《電子工程物理基礎》課后習題解答

1、電子工程物理基礎習題參考答案 第一章1-1一維運動的粒子處在下面狀態(tài)將此項函數(shù)歸一化；求粒子坐標的概率分布函數(shù)；在何處找到粒子的概率最大?解：（1）由歸一化條件，知 得到 歸一化常數(shù) 所以 歸一化波函數(shù)為（2）粒子坐標的概率分布函數(shù)（3）令 得到 ，根據(jù)題意x=0處，=0，所以處粒子的概率最大。1-2若在一維無限深勢阱中運動的粒子的量子數(shù)為n。距勢阱的左壁1/4寬度內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子概率是多少?n取何值時，在此范圍內(nèi)找到粒子的概率最大?當n時，這個概率的極限是多少?這個結(jié)果說明了什么問題?解：（1）假設一維無限深勢阱的勢函數(shù)為U（x），那么距勢阱的左壁1/4寬度內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子概率為（2）n=3時，在此范圍

2、內(nèi)找到粒子的概率最大。（3）當n時，。這時概率分布均勻，接近于宏觀情況。1-3一個勢能為的線性諧振子處在下面狀態(tài)，求歸一化常數(shù)A；在何處發(fā)現(xiàn)振子的概率最大；勢能平均值解：類似題1-1的方法 （1）歸一化常數(shù) 由 得到 （2） 振子的概率密度 由 得到x=0時振子出現(xiàn)概率最大。 （3）勢能平均值1-4設質(zhì)量為m的粒子在下列勢阱中運動，求粒子的能級。解: 注意到粒子在半勢阱中運動，且為半諧振子。半諧振子與對稱諧振子在x>0區(qū)域滿足同樣的波動方程，但根據(jù)題意，x<0區(qū)域，勢函數(shù)為無窮，因此相應的波函數(shù)為零，從而破壞了偶宇稱的狀態(tài)。這樣，半諧振子定態(tài)解則為諧振子的奇宇稱解（僅歸一化常數(shù)不同

3、） 1-5電子在原子大小的范圍(10-10m )內(nèi)運動，試用不確定關系估計電子的最小能量。解： 電子總能量 作近似代換，設 ，于是所以電子的最小能量 ，此式與薛定諤方程得到的氫原子基態(tài)能量表達式相同。1-6氫原子處在基態(tài)，求：r的平均值；勢能的平均值；最可幾半徑。解：（1）r的平均值 （2）勢能的平均值（3）最可幾半徑粒子在球殼r-r+dr范圍中出現(xiàn)的概率如下： 由 得到r=a處電子出現(xiàn)的概率最大。1-7設一體系未受微擾作用時，只有兩個能級E01及E02，受到微擾作用，微擾矩陣元 。a，b都是實數(shù)，用微擾公式求能級的二級修正值。解：根據(jù)非簡并微擾公式，有1-8氫分子的振動頻率是1.32

4、5;1014Hz，求在5000K時，下列兩種情況下振動態(tài)上粒子占據(jù)數(shù)之比。n=0，n=1；n=1，n=2。氫分子的振動看作為諧振子，因此振子能量為 振動態(tài)上被粒子占據(jù)的概率服從M-B分布，則（1） n=0，n=1 時， （2） n=1，n=2時， 1-9求在室溫下(k0T=0.025ev)電子處在費米能級以上0.1ev和費米能級以下0.1ev的概率各是多少? 費米能級以上 費米能級以下 第二章 2-1.試說明格波和彈性波有何不同?提示：從晶格格點分立取值和晶格周期性特點出發(fā)分析與連續(xù)介質(zhì)彈性波的不同。2-2. 證明：在長波范圍內(nèi)，一維單原子晶格和雙原子晶格的聲學波傳播速度均與一維連續(xù)介質(zhì)彈性波

5、傳播速度相同，即：式中，E為彈性模量，為介質(zhì)密度。提示：利用教材第二章中一維單原子晶格和雙原子晶格的聲學波的色散關系，得到長波近似下的表達式（2-35）和（2-46），并注意到。 2-3.設有一維原子鏈(如下圖所示)，第2n個原子與第2n+1個原子之間的恢復力常數(shù)為，第2n個原子與第2n-1個原子之間的恢復力常數(shù)為()。設兩種原子的質(zhì)量相等，最近鄰間距為a，試求晶格振動的振動譜以及波矢q=0和q=/2a時的振動頻率。解：根據(jù)題意，原子運動方程為 設上兩式的行波解為將式（2）代入式（1），并整理得方程（3）中的A、B有非零解，則方程組的系數(shù)行列式為零，得到所以 2-4. 一維雙原子晶格振動中，證

