第一章運(yùn)動(dòng)微分方程_第1頁(yè)
第一章運(yùn)動(dòng)微分方程_第2頁(yè)
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1、動(dòng)力學(xué)緒論動(dòng)力學(xué)緒論1 動(dòng)力學(xué)的研究對(duì)象動(dòng)力學(xué)的研究對(duì)象 動(dòng)力學(xué)的研究對(duì)象:動(dòng)力學(xué)的研究對(duì)象:質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)和和質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系。 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)是指幾何尺寸可以忽略不計(jì),但具有一定質(zhì)量的物體。 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系是由幾個(gè)或無(wú)限個(gè)相互聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。剛體剛體是質(zhì)點(diǎn)系的一種特殊情形。 2 動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容是研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān)系。 已知運(yùn)動(dòng)求力已知運(yùn)動(dòng)求力 已知力求運(yùn)動(dòng)已知力求運(yùn)動(dòng) 既有未知的運(yùn)動(dòng)量既有未知的運(yùn)動(dòng)量, ,又有未知力又有未知力. . 4 動(dòng)力學(xué)的理論基礎(chǔ)動(dòng)力學(xué)的理論基礎(chǔ) 牛頓定律的適用范圍:牛頓定律的適用范圍: 慣性坐標(biāo)系;慣性坐標(biāo)系; 速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光速;速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于

2、光速; 宏觀(guān)物體宏觀(guān)物體; ; 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)( (平動(dòng)剛體平動(dòng)剛體) )動(dòng)力學(xué)理論有著廣泛的應(yīng)用。動(dòng)力學(xué)理論有著廣泛的應(yīng)用。航天航空航天航空中的動(dòng)力學(xué)計(jì)中的動(dòng)力學(xué)計(jì)算算、結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)的動(dòng)荷響應(yīng)動(dòng)荷響應(yīng)、高速轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械高速轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械的動(dòng)力學(xué)行為分的動(dòng)力學(xué)行為分析析等都需要有動(dòng)力學(xué)的知識(shí)作為基礎(chǔ)。等都需要有動(dòng)力學(xué)的知識(shí)作為基礎(chǔ)。3 解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的基本方法解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的基本方法u 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程-質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)u 動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理( (三大動(dòng)力學(xué)定理三大動(dòng)力學(xué)定理+ +達(dá)朗伯原理達(dá)朗伯原理) ) - -質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系u 分析力學(xué)方法分析力學(xué)方法虛位移原理虛位移原理第一章第一章 11

3、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程12 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題13 質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)基本方程質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)基本方程不受力(平衡力系)作用的質(zhì)點(diǎn)將永遠(yuǎn)保不受力(平衡力系)作用的質(zhì)點(diǎn)將永遠(yuǎn)保持靜止或作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。又稱(chēng)持靜止或作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。又稱(chēng)。 兩個(gè)基本概念:質(zhì)點(diǎn)都有兩個(gè)基本概念:質(zhì)點(diǎn)都有慣性慣性,即保持原來(lái)運(yùn),即保持原來(lái)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的性質(zhì);動(dòng)狀態(tài)的性質(zhì);力是改變質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因力是改變質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因。(定性定性)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積等于作用于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大小,加速度的方向與力的方向相同。質(zhì)點(diǎn)的力的大小,加速度的方向與力的方向相同。即即fa m1

4、1 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程1 動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本定律力學(xué)基本定律牛頓三定律牛頓三定律此式即此式即。 此定律給出:物體的受力與物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的此定律給出:物體的受力與物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變之間定量關(guān)系改變之間定量關(guān)系 (定量定量)。)。fa m 力使物體產(chǎn)生沿其方向的加速度 f作用在質(zhì)點(diǎn)上的合力(共點(diǎn)力系的合力) a質(zhì)點(diǎn)相對(duì)慣性系的加速度(絕對(duì)加速度) 瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)量的關(guān)系 適用范圍(質(zhì)點(diǎn), 平動(dòng)剛體)niifma1(1)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在直角坐標(biāo)軸上投影質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在直角坐標(biāo)軸上投影niziniyinixifdtzdmfdtydmfdtxdm122122122,2運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程fr22

5、dtdm(2) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在自然軸上投影質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在自然軸上投影nininiifvmfdtdvm1,21(3) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的復(fù)合運(yùn)動(dòng)形式質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的復(fù)合運(yùn)動(dòng)形式creaaaaafaaamcre)(一是已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),求作用于質(zhì)點(diǎn)的力一是已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),求作用于質(zhì)點(diǎn)的力。 求解這類(lèi)問(wèn)題時(shí),只需根據(jù)已知的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,求解這類(lèi)問(wèn)題時(shí),只需根據(jù)已知的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,通過(guò)微分運(yùn)算或通過(guò)復(fù)合運(yùn)動(dòng)求出質(zhì)點(diǎn)的加速度;通過(guò)微分運(yùn)算或通過(guò)復(fù)合運(yùn)動(dòng)求出質(zhì)點(diǎn)的加速度;從而按質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程式求出未知力。從而按質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程式求出未知力。二是已知作用于質(zhì)點(diǎn)的力,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)二是已知作用于質(zhì)點(diǎn)的力,求質(zhì)

