專題六軸對稱講解

1、軸對稱與軸對稱圖形、知識點:1軸對稱：如果把一個圖形沿著某一條直線折疊后，能夠與另一個圖形重合，那么這兩個圖形關于這條直線 成軸對稱，這條直線叫做對稱軸，兩個圖形中的對應點叫做對稱點。2、軸對稱圖形：如果把一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。3. 軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系： 區(qū)別：軸對稱是指兩個圖形沿某直線對折能夠完全重合，而軸對稱圖形是指一個圖形的兩個部分沿某直線 對折能完全重合。軸對稱是反映兩個圖形的特殊位置、大小關系；軸對稱圖形是反映一個圖形的特性。聯(lián)系：兩部分都完全重合，都有對稱軸，都有對稱點。如果把成軸對稱的兩個

2、圖形看成是一個整體，這 個整體就是一個軸對稱圖形；如果把一個軸對稱圖形的兩旁的部分看成兩個圖形，這兩個部分圖形就成軸對 稱。常見的軸對稱圖形有：圓、正方形、長方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等邊三角形、角、線段、 相交的兩條直線等。4線段的垂直平分線:垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。（也稱線段的中垂線）5. 軸對稱的性質：成軸對稱的兩個圖形全等。如果兩個圖形成軸對稱，那么對稱軸是對稱點連線的垂直平分線。6. 怎樣畫軸對稱圖形：畫軸對稱圖形時，應先確定對稱軸，再找出對稱點。二、舉例：例1 :判斷題： 角是軸對稱圖形，對稱軸是角的平分線；（） 等腰三角形至少有1條對稱軸，至

3、多有3條對稱軸；（） 關于某直線對稱的兩個三角形一定是全等三角形；（） 兩圖形關于某直線對稱，對稱點一定在直線的兩旁請在下列一組圖形符號中找出它們所蘊含的內在規(guī)律，然后把例2 :下圖曾被哈佛大學選為入學考試的試題 圖形空白處填上恰當?shù)膱D形小正方形組成的L形圖方法分別在下圖中添方法1方法2方法3畫一個小正方形使它成為一個軸對稱圖形:ABABI例4 :如圖，已知：A ABC和直線1，請作出A ABC關于直線1的對稱三角形。例5 :如圖，DA、CB是平面鏡前同一發(fā)光點S發(fā)出的經平面鏡反射后的反射光線，請通過畫圖確定發(fā)光點S的位置，并將光路圖補充完整例6:如圖，四邊形ABCD是長方形彈子球臺面，有黑白

4、兩球分別位于E、F兩點位置上，試問怎樣撞擊黑球 E,才能使黑球先碰撞臺邊 AB反彈后再擊中白球F？例7 :如圖，要在河邊修建一個水泵站，向張莊 A、李莊B送水。修在河邊什么地方，可使使用的水管最短?例8 :如圖，OA、OB是兩條相交的公路，點 P是一個郵電所，現(xiàn)想在 OA、OB上各設立一個投遞點，要想 使郵電員每次投遞路程最近，問投遞點應設立在何處？線段、角的軸對稱性一、知識點：1線段的軸對稱性： 線段是軸對稱圖形，對稱軸有兩條；一條是線段所在的直線, 另一條是這條線段的垂直平分線。 線段的垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等。 到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。結論：線段的垂

5、直平分線是到線段兩端距離相等的點的集合2.角的軸對稱性： 角是軸對稱圖形，對稱軸是角平分線所在的直線。 角平分線上的點到角的兩邊距離相等。 到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。結論：角的平分線是到角的兩邊距離相等的點的集合二、舉例：B例1 :已知 ABC中，AB=AC=10 , DE垂直平分 AB，交AC于E,厶BEC的周長是16。求厶ABC的周長.例2 :如圖，已知/ AOB及點C、D,求作一點P,使PC=PD，并且使點P到OA、OB的距離相等。例3 :如圖，已知直線I及其兩側兩點A、B(1) 在直線I上求一點 P,使PA=PB ;(2) 在直線I上求一點Q,使I平分/ AQBIA

6、例4:如圖，直線a、b、c表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等,可供選擇的地址有幾處？如何選?b例5 :已知：如圖，在A ABC中，0是/ B、/ C外角的平分線的交點，那么點0在/ A的平分線上嗎？為什么？D例6 :如圖，已知：AD和BC相交于0,Z仁Z 2,Z 3=Z 4。試判斷AD和BC的關系，并說明理由。例7 :已知：如圖， ABC中，BC邊中垂線ED交BC于E,交BA延長線于 D，過C作CF丄BD于F,交DE 于 G, DF= -BC，試說明/ FCB=- Z BDFGE2 2例8 :已知：在/ ABC中，D是/ ABC平分線上一點，E、F分別在