6、明在布里淵區(qū)邊界q=±處，聲頻支中所有輕原子m靜止，光頻支所有重原子M靜止。提示：利用教材中第二章的式（2-46）和式（2-49）進行分析。2-5. 什么叫聲子?它和光子有何異、同之處?略2-6. 一維雙原子點陣，已知一種原子的質(zhì)量m=5×1.67×10-27kg，另一種原子的質(zhì)量M=4m，力常數(shù)=15N·m-1，求：(a) 光學波的最大頻率和最小頻率、(b) 聲學波的最大頻率(c) 相應的聲子能量是多少eV?(d) 在300K可以激發(fā)多少個頻率、的聲子?(e) 如果用電磁波來激發(fā)長光學波振動，試問電磁波的波長要多少?解：（a），（b），（c），（d）,

7、(e) 2-7. 設晶體中每個振子的零點振動能量12h，試用德拜模型求晶體的零點振動能。解：晶體的零點振動能E0是各振動模式零點能之和。2-8.設長度為L的一維簡單晶格，原子質(zhì)量為m，間距為a，原子間的互作用勢可表示成。試由簡諧近似求（1）色散關系；（2）模式密度；（3）晶格熱容（列出積分表達式即可）解：（1）原子間的彈性恢復力系數(shù)為將上式代入本教材一維簡單晶格的色散關系式（2-34）中，得到（2）對于一維簡單晶格，有在波矢中的振動模式數(shù)為，其中2是考慮對稱區(qū)域引入的。所以， 代入上式，有（3） 利用教材第二章中的式（2-81），得 2-9. 有人說，既然晶格獨立振動頻率的數(shù)目是確定的(等于晶

8、體的自由度數(shù))。而h代表一個聲子。因此，對于一給定的晶體，它必擁有一定數(shù)目的聲子。這種說法是否正確?提示：不正確，因為平均聲子數(shù)與與溫度有關。2-10. 應用德拜模型，計算一維、二維情況下晶格振動的頻譜密度，德拜溫度，晶格比熱。解：（1）一維情況下在波矢中的振動模式數(shù)為，其中2是考慮對稱區(qū)域引入的。由于德拜模型中設，所以相應的中振動模式數(shù)頻譜密度德拜溫度其中 滿足，所以利用教材第二章中的式（2-81） ， 其中（2）二維情況下在波矢中的振動模式數(shù)為與一維求解思路相同，但必須注意二0000維時需計及兩種彈性波（一個縱波和一個橫波），則，其中 2-11. 1：T>>DT<<

9、D介于、之間的溫度。提示：根據(jù)第二章中描述圖2-40的曲線的形成進行分析。第三章/1. 按照經(jīng)典的觀點，在室溫下，金屬中每個電子對比熱的貢獻為，按照量子論的觀點，如取，則為，只為經(jīng)00典值的1/60。試解釋何以兩者相差這么大。提示：兩種情況下電子服從的統(tǒng)計分布不同，量子論觀點認為只有能量高于費米能的那些電子對比熱才有貢獻。2. 限制在邊長為L的正方形中的N個自由電子。電子能量(a) 求能量E到E+dE之間的狀態(tài)數(shù)；(b) 求此二維系統(tǒng)在絕對零度的費米能量。解：本題與2-10題的求解思路類似。（a）二維系統(tǒng)中，波矢中的狀態(tài)數(shù)對應圓環(huán)中包含的狀態(tài)點，所以，式中系數(shù)2的引入是因為考慮每個狀態(tài)可容納自