6、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。 這類(lèi)問(wèn)題一般比較繁瑣。求解這類(lèi)問(wèn)題時(shí),首這類(lèi)問(wèn)題一般比較繁瑣。求解這類(lèi)問(wèn)題時(shí),首先要列出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程式,然后進(jìn)行積分,同先要列出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程式,然后進(jìn)行積分,同時(shí)利用運(yùn)動(dòng)的初始條件確定積分常數(shù),求出質(zhì)點(diǎn)的時(shí)利用運(yùn)動(dòng)的初始條件確定積分常數(shù),求出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。運(yùn)動(dòng)規(guī)律。12 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題具體求解步驟具體求解步驟: :1.1. 明確研究對(duì)象明確研究對(duì)象2.2. 分析受力分析受力-全部外力全部外力 分析運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)-一般位置一般位置( (運(yùn)動(dòng)描述的方法運(yùn)動(dòng)描述的方法) )3. 3. 建立方程并求解建立方程并求解例例:小球m的重量為g,設(shè)以勻速vr沿直管

7、oa運(yùn)動(dòng),同時(shí)管oa以勻角速度w 繞鉛直軸z轉(zhuǎn)動(dòng)。求小球?qū)鼙诘乃綁毫?。zwaomgzn已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),求作用于質(zhì)點(diǎn)的力已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),求作用于質(zhì)點(diǎn)的力。解解:研究小球aonmcawfeacreaaaarcrevaaomaww202nmacreaaaacaarcvggmanw2例例一質(zhì)量為3kg的小球連于繩的一端,可以在鉛垂面內(nèi)擺動(dòng),繩長(zhǎng)l=0.8m。已知當(dāng)q=60時(shí)繩的張力為25n,求此瞬時(shí)小球的速度和加速度。解解qltmgana根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程,研究小球30cos30sinmgmamgtman解得:an=3.33m/s2 a 8.66m/s2再根據(jù)an =v2/l,可求v=1.632m

8、/s已知作用于質(zhì)點(diǎn)的力,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)已知作用于質(zhì)點(diǎn)的力,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)例例 圖示質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)o帶有電荷e,如已知質(zhì)點(diǎn)在均勻電場(chǎng)中所受力f=esinkt, k為常數(shù)。又質(zhì)點(diǎn)的初速為v0,與x軸夾角為q,且取坐標(biāo)原點(diǎn)為起始位置。如不計(jì)重力影響,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。解解根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程:ktefdtdvmmadtdvmmayyxxsin0已知作用于質(zhì)點(diǎn)的力,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)已知作用于質(zhì)點(diǎn)的力,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度初始條件為:qqsincos0000vvvvyx)cos1 (sincos00ktmkevdtdyvvdtdxvyxqq位置初始條件為:0000yxqqsin)sin(cos00tvkkttmkey

9、tvx彈簧質(zhì)量系統(tǒng),物塊的質(zhì)量為m ,彈簧的剛度系數(shù)為k,物塊自平衡位置的初始速度為v0。求物塊的運(yùn)動(dòng)方程。0kxxm mk20wtmkkmvx0sinl0kmgxkxm)(st mgksttmkkmvx0sin1. 重力重力mg只改變了系統(tǒng)的平衡位置,對(duì)只改變了系統(tǒng)的平衡位置,對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律并無(wú)影響。運(yùn)動(dòng)規(guī)律并無(wú)影響。 2. 物塊垂直懸掛時(shí),物塊垂直懸掛時(shí),坐標(biāo)原點(diǎn)選擇不同對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程的影響坐標(biāo)原點(diǎn)選擇不同對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程的影響這一問(wèn)題請(qǐng)同學(xué)們自己研究。這一問(wèn)題請(qǐng)同學(xué)們自己研究。 取坐標(biāo)軸 x 鉛直向下,原點(diǎn)在物體的初始位置。寫(xiě)出物體 m 的運(yùn)動(dòng)微分方程例題 質(zhì)量是m的物體m在均勻重力場(chǎng)中沿鉛直

10、線(xiàn)由靜止下落,受到空氣阻力的作用。假定阻力f與速度平方成比例,即f=v2 ,阻力系數(shù)單位取kg/m,數(shù)值由試驗(yàn)測(cè)定。試求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解解: :加速度為零時(shí)2vmgt dvdmumgvxx)vu(ugt dvd222tugvuvutvdd0022)3(11)/()/()/()/()/2()/2(tugtugtugtugtugtugeeeeueeuv于是物體速度隨時(shí)間而變化的規(guī)律為th 是雙曲正切是雙曲正切。)(thtuguv tugtugtugtugtxeeeegux)/()/()/()/(020dd物體的運(yùn)動(dòng)方程為)(ch22)()(2ugtlngueelnguxu/gtu/gt分析例分析