7、AB、AC上，且DE=DF。試判斷/ BED 與/ BFD的關系，并說明理由.例9 :已知：在 A ABC中，D是BC上一點，DE丄BA于E, DF丄AC于F,且DE=DF.。試判斷線段 AD與EF有何關系？并說明理由。例10:如圖，已知：在 ABC中，/ BAC = 90° BD平分/ ABC , DE丄BC于E。試說明BD垂直平分 AE等腰三角形的軸對稱性一、知識點：1. 等腰三角形的性質： 等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在直線是它的對稱軸；等腰三角形的兩個底角相等；（簡稱“等邊對等角”）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。（簡稱“三線合一”）2. 等

8、腰三角形的判定： 如果一個三角形有2個角相等，那么這2個角所對的邊也相等；（簡稱“等角對等邊”） 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半。3等邊三角形： 等邊三角形的定義：三邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形。 等邊三角形的性質：等邊三角形是軸對稱圖形，并且有3條對稱軸；等邊三角形的每個角都等于 60°。 等邊三角形的判定：3個角相等的三角形是等邊三角形；有兩個角等于60°的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。、舉例:例1、如圖，已知 D、E兩點在線段 BC上，AB = AC, AD = AE，試說明BD=CE的理由？例2 :如圖，

9、已知： ABC中，AB = AC , BD和CE分別是/ ABC和/ ACB的角平分線，且相交于 O點試說明厶OBC是等腰三角形；連接OA，試判斷直線OA與線段BC的關系？并說明理由D例3 :如圖，已知：AD和BC相交于0,/仁/2,Z 3=7 4。試判斷AD和BC的關系，并說明理由。例4 :如圖，已知： ABC中，/ C=90°, D、E是AB邊上的兩點，且 AD=AC , BD=BC求/ DCE的度數(shù)。例5 :如圖，已知： ABC中, FG與DE的關系。BD、CE分別是AC、AB邊上的高，G、F分別是BC、DE的中點。試探索例6:如圖，已知： ABC中，/ C=90°,

10、 AC=BC , M是AB的中點, MEF的形狀？并說明理由。DE丄BC于E, DF丄AC于F。試判斷例7 :如圖，已知： ABC為等邊三角形，延長 BC到D，延長BA到E, AE=BD，連結EC、ED，試說明例8 :如圖，在等邊厶ABC中，P為厶ABC內任意一點,PD丄BC于D, PE丄AC于E, PF丄AB于F, AM丄CE=DE 。BC于M，試猜想AM、PD、PE、PF之間的關系，并證明你的猜想.等腰梯形的軸對稱性、知識點:1等腰梯形的定義:梯形的定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行為梯形。梯形中，平行的一組對邊稱為底，不平行的一 組對邊稱為腰。等腰梯形的定義：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形

11、。AD2、等腰梯形的性質: 等腰梯形是軸對稱圖形，是兩底中點的連線所在的直線。 等腰梯形同一底上兩底角相等。 等腰梯形的對角線相等。3. 等腰梯形的判定： 在同一底上的2個底角相等的梯形是等腰梯形。 補充：對角線相等的梯形是等腰梯形。二、舉例：例1填空：1等腰梯形的腰長為12cm, 上底長為15cm，上底與腰的夾角為120°,則下底長為 cm.2、 如果一個等腰梯形的二個內角的和為100°，那么此梯形的四個內角的度數(shù)分別為 .3、 等腰梯形上底的長與腰長相等，而一條對角線與一腰垂直，則梯形上底角的度數(shù)是;4、 已知等腰梯形的一個底角等于60°，它的兩底分別為 13

12、cm和37cm，它的周長為 ;5、如圖，在梯形 ABCD 中，AD II BC, AB = CD，/ A = 120°,對角線 BD 平分/ ABC，貝VZ BDC的度數(shù)是;又若AD = 5，貝V BC =6、如圖，在等腰梯形ABCD 中，AD II BC , AB = AD , BD = BC，則Z C=AO = DO .例3 :如圖,梯形 ABCD 中，AD II BC,AC=BD。試說明：梯形 ABCD是等腰梯形。例2 :如圖，等腰梯形 ABCD中，AD II BC,對角線AC、BD相交于點O試說明:例4 :如圖，在等腰梯形 ABCD中，AD II BC, AD = 3cm,