10、旋相反的兩個電子。因為 ，所以由得到E到E+dE之間的狀態(tài)數(shù) （b）T=0 K時，系統(tǒng)總電子數(shù)可以表示如下，其中，電子濃度3. 設有一金屬樣品，體積為，其電子可看作自由電子，試計算低于5ev的總的狀態(tài)數(shù)。解：低于5ev的總的狀態(tài)數(shù)為 4. 在低溫下金屬鉀的摩爾熱容量的實驗結(jié)果可寫成若一個摩爾的鉀有N=6×1023個電子，試求鉀的費米溫度和拜溫度。解：低溫下金屬的熱容量由電子熱容和晶格熱容構成，且電子熱容正比于T，晶格熱容正比于T3。所以有5. 一維周期場中電子波函數(shù)應當滿足布洛赫定理，若晶格常數(shù)是a，電子的波函數(shù)為(a)(b)(c) (f是某個確定的函數(shù))試求電子在這些狀態(tài)的波矢解:

11、 (a) 所以 考慮到 則有 所以，僅考慮第一布里淵區(qū)，（b） 與（a）同樣方法，得，僅考慮第一布里淵區(qū)內(nèi)，內(nèi)（c） 與（a）同樣方法，得 ，僅考慮第一布里淵區(qū)內(nèi)， 6.證明，當時，電子數(shù)目每增加一個，則費米能變化其中為費米能級的能態(tài)密度。解：由本教材第三章的式（3-21）知電子每增加一個，費米能級的變化為注意到， ，并由本教材第三章的式（3-14）可得到表達式，容易證得7.試證明布洛赫函數(shù)不是動量的本征函數(shù)提示：只要證明即可，其中為動量算符，為布洛赫函數(shù)8. 電子在周期場中的勢能且a=4b,是常數(shù)。試畫出此勢能曲線，并求此勢能的平均值。解：V(x)是以a為周期的周期函數(shù)，所以9. 用近自由電

12、子模型處理上題。求此晶體的第一個以及第二個禁帶寬度。解：勢能V（x）在（-2b，2b）區(qū)間是個偶函數(shù)，展開成傅立葉級數(shù)為，其中第一個禁帶寬度10. 在一維周期場中運動的電子，每一個狀態(tài)k都存在一個與之簡并的狀態(tài)-k，為什么只在附近才用簡并微擾，而其它k值卻不必用簡并微擾處理呢?提示：由書中第3章式（3-81）（3-83）知，兩個k之間必須滿足（n為整數(shù)）才會對微擾有貢獻。11. 能帶寬窄由什么因素決定?它與晶體所包含的原胞總數(shù)N有無關系?提示：波函數(shù)之間的互作用越強，能帶展寬越厲害，與N無關。12. 布里淵區(qū)的邊界面一定是能量的不連續(xù)面，是嗎?提示：不一定。對于一維情況，布里淵區(qū)的邊界面一定是

13、能量的不連續(xù)面，但二維以上則不然，可能存在第一布里淵區(qū)在某個k方向上的能量最大值大于第二布里淵區(qū)另一方向上的能量最小值。13. 已知一維晶體的電子能帶可寫成其中a是晶格常數(shù)，試求(a) 能帶的寬度；(b) 電子在波矢k的狀態(tài)時的速度；(c) 能帶底部和頂部電子的有效質(zhì)量。解：（a）首先求能量最大值和最小值由 得到 n為偶數(shù)時，n為奇數(shù)時，所以能帶寬度為 （b）速度(c) 有效質(zhì)量 導帶底，代入上式得導帶頂，代入上式得14. 用緊束縛方法處理面心立方晶體的S態(tài)電子，若只計最近鄰的相互作用，試導出能帶為，并求能帶底部電子的有效質(zhì)量。解：任取一個格點為原點，最近鄰格點有12個，它們的位置坐標分別為緊

14、束縛方法得到的能量式為將12個最鄰近格點的位置坐標代入上式，并整理得到面心立方s態(tài)原子能級相對應的能帶。15. 緊束縛方法導出體心立方晶體S態(tài)電子的能帶試畫出沿方向()，和的曲線。解：求解方法類似13題。首先寫出任意格點為原點其最近鄰的8個格點的位置坐標，并代入緊束縛方法得到的能量式，即可得到本題給出的能量表示式。沿kx方向（ky=kz=0），有能量 ，其中，最大值為，最小值 。圖略速度 。圖略16.為何引入密度泛函理論處理能帶問題，有何優(yōu)點？略。請參考本書第3章3.3.3節(jié)的內(nèi)容。第四章1. 從能帶論出發(fā)，簡述半導體能帶的基本特征，利用能帶論分析討論為什么金屬和半導體電導率具有不同的溫度依賴

