，取，于是，于是，使得，有。定理1-13(最值性) 若函數(shù)在閉

14、區(qū)間連續(xù),則函數(shù)在取到最小值與最大值,即在上存在與，使與，且有。證法 只給出取到最大值的證明.根據(jù)定理1-12,函數(shù)在有界.設(shè).只須證明,使,即函數(shù)在取到最大值. 用反證法.假設(shè)，有.顯然,函數(shù)在連續(xù),且.于是,函數(shù)在也連續(xù).根據(jù)定理1-12.存在，有或，則不是數(shù)集的上確界,矛盾.定理3(零點(diǎn)定理) 若函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù),且，(即與異號(hào)),則在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使。 證明 不妨設(shè)，.用反證法和閉區(qū)間套定理.假設(shè),有。將閉區(qū)間二等分，分點(diǎn)為，若，取， 若，取。則使得函數(shù)在端點(diǎn)異號(hào)，即，如此進(jìn)行得到區(qū)間，使得，且（1）（2）根據(jù)區(qū)間套定理，存在唯一數(shù)，且，又由假設(shè)，不妨設(shè)，則由極限的保號(hào)性存在，使得，有一方面當(dāng)充分大時(shí)，有，而已知，與，矛盾，所以在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使。二、 一致連續(xù)性定義1-16 設(shè)函數(shù)在區(qū)間i上有定義，若有稱函數(shù)在區(qū)間i上一致連續(xù)（或均勻連