13、BC = 7cm, E為CD的中點，四邊形 ABED的周長比 BCE的周長大2 cm,試求AB的長.例5 :如圖，在等腰梯形 ABCD中，AD II BC, AB=CD , M為BC中點，貝V：點M到兩腰AB、CD的距離相等嗎？請說出你的理由。(2)若連結AM、DM，那么 AMD是等腰三角形嗎？為什么？又若N為AD的中點，那么MN丄AD 一定成立你能說明為什么嗎 ？例6、如圖，在等腰梯形ABCD 中，AD II BC, AB = CD,E為CD中點，AE與BC的延長線交于F (1) 判斷abf和S梯形ABCD有何關系，并說明理由.(2) 判斷&abe和S梯形ABCD有何關系，并說明理由

14、.(3) 上述結論對一般梯形是否成立 ？為什么？例7、如圖，在梯形 ABCD中，AD II BC , E為CD的中點，AD+BC = AB 貝V：(1) AE、BE分別平分/ DAB、/ ABC嗎？為什么？(2) AE丄BE嗎?為什么？例 8 :在梯形 ABCD 中，Z B = 90°, AB = 14cm , AD = 18cm , BC = 21cm，點 P 從點 A 開始沿 AD 邊向點 D以1 cm/s的速度移動，點 Q從點C開始沿CB向點B以2cm/s的速度移動，如果點 P、Q分別從兩點同時出發(fā)，多少秒后，梯形 PBQD是等腰梯形?中考試題集考點一、關于“軸對稱圖形”與“軸

15、對稱”的認識軸對稱圖形：如果 個圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠 ，那么這個圖形叫軸對稱圖形，這條直線叫做。軸對稱：對于 個圖形，如果沿著一條直線對折后，它們能完全重合，那么稱這兩個圖形成這條直線就是對稱軸。兩個圖形中的對應點叫做 典例1 下列幾何圖形中，O1線段 角 直角三角形 ©半圓，其中一定是軸對稱圖形的有()A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個2.圖9-19中，軸對稱圖形的個數(shù)是()考點三、作一個圖形關于某條直線的軸對稱圖形(1 )作出一些關鍵點或特殊點的對稱點.(2)按原圖形的連接方式連接所得到的對稱點，即得到原圖形的軸對稱圖形典例：1、如圖，Rt ABC Z

16、C=90° , Z B=30° ,BC=8, D為 AB中點，P為 BC上一動點，連接 AR DP,則 AP+DP的最小值是2、已知等邊 ABC E在BC的延長線上，CF平分/ DCE P為射線BC上一點，Q為CF上一點，連接 AP、PQ.若AP=PQ求證/ APC是多少度(2)線段是軸對稱圖形，它的對稱軸是線段的垂直平分線上的點到相等考點四、線段垂直平分線的性質歸類回憶角平分線的性質角是軸對稱圖形，其對稱軸是角平分線上的點到典例 1、如圖， ABC中，/ A=90°, BD為/ ABC平分線，DEL BC,2、如圖， ABC中，AB=AC PB=PC連AP并延長

17、交 BC于D,求證：AD垂直平分 BCD3、如圖，DE是 ABC中AC邊的垂直平分線，若 BC=8厘米，AB=10厘米，貝V厶EBCA.16厘米B.18 厘米 C.26 厘米 D.28 厘米4、如圖，/BAC=30 , P 是/ BAC平分線上一點，PM II AC, PDL ACPD=28 ,貝 y am=的周長為（5、如圖，在Rt ABC中，/ ACB = 90°,/ BA C的平分線交BC于 D.過C點作CGL AB于G,交AD于E.過D點作DF丄AB于F.下列結論:/ CEDM CDE Sec : S毋eg =AC : AG ;/ ADF=2Z ECD S .ced二S.df

18、b :CE=DF.其中正確結論的序號是（）A B C D 考點五、等腰三角形的特征和識別等腰三角形的兩個 相等（簡寫成“ ”）等腰三角形的 、互相重合（簡稱“ ”）特別的：（1）等腰三角形是 圖形（2）等腰三角形兩腰上的中線、角平分線、高線對應如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的 也相等（簡稱為“ ”）特別的：（1）有一邊上的角平分線、中線、高線互相重合的三角形是等腰三角形.（2）有兩邊上的角平分線對應相等的三角形是等腰三角形.(3)有兩邊上的中線對應相等的三角形是等腰三角形.(4)有兩邊上的高線對應相等的三角形是等腰三角形.典例1、如圖， ABC 中，AB=AC=8 D 在 BC

