曲線與方程練習(xí)題

1、曲線與方程一、選擇題1已知兩定點(diǎn)a(1,1)，b(1，1)，動(dòng)點(diǎn)p滿足·，則點(diǎn)p的軌跡是()a圓 b橢圓c雙曲線 d拋物線解析 設(shè)點(diǎn)p(x，y)，則(1x,1y)，(1x，1y)，所以·(1x)(1x)(1y)(1y)x2y22.由已知x2y22，即1，所以點(diǎn)p的軌跡為橢圓答案b2已知點(diǎn)f，直線l：x，點(diǎn)b是l上的動(dòng)點(diǎn)若過b垂直于y軸的直線與線段bf的垂直平分線交于點(diǎn)m，則點(diǎn)m的軌跡是()a雙曲線 b橢圓 c圓 d拋物線解析由已知：|mf|mb|.由拋物線定義知，點(diǎn)m的軌跡是以f為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，故選d.答案d3長為3的線段ab的端點(diǎn)a、b分別在x軸、y軸上移動(dòng)，2

2、，則點(diǎn)c的軌跡是()a線段 b圓c橢圓 d雙曲線解析 設(shè)c(x，y)，a(a,0)，b(0，b)，則a2b29，又2，所以(xa，y)2(x，by)，即代入式整理可得x21.答案 c4設(shè)圓(x1)2y225的圓心為c，a(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，q為圓周上任一點(diǎn)線段aq的垂直平分線與cq的連線交于點(diǎn)m，則m的軌跡方程為()a.1 b.1c.1 d.1解析m為aq垂直平分線上一點(diǎn)，則|am|mq|，|mc|ma|mc|mq|cq|5，故m的軌跡為橢圓，a，c1，則b2a2c2，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.答案d5已知二面角l的平面角為，點(diǎn)p在二面角內(nèi)，pa，pb，a，b為垂足，且pa4，pb5，設(shè)a，b到

3、棱l的距離分別為x，y，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)(x，y)的軌跡方程是()ax2y29(x0)bx2y29(x0，y0)cy2x29(y0)dy2x29(x0，y0)解析 實(shí)際上就是求x，y所滿足的一個(gè)等式，設(shè)平面pab與二面角的棱的交點(diǎn)是c，則acx，bcy，在兩個(gè)直角三角形rtpac，rtpbc中其斜邊相等，根據(jù)勾股定理即可得到x，y所滿足的關(guān)系式如圖，x242y252，即x2y29(x0，y0)答案b6abc的頂點(diǎn)a(5,0)、b(5,0)，abc的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，則頂點(diǎn)c的軌跡方程是()a.1 b.1c.1(x>3) d.1(x>4)解析如圖|ad|ae|8，|bf|be|2，

4、|cd|cf|，所以|ca|cb|826.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以a、b為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的右支，方程為1(x>3)答案c7|y|1表示的曲線是()a拋物線 b一個(gè)圓c兩個(gè)圓 d兩個(gè)半圓解析原方程等價(jià)于或答案d二、填空題8. 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 軸上，離心率為。過的直線 交于兩點(diǎn)，且的周長為16，那么的方程為 。答案 9在abc中，a為動(dòng)點(diǎn)，b、c為定點(diǎn)，b，c(a>0)，且滿足條件sin csin bsin a，則動(dòng)點(diǎn)a的軌跡方程是_解析由正弦定理：×，|ab|ac|bc|，且為雙曲線右支答案1(x>0且y0)10已知圓的方程

5、為x2y24，若拋物線過點(diǎn)a(1,0)、b(1,0)且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點(diǎn)軌跡方程是_解析 設(shè)拋物線焦點(diǎn)為f，過a、b、o作準(zhǔn)線的垂線aa1、bb1、oo1，則|aa1|bb1|2|oo1|4，由拋物線定義得|aa1|bb1|fa|fb|，|fa|fb|4，故f點(diǎn)的軌跡是以a、b為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓(去掉長軸兩端點(diǎn))答案 1(y0)11已知p是橢圓1上的任意一點(diǎn)，f1、f2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)q的軌跡方程是_解析由，又22，設(shè)q(x，y)，則(x，y)，即p點(diǎn)坐標(biāo)為，又p在橢圓上，則有1，即1.答案112. 曲線c是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)f1(1,0)和f2(1,0)