15、性。提示：半導體的能帶結(jié)構決定了半導體中有兩種載流子參與導電，且濃度與溫度有關，溫度對電導率的影響涉及到載流子濃度和散射兩方面。金屬只有電子對導電有貢獻，且不受溫度影響。溫度主要影響晶格振動對電子的散射。2. 從能帶底到能帶頂，晶體中電子的有效質(zhì)量將如何變化？為什么？略。參考本書3.4.2節(jié)的內(nèi)容。3. 為什么半導體滿帶中少量空狀態(tài)可以用具有正電菏和一定質(zhì)量的空穴來描述？金屬中是否也會有空穴存在？略。4. 當E-EF 分別為kT、4kT、7kT，用費米分布和玻爾茲曼分布分別計算分布概率，并對結(jié)果進行討論。解：電子的費米分布 ，玻爾茲曼近似為（1）E-EF=kT時 ，（2）E-EF=4kT時 ，

16、（3）E-EF=7kT時 ，當遠大于1時，就可以用較為簡單的玻爾茲曼分布近似代替費米狄拉克分布來計算電子或空穴對能態(tài)的占據(jù)概率，從本題看出E-EF=4kT時，兩者差別已經(jīng)很小。5. 設晶格常數(shù)為a的一維晶格，導帶極小值附近的能量Ec(k)和價帶極大值附近的能量En(k)分別為 ，式中m為電子慣性質(zhì)量，Å,試求出：（1）禁帶寬度（2）導帶底電子的有效質(zhì)量；（3）價帶頂電子的有效質(zhì)量；（4）導帶底的電子躍遷到價帶頂時準動量的改變量。解： （1） 令 即 得到導帶底相應的 令 即 得到價帶頂相應的 故禁帶寬度 將代入，得到（2）導帶底電子有效質(zhì)量 （3）價帶頂空穴有效質(zhì)量 （4）動量變化為

17、 6. 什么是淺能級雜質(zhì)？什么是深能級雜質(zhì)？將它們摻入半導體材料中各自起什么作用？舉例說明。略。7. 試證明半導體中當且電子濃度空穴濃度時，材料的電導率最小，并求的表達式。試問當n0和p0（除了n0= p0 =ni以外）為何值時，該晶體的電導率等于本征電導率？并分別求出n0和p0。已知解：（1）由 得 ，又，所以當，時，（2）當材料的電導率等于本征電導率時，有： 即 解得： 計算得： 故，時，該晶體的電導率等于本征電導率。8. 何謂簡并半導體？在簡并半導體中雜質(zhì)能帶將發(fā)生怎樣的變化，何故？略。9. 半導體Si、Ge和GaAs ，哪一種最適合制作高溫器件，為什么？提示：從禁帶寬度大小出發(fā)，分析進

18、入本征激發(fā)的溫度極限。10. 在雜質(zhì)半導體中，對載流子的散射機構主要有哪兩種？它們對溫度的依賴特性有何不同，為什么？略。11. 為什么在高摻雜情況下，載流子的遷移率隨溫度的變化是比較小的，而且在低溫區(qū)其溫度系數(shù)為正，在高溫區(qū)溫度系數(shù)為負？提示：從電離雜質(zhì)散射和晶格振動散射兩方面分析溫度對遷移率的影響。12. 硅原子作為雜質(zhì)原子摻入砷化鎵樣品中，設雜質(zhì)濃度為1010/cm3，其中5%硅原子取代砷，95%硅原子取代鎵，若硅原子全部電離，本征激發(fā)可忽略不計，求樣品的電導率。（n=8800 cm2/V·s, p=400 cm2/V·s，q=1.6×10-19庫侖）解：硅原

19、子取代鎵起施主雜質(zhì)作用，取代砷起受雜質(zhì)作用。因此 雜質(zhì)補償，有 13. 早期鍺硅等半導體材料常利用測其電阻率的辦法來估計純度，若測得室溫下電阻率為10，試估計N型鍺的純度，并討論其局限性。（300K較純鍺樣品的電子遷移率，鍺原子密度d=4.42´1022cm-3, 電子電荷量e=1.6´10-19A.s）。 室溫下，雜質(zhì)全電離，有n=ND, 那么，純度為局限性：對于高度補償材料，誤差很大。14. 平均自由時間、非平衡載流子的壽命及介電弛豫時間有何不同？略。15. 一塊補償硅材料，已知摻入受主雜質(zhì)濃度NA=1´1015cm-3, 室溫下測得其費米能級位置恰好與施主能