19、上，過 D 作 DE /A B 交交AB于F,則四邊形AFDE的周長為2、如圖， ABC中，BD CD分別平分/ ABC與Z ACB EF過D 且 EF/ BC,若 AB = 7 , BC = 8 , AC = 6，則 AEF周長為(A. 15 B . 14 C. 13 D. 183、如圖,點B、D F在AN上,C、E在AM上，且AB=BC=CD=ED=EJFA=20°,則/ FEB=4、已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°,則它的一個底角的度數(shù)是5、A ABC中，DF是AB的垂直平分線，交 BC于D, EG是AC的垂直平分線，交 BC于E,若/ DAE=20，則

20、 / BAC等于°6、從一個等腰三角形紙片的底角頂點出發(fā)，能將其剪成兩個等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的底角等于7、已知，在 ABC中, Z ACB=90，點D E 在直線 AB上，且 AD=AC BE=BC 則Z DCE=8、如圖：在厶 ABC中, AB=AC ADL BC,DEL AB于點E, DF丄AC于點F。試說明 DE=DF9、如圖,E在厶ABC的AC邊的延長線上,D點在AB邊上,ADE交BC于點F,DF=EF BD=CE求證： ABC是等AG,腰三角形.10、已知：如圖， ABC中，Z ACB的平分線交AB于E, EF/ BC交AC于點F,交Z ACB的外角平分線于點

21、 G.試判斷EFC的形狀，并說明你的理由.11、如圖， ABC中，AB/ DC AD= DC= CB AD BC的延長線相交于(1) 請寫出圖中4組相等的線段(已知的相等線段除外)；(2) 選擇(1)中你所寫出的一組相等線段，說明它們相等的理由.考點六、等邊三角形的特征和識別等邊三角形的各相等，各相等并且每一個角都等于三個角相等的三角形是三角形有一個角是60°的三角形是等邊三角形特別的：等邊三角形的中線、高線、角平分線典例1、下列推理中，錯誤的是（）A.vZ A=Z B=Z C,.A ABC是等邊三角形B . v AB= AC,且/ B=Z C,.A ABC是等邊三角形C.vZ A=

22、 60°,/ B= 60°,.仏 ABC是 等邊三角形D . v AB= AC,/ B= 60°,仏 ABC是 等邊三角形2、如圖，等邊三角形 ABC中，D是AC的中點，E為BC延長線上一點，且 求證：M是BE的中點。3、已知 ABC是等邊三角形，分別在AC BC上取點E、F,且AE=CF BE AF交于點D,則/ BDF= _度4、如圖，點P是等邊 ABC內一點，點P到三邊的距離分別為求證：PE+PF+PG=AD5、如圖,D、E、F分別是等邊 ABC各邊上的點，且A.等邊三角形B 腰和底邊不相等的等腰三角形形6、如圖，C為線段AE上一動點（不與點A、E重合）PE

23、 PF、PG 等邊 ABC的高為 ADAD=BE=CF則厶DEF?勺形狀是（C 直角三角形D 不等邊三角在AE同側分別作等邊三角形CABC和等邊三角形CDE以下六個結論：AD=BE PQ/ AE; AP=BQ;BCD. 4mAD與 BE交于點O, AD與 BC交于點P, BE與 CC交于點Q 連接PQDE=DP;/ AOB=60 ;CO平分/ AOE其中不正確的有（A. 0 B . 1 C . 2 D . 3考點七、30 °所對的直角邊是斜邊的一半1、如圖，是屋架設計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，立柱則 DE等于（）A. 1m B . 2m C . 3m 2、如圖： ADC中,/

24、 A = 15 °，/ D=9C° , B在 AC的垂直平分線上， AB =34,則 CD =（）3、如圖，AB=AC DEL AB于 E, DF丄AC于 F,Z BAC=120, BC=6 貝V DE+DF 1圖2圖4、一張折疊型方桌如圖甲，其主視圖如圖乙，已知AO=BO=40cm C0=D0=30 cm現(xiàn)將桌子放平，兩條桌腿叉開的角度/ AOB剛好為120°，求桌面到地面的距離是多少？甲5、在厶ABC中，AB二AC, . A=120，AB的垂直平分線交 求BC的長乙6、如圖，已知：在求證：CF=2BF.BC于點D，交AB于點E 如果DE = 1 ,ABC中,