6、的距離的積等于常數(shù)a2(a>1)的點(diǎn)的軌跡，給出下列三個(gè)結(jié)論：曲線c過坐標(biāo)原點(diǎn)；曲線c關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；若點(diǎn)p在曲線c上，則f1pf2的面積不大于a2.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是_解析 曲線c經(jīng)過原點(diǎn)，這點(diǎn)不難驗(yàn)證是錯(cuò)誤的，如果經(jīng)過原點(diǎn)，那么a1，與條件不符；曲線c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這點(diǎn)顯然正確，如果在某點(diǎn)處|pf1|pf2|a2，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)處也一定符合|pf1|pf2|a2；三角形的面積sf1f2p2，很顯然sf1f2p|pf1|pf2|sinf1pf2|pf1|pf2|.所以正確答案 三、解答題13.如圖，已知f(1,0)，直線l：x1，p為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)p作l的垂線，垂足為點(diǎn)

7、q，且· ·.求動(dòng)點(diǎn)p的軌跡c的方程解析 法一：設(shè)點(diǎn)p(x，y)，則q(1，y)，由··，得(x1,0)·(2，y)(x1，y)·(2，y)，化簡得c：y24x.法二：由··，得·()0，()·()0，220.|.點(diǎn)p的軌跡c是拋物線，由題意，軌跡c的方程為y24x.14已知定點(diǎn)f(0,1)和直線l1：y1，過定點(diǎn)f與直線l1相切的動(dòng)圓的圓心為點(diǎn)c.(1)求動(dòng)點(diǎn)c的軌跡方程；(2)過點(diǎn)f的直線l2交軌跡于兩點(diǎn)p、q，交直線l1于點(diǎn)r，求·的最小值解析(1)由題設(shè)知點(diǎn)c到點(diǎn)f的距離等于它

8、到l1的距離， 點(diǎn)c的軌跡是以f為焦點(diǎn)，l1為準(zhǔn)線的拋物線，動(dòng)點(diǎn)c的軌跡方程為x24y.(2)由題意知，直線l2方程可設(shè)為ykx1(k0)，與拋物線方程聯(lián)立消去y，得x24kx40.設(shè)p(x1，y1)，q(x2，y2)，則x1x24k，x1x24.又易得點(diǎn)r的坐標(biāo)為，··(kx12)(kx22)(1k2)x1x2(x1x2)44(1k2)4k448.k22，當(dāng)且僅當(dāng)k21時(shí)取等號(hào)，·4×2816，即·的最小值為16.15已知雙曲線y21的左、右頂點(diǎn)分別為a1、a2，點(diǎn)p(x1，y1)，q(x1，y1)是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(1)求直線a1p與

9、a2q交點(diǎn)的軌跡e的方程；(2)若過點(diǎn)h(0，h)(h1)的兩條直線l1和l2與軌跡e都只有一個(gè)交點(diǎn)，且l1l2，求h的值解析(1)由題設(shè)知|x1|，a1(，0)，a2(，0)，則有直線a1p的方程為y(x)，直線a2q的方程為y(x)聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)為x，y，即x1，y1，則x0，|x|.而點(diǎn)p(x1，y1)在雙曲線y21上，y211.將代入上式，整理得所求軌跡e的方程為y21，x0且x±.(2)設(shè)過點(diǎn)h(0，h)的直線為ykxh(h1)，聯(lián)立y21得(12k2)x24khx2h220.令16k2h24(12k2)(2h22)0得h212k20，解得k1 ，k2 .由于l1l2，則k1k21，故h.過點(diǎn)a1，a2分別引直線l1，l2通過y軸上的點(diǎn)h(0，h)，且使l1l2，因此a1ha2h，由×1，得h.此時(shí)，l1，l2的方程分別為yx與yx，它們與軌跡e分別僅有一個(gè)交點(diǎn)與.所以，符合條件的h的值為或.16設(shè)橢圓方程為x21，過點(diǎn)m(0,1)的直線l交橢圓于a，b兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)p滿足()，點(diǎn)n的坐標(biāo)為，當(dāng)直線l繞點(diǎn)m旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：(1)動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程；(2)|的最大值，最小值解析(1)直線l過定點(diǎn)m(0,1)，設(shè)其斜率為k，則l的方程為ykx1.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，由題意知，a、b的坐標(biāo)滿足方程組消去y得(4k2)x