20、級重合，并測得熱平衡時電子濃度n0=5´1015cm-3 。已知室溫下本征載流子濃度ni=1.5´1010cm-3,試問： （1）平衡時空穴濃度為多少？ （2）摻入材料中施主雜質(zhì)濃度為多少？ （3）電離雜質(zhì)中心濃度為多少？ （4）中性雜質(zhì)散射中心濃度為多少？（1）熱平衡時，顯然 n0p0 ，故半導體雜質(zhì)補償后為n型。（2）電中性方程 （1）補償后 （2）又 （3）將式（2）、（3）代入式（1），并注意到，那么，所以 （3）受主雜質(zhì)電離中心： 施主雜質(zhì)電離中心：（4）中性雜質(zhì)散射中心：16. 一個半導體棒，光照前處于熱平衡態(tài)，光照后處于穩(wěn)定態(tài)的條件，分別由下圖給出的能帶圖來描

21、述。設室溫（300K）時的本征載流子濃度ni=1010cm-3,試根據(jù)已知的數(shù)據(jù)確定： （1）熱平衡態(tài)的電子和空穴濃度n0和p0； （2）穩(wěn)定態(tài)的空穴濃度p； （3）當棒被光照射時，“小注入”條件成立嗎？試說明理由。 題圖4-1 光照前后的能帶圖（1），（2）光照產(chǎn)生非平衡載流子，穩(wěn)態(tài)時又 由上兩式得，化簡后，有，解得 所以 （3）因為 所以滿足小注入條件。17. 假設n型半導體中的復合中心位于禁帶的上半部，試根據(jù)4.2.3中間接復合的理論分析半導體由低溫至高溫時非平衡少數(shù)載流子壽命隨溫度的變化，解釋下圖中的曲線。題圖4-2 n型半導體中少子壽命隨溫度的變化曲線提示：參照本書p.147中對式（

22、4-85）化簡為（4-86）或（4-87）的方法進行分析，并考慮溫度對費米能級EF位置的影響。18. 請根據(jù)GaAs的能帶結(jié)構定性解釋圖4.5.3節(jié)中的圖4-30給出的GaAs電子平均漂移速度與電場強度的關系。略。19. 光照一均勻摻雜的n型硅樣品，t=0時光照開始并被樣品均勻吸收，非平衡載流子的產(chǎn)生率為G，空穴的壽命為，忽略電場的作用。（1） 寫出光照條件下非平衡載流子所滿足的方程；（2） 光照達到穩(wěn)定狀態(tài)時的非平衡載流子濃度；（3） 如果產(chǎn)生率為1020cm-3s-1，壽命為5×10-19 s，求樣品的附加電導率。（已知： n=1350 cm2/V·s, p=500 c

23、m2/V·s）解：已知 連續(xù)性方程為 由于均勻摻雜且均勻吸收，則 忽略電場作用 （1）光照條件下非平衡載流子所滿足的方程為（2）光照達到穩(wěn)定狀態(tài)時， （3） 又 則，附加電導率：20. 若穩(wěn)定光照射在一塊均勻摻雜的n型半導體中均勻產(chǎn)生非平衡載流子，產(chǎn)生率為Gop，如題圖4-3所示。假設樣品左側(cè)存在表面復合，那么少數(shù)載流子如何分布呢？題圖4-3 光均勻照射半導體樣品解：光照半導體，并被整個半導體均勻吸收，產(chǎn)生非平衡載流子，由于左側(cè)存在表面復合，因此體內(nèi)產(chǎn)生的載流子將向左側(cè)擴散。此時，少數(shù)載流子空穴滿足的擴散方程如下：遠離邊界處的非平衡載流子濃度滿足得這樣邊界條件為解擴散方程，并考慮邊界