25、AB=AC Z BAC=120 , AB的垂直平分線交AB于EOCA7、已知：如圖， ACD是等邊三角形，AE!CD于E, AB丄AC AC= AB,AE、BD相交于 O.求證：BC=2OD.軸對稱中考試題集一、填空題1、已知等邊三角形 ABC的邊長為，則 ABC的周長是 2、如圖，在厶ABC中，AB=BC , AB=12cm , F是AB邊上一點，過點F作FE/ BC交AC于點E,過點E作ED / AB交BC于點D .則四邊形 BDFE的周長是 _一 cm.3、 如圖，在 ABC 中，BC=5cm , BP、CP 分別是Z ABC 和Z ACB 的角平分線，且 PD / AB , PE/ A

26、C，則 PDE 的周長是cm .4、 如圖， ABC是邊長為3的等邊三角形， BDC是等腰三角形，且Z BDC=120度.以D為頂點作一個60。角，使其兩邊分別交 AB于點M，交AC于點N，連接MN，則 AMN的周長為 _一 .5、如圖，在等邊 ABC中，D、E分別是 AB、AC上的點，且 AD=CE，則Z BCD+ Z CBE=度.6、如圖，已知Rt ABC中，Z C=90°, Z A=30° , AC=6 .沿DE折疊，使得點A與點B重合，則折痕 DE的長=7、以邊長為2cm的正三角形的高為邊長作第二個正三角形，以第二個正三角形的高為邊長作第三個正三角形，以此類推，則第

27、十個正三角形的邊長是cm.8、 如圖，將一等邊三角形剪去一個角后，/1+ / 2=度.9、 如圖是由9個等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長是a,則六邊形的周長是 .10、 如圖，在直線 m上擺放著三個正三角形： ABC、 HFG、 DCE，已知BC=CE, F、G分別是BC、CEt-i的中點，F(xiàn)M / AC , GN / DC .設圖中三個平行四邊形的面積依次是Si, S, S3,若Si+S3=10,則S=. 11、如圖，點B是線段AC上一點，分別以AB、BC為邊作等邊 ABE、 BCD ,連接DE ,已知 BDE的面積是-：,4 AC=4，如果 AB V BC,那么 AB

28、的值是.D12、 正三角形的每一個內角都是 度.13、如圖，P、Q是厶ABC的邊BC上的兩點，且 BP=PQ=QC=AP=AQ，則/ ABC的大小等于 度.15圖16圖2E、F是AD的三等分點，若 ABC的面積為12cm ,14圖AD是BC邊上的高，點2 cm .13圖14、如圖，在 ABC 中，AB=AC , 則圖中陰影部分的面積是 _15如圖所示，將邊長為2的等邊三角形沿 x軸正方向連續(xù)翻折 2010次，依次得到點P1, P2 , P3-P 2010.則點P2010 的坐標是 _.16、如圖，矩形紙片 ABCD , AB=2，/ ADB=30°，沿對角線 BD折疊（使 ABD和厶

29、EBD落在同一平面內），則A、E兩點間的距離為_一二、解答題1、請閱讀，完成證明和填空.(1) 如圖1，正三角形 ABC中，在 AB、AC邊上分別取點 M、N，使BM=AN，連接BN、CM，發(fā)現(xiàn)BN=CM ,且/ NOC=60度.請證明：/ NOC=60度.(2) 如圖2，正方形ABCD中，在AB、BC邊上分別取點 M、N，使AM=BN，連接AN、DM，那么AN=且/ DON=度.(3) 如圖3，正五邊形 ABCDE中，在 AB、BC邊上分別取點 M、N，使AM=BN，連接 AN、EM，那么 AN=_ ，且/ EON=度.(4) 在正n邊形中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，也會有類似的結論.請大膽猜測，用一句話概括你的發(fā)現(xiàn)： .AD與2、如圖，已知 ABC為等邊三角形，點D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD , BE相交于點 F. (1)求證： ABE CAD ;(2)求/ BFD的度數(shù).3、如圖，D是等邊 ABC的邊AB上的一動點，以CD為一邊向上作等邊 EDC，連接AE，找出圖中的一組全等 三角形，并說明理由.4、在厶ABC中，AB=AC，點D是直線 BC上一點(不與B、C重合)，以AD為一邊在AD的右側作 ADE，使AD=AE，/ DAE= / BAC，連接 CE.(1) 如圖1，當點D在線段BC上，如果/ BAC=90，則/ BCE=度;(2) 設/ BACa