11、例 神州6號(hào)載人飛船回收過(guò)程中的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。假設(shè)回收艙重為p, 回收艙在距離地面h處打開(kāi)阻力傘,此時(shí)速度為v0,回收艙受到的空氣阻力與速度成正比:f=cv,c為常數(shù)。求回收艙到達(dá)地面時(shí)的速度和加速度。 例題粉碎機(jī)滾筒半徑為r,繞通過(guò)中心的水平勻速轉(zhuǎn)動(dòng),筒內(nèi)鐵球由筒壁上的凸棱帶著上升。為了使鐵球獲得粉碎礦石的能量,鐵球應(yīng)在=0時(shí)(如圖)才掉下來(lái)。求滾筒每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)n。 視鐵球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)。鐵球被旋轉(zhuǎn)的滾筒帶著沿圓弧向上運(yùn)動(dòng),當(dāng)鐵球到達(dá)某一高度時(shí),會(huì)脫離筒壁而沿拋物線(xiàn)下落。 f = maq cosn2mgfrvm鐵球在未離開(kāi)筒壁前的速度,等于筒壁上與其重合點(diǎn)的速度。即 rrv30nw21n) cos(3

12、0qmgfmrrn當(dāng)當(dāng)=0 時(shí)鐵球?qū)⒙湎?,這時(shí)時(shí)鐵球?qū)⒙湎?,這時(shí)fn =0,于是得滾筒轉(zhuǎn)速于是得滾筒轉(zhuǎn)速0 cos549. 9qrgn 2 . 當(dāng)當(dāng)q0=0時(shí),鐵球就會(huì)緊貼筒壁轉(zhuǎn)過(guò)時(shí),鐵球就會(huì)緊貼筒壁轉(zhuǎn)過(guò)最高點(diǎn)而不脫離筒壁落下,起不到粉碎最高點(diǎn)而不脫離筒壁落下,起不到粉碎礦石的作用。礦石的作用。 1. 顯然,顯然,q0 越小,要求越小,要求n 越大。越大。 討論討論q cosn2mgfrvmrrv30nw13 非慣性系中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程非慣性系中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程fa mcaaaaercermmmaafaegeamfgcgermfffa 牽連慣性力牽連慣性力cgcamf 科氏慣性力科氏慣性力 質(zhì)

13、點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程aaaraeac 例例 設(shè)車(chē)廂以勻加速度設(shè)車(chē)廂以勻加速度a沿水平直線(xiàn)軌道向右行駛。求沿水平直線(xiàn)軌道向右行駛。求由車(chē)廂棚頂由車(chē)廂棚頂m0處自由落下的質(zhì)點(diǎn)處自由落下的質(zhì)點(diǎn)m的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。分析質(zhì)點(diǎn)m,取動(dòng)坐標(biāo)系 o1x1y1z1 ,固連于車(chē)廂。mar = f + fe + fc mar = w + fefe = maemgzmmaymxm111, 0 00111111zyxvvv , hz ,yx當(dāng) t = 0 時(shí),2121121,21,0gthzatyx11yaghzocormw wq q例題 一質(zhì)量是m的小環(huán)m套在半徑是r的光滑圓環(huán)上,并可沿大圓環(huán)

14、滑動(dòng),而大圓環(huán)在水平面內(nèi)以勻角速度w繞通過(guò)點(diǎn)o的鉛垂軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在初瞬時(shí),q = 0, = 2 w ,試寫(xiě)出小環(huán)m相對(duì)于大圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)微分方程,并求出大圓環(huán)對(duì)小環(huán)m的約束力。q解: 分析小環(huán)。取動(dòng)坐標(biāo)系與大圓環(huán)固連,小環(huán)m相對(duì)于大圓環(huán)的位置用弧坐標(biāo) s = rq 表示。作用于小環(huán)m的力有大圓環(huán)的約束力fn。為了寫(xiě)出小環(huán)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程,還要加上相應(yīng)的牽連慣性力fe和科氏慣性力fc。 222wqcosmrmafeeqwwrmvmmaf22rcc受力分析受力分析運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析fefnfcocormw wq q這就是小環(huán)這就是小環(huán) m m 相對(duì)于大圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)微分方程。相對(duì)于大圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)微分方程。) 1 ( 2sineqqfmr ) 2( 2cosecn2qqfffmr)a (sin2qwq 應(yīng)用循環(huán)變換 ,將式( a )的變量分離并代入初始條件進(jìn)行積分qqqqdd mar = w + fn + fe+ fc由相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本方程2cos2sin2qqqmrmr 222wqcosmrmafeeqwwrmvmmaf22rccocormq qfefnfc由式(1)得大圓環(huán)對(duì)小環(huán)的約束力為qqwqqwqq022dsind)cos1 (222qwq2cos)cos1 (2ec2nqqw

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