24、條件最后得到21. 設一無限大均勻p型半導體無外場作用。假設對一維晶體，非平衡少子電子只在x=0處以gn產(chǎn)生率產(chǎn)生，也即小注入，如題圖4-4所示。顯然少子電子將分別向正負x方向擴散，求解穩(wěn)態(tài)時的非平衡少數(shù)載流子。（假設T=300K時p型半導體的摻雜濃度為, ,）題圖4-4 x=0處少子電子注入下的p型半導體由已給條件知，電場=0，穩(wěn)態(tài)時，在 處，gn=0，這時連續(xù)性方程變?yōu)?，上式為一維穩(wěn)態(tài)擴散方程，該方程的通解為 其中擴散長度，考慮到非平衡少子從x=0處向兩邊擴散的過程中會不斷和多子空穴復合，所以x趨于正負無窮時，非平衡少子將衰減為零。顯然在x>0處，B=0,在x<0處A=0則 式

25、中表示x=0處的非平衡載流子濃度，上式表明穩(wěn)態(tài)非平衡載流子從x=0處向兩側(cè)呈指數(shù)衰減。假設T=300K時p型半導體的摻雜濃度為, ,. 那么，少子的擴散長度為 所以， 22. 如題圖4-5所示，一個無限大的摻雜均勻的p型半導體樣品，無外加電場。假設對于一維晶體，其中心附近長度為2a的范圍內(nèi)被一穩(wěn)定光照射，產(chǎn)生的載流子分別向+x和-x方向擴散。假定光均勻的穿透樣品，電子-空穴對的產(chǎn)生率為G。 題圖4-5 光照半導體樣品局部區(qū)域（1） 根據(jù)少子的連續(xù)性方程，分別寫出樣品x<-a ,-a<x<a ,x>a三個區(qū)域中的少數(shù)載流子方程表達式（2） 分別求出三個區(qū)域中的載流子n(x

26、)的表達式解：（1） 取樣品中心處為原點，根據(jù)非少子的連續(xù)性方程并結(jié)合題意可得到在穩(wěn)態(tài)情況下樣品三個區(qū)域中的少數(shù)載流子方程分別為（2） 式（1）的解為因少子分布關于原點對稱，故B=0，所以（2）式和（3）的解為 ，x>>時，趨于零，則 ，x>>時，趨于零，則 考慮到對稱性，有D=E由邊界條件 和 可確定系數(shù)A和C，最后得到第五章1.請分析p型半導體與金屬相接觸時的接觸特性，分別討論半導體功函數(shù)大于或小于金屬功函數(shù)的兩種情況，并畫出相應的能帶圖。略。2.在半導體器件制造中，常遇到低摻雜半導體引線問題，一般采用在低摻雜上外延一層相同導電類型重摻雜半導體，請以金屬-n+半導體

27、-n為例，分別畫出平衡時、正向偏置和反向偏置下的能帶圖，并說明其歐姆接觸特性。略。3.試比較p-n結(jié)和肖特基結(jié)的主要異同點。為什么金-半二極管（肖特基二極管）消除了載流子注入后的存儲時間？略4.為什么隧道擊穿時擊穿電壓具有負溫度系數(shù)而雪崩擊穿具有正溫度系數(shù)？提示：對于隧道擊穿，溫度升高，將使禁帶寬度變窄，相應的勢壘厚度變薄，易于擊穿，即溫度升高，擊穿電壓變小。對于雪崩擊穿，溫度升高使晶格振動增強，勢壘區(qū)的載流子因散射而損失部分能量，因此需在更高的反向電壓下積聚能量形成雪崩擊穿。5.在實際半導體二極管中，p-n結(jié)反向電流包括哪幾個部分的貢獻？提示：反向擴散電流和勢壘區(qū)的產(chǎn)生電流。6.說明在小注入情形下pn結(jié)中注入基區(qū)的少子主要以擴散運動為主。略。7.施主濃度為1017cm-3的N型硅，室溫下的功函數(shù)是多少？如果不考慮表面態(tài)的影響，試畫出它與金（Au）接觸的能帶圖，并標出勢壘高度和接觸電勢差的數(shù)值。已知硅的電子親和勢,金的功函數(shù)為。解：室溫下雜質(zhì)全電離，有那么，功函數(shù)為顯然 形成阻擋層。 能帶圖略。8.導出p-n結(jié)的正向